Transcript 2.1. 라플라스 변환과 전달함수

제 2장 운동과 제어
2.1 라플라스 변환과 전달
함수
17th 조영규
신입생 한상범
제 2장 운동과 제어

로봇의 움직임을 제어하는 방법
 로봇의
움직임 제어
 프로그래밍에의해
각 관절각도 의 목표치를 시계열 데
이터로서 주는 방법
ex) 서보 모터 제어
 교시(Teaching)로
방법
 티칭
각 관절 데이터의 목표치를 주는
플레이백(Teaching & Playback) 방식
 마스터 슬레이브(master-Slave) 방식
 조이스틱(joy-stick) 방식
제 2장 운동과 제어
티칭 플레이백(Teaching &
Playback) 방식
링크 : 마스터 슬레이브(masterSlave) 방식
조이스틱(joy-stick)
방식
제 2장 운동과 제어

2.1.1 라플라스 변환
 시간에
관한 함수 F(t)를 식에 처럼 적분함으로써 변
수 S에 관한 함수 F(s)로 변환하는 것을 라플라스 변
환이라고 한다
L[ f (t )]  F ( s ) 


f (t )e  st dt
0
 라플라스
변환(Laplace Transform)은 미분방정식을
간단히 푸는 도구
 제어공학에서는 시스템 특성을 파악 또는 기술(記
述)하는 데 널리 사용
2.1라플라스 변환과 전달함수
시간함수
 라플라스
 라플라스
라플라스 변환
라플라스 역변환
변환
역변환
S 함수
L[ f (t )]  F ( s ) 


f (t )e  st dt
0
f (t )  L1[ F (s)]
분포하고 F(s)가 값을 취하는 복소평면을 s-영역
(S-domain)이라 한다.
허수
 S가
s    j
실수
2.1라플라스 변환과 전달함수
 [예제
2.1]
F ( s)  L[a]  

0
 대표적인
L[e
 at
변환

]  e
 at
0
L[t ]  
n

0
 st
e
a
a  e  st dt  a[
]0 
s
s
1
1
( s  a ) t 
e dt  [
e
]0 
sa
sa
 st
1  st n  n  n 1  st
n!
t e dt  [ e t ]0   t e dt  n 1
s
s 0
s
n
 st


0
0
L[cos t ]   cos t  e  st dt  
et  e t  st
s
 e dt  2
2
s 2
2.1라플라스 변환과 전달함수

라플라스 변환 조견표
대표적인 함수의 라
플라스 변환
f (t )
F (s )
a
a
s
at
at n
ae  ct
asin wt
a cos wt
a
s2
an!
s n 1
a
sc
aw
2
s  w2
as
s 2  w2
대표적인 기능의 라
플라스 변환
f (t )
F (s )
df (t )
dt
sF (s )

F (s)
s
f (t ) dt
f (t  L)
F ( s)e Ls
f (t )e  ct
F ( s  c)
lim f (t )  lim sF (s)
lim f (t )  lim sF (s)
t 
s 0
t 0
s 
2.1라플라스 변환과 전달함수

2.1.2 전달함수
 어떤
요소(시스템)의 전달함수란 라플라스 변환 후
의 출력신호와 입력신호와의 비율
미지의함 출력 X(s)
수 G(s)
전달함수 G(s) =
(단, 모든 초
기값은 0)
X(s)/U(s)
입력 U(s)
2.1라플라스 변환과 전달함수

블록선도
 제어계
시스템 신호의 전달을 나타내는 기호 법
A(s)
B(s)
G(s)
B( s)  G ( s) A( s)
합산점
A1(s)
B1(s)
G1(s)
A2(s)
G2(s)

B(s)
B(s) G1(s) A1 (s) G2 (s) A2 (s)
B2(s)
2.1라플라스 변환과 전달함수

요소의 전달함수에 대한 블록 선도
 직렬결합
U(S)
G1(S)
Y(S)
 병렬결합
U(S)
G1(S)
G2(S)
 피드백
U(S)
결합
G(S)
H(S)
G2(S)
X(S)
U(S)
G1(S) G2(S)
X(S)
U(S)G1(S)
X(S)
U(S)
G1(S) +G2(S)
X(S)
U(S)G2(S)
X(S)
U(S)
G1(S)
1+G2(S)H(S)
X(S)
2.1라플라스 변환과 전달함수

미적분요소의 전달함수
 t영역에서
미분은 S영역에서의 S배
L [ f ' (t )]  sF ( s )  f (t  0)
 t영역에서
L [

0

적분은 S영역에서의 1/S배
1
f (t )dt ]  F ( s )  f (t  0)
s
복수의 요소로 이루어진 시스템의전달함수 G(s)
를 구하는 방법
 앞에서
소개한 결합들을 이용하여 구할수 있다
2.1라플라스 변환과 전달함수

라플라스 역변환과 그때의 주의사항
 주의사항
 서로
같지않음을 고려하자
X ( s)  U ( s)G ( s)
 라플라스
 ex)

x(t )  u (t ) g (t )
1
역변환은 부분 분수화를
이용한다
F (s) 
F(s)를 역변환하여 f(t)를 구하자. [( s  a) s]
1
x
y 1 1
1 1 at
F ( s) 

  (
 )  (e  1)
[( s  a) s] s  a s a s  a s
a
sx  y ( s  a)  1
x
만약 s가 a이면
1
1
y


만약 s가 0이면
a
a
2.1라플라스 변환과 전달함수

지연계
 전달함수
분모의 차수가 S의 n차식일 때 그 요소를
n차 지연계라고 한다
 모터는

1차 지연계의 특성을 갖는다
시정수 (T)
지연요소가 스텝입력을 받았을 때 처음의 추
종속도가 그대로 지속됐을 경우 최종 목표치와 일
치할 때까지의 시간을 나타내는 숫
 스텝입력을 받았을 때 목표치의 63.2%에 도달할
때까지의 시간
 1차
모터와 라플라스의 관계

2차 지연계의 반응특성
 2차
지연계의 일반식
2
G( s)  2
2
s  2s  

 은 점성계수라고 하며 이 값이
 큰 시스템일수록
감쇠성이 높다
 시스템에 스텝 입력U(s)=1/s이 투입되면
여러 방식으로 목표치에 수렴
에 따라
모터와 라플라스의 관계

2차 지연계의 반응 특성
 시간의
영역으로 라플라스 변환
t
x
(
t
)

1

e
(1  t )
1.   1



1
e  t

2.   1
x(t )  1 
3.   1
2

1


2

1
x(t )  1 
sin  1   t  tan


1  2

2 
e t
2
 1 e
2
 2 1t


    1 e




2
  2 1t

모터와 라플라스의 관계
3.   1
1.   1
2.   1
모터와 라플라스의 관계

모터의 전달함수가 1차 지연계로 되는 이유
 G ( s)  M
K
KM


J 0 s  D0 1  TM s
TM
j0
JL  JM /  2


D0 ( DA  DM /  )  K T KV /(R )
TM 
K0
KT

D0 R ( DA  DM /  )  K T KV
제 2장 운동과 제어
2.1 라플라스 변환과 전달
함수
이상으로 발표를 마치겠습니다.