Transcript 14장
Chapter 14. Feedback Systems
2015년 8월 31일
1
14.2 Brief history
• Feedback in single-input, single-output, timeinvariant, linear continuous-time systems
– 발진기, 선형 광대역 증폭기, PLL에 어떻게 적용하는지
보일 예정
– 비선형시스템으로 확장하는 원리도 보일 예정
• 역사
– Maxwell이 최초로 stability 해석함 (토성의 환에 대하여)
: 그의 처음 수학상 수상
– Speed-controlled 증기기관에 대한 stability 해석
– Feedback의 전자공학에의 첫째 응용은 1912년 rocket
pioneer Robert Goddard에 의해 진공관 발진기
2
14.2.1 Armstrong and The Regenerative
Amplifier
• Armstrong의 1915년 논문: positive feedback
(regeneration)이 어떻게 증폭기의 이득을 얻는지
– 현재 engineer들은 positive feedback에 대하여 편견을 가
지고 있지만 당시에 전자공학의 발전은 Armstrong의
regenerative amplifier에 의하여 가능
• 그림 14.1의 Armstrong의 증폭기
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vIN f vOUT
vOUT a a (v IN f vOUT )
a
A
1 af
• af < 1 A > a
• af = 0.9 A = 10 a, af = 0.99 A = 100a
• Armstrong이 영도한 특허로 Westinghouse의 법무
팀이 아주 바빴음
4
14.2.2 Harold Black and the Feedforward
Amplifier
• Armstrong의 regenerative amp가 큰 이득 얻는 건
가능하게 했지만 전화분야에서 문제 발생
– 통신거리를 늘리기 위해 전송선로의 감쇄를 보상하는
증폭기 필요
– 1000-2000 마일의 거리는 가능했지만 품질 낮음
– 엄청난 연구 끝에 1915년에 대륙간 전화서비스 개통
– 68세의 Alexander Graham Bell이 Thomas Watson한테 첫
통화
• 문제는 불충분한 증폭이 아니었음
– 선로의 끝에 큰 소리의 신호를 만드는건 쉬웠음
– 문제는 Distortion
– 각 증폭기가 각각 작은 왜곡 초래: 모으면 엄청남
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• 그 때 주 “solution”은 증폭기의 소신호 동작을 보
장하는것
– Dynamic range를 아주 작게 하여 보다 선형적으로 함
– 불행히도, 이는 비효율적 mW 신호를 위하여 100W
증폭기를 만들어야 함
– 신호원과 증폭기사이의 임의의 거리 때문에도 더 어려
웠음
– 1921년의 일이었음
• Harold Black이라는 Worcester Polytechnic의 졸업
생이 Bell Lab 전신회사 에 취업
– Distortion 문제를 풀었음, 2번이나
6
• 첫번째 답: feedforward correction
– 기본 개념: 똑같은 두 개의 증폭기 사용하고, 한 증폭기
와 다른 증폭기의 왜곡을 서로 뺌
– No feedback
• 각 증폭기는 A의 이득
• Black이 그 시절에 많은 증폭기를 만들었지만 비
현실적이라 증명이 됨
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14.2.3 The Negative Feedback Amplifier
• 한 개의 증폭기로는 할수 없을까?
• 1927년 8월 2일, 출근 Ferry에서 Negative feedback
에 대한 생각이 번쩍: 동료가 증인이 되어서 서명
함
a
A
1 af
• af >>1 A ≈ 1/f
8
• Feedback factor f는 완전히 선형요소 (resistive
voltage divider)로 만들수 있으므로, 전체 closedloop은 블록 a가 선형이 아니어도 선형이 됨
– af >> 1 이면 a가 그 어떤 비선형 행태를 보여도 됨
– Only trade-off는 A << a
– Gain이 작고 왜곡이 크다면 negative feedback이 최고의
해답
9
14.3 A Puzzle
• af >> 1이고 positive feedback이 되면, A ≈ -1/f
• 두 feedback linear closed-loop amplifier: 왜
negative feedback을 더 좋아하지?
• 수학적으로는 옳음 physical system으로는 안됨
• A 와 f가 주파수 종속적인 크기 및 위상이면?
– af >> 1인 positive feedback system은 절대 stable하지 못
함 모든 real system은 결국 주파수가 올라가면 (-) 위
상 천이가 생김
– 위상 천이가 나중에 stability를 판단하는 데 엄청 중요
한 역할을 함
10
14.4 Desensitivity of Negative Feedback
Systems
• Negative feedback에 대한 거친 주장들
– “대역폭 증가”, “왜곡 감소”, “잡음감소 및 결점 제거”
– 다 진실이지만 반드시 negative feedback에 근본적일 필
요는 없는 듯
– 단 하나 근본적인 장점: 둔감도
• Forward gain a의 변화의 감쇄된 sensitivity
dA d a
1
A 1
2
da da 1 af (1 af )
a 1 af
dA da 1
A
a 1 af
11
• 1+af : desensitivity of a feedback system
dA d a
a2
A
af
2
df df 1 af
(1 af )
f 1 af
dA df
af
A
f 1 af
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Facial Blemishes
• Bent conception 1: Negative feedback은 대역폭을
확장
– 저주파에서 이득을 포기함으로써 대역폭 확장
– |1/f| << |a(s)| a(s)f large 전체: 1/f
– |1/f| >>|a(s)| a(s)f small 전체: a(s)
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Misguided Notion 2: 잡음을 줄인다
• Negative feedback이 입력기준 잡음을 줄이진 못함
– Open-loop 증폭기의 입력기준잡음을 유지하는 것이 최
선
– 실제로는 입력기준잡음을 증가시킴
– Feedback이 할 수 있는 건 출력 잡음을 줄이는 것
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• Negative feedback이 잡음을 줄인다는 생각은 앞
그림의 잡음특성을 이해 못한 데서 나옴
vout
a1a2
vout
a1a2
,
,
vin 1 a1a2 f vn1 1 a1a2 f
vout
a2
vout
1
,
vn 2 1 a1a2 f vn 3 1 a1a2 f
– 증폭기는 입력신호인지 vn1인지 구별 못함
– 증폭기 앞으로 인가되는 잡음은 증폭기 뒤에서 인가되
는 잡음보다 크게 출력에 나타남
– 이는 negative feedback과 아무 상관 없음
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• Negative feedback이 위 식과 아무런 관계가 없음
을 이해하기 위하여
– 특정한 K에서, feedback의 입출력 전달함수와 open-loop
증폭기의 전달함수가 동일
– Feedback은 open-loop system이 제공할 수 있는 것 이상
으로의 잡음감소를 못함
– 임피던스 변환을 open 및 closed loop system으로 할 수
있지만, feedback을 쓰면 훨씬 용이함
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14.5 Stability of Feedback Systems
• a(s)에 대한 sensitivity의 감소는 negative feedback
의 유일한 장점 모든 다른 특성은 open-loop 방
법으로 얻어짐
• 큰 이득으로 큰 둔감도를 얻을 수 있음
– 근데 Loop transmission이 아주 클 때 system은 unstable
– 이러한 instability는 자주 특별히 크지 않은 loop
transmission으로도 발생
– Feedback system의 성능을 제한하는 것은 이득의 비효
율성이 아니라 instability
• Stability의 정의가 무한히 많음
– BIBO: bounded-input, bounded-output
– H(s)의 모든 pole이 left half-plane에 있을 때 BIBO stable
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• Stability test를 위하여 A(s)의 pole 을 찾아야 함
P(s) = 1+ a(s)f(s)의 해를 구하여야 함.
– a(s)와 f(s)의 다항식을 찾는 게 쉽지는 않음
– 대안을 찾아야 함
– Loop transmission을 찾는 건 쉽고, 반면 closed-loop 전달
함수는 순방향 경로 계산 및 보조 계산이 필요함
– 그러므로 loop transmission으로부터 stability를 판단하
는 것이 엄청난 노력을 덜어줌
18
14.6 Gain and Phase Margin as Stability
Measures
• Feedback system을 끊어보자
– Inverting 단자에 sine 파를 넣고, 만약 a(s)f(s)의 크기가 1
이고 위상이 180도이면 loop를 다시 닫으면 입력이 없
어도 sine파는 계속 존재함. unstable
• Sine 파가 실제로 존재할지는 Nyquist stability test
가 필요, 그렇지만 복잡함
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• Nyquist test 대신, gain margin과 phase margin 사용
– Gain margin: a(jω)f(jω)의 위상천이가 -180도 되는 주파
수가 ωπ이면
1
gain margin
| a ( j ) f ( j ) |
– Phase margin: a(jω)f(jω)의 크기가 1인 주파수 ωc 이면
(crossover frequency),
phase margin 180 [a ( jc ) f ( jc )]
• Gain & phase margin은 a(jω)f(jω)가 크기 1 및 위상
이 180도(발진조건)에 얼마나 근접하는지의 척도
– Stability의 상대적인 척도
– Margin이 클수록 unstable에서 멀어짐
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• Gain과 phase margin을 쉽게 계산할 수 있으므로
Nyquist test 대신 사용됨
– 한 두 주파수에서만 안정도 판단 가능
– Gain and phase margin test는 더 일반적인 Nyquist test의
subset
– 대부분의 경우, 최소 gain margin은 3-5
– 최소 phase margin: 30 – 60 도
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14.7 Root-Locus Techniques
• Gain and phase margin은 closed-loop system의 안정
도를 판단하기 위하여 loop transmission을 사용
• 명백한 방법: closed loop 전달함수를 구하고, 분모
다항식의 해를 구한다 not easy
• Goal: 다항식 1+a(s)f(s)의 해를 구하는 것
P(s) = 1+a(s)f(s) = 0 a(s)f(s) = -1
→ |a(s)f(s)| = 1 and /_[a(s)f(s)] = (2n + 1) 180°
• Rule 1: locus는 loop transmission의 pole에서 시작
하고 zero (finite or infinite)에서 끝난다
– a(s)f(s) = kg(s)라면, |g(s)| = 1/k
– 매우 작은 k: locus의 시작(g(s)의 pole) 매우 큰 k:
locus의 끝 (g(s)의 zero)
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• Rule 2: root-locus branch가 실수축에 있다면, left
half-plane poles+zeros의 홀수개 왼쪽에, right halfplane poles+zeros의 홀수개 오른쪽에 위치
– k가 양수이면, 1 + kg(s) = 0의 해는 g(s)가 음수이어야
함. g(s)를 다음과 같이 표현하면,
g ( s)
Z
i 1
P
k 1
( zi s 1)
( pk s 1)
– τs < -1이면 각 (τs + 1) <0
– s < left half-plane poles+zeros의 홀수개 g(s)의 부호는
음 (이때 τ >0)
– s > right half-plane poles+zeros의 홀수개 g(s)의 부호
는 양 (이때 τ <0)
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• Rule 3: pole의 수 > zero의 수 + 2이상 pole에서
허수축까지의 평균거리는 k와 무관
n n 1 n
C (s s j ) C s s s j
j 1
j 1
n
s j L( s )
j 1
n
– (n-1)차계수/n차계수 = L(s)의 근의 합
– 근에서 허수축 까지의 평균거리는 근의 합/다항식의 차
수(근의 수)
– Let g(s) = p(s)/q(s): characteristic eq. = P(s) = q(s) + kp(s)
– q(s)의 차수가 p(s)보다 2이상 크면, 2개의 leading 계수
가 p(s)와 무관(k와 무관)
24
• Rule 4: As k ∞, P-Z branch는 다음의 각도로 ∞로
향함
(2n 1) 180
n
PZ
– n: 0 ~ P-Z-1
– 전체 각도는 stest 에서 (Z – P)θ, stest가 closed-loop system
의 pole이라면
–
(2n 1) 180
Z P (2n 1) 180 n
ZP
25
• Rule 5: Rule 4의 점근선은 모두 다음의 점에서 실
수축과 만난다
Re( poles ) Re( zeros )
PZ
– 특성 방정식:
Z
Z
Z 1
C1 s s i 1 Re( zeros )
P( s) 1
P
P
P 1
s s i 1 Re( poles )
0
– 큰 s의 경우, 분모 분자의 첫째, 둘째항만 취하면
0 1
s PZ
C1
s P Z 1 Re( poles ) Re( zeros )
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• 2개의 leading 항 계수의 비(점근선에서 허수 축까
지의 평균거리)는 상수 이 rule을 설명
• Rule 6: locus의 실수축 branch가 pole의 쌍 사이에
있으면, locus는 pole 사이의 어떤 지점에서 실수
축으로부터 나온다. 비슷하게, zero 쌍 사이에 있
으면 zero 사이로 들어감.
– Rule1 의 결과
– Breakaway point는 |g(s)|를 최소화하는 pole사이의 s를
계산하여 찾음
– Entry point는 |g(s)|를 최대화하는 zero 사이의 s를 계산
하여 찾음
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• Rule 7: 복소수 pole에 대한 초기 각도 θP, 복소수
zero에 대한 초기 각도 θZ
P 180 [ poles ] [ zeros ]
Z 180 [ poles ] [ zeros ]
• 여기서 합은 모든 pole과 zero에서 복소수 pole
(zero)까지 그은 각도
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• 복소수 pole 근처의 stest에서의 위상 각: -θP +
∑/_[zeros] - ∑/_[poles] = ± 180º
• 복소수 zero 근처의 stest에서의 위상 각: θZ +
∑/_[zeros] - ∑/_[poles] = ± 180º
• Rule 8: 특정한 s가 locus에 놓여 있을 때, s를
closed-loop pole 위치로 만들기 위한 k는
k = 1/|g(s)|
29
14.7.1 Root-Locus Rules for Positive
Feedback Systems
• 지금까지는 negative feedback system에 적용: k> 0
• For k < 0, 위상 각 조건
/_g(s) = n·360º
14.7.2 Zeros of A(s)
• Root locus는 g(s)의 pole과 zero가 주어질 때, 단지
A(s)의 pole이 어디 있는지에 대하여만 언급
a( s)
A( s )
1 a( s) f ( s)
• A(s)의 zero는 명백하게 a(s)의 zero 및 f(s)의 pole
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14.9 Modeling Feedback Systems
• Desensitivity가 클수록, 선형성 개선이 커짐
14.9.1 The Trouble with Modeling Feedback Systems
• Forward gain = 증폭기 이득으로 가정하고 (a = G),
feedback factor를 f = R2/(R1 + R2)
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• A 1/f = (R1 + R2)/R2 : correct
• Ideally 이 inverting amplifier (loop transmission을
같게하려면 a = G 및 same f를 선택해야 함)는 A =
-R1/R2
– 반면 우리의 해석은 A 1/f = (R1 + R2)/R2
• 문제의 일부는 자연적인 선택인 a = G가 틀리다는
것
– 다른 문제는 자유도가 하나 더 필요하다는 것 (블록도 32
앞에 (-) 부호를 추가)
• 맞는 모델이 반드시 한 개일 필요는 없다 등가
적으로 많은 모델이 가능
– 이상적인 closed-loop 전달함수의 역수를 f로 선택
– 위 step에서 loop transmission을 적당하게 만드는 a 선택
– 모델의 앞뒤로 부호 반전을 위한 블록 추가
• Inverting 증폭기에 적용
– f = R2/R1
L( s )
R2
a
G
f
R1 R2
R1
R2
G
R1
R1 R2
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14.9.2 Clutches and Transmissions
• Loop transmission이 안정도와 둔감도를 결정하므
로 엄청 중요
– Loop transmission을 찾는 것이 쉽지만, 실제 시스템에서
는 trick이 필요함 어떻게 loading effect를 넣을지?
• Noninverting 증폭기에서 loop transmission을 찾기
위하여 모든 독립적인 Source를 억압
– 입력전압 = 0
– Loop를 끊고, 그 cut point에 신호 주입
– Return signal / 입력 신호 = loop transmission
34
• 저항 R의 왼쪽 X에서 끊으면, test 전압을 X에 적
용하여 loop transmission으로부터 R을 제거
– R의 loading effect를 고려하려면, R의 오른쪽에서 끊어
야함
• 일반적인 원칙은 zero impedance 또는 ∞로 되는 점
을 찾는다
– Loading effect가 없음
– 모든 회로가 다 자동으로 이런 점을 가지고 있는 건 아
니지만, 그런 모델을 만드는 건 가능
– Emitter follower의 경우 원래 회로에 비이상적인 효과를
넣기 위하여 입출력 저항으로 모델링함
– 모델안에 이상적인 follower를 사용하여, loop
transmission을 찾게 하는 node를 생성
35
14.10 Errors in Feedback Systems
• Loop transmission 크기가 커질수록, 결국 불안정해
지고 둔감도에 심각한 제한을 가함
– 둔감도를 희생하면 loop가 error를 생성하게 됨
– Voltage follower를 고려
–
–
–
–
전달함수가 하나의 pole이라 가정 step input 인가
출력은 1차 형태로 증가하고 결국 입력에 접근
얼마나 접근? Op-amp의 DC gain에 의존
입력전압=1V, DC gain=1000 1/1000오차로 1 V가 됨
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– 출력이 거의 1 V이고 gain = 1000이면 입력에서 전압 차
는 1/1000 = 1mV
– 입력과 출력의 error는 1mV
– 이를 줄이려면 gain이 커야 하지만 안정도 문제로 마냥
키울 수 만은 없다
• 안정도 문제로 모든 주파수에서 error를 0으로 만
들 수는 없지만, step input에 대하여 zero steadystate error는 얻을 수 있다.
– Steady-state step response error를 0으로 만들기 줄이기
위하여, 단지 DC에서 무한대 gain이 필요
– 대부분의 op-amp는 DC gain이 무지 큼 (>106)
– 안정도 문제를 해결하기 위하여 넓은 주파수대역에서
single-pole로 설계 거의 적분기
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• 적분이 왜 필요한지 알기 위해선
– 적분기는 입력없이도 (입력의 DC offset으로 인하여)
DC 출력이 되므로 Op-amp 단자사이의 zero 입력에서도
nonzero steady-state 출력을 원한다면, 적분기가 필요
• 출력이 ramp이고 zero 입력 차이라면, op-amp 전달
함수에서 2번의 적분이 필요
– 2번째 적분기의 입력은 step이어야 하고, step에 대한
zero steady-state error를 위하여 또 다른 적분기 필요
• Quadratic ramp에 대한 zero steady-state error를 위
하여서는 3번의 적분이 필요
– Zero step response는 zero position error에 대응
– Zero ramp response는 zero velocity error에 대응
– Zero quadratic response는 zero acceleration error에 대응 38
– Tracking 하는 object가 일정 가속도를 가지면, G(s)에서
3번의 적분을 가진다면, zero steady-state error로 추적이
가능
• 한번 이상의 적분으로 안정도를 걱정해야 함
– 위상천이를 상쇄하기 위하여 충분한 zero를 추가하여
이를 해결할 수 있음
– P개의 pole이 있으면, P-1 zero가 있어야 함
Error Series
• 충분한 적분을 하면 steady-state error를 제거가능
– 실제로는 완전한 적분기는 구현하기 어려움
– Error를 정량화하기
39
• 한 방법은 error series 사용
dvi (t )
d 2vi (t )
(t ) 0vi (t ) 1
2
dt
dt 2
– Series가 빨리 수렴하면, 뒤의 몇 항은 잘라도 됨
– 실제는 대부분 error series가 빨리 수렴함
• Error 계수는 (Ve(s)/Vi(s) = error/입력 전달함수)
1 dk
k
k ! ds k
Ve ( s )
V ( s)
i s 0
• 다른 방법은 우선 error/입력 전달함수를 찾고
분자를 분모로 나누어 s 오름차순으로 정리 sk
의 계수가 εk임
40
• 0차 계수: steady-state step response error
– 1차 계수: ramp 입력에 대한 steady-state delay
– Error series는 임의의 입력신호에 대하여 error를 빨리
판단하게 함
• Step input에 대한 미분값은 존재하지 않는데 이땐
error series를 못쓰나?
– True
– But, 이러한 불연속성을 제거한 후의 시간으로 한정하
면 이 방법을 쓸 수 있음: 몇 개의 시정수를 기다리면 됨
• Distortion도 일종의 error Feedback이 Distortion
에 어떻게 영향을 주나?
– 어떤 요소 R로 2차 고조파 왜곡을 줄이기 위해서 얼마
나 많은 Feedback을 해야하나?
41
– 비선형 시스템을 additive distortion product로 인하여 망
가진 선형시스템으로 모델링
– Additive distortion을 2개의 고조파 왜곡으로 표시
vdisto vO [ D2 cos 2t D3 cos 3t ]
42
• 이 Feedback system은
vO
a
vO
1
,
vin 1 af vdisto 1 af
• Open-loop model
– Distortion product는 (1+af)만큼 줄어듦
– Distortion을 100 줄이려면, loop transmission > 99
43
14.11 Frequency- and Time-domain
Characteristics of First- and Second-Order
Systems
• Error series 외에 step response overshoot, settling
time 또는 frequency response peaking으로도
feedback system을 해석 가능
• 대부분의 feedback system은 최고 2차까지만으로
도 해석 가능 어떠한 안정적인 증폭기도
crossover 이하에서 2개 이하의 pole이 loop
transmission을 지배함
• 다음 식들은 모두 unit DC gain의 low-pass 가정
– 이 모든 걸 zero를 가진 system에 적용할 수는 없다.
44
14.11.1 Formulas for First-Order Low-pass
Systems
• System 전달함수
1
H ( s)
s 1
이면, 1차 low-pass system에서는,
tr = τln9 ≈ 2.2τ = 2.2/ωh : 10% to 90% risetime
Po = Mp = 1: step 및 주파수응답이 monotonic
tp = ∞: peak를 보기위해선 무한 wait
ts|2% ≈ 4τ: final value의 2%안에 들기 위한 시간
ε1 = τ: ramp input에 대한 steady-state delay
ωp = 0: 주파수 응답은 DC gain으로부터 단조감소
45
46
14.11.2 Formulas for Second-Order Low-pass
Systems
• 전달함수
s
2 s
H ( s) 2
1
n n
2
tr 2.2 2.2 / h , Po 1 e
ts |2% 4 env
4
1 2
1
Tosc
,tp
2
h 1 2
2
1
1
, 1
,MP
(
),
2
n
n
2
2 1
1
p n 1 (
),
2
2
1/2
h n 1 2 2 4 4
2
2
4
n 1/
2
47
14.12 Useful Rules of Thumb
• 지금까지는 phase margin을 명백히 포함하지 않음
– Phase margin과 damping ratio 사이에는 관계가 없으므
로 phase margin을 분명하게 하는 건 많은 제약이 따름
– 안정된 시스템은 crossover 근처에서 1차 또는 2차 시스
템으로 되어야 일반 시스템으로 확대 적용 가능
• 2-pole system with purely scalar feedback 가정
– 2개의 loop transmission pole이 넓게 떨어져 있다 가정
– 다음의 damping ratio와 phase margin (ϕm) 관계 유도
4({2 tan (90 m ) 1} 1)
2
2
1/4
– 다음의 식으로 근사화 m / 100
– Phase margin (ϕm) < 70o 15%안의 정확도
48
– 35o ~ 70o 10% 이상의 정확도: 우연히도 실제의 phase
margin target과 일치
– Step response overshoot
Po 1 e
m
1 2
104 m2
1 e
– Phase margin이 70o 이하에서 상당한 정확도
• Phase margin과 주파수 응답 peaking
1
Mp
sin m
– Phase margin이 55o 까지 정확도 1% 이내
49
14.13 Root-Locus Examples and
Compensation
• k>0
• General rule
–
–
–
–
실수축 segment를 정하고
점근각 및 이 점근선의 실수축 교점
Breakaway 또는 entry point 결정
Complex pole 또는 zero 근처의 초기각을 이용하여 그림
14.13.1 Ex: Purely Real Poles and Zeros that Stay
Real
• Real-axis rule
• 끝점은 zero
• 가장 왼쪽 pole -∞
50
14.13.2 Ex: Two poles that become complex
• 점근선 rule 점근선 ±90°, pole 사이 가운데에서
실수축과 만남
– Breakaway rule로 부터: pole은 실수축 중간에서 떠남
• 2-pole negative feedback system은 절대 BIBO
unstable이 될 수 없음, k가 증가할 수록 damping이
작아짐
– Pole이 복소수이면 실수부는 일정
– 반면 k가 증가하면 허수부는 증가 exponentially
decaying envelope안에서 더많은 발진이 일어남
• k가 증가해도 exponential envelope은 변하지 않으
므로 settling time은 변화없음.
– System이 덜 stable하다고 해서 settling time이 악화되지
는 않음
51
52
14.13.3 Ex: 2 poles and a zero
• 앞 시스템을 안정화시키기 위해 zero 추가 고려
– 안정성 개선을 zero에 의한 positive phase의 결과로 간주
– Zero는 pole의 attractor 적당히 위치시킨 zero는 허수
축으로부터 pole을 휘게 하고 더 damping 시킴
53
• Real-axis rule, breakaway/entry rule 및 점근선 rule
적용
14.13.4 Ex: Systems that go unstable
54
• Real-axis, asymptote, and intercept rule 사용
– 점근선은 180°, ±60°
14.13.5 Ex: Locus with complex poles in L(s)
• Real-axis, asymptote, and intercept rule
• 점근선은 발진을 일으키는
이득의 값 및 발진 주파수를
계산하는 데 사용
55
14.13.6 Ex: Locus with right-half plane zero
in L(s)
• k가 증가하면, pole은 더 높은 주파수로 이동, 어떤
이득에서 pole이 -∞에서 ∞로 이동하면서 시스템
이 unstable.
– Gain이 더 증가하면 pole은 zero로 접근
56
14.13.7 Ex: Conditionally stable system
• 어떤 gain 영역 아래위에서 시스템이 unstable
조건부 stable system
57
• k의 어떤 영역에서만 unstable
• 일정한 가속도를 가지는 입력을 추적하는데 있어
서 작은 steady-state error를 만드는 시스템을 만들
때 나타남
– Crossover 주파수가 너무 낮으면, zero의 positive phase
shift는 효과 없음 unstable
– Gain이 어떤 값 이상으로 증가하면, crossover 주파수는
충분히 커서 zero가 유효하게 되고 시스템은 stable하게
됨.
58
14.14 Root-Locus Technique의 요약
• a(s)g(s)의 위상이 180º의 홀수배이고 크기가 1인
경우에만 s가 closed-loop의 pole임
• Root locus는 단지 closed-loop pole이 어디있는지
만 말해줌
– Locus를 그리는 데 pole과 zero를 사용하므로 이 진실을
잃어버리기 쉬움
– Loop transmission zero가 반드시 closed-loop zero와 같을
필요는 없음
– Closed loop zero를 찾고 싶으면 a(s)의 zero와 f(s)의
uncancelled pole을 찾아야 함
59
14.16 Compensation through gain reduction
• 주파수가 증가함에따라 uncompensated system의
loop transmission이 증가하는 (-) 위상천이가 발생
한다면 (pole이 있으므로), 안정도는 위상천이가
덜 (-)이 되도록 crossover 주파수를 줄여서 개선할
수 있음
– 이를 위한 “low-tech” way는 모든 주파수에서 loop
transmission 크기를 줄임
– 위 방법은 위상에 영향을 안주므로 위상 margin 사양을
만족하는 attenuation factor를 계산하기는 쉬움
• Zero input current를 원하고 zero output impedance
를 가지는 op-amp 가정
107
G( s)
( s 1)(103 s 1)
60
• 이를 inverting amp에 연결 (이상적인 closed-loop
gain -99), R1/R2 = 99
5
R2
10
L( s )
G ( s ) 102 G ( s )
R1 R2
( s 1)(103 s 1)
• Phase margin 계산
– Crossover 주파수 계산
– Dominant pole at 1 rps, 2nd pole at 1 krps ωc ≈ 104 rps
61
• Pole at 1 rps -90° at 104 rps
2nd pole -90° at 104 rps
Pole 보다 Decade 큰 주파수 5.7° residual error
Phase margin이 zero가 아님
이 small phase margin overshoot in the step response,
large peaking in frequency response, and extreme
sensitivity to any additional negative phase shift
– 안정도 불만족
–
–
–
–
• Gain reduction으로 적어도 45°의 phase margin을
원했다고 가정, 어떻게 가능?
– Feedback 저항의 비율 수정
– R2를 작게하면 loop transmission 감소가능 그러나
closed-loop gain도 감소: 좋지 않음
62
• 해답은 저항을 추가: op-amp의 입력단자에
– Loop transmission의 관점에서는 R은 R2와 병렬
– Ideal closed-loop 전달함수의 관점에서는 R이 사라짐
– Ideal closed-loop 전달함수를 방해하지 않고 안정도의
변화를 만들수 있음
63
• 얼마나 큰 gain reduction이 필요한지 계산
– Phase margin goal이 45°이므로, -L(s)의 위상천이가 135°
가 되는 주파수를 찾아야
– 103 rps에서 1st pole은 -90°, 2nd pole은 -45°를 만들므로 새
로운 crossover frequency는 2nd pole 주파수가 되어야
• 새 crossover 주파수에서 uncompensated loop
transmission은
L( j103 )
105
106 1 2
70.7
loop transmission gain을 줄이기 위한 factor
64
• Old loop transmission
1
R1
R2
L( s )
G ( s ) 1 G ( s )
R1 R2
R2
• New loop transmission
1
R1
R2
R
L( s )
1 G ( s )
G( s)
R2 || R
R ( R1 || R2 ) R1 R2
– [ ]: compensator의 전달함수 C(s)
– C(s)가 1/70.7이 되어야
– R을 작게 해야: R ≈ R2/70.4
• Reduced-gain compensator는 모든 주파수에서 70.7
만큼 loop transmission 감소phase margin이 5.7°
45°
65
–
–
–
–
–
–
동시에 crossover 주파수는 104 rps 103 rps
Ideal closed-loop gain은 -99로 유지
Tradeoff는 대역폭과 Desensitivity의 감소
게다가 Desensitivity의 감소는 모든 주파수에서 일어남
반면 안정도는 crossover 근처에서 판단
그러므로, DC 및 저주파 desensitivity는 명백하게 이러
한 단순한 compensation 구조에 의하여 타협
66
14.17 Lag compensation
• 고주파에서만 loop transmission을 감쇄시켜서
crossover를 줄일 수 있다면 안정도를 개선시키면
서도 저주파 desensitivity를 유지할수 있을듯
– 이는 gain reduction 저항에 Capacitor를 추가하면 가능
• Capacitor는 보상저항이 DC 및 저주파에서 동작못
하게끔, 고주파에서는 Short로 됨
67
– 이를 Lag compensator
– 이와 같은 보상 network는 무한 op-amp gain에서 전압차
가 없으므로 ideal closed-loop 전달함수에 영향 없음
• Loop transmission
1
R1
L( s )
1 G ( s )
R2 || ( R 1 / sC )
sRC 1
G( s)
sC[ R(1 R1 / R2 ) R1 ] (1 R1 / R2 )
R2
sRC 1
G( s)
sC[ R ( R1 || R2 ) R1 ] 1 R1 R2
68
• {}: compensator의 전달함수
• DC에서 compensator 전달함수는 1이고, system은
uncompensated case처럼 동작
– 고주파에서는
R
C ( s)
R R1 || R2
– 1 zero 및 1 pole을 가짐
– f(pole) < f(zero)
– 피할 수 없는 side effect: pole에 의한 (-) 위상천이
• 중요한 설계 특징은 이러한 lagging 위상천이가
crossover 한참 아래에서 zero의 (+) 위상천이에 의
하여 상쇄
69
• 단순한 설계 절차는 주어진 phase margin을 얻기
위하여 Crossover 주파수를 충분히 낮추는 R을 찾
기 위한 reduced-gain compensator로 출발
– Phase margin을 목표보다 5-6° 크게
– 새롭게 원하는 crossover 보다 10배 아래에 zero를 투입
RC
10
c ,new
C
10
Rc ,new
– 이러한 zero는 (+) 위상천이가 최대값보다 5.7° 부족
– Pole은 -90° 위상천이
– 위상천이 목표는 5-6°크게 해야 함
• Pole과 zero는 둘 다 조정가능한 변수이므로
iteration이 완성되기를 요구할 수도
70
– 주어진 phase margin을 만드는 유일한 R,C는 없음
• Lag compensator는 reduced-gain compensator와 거
의 같은 crossover를 만들지만 저주파 loop
transmission은 그대로 유지
– Desensitivity를 악화시키지 않고 steady-state step
response error를 줄임
• 하나의 단점
– Crossover 한참 아래에 zero를 투입
– Ideal closed-loop 전달함수는 zero를 포함하지 않으므로
zero는 forward path로 부터 왔음
– Zero는 root locus의 종점: pole을 당김
– 이러한 closed-loop 저주파 zero에 근접하는 closed-loop
pole을 기대
71
– Pole이 network의 natural frequency이면 (damping = 0),
transient response에 대한 slow-settling component가 존재
– 문제는 불완전한 pole-zero cancellation의 효과를 고려
• 격리된 pole-zero doublet을 탐구해 보자
s 1
D( s)
s 1
– Initial- and final-value theorems
f ( ) lim sF ( s ), f (0) lim sF ( s )
s 0
s
– Doublet의 step response (1/s)의 initial value는 α, final
value는 1.
– 고주파 이득은 0이 아니므로, initial value는 not zero
72
• Compensating zero와 closed-loop pole에 의한
doublet에서
– Zero는 crossover 한참 아래에 있으므로, doublet의 pole
은 (1/대역폭)보다 한참 느린 시정수를 가짐
– Phase lag compensator를 사용하면 Fine accuracy에
settling이 되는 것이 loop bandwidth에 의한 것 보다 아주
느림
73
14.18 Lead compensation
• 지금까지 Crossover 주파수를 낮추기 위하여 Loop
transmission의 크기를 줄여서 phase margin을 개선
시켰음
– Tradeoff는 desensitivity의 손해 및 저주파 doublet의 가
능성
• 대안으로, 크기 대신 loop transmission의 위상 수정
– Phase margin을 개선하기 위하여 crossover 근처에서 (+)
또는 leading phase를 추가
74
• Ideal closed-loop 전달함수를 유지하지 않음
– 전체 closed-loop 행태는 reduced-gain 또는 lagcompensated system보다 더 가까이 ideal에 접근
– Capacitor의 추가가 loop transmission zero를 만듦
– Capacitor를 적절히 고르면 위상천이를 더 (+)로 만들고
이는 phase margin을 증가
• 하나의 위험 존재
– Zero는 (+) 위상천이 외에 크기를 증가하여 crossover를
밀어 올림
– Zero를 잘못 두면 crossover를 증가시켜 (-) 위상천이를
상쇄시키지 못할 수도 있음
– 결국 phase margin이 감소할 수 있음
75
• Lead-compensation system의 loop transmission
R2
L( s )
G( s)
R2 [ R1 || (1 / sC )]
R2 R1
R2
sR1C
G( s)
R2 sR1C 1 R1 / R2 R2 R1
– Loop transmission zero < pole: lag compensator와 반대
• Lead compensator의 설계는 꽤 많은 iteration 필요
– 합리적인 출발점은 uncompensated system의 crossover
주파수에 zero를 둔다
– Zero 위치를 바꾸고 최대값을 찾는다
– Phase margin spec이 맞으면 종료
76
• 자주 어떤 zero 위치에서는 phase margin spec을 못
맞출 수도 있음
– 이 경우에는 gain reduction과 lead compensation의 병합
으로
– 불행히도 2변수 (gain reduction, zero location)로 최적 값
을 찾는 것이 힘들 수도
• 필요한 gain reduction이 너무 크면, gain reduction
을 lag network로 변환
– Lead-lag compensator가 DC 및 고주파에서 최대의
desensitivity를 제공
• Lag compensator를 괴롭히는 doublet 문제에서 벗
어날 수 있을까?
77
• 첫번째 답: Lead zero는 crossover 근처 (한참 아래
가 아님)
– Closed-loop pole은 loop bandwidth에 해당하는 시정수를
가짐
– 어떠한 doublet “tail”도 risetime과 같은 시간에 settle out
– 모든 lead-compensated system에 적용
• 두번째 답: lead zero는 forward path에 안 나타남
– Feedback block이 zero를 제공해야
– Forward gain block은 zero를 가지지 않음
– Zero가 feedback 경로에 나타나므로, closed-loop 전달함
수에는 나타나지 않음 no closed-loop doublet
78
• Uncompensated system 보다 큰 대역폭 제공 및
doublet 문제에서 자유로움
– 대역폭은 power 를 필요로 하고, 때때로 Price is too high
– 이런 일은 특히 기계 시스템에서 매우 중요하고, 전력
요구사항이 대체로 (대역폭)3에 비례
– 크게, 산업 기계에서는 이러한 전력과 대역폭의 관계가
최소 대역폭을 더 좋아함
– 심지어 전자 시스템에서도 큰 대역폭을 항상 원하는 건
아님
– 잡음이 늘 존재하고 큰 대역폭은 추가 잡음을 의미
– 과잉 대역폭이 되면, SNR의 불필요한 악화가 될 수도
79
14.19 Slow Rolloff Compensation
• Pole의 위치를 모르거나 크게 변하면 loop
transmission에서 pole을 추가하는 것이 어려움
– 표준 보정 방법은 dominant pole (예,원점)을 포함하고
추가 pole이 phase margin을 악화
– 보정용 zero의 사용은 문제의 pole 위치를 어느 정도 알
때, 실용적임
– Pole 위치의 불확실성이 커서 추가 zero의 안정도를 위
협할 수도 있음
– 이 경우 slow rolloff 보정이 자주 valuable option
• Dominant pole 대신에 크기가 주파수의 제곱근에
따라 roll off되고 phase lag이 45°인 dominant halfpole을 가정
80
– 대역내 기생 pole은 기껏해야 90° lag을 만들고, 최악의
phase margin은 건강한 45°
• 물론 half-pole은 존재하지 않음
– Pole과 zero가 교번하는 것으로 근사화 가능
– 일정한 주파수 비 α로 pole과 zero가 교번하면, 평균
phase lag는 45°가 됨
– 평균으로부터 최고의 편차는 α의 함수
– α가 1에 가까울수록 phase ripple은 작아짐
– α가 2~100이면 최악의 phase margin은
max 36 22 log
– 최대 근사오차<3°
81
• 단점: 많은 수의 pole-zero pair에 의하여 step
response가 slow settling으로 고생
82