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제 6장
이산시간 시스템
1. 서론
이산시간 시스템
– 이산시간신호를 처리하기 위한 장치
– 이산시간 시스템의 구성
y(n) b1 y(n 1) a0 x(n)
여기서
(6-1)
a0 와 b1는 배율기(multiplier)이고,
D 는 지연요소(delay element)이다.
a0
b1
그림 6-1. 이산시간 시스템의 예
2/99
2. 차분방정식(difference equation)
이산시간 시스템의 차분방정식
M
N
b y (n k ) a x(n k ) 0
k 0
k
k 0
여기서 ak 와
k
(6-2)
bk 는 상수 또는 n의 함수이다.
– b0 0 일 때의 차분방정식
– 초기조건(initial condition)이 포함되어야 함
N
M
y (n) ak x(n k ) bk y (n k )
k 0
(6-3)
k 1
3/99
예제 6-1 이동평균(moving average)
– 차분방정식의 간단한 예로서 다음 식을 생각하자.
y(n) a0 x(n) a1x(n 1) a2 x(n 2)
(6-4)
• a0 a1 a2 1/ 3 인 경우,
y ( n)
1
x(n) x(n 1) x(n 2)
3
– 비순환형(non-recursive) 차분방정식
– n ≥ 0 일 경우 x(-1) 및 x(-2)의 값이 초기조건으로 필요
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예제 6-2 적분(integration)
y(n) b1 y(n 1) a0 x(n) a1x(n 1)
(6-5)
• b1 1, a0 a1 1/ 2 인 경우, 사다리꼴 법칙(trapezoidal rule)이 적용됨
y (n) y (n 1)
1
x(n) x(n 1)
2
(6-6)
– n ≥ 0 일 경우 x(-1) 및 y(-1)의 값이 초기조건으로 필요
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3. 선형 시불변 이산시간 시스템
이산시간 시스템의 분류
– 비선형, 시불변(time-invariant), 시변(time-varying) 시스템
이산시간 시스템의 입력열과 출력열의 관계
– 상승적분 합
y ( n)
h( k ) x ( n k )
(6-7)
k
여기서 h(n) 은 시스템의 임펄스 응답이다.
그림 6-2. 이산시간 시스템의 기능적 관계
6/99
– 선형시스템을 위한 조건
• 이산시간 시스템이 중첩(superposition)의 성질을 나타냄
a1x1 (n) a2 x2 (n) a1 y1 (n) a2 y2 (n)
(6-8)
– 시불변 시스템을 위한 조건
• 이산시간시스템의 출력이 입력이 적용된 시간에 독립적
x ( n) y ( n )
x(n k ) y (n k )
(6-9)
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선형 시스템과 비선형 시스템
– 선형차분방정식으로 묘사되는 시스템은 선형시스템으로 적용
y(n) ak x(n k ) y(1)
(6-10)
k 0
– 비선형 시스템의 예
y(n) ak x(n k ) y 2 (1)
(6-11)
k 0
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이산시간 시스템의 형태와 전달함수
– 이산시간 시스템의 차분 방정식
N
M
y (n) ak x(n k ) bk y (n k )
k 0
(6-12)
k 1
– z-변환 후의 차분 방정식
N
M
Y ( z ) ak z X ( z ) bk z kY ( z )
k 0
k
(6-13)
k 1
9/99
– 전달함수의 유추
N
H ( z)
Y ( z)
X ( z)
a z
k 0
M
k
k
(6-14)
1 bk z k
k 0
• bk가 0일 경우
N
y(n) ak x(n k )
k 0
N
Y ( z)
H ( z)
ak z k
X ( z ) k 0
여기서
(6-15)
(6-16)
ak 는 임펄스 응답(impulse response)를 나타내고, h(k ) 로 표시한다
– 임펄스 응답에 따른 시스템 응답의 분류
• h(k)가 유한한 LTI 시스템을 유한 임펄스 응답 (finite impulse
response; FIR)이라 정의
• 분모의 계수가 적어도 한 개는 0이 아닌 경우 무한 임펄스 응답
(infinite impulse response; IIR)라 정의
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– 이산 시간 시스템의 임펄스 응답
• H(z)를 역 z 변환하여 획득
h(k ) 1 H ( z) , k 0,1, 2,
• H(z)가 멱급수로 표현된다면,
H ( z ) h(n) z k
(6-17)
n 0
=h(0) h(1) z 1 h(2) z 2
– z의 계수가 임펄스 응답임
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• 시스템에서의 임펄스 응답
– 임펄스 응답은 단위 임펄스(unit inpulse)에 대한 이산 시간 시스템 응
답으로 여겨짐
– 즉, x(n) (n) 일 때,
y ( n) h( k ) x ( n k )
k 0
= h(k ) (n k )
k 0
=h(0) (n) h(1) (n 1) h(2) (n 2)
=h(n),
n 0,1, 2,
(6-19)
12/99
예제 6-3
– 다음의 전달함수 H(z) 로부터 이산시간 필터의 임펄스 응답을
찾아라.
1 z 1
H ( z)
1 0.5 z 1
• 멱급수 방법을 사용한 임펄스 응답
H ( z) 1 1.5z 1 0.75z 2 0.375z 3
h(0) 1, h(1) 1.5, h(2) 0.75, h(3) 0.375,
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• 차분 방정식을 사용한 임펄스 응답
Y ( z) 0.5z 1Y ( z) X ( z) z 1 X ( z)
y(n) 0.5 y(n 1) x(n) x(n 1)
y(n) x(n) x(n 1) 0.5 y(n 1)
– 임펄스 응답을 x(n) (n) 로 두고, 초기조건은 y(-1)=0로 둠
1 n 0
0 n 0
(n)
y(0) 1
y(1) x(1) x(0) 0.5 y(0) 0 1 0.5 1.5
y(2) x(2) x(1) 0.5 y(1) 0.5 (1.5) 0.75
y(3) x(3) x(2) 0.5 y(2) 0.5 0.75 0.375
– 임펄스 응답
h(0) 1, h(1) 1.5, h(2) 0.75, h(3) 0.375,
14/99
예제 6-4
– 식 (6-1)의 필터를 다시 생각해 보자. 이 필터의 전달함수와 임
펄스 응답을 구하라.
• (6-1)의 z 변환과 그에 따른 정리
Y ( z) b1[ z 1Y ( z) y(1)] a0 X ( z)
Y ( z)(1 b1z 1 ) a0 X ( z) b1 y(1)
Y ( z)
a0 X ( z ) (b1 ) y(1)
1 b1 z 1
1 b1 z 1
(6-20)
• 역 z 변환
n
y(n) a0 (b1 )nk x(k ) (b1 )n 1 y(1)
k 0
(6-21)
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• 초기 조건이 y(-1) 이 0일 경우,
Y ( z)
a0 X ( z )
1 b1 z 1
(6-22)
• 디지털 필터의 전달함수 H ( z ) Y ( z ) / X ( z )
a0
1 b1 z 1
(6-23)
h(n) a0 (b1 )n
(6-24)
H ( z)
• 역 z 변환
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안정도(stability)
– 안정도 척도
• 모든 제한된 입력은 모든 제한된 출력을 낸다 (bounded input,
bounded output; BIBO)
h[k ]
(6-25)
k
여기서 h(k ) 는 시스템의 임펄스 응답이다.
• 증명
– x(n)가 유한일 때 모든 n에 대해 |x(n)|<Bx를 만족하는 +∞가 아닌 양수
Bx가 존재함으로 다음의 수식 성립
y(n)
h(k ) x(n k ) h(k )
k
x (n k )
(6-26)
k
17/99
– x(n)이 유한(bounded)하기 때문에,
x(n) Bx
– 수식 (6-26)의 정리
y(n) Bx
h( k )
(6-27)
k
– y(n)이 유한(bounded)하기 위한 필요충분조건(necessary and sufficient
condition)은 다음의 수식과 같음
h( k )
k
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– 안정도 판별법
• z 변환 H(z)가 인수분해 형태가 불가능한 경우
– 연속 데이터 시스템에서 루스-허위츠(Routh-Hurwitz) 판별법은 안정
도 경제 조건이 다르기 때문에 z 평면에서 적용 불가능
– 주리(Jury)의 안정도 판별법과 이를 표로 만든 레이블(Raible)의 안정
도 판별법 적용가능
• 레이블의 안정도 판별법
– 일반적인 전달함수 H ( z ) N ( z ) / D( z )
D( z) an z n an1z n1
여기서 a0 , a1 ,
a2 z 2 a1z a0 0
(6-28)
, an은 실수 계수이며, an 은 양수이다.
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• 레이블 안정도 판별법을 위한 테이블(tabulation)
– 첫 번째 열의 요소는 단위 원 안과 밖의 근의 개수
» 양의 요소는 단위 원 내의 근의 개수
» 음의 요소는 단위 원 밖의 근의 개수
표 6-1. 안정도 판별을 위한 레이블의 표(Raible's tabulation)
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– 특이(singular) 경우
» 첫 번째 열의 일부 혹은 모든 요소가 0 일 때, 테이블이 바로 끝
나는 경우
» 단위 원을 무한소로 확장 또는 수축하여 이를 해결
» z를 다음과 같이 치환
z (1 ) z
(6-29)
여기서 은 아주 작은 실수이다.
» n차일 경우,
(1 )n z n (1 n ) z n
(6-30)
21/99
예제 6-5
– 다음의 디지털 시스템의 특성 방정식의 안정도를 판별하라.
D( z) z 2 z 0.25 0
• 레이블 테이블 적용
• 첫 번째 열의 계수 b0와 c0가 모두 양수 임으로 두 근이 단위 원 내
부에 존재
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예제 6-6
– 다음의 디지털 시스템의 특성 방정식의 안정도를 판별하라.
D( z) z3 3.3z 2 3z 0.8 0
(6-31)
• z = -0.5, -0.8, -2,0에서 근을 가짐
• 레이블 테이블의 적용
• 특이의 경우 임으로 아래와 같이 정리
D((1 ) z) (1 3 ) z3 3.3(1 2 ) z 2 3(1 ) z 0.8 0
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• 레이블 테이블의 적용
– 아래의 관계에서 가 양수이든 음수이든 첫 번째 열에서 음수 값을
가지는 요소가 하나 있기 때문에 단위 원 밖에 근이 하나 존재 하며
단위 원 위에는 근이 없음
0 : b0 0, c0 0, d0 0
0 : b0 0, c0 0, d0 0
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예제 6-7
– 다음의 디지털 시스템의 특성 방정식의 안정도를 판별하라.
D( z) z3 z 2 z 1 0
(6-32)
• 식 (6-27)과 식 (6-28)을 이용하여 아래의 식으로 변환
D[(1 ) z] (1 3 ) z3 (1 2 ) z 2 (1 ) z 1 0
• 2 이상의 항을 무시하여 레이블 테이블 적용
– 모두 0일 때 양의 값을 가지며, 0일 때 음의 값을 가짐으로
세 개의 근은 단위 원 위에 존재함
z 1, z j, z j
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4. 극점-영점의 도시
시스템 전달함수의 극점과 영점 표현
– N=M 이며, H(z)가 z = p1, p2,…,pN에서 극점을 가지고, z = z1,
z2,…, zN에서 영점을 가질 때,
Y ( z)
X ( z)
K ( z z1 )( z z2 ) ( z z N )
=
( z p1 )( z p2 ) ( z p N )
H ( z)
a0 z N a1 z N 1 a2 z N 2 a N
=
b0 z N b1 z N b2 z N 2 bN
(6-33)
여기서 K 는 이득 인수이다.
– H(z)의 극점과 영점은 실수 혹은 복소수이며, 복소수는 항상 켤
레 복소수 쌍(complex conjugate pair)로 존재
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– 극점 z = 0.5 ± j0.5와 z = 0.75를 가지고 z = -1에서 영점을 가지
는 H(z)의 표현
H ( z)
K ( z 1)
( z 0.5 j 0.5)( z 0.5 j 0.5)( z 0.75)
• K는 |H(z)|의 최대값이 1로 정규화 되도록 구해져야 함
• 안정한 시스템은 모든 극점이 단위 원 (|z| = 1) 안에 있어야 함
그림 6-3. 변환에서의 극점과 영점의 표현
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예제 6-8
– 극점과 영점의 항으로 다음의 전달 함수를 표현하고, 극점-영
점을 도시하라.
1 z 1 2 z 2
H ( z)
1 1.75 z 1 1.25 z 2 0.375 z 3
• 양의 차수로 H(z)를 표현
H ( z)
( z 2)( z 1) z
( z 0.5 j 0.5)( z 0.5 j 0.5)( z 0.75)
• z = 0.5 ± j0.5와 z = 0.75에서 극점을 가지고, z = 2, z = -1과 z = 0에
서 영점을 가짐
그림 6-4. 예제 6-8의 극점과 영점
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예제 6-9
– 그림 6-5에 보여진 극점-영점 도시로부터 이산 시간 시스템의
전달 함수, H(z)를 결정하라.
K ( z j )( z j )
K ( z 2 1)
H ( z)
=
( z 0.5 j 0.5)( z 0.5 j 0.5) z 2 z 0.5
K (1 z 2 )
=
1 z 1 0.5 z 2
• 영점은 z = ± j에 있고, 극점은 z = 0.5 ± j0.5에 있음
• 여기서 K=0.2236
그림 6-5. 예제 6-9의 극점과 영점
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5. 주파수 응답
시스템의 주파수 응답
– 이산 필터의 설계에서 원하는 사양을 만족되는지 확인을 위해
필터 스펙트럼이 필요
– 직접 계산에 의한 방법과 기하학적 계산에 의한 방법이 사용
H ( z)
h( n) z n
n
=H (e
jT
)
z e jT
h( n) e
jnT
(6-34)
n
30/99
예제 6-10
– 다음의 이산시간 시스템의 주파수 응답특성을 구하라.
H ( z)
z 1
z 0.5
• 전달함수 H(z)에 z e jT 를 대입 후 오일러 공식 (Euler’s formular)
적용
e jT 1
jT
H (e ) jT
e 0.5
1 cos(T ) j sin(T )
=
cos(T ) 0.5 j sin(T )
• 0 를 대입
H (e j 0 ) 2 / 0.5 40
31/99
• s / 8 에서 T
j
H (e 4 )
s
8
T
4
이므로,
1 cos( / 4) j sin( / 4)
cos( / 4) 0.5 j sin( / 4)
=2.51 51.2
• 0 에서 s 까지의 모든 주파수에 대한 응답 계산 가능
• 편의상 s / 4, 3s / 8 과 s / 2 에서 계산을 하면
H (e
H (e
H (e
j
j
j
s
4
T
j
) H (e 2 )=1.26 71.6
3s
T
8
s
2
T
) H (e
j
3
4
)=0.55 82.1
) H (e j )=00
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jT
• H (e ) 은 샘플링 주파수의 반에 대하여 대칭이고, 위상 응답은
비대칭임
그림 6-6. 예제 6-10의 이산시간 시스템의 주파수 응답
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– 그래프 방법을 통한 주파수 응답의 계산
• 시스템은 z = -1과 z = 0.5에서 영점과 극점을 가짐
• z0에서 H(z)를 다시 표현
H (e j0T )
A j (1 2 )
e
B
• 진폭 및 위상 응답
H (e j0T )
A
B
H (e j0T ) 1 2
그림 6-7. 극점과 영점, 기하학적인 방법을 이용한 주파수 응답 평가
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6. 시스템 구현
이산 시간 시스템의 구현
– 실제 디지털 회로를 사용한 하드웨어 구현
– 일반적 컴퓨터 혹은 마이크로 프로세서를 위한 구현
일반적인 신호처리에서의 구현
그림 6-8. 이산시간 시스템 구현에서의 기본적인 기능들
(a) 단위지연, (b) 덧셈 또는 뺄셈기, (c) 상수 배율기, (d) 분기 연산, (e) 신호 배율기
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– 단위 지연 연산 (unit delay) (그림 6-8(a))
y(n) x(n 1)
(6-35)
– 덧셈기 또는 뺄셈기 (adder/subtractor) (그림 6-8(b))
w(n) x(n) y(n)
(6-36)
– 상수 배율기(constant multiplier) (그림 6-8(c))
y(n) Ax(n)
(6-37)
– 분기 (branching) (그림 6-8(d))
y1 (n) x(n)
y2 ( n ) x ( n )
(6-38)
– 신호 배율기 (signal multiplier) (그림 6-8(e))
w(n) x(n) y(n)
(6-39)
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직접 구현
– 기본적 구현 형태를 위한 일반적 전달함수
N
H ( z)
Y ( z)
X ( z)
a z
1
i
i 0
N
1 bi z 1
(6-40)
i 1
– 직접형 1(direct form 1)
• 일반적 전달함수의 차분 방정식
N
N
y(n) ai x(n i) bi y (n i )
i 0
(6-41)
i 1
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• 직접형 1의 구현
그림 6-9. 직접형 1의 구조
38/99
– 직접형 2(direct form 2) 혹은 정규형 (canonic form)
• 분자항과 분모항의 조합
H ( z)
N ( z)
D( z )
Y ( z) H ( z) X ( z)
N ( z) X ( z)
D( z )
(6-42)
• 새로운 변수 W ( z ) 를 사용한 정의
W ( z)
X ( z)
D( z )
Y ( z ) N ( z )W ( z )
(6-43)
(6-44)
• 수식 (6-43)과 (6-44)의 역변환
N
w(n) x(n) bi w(n i)
(6-45)
i 1
N
y(n) ai w(n i )
(6-46)
i 0
39/99
• 직접형 2의 구현
그림 6-10. 직접형 2의 구조
40/99
예제 6-11
– 아래의 전달함수로 표현되는 시스템에 대해 (a) 직접형 1과 (b)
직접형 2로 각각 구현하라.
3 3.6 z 1 0.6 z 2
H ( z)
1 0.1z 1 0.2 z 2
• 직접형 1 구현을 위한 차분 방정식 형태
y(n) 3x(n) 3.6x(n 1) 0.6 x(n 2) 0.1y(n 1) 0.2 y(n 2)
• 직접형 1의 구현
그림 6-11. 예제 6-11의 시스템 구조
(a) 직접형 1 구현, (b) 직접형 2 구현
41/99
• 직접형 2
w(n) x(n) 0.1w(n 1) 0.2w(n 2)
y(n) 3w(n) 3.6w(n 1) 0.6w(n 2)
• 직접형 2의 구현
그림 6-11. 예제 6-11의 시스템 구조
(a) 직접형 1 구현, (b) 직접형 2 구현
42/99
매개변수의 양자화 영향
– 일반적인 매개변수 양자화 오차 원인
(a) 입력 신호를 유한 개수의 이산 단계로 만드는 양자화
– 양자화 오차로써 입력 신호를 유한개의 이산 단계로 양자화에 의해
발생
(b) 시스템 내의 산술연산에서 반올림(rounding) 오차들의 누적
– 산술 연산 과정에서 반올림 오차의 누적에 기인
(c) 유한 개수의 비트(bit)로 표현되는 전달 함수의 계수 ai와 bi 의 양
자화
– 표본화 율이 전달함수의 주파수 범위에 비해 증가하거나 차분 방정
식의 차수가 증가하는 경우
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계수의 양자화 영향
– IIR 필터의 전달함수
N
Hi ( z)
a z
k 0
M
k
k
1 bk z 1
(6-47)
k 1
^
– 유한 비트수로 양자화 될 때, 양자화된 계수 a^k 와 bk 로 전환
N
Hˆ i ( z )
aˆ z
k 0
M
k
k
1 bˆk z 1
(6-48)
k 1
여기서 aˆk ak ak 이고, bˆk bk bk 이다.
44/99
– 계수 양자화 오차의 영향
• 디지털 필터의 전달함수
H ( z)
1
1 0.95 z 1
– 한 개의 근이 z = 0.95 안에 있음으로 안정
– 양자화 간격의 크기를 q = 0.125로 가정
– 계수 0.95는 0.875와 1 사이에 있음으로 1로 바뀌게 되며, 전달함수는
Hˆ ( z )
1
1 z 1
» 불안정한 시스템으로 바뀜
45/99
직렬 및 병렬 구현
– 복잡한 전달함수를 몇 개의 단순한 함수로 분해
• 제한된 계수의 정확도를 가져야 하는 특수 목적의 경우 전달 함수
의 차수가 늘어감에 따라 커지는 양자화 오차를 최소화
– 직렬형(cascade canonic form 또는 series from)의 분해
H ( z ) a0 H1 ( z ) H 2 ( z )
Hl ( z)
l
=a0 H i ( z )
(6-49)
i 0
• 대부분의 경우 일차 혹은 이차로 표현됨
– 일차의 형태
1 ai1 z 1
Hi ( z)
1 bi1 z 1
(6-50)
– 이차의 형태
1 ai1 z 1 ai 2 z 2
Hi ( z )
1 bi1 z 1 bi 2 z 2
(6-51)
46/99
• 직렬 구현의 일반적 배치와 직접형 2 구현을 사용한 구성
그림 6-12. 직렬 구현 형태
그림 6-13. 직렬 구현에서 각 전달함수의 구현
(a) 1차, (b) 2차 구현
47/99
– 병렬형 (parallel canonic form)의 분해
H ( z ) A H1 ( z ) H 2 ( z )
H r ( z)
r
=A H r ( z )
(6-52)
i 0
• 일차 형태
ai 0
1 bi1 z 1
(6-53)
ai 0 ai1 z 1
Hi ( z)
1 bi1 z 1 bi 2 z 2
(6-54)
Hi ( z)
• 이차 형태
48/99
• 병렬 구현의 일반적 배치와 직접형 2 구현을 사용한 구성
그림 6-14. 병렬 구현 형태
그림 6-15. 병렬 구현에서 각 전달함수의 구현
(a) 1차, (b) 2차 구현
49/99
예제 6-12
– 다음의 시스템을 (a) 직렬 구현 및 (b) 병렬 구현하라.
3 3.6 z 1 0.6 z 2
H ( z)
1 0.1z 1 0.2 z 2
• 직렬 구현에 있어 일차 식으로 분해한 구현
– 양의 차수 사용
3z 2 3.6 z 0.6
H ( z) 2
z 0.1z 0.2
– 인수 분해 적용
H ( z)
3( z 1)( z 2)
( z 0.5)( z 0.4)
– 그룹을 나눈 후 음의 차수로 변환
1 z 1
H1 ( z )
1 0.5 z 1
1 0.2 z 1
H 2 ( z)
1 0.4 z 1
50/99
– 직접형 구현의 전달함수와 분해된 전달함수의 비교
» 분모의 계수가 원래 분모의 계수인 -0.2보다 큼으로 직렬형 구조
에서 계수 양자화 오차가 작아짐으로 직렬형 혹은 병렬형으로
분해하여 시스템 구현하는 것이 계수의 부정확성에 덜 민감
H ( z ) H1 ( z ) H 2 ( z )
1 z 1 1 0.2 z 1
=
1 0.5 z 1 1 0.4 z 1
– 직렬형으로 구현
그림 6-16. 예제 6-12의 시스템 구현
(a) 직렬 구현, (b) 병렬 구현
51/99
• 병렬 구현
– 부분 분수 전개
A3
A
A2
H ( z)
3( z 1)( z 2)
1
z
z ( z 0.5)( z 0.4) z z 0.5 z 0.4
– 계수의 결정
A1 3, A2 1, A3 7
– 각 부분에 z를 곱하고 음의 차수로 변환
A 3
H1 ( z )
1
1 0.5 z 1
H 2 ( z)
7
1 0.4 z 1
52/99
– 병렬형 구현
그림 6-16. 예제 6-12의 시스템 구현
53/99
예제 6-13
– 전달 함수의 부분 인수 분해 형태가 다음과 같이 주어진다. 일
차와 이차항을 사용하여 직렬형으로 구현하라.
2( z 1)( z 2 1.4 z 1)
H ( z)
( z 0.5)( z 2 0.9 z 0.81)
• 영점은 z 1 134.43 에 위치하고 극점은 z 0.9 60 위치
• 분해는 2개의 이차 다항식을 가지는 2차 항과 2개의 일차 다항식
을 가지는 1차 항으로 그룹
1 z 1
H1 ( z )
1 0.5 z 1
1 1.4 z 1 z 2
H 2 ( z)
1 0.9 z 1 0.81z 2
54/99
• 직렬형으로의 구현
그림 6-17. 예제 6-13의 시스템 구현
55/99
예제 6-14
– 예제 6-13의 시스템을 병렬형으로 구현하라.
• 부분 분수 전개
H ( z)
2( z 1)( z 2 1.4 z 1)
z
z ( z 0.5)( z 2 0.9 z 0.81)
A z A4
A
A2
= 1
2 3
(6-55)
z z 0.5 z 0.9 z 0.81
• A1= - 4.94이고, A2=2.19 이다.
• A3와 A4에 대해 z의 비특이(nonsingular) 값을 선택하여 연립선형방
정식 구현
– z = 1과 z = -1을 사용하여 연립방정식 획득
A3 A4 3.17
A3 A4 6.26
• A3=4.72이고, A4=-1.55 이다.
56/99
• 식의 양변에 z를 곱하고 음의 차수로 재정리하면 다음의 수식 획득
A 4.94
H1 ( z )
2.19
1 0.5 z 1
4.72 1.55 z 1
H 2 ( z)
1 0.9 z 1 0.81z 2
그림 6-18. 예제 6-14의 시스템 구현
57/99
FIR 시스템 구현
– 직접형 구현
• 영점만을 가짐으로 다음의 차분 방정식으로 나타남
N
y (n) ai x(n i )
(6-56)
i 1
• 탭 지연선 (tapped delay line) 구조 또는 횡단필터(transversal filter)
라 불림
• 각 탭에서 각 계수에 의해 신호가 가중되어 출력 획득
그림 6-19. FIR 시스템의 직접형 구현
58/99
– 직렬형 구현
• 다항식의 시스템 함수를 인수분해
N
H ( z ) h(n) z
n 0
n
Ns
(a0 k a1k z 1 a2 k z 2 )
(6-57)
k 1
여기서 Ns ( N 1) / 2 이다.
그림 6-20. FIR 시스템의 직렬형 구현
59/99
– 선형 위한 FIR 시스템 구조
• FIR 시스템의 임펄스 응답이 다음의 대칭성 조건 만족 시 선형 위
상 특성 가짐
h(n) h( N n)
h(n) h( N n)
n 0,1,
n 0,1,
, N , 또는
(6-58)
,N
(6-59)
• N이 짝수인 경우 유형 1 또는 유형 3 시스템의 표현
N
y ( n) h( n) x ( n k )
k 0
N /2 1
N
k 0
k N /2 1
h(k ) x(n k ) h( N / 2) x(n N / 2)
N /2 1
N /2 1
k 0
k 0
h( k ) x ( n k )
h(k ) x(n k ) h( N / 2) x(n N / 2) h( N k ) x(n N k )
60/99
– 유형 1 시스템의 경우, 식 (6-58)을 적용 후
y ( n)
N /2 1
h(k ) x(n k ) x(n N k ) h( N / 2) x(n N / 2)
(6-60)
k 0
– 유형 3 시스템의 경우, 식 (6-59)을 적용 후
y ( n)
N /21
h(k )( x(n k ) x(n N k ))
(6-61)
k 0
• N이 홀수인 경우
– 유형 3 시스템들의 표현
y ( n)
( N 1)/2
h(k )( x(n k ) x(n N k ))
(6-62)
k 0
– 유형 4 시스템들의 표현
y ( n)
( N 1)/2
k 0
h(k )( x(n k ) x(n N k ))
(6-63)
61/99
• 식 (6-60)에 대한 구조는 그림 6-21(a)에, 식 (6-62)에 대한 구조는
그림 6-21(b)에 표현
그림 6-21. 선형 위상 FIR 시스템의 직접형 구조
(a) N이 짝수일 때, (b) N 이 홀수일 때
62/99
격자 구현
– FIR 필터의 격자 구조
• FIR 시스템의 전달함수
H ( z) 1 a1z 1 a2 z 2
aN z N
(6-64)
• 입∙출력 형태의 차분 방정식 및 변환
y(n) x(n) a1x(n 1) a2 x(n 2)
aN x(n N )
(6-65)
N
y(n) x(n) xˆ (n) x(n) ak x(n k )
(6-66)
k 1
– FIR 필터의 출력이 신호 x(n) 과 xˆ (n) 사이의 오차로 해석되어, FIR 필
터를 선형 예측기(linear predictor)로 생각할 수 있음
63/99
• x(n) 의 선형 예측 값
N
xˆ (n) ak x(n k )
(6-67)
k 1
여기서 ak 는 예측 계수(prediction coefficient)이다.
• N=1 일 때, FIR 필터 출력
y(n) x(n) a1x(n 1)
(6-68)
– 출력은 1차 또는 1단 (single-stage)의 격자 필터(lattice filter)로부터 획
득
– FIR 필터에 대한 1단의 격자 구조
y(n) x(n) k1x(n 1)
g (n) k1 x(n) x(n 1)
여기서
(6-69)
k1 은 반사계수(reflection coefficient)라 불린다.
그림 6-22. 1단(single-stage)의 FIR 격자 구조
64/99
• N=2 일 때, 시스템 식과 구조
y2 (n) y1 (n) k2 g1 (n 1)
=x( n) k1 x( n 1) k2 k1 x(n 1) x( n 2)
=x( n) ( k1 k1k2 ) x(n 1) k 2 x(n 2)
g 2 (n) k2 y1 (n) g1 (n 1)
=k2 x( n) k1k2 x(n 1) k1 x(n 1) x(n 2)
=k2 x( n) (k1 k1k2 ) x(n 1) x(n 2)
(6-70)
그림 6-23. 2단(two-stage)의 FIR 격자 구조
65/99
• N=3 일 때, 시스템 식과 구조
y3 (n) x(n) (k1 k1k2 k2 k3 ) x(n 1)
+(k2 k1k3 k1k2 k3 ) x(n 2) k3 x(n 3)
g3 (n) k3 x(n) (k2 k1k3 k1k2 k3 ) x(n 1)
+(k1 k1k2 k2 k3 ) x(n 2) x(n 3)
(6-71)
– b1 k1 k1k2 k2k3 , b2 k2 k1k3 k1k2k3 , b3 k3 으로 대체
y3 (n) x(n) b1x(n 1) b2 x(n 2) b3 x(n 3)
g3 (n) b3 x(n) b2 x(n 1) b1x(n 2) x(n 3)
그림 6-24. 3단(three-stage) FIR 격자 구조
66/99
• N=M 일 때의 직렬 격자 구조
M
yM (n) bi x(n i )
i 0
M
g M (n) bM i x(n i )
여기서
b0 1 이다.
– 만약
i 0
(6-72)
(6-70)
x(n) (n)
M
YM ( z ) bi z i
i 0
M
GM ( z ) bM i z i
(6-73)
i 0
1
GM ( z ) z M YM ( )
z
그림 6-25. M 단의 FIR 격자 구조
(6-74)
67/99
예제 6-15
– 다항식이 아래와 같이 주어져 있을 때 (1)GM(z)를 구하고, (2) 계
수 k1과 k2를 구하고 격자 구조로 구현하라.
Y2 ( z) 1 0.9z 1 0.8z 2
(1) M=2일 때,
1
G2 ( z ) z 2Y2 ( )
z
=z 2 (1 0.9 z 0.8 z 2 )
=0.8 0.9 z 1 z 2
68/99
• (2) 필터이득 kM 은 그림 6-25와 식 (6-73)을 살펴보면 마지막 단의
이득은 계수 bM과 일치함으로
kM bM
(6-75)
– 따라서 k2 b2 0.8 가 되며,
k1 k1k2 b1
k1 0.8k1 0.9
– 됨으로
k1 0.5
– 격자 구조로 구현
그림 6-26. 예제 6-15의 2단 FIR 격자 구조
69/99
– 필터 계수의 계산
• 식 (6-75)로 부터
M
YM ( z ) bi z 1
(6-76)
i 0
• 임의의 m 번째 단에서
Ym ( z) Ym1 ( z) km z 1Gm1 ( z)
Gm ( z) kmYm1 ( z) z 1Gm1 ( z)
(6-77)
• 식 (6-77)의 두 번째 식을 Gm1 ( z) 에 대해 풀어 첫 번째 식에 대입
G ( z ) kmYm1 ( z )
Ym ( z ) Ym1 km z 1 m
z 1
(6-78)
70/99
• Ym-1(z)에서 km ≠ 1 에 대해
Ym1 ( z )
Ym ( z ) kmGm ( z )
,
2
1 km
km 1
(6-79)
• M = m 으로 두고 식 (6-79)에 대입
Ym ( z ) km z mYm (1/ z )
Ym1 ( z )
1 km2
(6-80)
71/99
예제 6-16
– 아래의 다항식으로부터 식 (6-80)을 사용하여 첫째 단의 필터
계수를 구하라.
Y2 ( z) 1 0.9z 1 0.8z 2
• k2 = 0.8을 적용
Y2 ( z ) k2 z 2Y2 (1/ z )
Y1 ( z )
1 k22
(1 0.9 z 1 0.8 z 2 ) 0.8 z 2 (1 0.9 z 0.8 z 2 )
=
1 (0.8)2
=1 0.5 z 1
• k1 = -0.5
72/99
– 필터 이득과 계수들을 얻는 식의 일반화
• 식 (6-73)의 표현
M
YM ( z ) bMi z i
(6-81)
i 0
• M = m 으로 대체
m
Ym ( z ) bmi z i
(6-82)
i 0
• z를 1/z로 대체
m
Ym (1/ z ) bmi z i
(6-83)
i 0
m
Ym (1/ z ) bm,mi z mi
(6-84)
i 0
73/99
• m = 3 에 대하여,
Y3 ( z) b30 b31z 1 b32 z 2 b33 z 3
Y3 (1/ z) b30 b31z b32 z 2 b33 z3
• 식 (6-80)에서
Ym ( z ) km z mYm (1/ z )
Ym1 ( z )
1 km2
• 식 (6-82)와 식 (6-83)을 대입
m
m 1
i
b
z
m1,i
b
i 0
mi
i
z km z
m
1 k
i 0
m
m
b
i 0
m , m i
2
m
m
i
b
z
k
b
z
mi
m m , m i
=
z m i
i
i 0
1 k
i 0
2
m
(6-85)
74/99
• 양변을 z-i로 나누어 정리
bm1,i
bmi kmbm,mi
1 k
2
m
,
i 0,1, , m 1
m M , M 1, , 2,1, km 1
(6-86)
– 계수의 표현
km bmm
75/99
예제 6-17
– 아래의 FIR 필터에 대하여 격자구조를 구현하고 계수를 구하
라.
Y3 ( z) 1 0.5z 1 0.2z 2 0.5z 3
• m=3일때
Y3 ( z) 1 b31z 1 b32 z 2 b33 z 3
• 식 (6-86)으로부터
k3 b33 0.5
• Y2(z)에 대한 계수를 계산하기 위하여 식 (6-86)으로부터
bm1,i
bmi kmbm,mi
1 k
2
m
,
76/99
• m = 3과 i = 0 일 때,
b30 k3b33
1 k32
b20
=
1 (0.5)(0.5)
1
1 (0.5) 2
• m = 3과 i = 1 일 때,
b21
=
b31 k3b32
1 (k3 )2
0.5 (0.5)(0.2)
0.8
1 (0.5)2
• m = 3과 i = 2 일 때,
b22
=
b32 k3b31
1 (k3 )2
0.2 (0.5)(0.5)
0.6
1 (0.5)2
77/99
• 식 (6-86)에서 k2 b22 임으로
Y2 ( z) 1 b21 z 1 b22 z 2
1 0.8z 1 0.6 z 2
• 첫 번째 단에서
b11
=
– 그러므로
b21 k2b21
1 ( k2 ) 2
0.8 (0.6)(0.8)
0.5
2
1 (0.6)
k1 b11 이고, Y1 ( z) 1 0.5z 1 이다.
그림 6-27. 예제 6-17의 3단 FIR 격자 구조
78/99
– IIR 필터의 격자구조
• 전극점(all-pole) 시스템에서 IIR 필터 고려
H ( z)
1
1
2
1 a1 z a2 z
aN z
(6-87)
N
• 차분 방정식
y(n) x(n) a1 y(n 1) a2 y(n 2)
aN y(n N )
(6-88)
– 식 (6-88)에서 입력과 출력 교환
x(n) y(n) a1x(n 1) a2 x(n 2)
aN x(n N )
(6-89)
N
y (n) x(n) ak x(n k )
(6-90)
k 1
– 시스템 함수 H(z) = A(z)를 가지는 FIR 시스템으로부터 입∙출력 역할
을 바꾸면, IIR 시스템 함수인 H(z)=1/A(z)를 획득됨을 알 수 있음
79/99
• N = 1인 경우
y(n) x(n) k1 y(n 1)
g (n) k1 x(n) y(n 1)
(6-91)
– 첫 번째 식은 1단 전극점 IIR 시스템
– 두 번째 식은 2단 FIR 시스템
그림 6-28. 1단의 전극점 IIR 격자구조
80/99
• N = 2인 경우
y(n) k1 (1 k2 ) y(n 1) k2 y(n 2) x(n)
g2 (n) k2 y(n) k1 (1 k2 ) y(n 1) y(n 2)
(6-92)
그림 6-29. 2단의 전극점 IIR 격자구조
81/99
• N 차인 경우
yN (n) x(n)
ym1 (n) ym (n) km gm1 (n 1), m N , N 1,
, 2,1
gm (n) km ym1 (n) gm1 (n 1), m N , N 1,
, 2,1
g0 (n) y(n)
(6-93)
그림 6-30. N단의 전극점 IIR 격자구조
82/99
• 일반적 시스템에서 IIR 시스템 함수 고려
M
H ( z)
b z
i 0
N
i
i
1 ai z 1
B( z )
A( z )
(6-94)
i 1
– 1/A(z)를 전극점 격자구조로 구현하고, B(z)를 선형결합하는 사다리
(ladder)부분을 추가하여 구현하며 이를 격자-사다리(lattice-ladder)구
조라 함
– M = N으로 가정
그림 6-31. 극점-영점 IIR 시스템의 격자-사다리 구조
83/99
– 격자-사다리 구조의 시스템 출력
M
y ( n) d m g m ( n)
m0
(6-95)
여기서 d m 은 시스템의 영점들을 결정하는 매개변수이다.
– 시스템의 전달함수 식
G ( z ) B( z )
Y ( z) M
H ( z)
= dm m
X ( z ) m0
X ( z ) A( z )
(6-96)
84/99
– 식 (6-94)와 식 (6-96)으로부터
Gm ( z ) M
G ( z ) G0 ( z )
B( z ) M
dm
= dm m
A( z ) m0
X ( z ) m0 G0 ( z ) X ( z )
M
= d mGm ( z )
m 0
여기서 Gm ( z )
1
A( z )
(6-97)
Gm ( z )
이다.
G0 ( z )
– 식 (6-97)로부터
M
B( z ) d mGm ( z )
m0
(6-98)
– 분자다항식 B(z)의 계수들은 사다리 매개변수 dm을 결정하고, 분모다
항식 A(z)의 계수들은 사다리 매개변수 km을 결정함
85/99
예제 6-18
– 다음의 전달함수를 가지는 IIR 시스템을 격자구조로 구현하라.
H ( z)
1
1 0.5 z 1 0.2 z 2 0.5 z 3
• 전극점 IIR 시스템이며, 반사계수는
k3 0.5, k2 0.6, k1 0.5
• 격자구조의 구현
그림 6-32. 예제 6-18의 전극점 IIR 시스템의 격자 구현
86/99
예제 6-19
– 다음의 전달함수를 가지는 IIR시스템을 격자구조로 구현하라.
1 z 1 z 2 z 3
H ( z)
1 0.5 z 1 0.2 z 2 0.5 z 3
• 전극점 격자구조이며, 각 결점(node)에서의 다항식은
G3 ( z ) 0.5 0.2 z 1 0.5 z 2 z 3
G2 ( z ) 0.6 0.8 z 1 z 2
G1 ( z ) 0.5 z 1
G0 ( z ) 1
• 격자 사다리 구조
그림 6-33. 예제 6-19의 IIR 시스템의 격자 구현
87/99
• 전영점 시스템을 선형조합하는 사다리 구성 블록에서의 관계
B( z ) 1 z 1 z 2 z 3
=d0G0 ( z ) d1G1 ( z ) d 2G2 ( z ) d3G3 ( z )
=d0 d1 (0.5 z 1 ) d 2 (0.6 0.8 z 1 z 2 )
+d3 (0.5 0.2 z 1 0.5 z 2 z 3 )
=(d0 0.5d1 0.6d 2 0.5d3 )
+(d1 0.8d 2 0.2d3 ) z 1 ( d 2 0.5d3 ) z 2 d3 z 3
• 계수의 비교
d0 0.5d1 0.6d 2 0.5d3 1
d1 0.8d 2 0.2d3 1
d 2 0.5d3 1
d3 1
• 계수의 결정
d3 1, d2 0.5, d1 0.4, d0 1
88/99
7. 디지털 필터에 관한 고찰
필터
– 원하는 방법으로 파형의 모양이나 주파수에 따른 신호의 진폭
또는 위상 특성을 선택적으로 변환하는 시스템
– 목적
• 잡음을 제거해서 신호의 질을 향상시키거나 신호들로부터 정보를
추출하거나 통신 채널을 효과적으로 사용하기 위해 복합 신호를
분리
디지털 필터
– 필터처리의 목적에 맞는 디지털 신호를 출력하기 위해 디지털
입력신호에 동작하는 하드웨어 또는 소프트웨어로 구현하는
수학적인 알고리즘
– 필터처리 알고리즘을 수행하는 특정한 하드웨어 또는 소프트
웨어 루틴을 지칭
89/99
– 아날로그 입출력에서 디지털 필터의 역할
• 아날로그 신호가 주기적으로 표본화되고, x(n), n=0,1, …의 디지털
표본들로 변환
• 디지털 프로세서는 필터처리 연산을 수행하며 x(n)을 y(n)으로 변
환
• 디지털-아날로그 변환기(DAC)는 디지털로 필터처리된 출력을 아
날로그 값으로 변환하며, 고주파 성분을 평활하게 하고 제거하기
위해 다음 단에서 아날로그 필터처리
그림 6-34. 아날로그 입∙출력 신호를 가지는 디지털 필터의 간단한 블록 다이어그램
90/99
디지털 필터의 역할
– 디지털 필터는 아날로그 필터로는 불가능한 선형 위상 응답
과 같은 특성을 가질 수 있다.
– 아날로그 필터와 다르게, 디지털 필터의 수행 능력은 온도 변
화와 같은 환경 변화에 크게 영향을 받지 않는다. 따라서 주
기적으로 보정을 할 필요가 없다.
– 만약 프로그램 가능한 프로세서를 이용한다면 디지털 필터의
주파수 응답을 자동으로 조절할 수 있다. 이것이 바로 디지털
필터가 적응필터(adaptive filter)에 광범위하게 사용되는이
유이기도 하다.
– 하나의 디지털 필터만으로 하드웨어의 복제 없이 여러 개의
입력 신호 또는 채널을 필터처리 할 수 있다.
91/99
– 필터 처리된 데이터와 그렇지 않은 데이터 모두 다음 사용을
위해 저장할 수 있다.
– VLSI 기술의 발전으로 소형화, 저전력 사용, 생산 단가가 절
감된 디지털 필터가 가능해졌다.
– 실제로 아날로그 필터로 가능한 정밀도는 한계가 있다. 예를
들어 일반 기성제품을 이용하여 설계된 능동필터(active
filter)는 최대로 약 60-70dB의 정지대역 감쇠만이 가능하다
. 하지만 디지털 필터는 오직 사용되는 단어 길이(word
length)에 의해서만 정밀도가 제한된다.
– 디지털 필터의 수행은 장치에서 장치로 반복할 수 있다.
– 디지털 필터는 의공학 분야에서 아날로그 필터로는 실행할
수 없는 매우 낮은 주파수에서도 사용할 수 있다. 또한 단순
히 표본화 주파수 변환만으로도 광범위한 주파수에서 사용할
수 있도록 만들 수 있다.
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아날로그 필터와 비교하여 디지털 필터의 단점들
– 속도 제한: 실시간으로 디지털 필터가 제어할 수 있는 신호의
최대 대역폭은 아날로그 필터보다 현저히 낮다. 실시간의 경
우, 아날로그-디지털-아날로그 변환 과정은 디지털 필터의
실행에 속도 제한을 일으킨다. ADC의 변환시간과 DAC의 정
착시간은 처리될 수 있는 최고 주파수를 제한한다. 더구나 디
지털 필터의 연산 속도는 사용되는 디지털 프로세서의 속도
와 필터처리 알고리즘에서 반드시 수행되어야 하는 산술 연
산의 수에 좌우된다.
– 유한 단어길이 효과: 디지털 필터는 연속신호의 양자화에 의
한 ADC 오차와 계산 과정에서발생하는 반올림(roundoff) 오
차에 종속적이다. 고차의 순환형 필터에 있어서 반올림 오차
의 누적은 시스템을 불안정하게 만들 수 있다.
– 긴 개발 시간: 특히 하드웨어 개발에 있어서, 디지털 필터의
설계 및 개발 시간은 아날로그필터에 비해 현저히 길다. 그러
나 한번 구현된 하드웨어나 소프트웨어는 수정이 거의 없이
도 다른 필터처리나 디지털 신호처리 연산에 사용할 수 있다.
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디지털 필터의 형태
– 상승적분(convolution)을 사용한 FIR 필터와 IIR 필터의 표현
• IIR 필터
y ( n) h( k ) x ( n k )
(6-99)
k 0
• FIR 필터
N 1
y ( n) h( k ) x ( n k )
(6-100)
k 0
• FIR에서 h(k)는 N개의 값만 가지므로 임펄스 응답은 유한하지만,
IIR에서는 임펄스 응답이 무한함
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• IIR 필터에 대한 순환 형태의 표현
N
M
y(n) h(k ) x(n k ) bk x(n k ) ak y (n k )
k 0
k 0
(6-101)
k 1
여기서 ak 와 bk 는 필터의 계수이다.
– 식 (6-100)과 식 (6-101)
• 각각 FIR 필터와 IIR 필터의 차분방정식(difference equation) 형태
• ak와 bk 값이 필터 설계에 있어 가장 중요
• 식 (6-101)의 출력 표본 y(n)은 궤환(feed back) 시스템으로 현재와
과거 입력 분 아니라 과거 출력의 함수
• FIR의 출력 표본 y(n)은 현재와 과거의 입력 값에 대한 함수
– ak를 0으로 하면 IIR 식인 (6-101)은 FIR식인 (6-102)와 동일하게 됨
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– FIR과 IIR에 대한 다른 표현
• 필터의 전달 함수로 필터의 주파수 응답을 평가하는데 유용
N 1
H ( z ) h( k ) z k
(6-102)
k 0
N
H ( z)
k
b
z
k
k 0
M
1 ak z k
(6-103)
k 1
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FIR 과 IIR 필터의 선택
– 두 필터의 상대적인 장점
• FIR 필터는 정확한 선형 위상 응답을 가질 수 있다. 이것은 필터에
의해 신호의 위상 왜곡이 발생하지 않는다는 것을 의미하며, 데이
터 전송이나 의공학, 디지털 음성처리, 디지털 영상처리 등의 많은
응용분야에 있어서 중요한 요구사항이다. IIR 필터의 경우, 위상
응답은 특히 대역의 가장자리 부근에서 비선형적이다.
• 식 (6-100)에서 바로 알 수 있듯이, 비순환형으로 구현된 FIR 필터
는 항상 안정적이다. IIR 필터의 안전성은 항상 보장되지 않는다.
• 필터를 구현하는데 반올림 오차와 계수 양자화 오차화 같은 유한
개수의 비트를 사용하게되는 영향은 FIR보다는 IIR에서 훨씬 더
크다.
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• 급격한 차단(cutoff) 필터에서, 즉 급격한 천이영역(transition
region)을 가지기 위해 FIR은 IIR 보다 많은 계수가 요구된다. 따라
서 주어진 진폭응답 사양에 대해, FIR은 보다 많은 수행 시간과 정
보량이 요구된다. 그러나 FFT의 계산 속도와 다중속도(multirate)
기술을 사용하면 FIR 구현의 효율을 향상시킬 수 있다.
• 아날로그 필터는 유사한 사양을 갖는 IIR 디지털 필터로 쉽게 바
꿀 수 있다. FIR 필터에서는 대응되는 아날로그 필터가 없다면 불
가능하다. 하지만 FIR에서는 임의의 주파수 응답을 가지는 필터
들을 합성하기는 훨씬 쉽다.
• 만약 CAD의 지원이 없다면, 일반적으론 FIR 필터를 합성하기가
산술적으로 더 어렵다.
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– FIR 필터와 IIR 필터에 대한 대략적인 지침
• 중요한 요구 사항이 단지 급격한 차단 필터와 높은 처리량 이라면
IIR을 사용한다. IIR 필터가 FIR 보다 적은 계수로도 가능하다.
• 만약 필터 계수의 수가 너무 크지 않거나, 특히 위상왜곡을 아주
작거나 영으로 원한다면 FIR을 사용한다.
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