Transcript 2. Boole 대수와 논리 게이트

2. Boole 대수와
논리 게이트
Boole 대수와 논리 게이트
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기본적인 정의
1. 폐쇄 : 집합 S의 모든 원소 쌍에 대하여 2진식 연산자가 집합 S의 한
원소로 대응된다면 집합 S는 폐쇄되어 있다고 함.
2. 결합법칙 : (x*y)*z=x*(y*z) 모든 x,y,z∈S 에 대해서
3. 교환법칙 : x*y=y*x 모든 x,y∈S 에 대해서
4. 단위원 : 모든 x∈S 에 대해서, e*x=x*e=x
ex) 자연수의 집합 I={…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}, x+0=0+x=x
5. 역원 : 집합 S가 단위원을 가질때
모든 x∈S , y∈S 에 대해 x*y=e
6. 분배법칙 : x*(y ∙ z)=(x*y) ∙ (x*z)
Boole 대수의 기본 이론과 성질
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쌍대성
- OR와 AND 연산자들을 교환해주고 1은 0으로, 0은 1로 교환
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연산자 우선 순위
1. 괄호
2. NOT
3. AND
4. OR
Boole 함수
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F1 = x + y'z
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F2 = x'y'z + x'yz +xy‘
= x'z(y'+y) + xy'
= x'z + xy'
Boole함수 – 대수적 조작
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Ex 2-1) 다음의 Boole 함수를 최소의 리터럴 수로 간략화하자.
1. x(x'+y) = xx' + xy = 0 + xy = xy.
2. x +x'y = (x+x')(x+y) = 1(x+y) = x + y.
3. (x+y)(x+y') = x + xy + xy' + yy' = x(1+y+y') = x.
4. xy + x'z + yz = xy + x'z + yz(x+x')
= xy + x'z + xyz + x'yz
= xy(1+z) + x'z(1+y)
= xy + x'z
5. (x+y)(x'+z)(y+z) = (x+y)(x'+z) : 함수 4의 쌍대성에 의함.
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(A + B + C)'= (A+x)'
B+C=x 로 놓으면
= A'x'
5(a)의 정리에 의함.
= A'(B+C)'
B+C=x 를 대입
= A'(B'C')
5(a)의 정리에 의함.
= A'B'C'
4(b)의 정리에 의함.
=> (A+B+C+D+…+F)' = A'B'C'D'…F'
(ABCD…F)' = A' +B'+ C' + D' + … + F'
Boole 함수 – 함수의 실수화
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Ex 2-2) 함수의 보수를 구하라.
F1=x'yz'+x'y'z, F2=x(y'z'+yz).
F1' = (x'yz'+x'y'z)' = (x'yz')'(x'y'z)' = (x+y'+z)(x+y+z')
F2' = [x(y'z'+yz)]' = x'+(y'z'+yz)' = x'+(y'z')'(yz)' = x'+(y+z)(y'+z')
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Ex 2-3) 쌍대성과 각 리터럴의 보수를 사용해서 예제 2-2의 함수 F1 과 F2 의
함수의 보수를 구하라.
1. F1 = x'yz' + x'y'z.
F1 의 쌍대는 (x'+y+z')(x'+y'+z)
각 리터럴을 보수화 : (x+y'+z)(x+y+z')=F1'
2. F2 = x(y'z'+yz).
F2 의 쌍대는 x+(y'+z')(y+z)이다.
각 리터럴을 보수화 : x'+(y+z)(y'+z')=F2'
정준과 표준 형식
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최소항과 최대항
정준과 표준형식
f1 = x'y'z+xy'z'+xyz = m1+m4+m7
f2 = x'yz+xy'z+xyz'+xyz = m3+m5+m6+m7
f1 = (x+y+z)(x+y'+z)(x'+y+z')(x'+y'+z)
= M0M2M3M5M6
f2 = (x+y+z)(x+y+z‘)(x+y'+z)(x'+y+z)
= M0M1M2M4
정준과 표준형식
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최소항의 합
Ex 2-4) Boole 함수 F=A+B'C 를 최소항의 합으로 나타내어라.
A = A(B+B') = AB +AB'
= AB(C+C') + AB'(C+C')
= ABC + ABC' + AB'C +AB'C'
B'C = B'C(A+A') = AB'C + A'B'C
F = A + B'C
= A' B'C + AB'C' + AB'C + ABC' + ABC
= m 1 + m4 + m 5 + m 6 + m7
= ∑(1, 4, 5, 6, 7)
정준과 표준형식
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최대항의 곱
Ex 2-5) Boole함수 F = xy + x'z 를 최대항의 곱 형태로 나타내라.
F = xy + x'z = (xy+x')(xy+z)
= (x+x')(y+x')(x+z)(y+z)
= (x'+y)(x+z)(y+z)
x' + y= x' + y + zz'= (x'+y+z)(x'+y+z')
x + z= x + z + yy'= (x+y+z)(x+y'+z)
y + z= y + z + xx'= (x+y+z)(x'+y+z)
F = (x+y+z)(x+y'+z)(x'+y+z)(x'+y+z')
= M0M2M4M5
F(x, y, z) = ∏(0, 2, 4, 5)
정준과 표준형식
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정준형식 사이의 변환
F(A, B, C) = ∑(1, 4, 5, 6, 7)
F' (A, B, C) = ∑(0, 2, 3) = m0 + m2 + m3
F = (m0+m2+m3)' = m0'm2'm3' = M0M2M3 = ∏(0, 2, 3) , mj' = Mj
Ex) F = xy + x'z
F(x, y, z) = ∑(1, 3, 6, 7)
F(x, y, z) = ∏(0, 2, 4, 5)
기타 논리 연산
정준과 표준형식
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표준형식
- 곱의 합 : F1 = y' +xy + x'yz'
- 합의 곱 : F2 = x(y'+z)(x'+y+z'+w)
- Ex) F3 = AB + C(D+E) = AB +CD + CE
디지털 논리 게이트
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다중 입력으로의 확장
- NAND와 NOR연산자는 결합법칙이
성립하지 않음.
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(x↓y)↓z≠x↓(y↓z)
(x↓y)↓z= [(x+y)'+z]'
= (x+y)z'= xz' + yz'
x↓(y↓z)= [x+(y+z)'] '
= x'(y+z)= x'y + x'z
x↓y↓z= (x+y+z)'
x↑y↑z= (xyz)'
F = [(ABC)'(DE)']' = ABC + DE
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- exclusive-OR
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양논리와 음논리