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제 6장
이산시간 시스템
1. 서론

이산시간 시스템
– 이산시간신호를 처리하기 위한 장치
– 이산시간 시스템의 구성
y(n)  b1 y(n 1)  a0 x(n)
여기서
(6-1)
a0 와 b1는 배율기(multiplier)이고,
D 는 지연요소(delay element)이다.
a0
b1
그림 6-1. 이산시간 시스템의 예
2/99
2. 차분방정식(difference equation)

이산시간 시스템의 차분방정식
M
N
 b y (n  k )   a x(n  k )  0
k 0
k
k 0
여기서 ak 와
k
(6-2)
bk 는 상수 또는 n의 함수이다.
– b0  0 일 때의 차분방정식
– 초기조건(initial condition)이 포함되어야 함
N
M
y (n)   ak x(n  k )   bk y (n  k )
k 0
(6-3)
k 1
3/99

예제 6-1 이동평균(moving average)
– 차분방정식의 간단한 예로서 다음 식을 생각하자.
y(n)  a0 x(n)  a1x(n 1)  a2 x(n  2)
(6-4)
• a0  a1  a2  1/ 3 인 경우,
y ( n) 
1
 x(n)  x(n  1)  x(n  2)
3
– 비순환형(non-recursive) 차분방정식
– n ≥ 0 일 경우 x(-1) 및 x(-2)의 값이 초기조건으로 필요
4/99

예제 6-2 적분(integration)
y(n)  b1 y(n 1)  a0 x(n)  a1x(n 1)
(6-5)
• b1  1, a0  a1  1/ 2 인 경우, 사다리꼴 법칙(trapezoidal rule)이 적용됨
y (n)  y (n  1) 
1
 x(n)  x(n  1)
2
(6-6)
– n ≥ 0 일 경우 x(-1) 및 y(-1)의 값이 초기조건으로 필요
5/99
3. 선형 시불변 이산시간 시스템

이산시간 시스템의 분류
– 비선형, 시불변(time-invariant), 시변(time-varying) 시스템

이산시간 시스템의 입력열과 출력열의 관계
– 상승적분 합
y ( n) 

 h( k ) x ( n  k )
(6-7)
k 
여기서 h(n) 은 시스템의 임펄스 응답이다.
그림 6-2. 이산시간 시스템의 기능적 관계
6/99
– 선형시스템을 위한 조건
• 이산시간 시스템이 중첩(superposition)의 성질을 나타냄
a1x1 (n)  a2 x2 (n)  a1 y1 (n)  a2 y2 (n)
(6-8)
– 시불변 시스템을 위한 조건
• 이산시간시스템의 출력이 입력이 적용된 시간에 독립적
x ( n)  y ( n )
x(n  k )  y (n  k )
(6-9)
7/99

선형 시스템과 비선형 시스템
– 선형차분방정식으로 묘사되는 시스템은 선형시스템으로 적용

y(n)   ak x(n  k )  y(1)
(6-10)
k 0
– 비선형 시스템의 예

y(n)   ak x(n  k )  y 2 (1)
(6-11)
k 0
8/99

이산시간 시스템의 형태와 전달함수
– 이산시간 시스템의 차분 방정식
N
M
y (n)   ak x(n  k )   bk y (n  k )
k 0
(6-12)
k 1
– z-변환 후의 차분 방정식
N
M
Y ( z )   ak z X ( z )   bk z  kY ( z )
k 0
k
(6-13)
k 1
9/99
– 전달함수의 유추
N
H ( z) 
Y ( z)

X ( z)
a z
k 0
M
k
k
(6-14)
1   bk z  k
k 0
• bk가 0일 경우
N
y(n)   ak x(n  k )
k 0
N
Y ( z)
H ( z) 
  ak z  k
X ( z ) k 0
여기서
(6-15)
(6-16)
ak 는 임펄스 응답(impulse response)를 나타내고, h(k ) 로 표시한다
– 임펄스 응답에 따른 시스템 응답의 분류
• h(k)가 유한한 LTI 시스템을 유한 임펄스 응답 (finite impulse
response; FIR)이라 정의
• 분모의 계수가 적어도 한 개는 0이 아닌 경우 무한 임펄스 응답
(infinite impulse response; IIR)라 정의
10/99
– 이산 시간 시스템의 임펄스 응답
• H(z)를 역 z 변환하여 획득
h(k )  1  H ( z) , k  0,1, 2,
• H(z)가 멱급수로 표현된다면,

H ( z )   h(n) z  k
(6-17)
n 0
=h(0)  h(1) z 1  h(2) z 2 
– z의 계수가 임펄스 응답임
11/99
• 시스템에서의 임펄스 응답
– 임펄스 응답은 단위 임펄스(unit inpulse)에 대한 이산 시간 시스템 응
답으로 여겨짐
– 즉, x(n)   (n) 일 때,

y ( n)   h( k ) x ( n  k )
k 0

=  h(k ) (n  k )
k 0
=h(0) (n)  h(1) (n  1)  h(2) (n  2) 
=h(n),
n  0,1, 2,
(6-19)
12/99

예제 6-3
– 다음의 전달함수 H(z) 로부터 이산시간 필터의 임펄스 응답을
찾아라.
1  z 1
H ( z) 
1  0.5 z 1
• 멱급수 방법을 사용한 임펄스 응답
H ( z)  1 1.5z 1  0.75z 2  0.375z 3 
h(0)  1, h(1)  1.5, h(2)  0.75, h(3)  0.375,
13/99
• 차분 방정식을 사용한 임펄스 응답
Y ( z)  0.5z 1Y ( z)  X ( z)  z 1 X ( z)
y(n)  0.5 y(n 1)  x(n)  x(n 1)
y(n)  x(n)  x(n 1)  0.5 y(n  1)
– 임펄스 응답을 x(n)   (n) 로 두고, 초기조건은 y(-1)=0로 둠
1 n  0
0 n  0
 (n)  
y(0)  1
y(1)  x(1)  x(0)  0.5 y(0)  0  1  0.5  1.5
y(2)  x(2)  x(1)  0.5 y(1)  0.5  (1.5)  0.75
y(3)  x(3)  x(2)  0.5 y(2)  0.5  0.75  0.375
– 임펄스 응답
h(0)  1, h(1)  1.5, h(2)  0.75, h(3)  0.375,
14/99

예제 6-4
– 식 (6-1)의 필터를 다시 생각해 보자. 이 필터의 전달함수와 임
펄스 응답을 구하라.
• (6-1)의 z 변환과 그에 따른 정리
Y ( z)  b1[ z 1Y ( z)  y(1)]  a0 X ( z)
Y ( z)(1  b1z 1 )  a0 X ( z)  b1 y(1)
Y ( z) 
a0 X ( z ) (b1 ) y(1)

1  b1 z 1
1  b1 z 1
(6-20)
• 역 z 변환
n
y(n)  a0  (b1 )nk x(k )  (b1 )n 1 y(1)
k 0
(6-21)
15/99
• 초기 조건이 y(-1) 이 0일 경우,
Y ( z) 
a0 X ( z )
1  b1 z 1
(6-22)
• 디지털 필터의 전달함수 H ( z )  Y ( z ) / X ( z )
a0
1  b1 z 1
(6-23)
h(n)  a0 (b1 )n
(6-24)
H ( z) 
• 역 z 변환
16/99

안정도(stability)
– 안정도 척도
• 모든 제한된 입력은 모든 제한된 출력을 낸다 (bounded input,
bounded output; BIBO)


h[k ]  
(6-25)
k 
여기서 h(k ) 는 시스템의 임펄스 응답이다.
• 증명
– x(n)가 유한일 때 모든 n에 대해 |x(n)|<Bx를 만족하는 +∞가 아닌 양수
Bx가 존재함으로 다음의 수식 성립
y(n) 


 h(k ) x(n  k )   h(k )
k 
x (n  k )
(6-26)
k 
17/99
– x(n)이 유한(bounded)하기 때문에,
x(n)  Bx
– 수식 (6-26)의 정리
y(n)  Bx


h( k )
(6-27)
k 
– y(n)이 유한(bounded)하기 위한 필요충분조건(necessary and sufficient
condition)은 다음의 수식과 같음


h( k )  
k 
18/99
– 안정도 판별법
• z 변환 H(z)가 인수분해 형태가 불가능한 경우
– 연속 데이터 시스템에서 루스-허위츠(Routh-Hurwitz) 판별법은 안정
도 경제 조건이 다르기 때문에 z 평면에서 적용 불가능
– 주리(Jury)의 안정도 판별법과 이를 표로 만든 레이블(Raible)의 안정
도 판별법 적용가능
• 레이블의 안정도 판별법
– 일반적인 전달함수 H ( z )  N ( z ) / D( z )
D( z)  an z n  an1z n1 
여기서 a0 , a1 ,
 a2 z 2  a1z  a0  0
(6-28)
, an은 실수 계수이며, an 은 양수이다.
19/99
• 레이블 안정도 판별법을 위한 테이블(tabulation)
– 첫 번째 열의 요소는 단위 원 안과 밖의 근의 개수
» 양의 요소는 단위 원 내의 근의 개수
» 음의 요소는 단위 원 밖의 근의 개수
표 6-1. 안정도 판별을 위한 레이블의 표(Raible's tabulation)
20/99
– 특이(singular) 경우
» 첫 번째 열의 일부 혹은 모든 요소가 0 일 때, 테이블이 바로 끝
나는 경우
» 단위 원을 무한소로 확장 또는 수축하여 이를 해결
» z를 다음과 같이 치환
z  (1   ) z
(6-29)
여기서  은 아주 작은 실수이다.
» n차일 경우,
(1   )n z n  (1  n ) z n
(6-30)
21/99

예제 6-5
– 다음의 디지털 시스템의 특성 방정식의 안정도를 판별하라.
D( z)  z 2  z  0.25  0
• 레이블 테이블 적용
• 첫 번째 열의 계수 b0와 c0가 모두 양수 임으로 두 근이 단위 원 내
부에 존재
22/99

예제 6-6
– 다음의 디지털 시스템의 특성 방정식의 안정도를 판별하라.
D( z)  z3  3.3z 2  3z  0.8  0
(6-31)
• z = -0.5, -0.8, -2,0에서 근을 가짐
• 레이블 테이블의 적용
• 특이의 경우 임으로 아래와 같이 정리
D((1   ) z)  (1  3 ) z3  3.3(1  2 ) z 2  3(1   ) z  0.8  0
23/99
• 레이블 테이블의 적용
– 아래의 관계에서  가 양수이든 음수이든 첫 번째 열에서 음수 값을
가지는 요소가 하나 있기 때문에 단위 원 밖에 근이 하나 존재 하며
단위 원 위에는 근이 없음
  0 : b0  0, c0  0, d0  0
  0 : b0  0, c0  0, d0  0
24/99

예제 6-7
– 다음의 디지털 시스템의 특성 방정식의 안정도를 판별하라.
D( z)  z3  z 2  z  1  0
(6-32)
• 식 (6-27)과 식 (6-28)을 이용하여 아래의 식으로 변환
D[(1   ) z]  (1  3 ) z3  (1  2 ) z 2  (1   ) z 1  0
•  2 이상의 항을 무시하여 레이블 테이블 적용
– 모두   0일 때 양의 값을 가지며,   0일 때 음의 값을 가짐으로
세 개의 근은 단위 원 위에 존재함
z  1, z   j, z   j
25/99
4. 극점-영점의 도시

시스템 전달함수의 극점과 영점 표현
– N=M 이며, H(z)가 z = p1, p2,…,pN에서 극점을 가지고, z = z1,
z2,…, zN에서 영점을 가질 때,
Y ( z)
X ( z)
K ( z  z1 )( z  z2 ) ( z  z N )
=
( z  p1 )( z  p2 ) ( z  p N )
H ( z) 
a0 z N  a1 z N 1  a2 z N  2  a N
=
b0 z N  b1 z N  b2 z N  2  bN
(6-33)
여기서 K 는 이득 인수이다.
– H(z)의 극점과 영점은 실수 혹은 복소수이며, 복소수는 항상 켤
레 복소수 쌍(complex conjugate pair)로 존재
26/99
– 극점 z = 0.5 ± j0.5와 z = 0.75를 가지고 z = -1에서 영점을 가지
는 H(z)의 표현
H ( z) 
K ( z  1)
( z  0.5  j 0.5)( z  0.5  j 0.5)( z  0.75)
• K는 |H(z)|의 최대값이 1로 정규화 되도록 구해져야 함
• 안정한 시스템은 모든 극점이 단위 원 (|z| = 1) 안에 있어야 함
그림 6-3. 변환에서의 극점과 영점의 표현
27/99

예제 6-8
– 극점과 영점의 항으로 다음의 전달 함수를 표현하고, 극점-영
점을 도시하라.
1  z 1  2 z 2
H ( z) 
1  1.75 z 1  1.25 z 2  0.375 z 3
• 양의 차수로 H(z)를 표현
H ( z) 
( z  2)( z  1) z
( z  0.5  j 0.5)( z  0.5  j 0.5)( z  0.75)
• z = 0.5 ± j0.5와 z = 0.75에서 극점을 가지고, z = 2, z = -1과 z = 0에
서 영점을 가짐
그림 6-4. 예제 6-8의 극점과 영점
28/99

예제 6-9
– 그림 6-5에 보여진 극점-영점 도시로부터 이산 시간 시스템의
전달 함수, H(z)를 결정하라.
K ( z  j )( z  j )
K ( z 2  1)
H ( z) 
=
( z  0.5  j 0.5)( z  0.5  j 0.5) z 2  z  0.5
K (1  z 2 )
=
1  z 1  0.5 z 2
• 영점은 z = ± j에 있고, 극점은 z = 0.5 ± j0.5에 있음
• 여기서 K=0.2236
그림 6-5. 예제 6-9의 극점과 영점
29/99
5. 주파수 응답

시스템의 주파수 응답
– 이산 필터의 설계에서 원하는 사양을 만족되는지 확인을 위해
필터 스펙트럼이 필요
– 직접 계산에 의한 방법과 기하학적 계산에 의한 방법이 사용
H ( z) 


h( n) z  n
n 
=H (e
jT
)
z  e jT

 h( n) e
 jnT
(6-34)
n 
30/99

예제 6-10
– 다음의 이산시간 시스템의 주파수 응답특성을 구하라.
H ( z) 
z 1
z  0.5
• 전달함수 H(z)에 z  e jT 를 대입 후 오일러 공식 (Euler’s formular)
적용
e jT  1
jT
H (e )  jT
e  0.5
1  cos(T )  j sin(T )
=
cos(T )  0.5  j sin(T )
•   0 를 대입
H (e j 0 )  2 / 0.5  40
31/99
•   s / 8 에서 T 
j

H (e 4 ) 
s
8
T

4
이므로,
1  cos( / 4)  j sin( / 4)
cos( / 4)  0.5  j sin( / 4)
=2.51  51.2
•   0 에서   s 까지의 모든 주파수에 대한 응답 계산 가능
• 편의상   s / 4, 3s / 8 과 s / 2 에서 계산을 하면
H (e
H (e
H (e
j
j
j
s
4
T
j
)  H (e 2 )=1.26  71.6
3s
T
8
s
2
T

)  H (e
j
3
4
)=0.55  82.1
)  H (e j )=00
32/99
jT
• H (e ) 은 샘플링 주파수의 반에 대하여 대칭이고, 위상 응답은
비대칭임
그림 6-6. 예제 6-10의 이산시간 시스템의 주파수 응답
33/99
– 그래프 방법을 통한 주파수 응답의 계산
• 시스템은 z = -1과 z = 0.5에서 영점과 극점을 가짐
• z0에서 H(z)를 다시 표현
H (e j0T ) 
A j (1 2 )
e
B
• 진폭 및 위상 응답
H (e j0T ) 
A
B
H (e j0T )  1  2
그림 6-7. 극점과 영점, 기하학적인 방법을 이용한 주파수 응답 평가
34/99
6. 시스템 구현

이산 시간 시스템의 구현
– 실제 디지털 회로를 사용한 하드웨어 구현
– 일반적 컴퓨터 혹은 마이크로 프로세서를 위한 구현

일반적인 신호처리에서의 구현
그림 6-8. 이산시간 시스템 구현에서의 기본적인 기능들
(a) 단위지연, (b) 덧셈 또는 뺄셈기, (c) 상수 배율기, (d) 분기 연산, (e) 신호 배율기
35/99
– 단위 지연 연산 (unit delay) (그림 6-8(a))
y(n)  x(n  1)
(6-35)
– 덧셈기 또는 뺄셈기 (adder/subtractor) (그림 6-8(b))
w(n)  x(n)  y(n)
(6-36)
– 상수 배율기(constant multiplier) (그림 6-8(c))
y(n)  Ax(n)
(6-37)
– 분기 (branching) (그림 6-8(d))
y1 (n)  x(n)
y2 ( n )  x ( n )
(6-38)
– 신호 배율기 (signal multiplier) (그림 6-8(e))
w(n)  x(n) y(n)
(6-39)
36/99

직접 구현
– 기본적 구현 형태를 위한 일반적 전달함수
N
H ( z) 
Y ( z)

X ( z)
a z
1
i
i 0
N
1   bi z 1
(6-40)
i 1
– 직접형 1(direct form 1)
• 일반적 전달함수의 차분 방정식
N
N
y(n)   ai x(n  i)  bi y (n  i )
i 0
(6-41)
i 1
37/99
• 직접형 1의 구현
그림 6-9. 직접형 1의 구조
38/99
– 직접형 2(direct form 2) 혹은 정규형 (canonic form)
• 분자항과 분모항의 조합
H ( z) 
N ( z)
D( z )
Y ( z)  H ( z) X ( z) 
N ( z) X ( z)
D( z )
(6-42)
• 새로운 변수 W ( z ) 를 사용한 정의
W ( z) 
X ( z)
D( z )
Y ( z )  N ( z )W ( z )
(6-43)
(6-44)
• 수식 (6-43)과 (6-44)의 역변환
N
w(n)  x(n)   bi w(n  i)
(6-45)
i 1
N
y(n)   ai w(n  i )
(6-46)
i 0
39/99
• 직접형 2의 구현
그림 6-10. 직접형 2의 구조
40/99

예제 6-11
– 아래의 전달함수로 표현되는 시스템에 대해 (a) 직접형 1과 (b)
직접형 2로 각각 구현하라.
3  3.6 z 1  0.6 z 2
H ( z) 
1  0.1z 1  0.2 z 2
• 직접형 1 구현을 위한 차분 방정식 형태
y(n)  3x(n)  3.6x(n  1)  0.6 x(n  2)  0.1y(n  1)  0.2 y(n  2)
• 직접형 1의 구현
그림 6-11. 예제 6-11의 시스템 구조
(a) 직접형 1 구현, (b) 직접형 2 구현
41/99
• 직접형 2
w(n)  x(n)  0.1w(n 1)  0.2w(n  2)
y(n)  3w(n)  3.6w(n 1)  0.6w(n  2)
• 직접형 2의 구현
그림 6-11. 예제 6-11의 시스템 구조
(a) 직접형 1 구현, (b) 직접형 2 구현
42/99

매개변수의 양자화 영향
– 일반적인 매개변수 양자화 오차 원인
(a) 입력 신호를 유한 개수의 이산 단계로 만드는 양자화
– 양자화 오차로써 입력 신호를 유한개의 이산 단계로 양자화에 의해
발생
(b) 시스템 내의 산술연산에서 반올림(rounding) 오차들의 누적
– 산술 연산 과정에서 반올림 오차의 누적에 기인
(c) 유한 개수의 비트(bit)로 표현되는 전달 함수의 계수 ai와 bi 의 양
자화
– 표본화 율이 전달함수의 주파수 범위에 비해 증가하거나 차분 방정
식의 차수가 증가하는 경우
43/99

계수의 양자화 영향
– IIR 필터의 전달함수
N
Hi ( z) 
a z
k 0
M
k
k
1   bk z 1
(6-47)
k 1
^
– 유한 비트수로 양자화 될 때, 양자화된 계수 a^k 와 bk 로 전환
N
Hˆ i ( z ) 
 aˆ z
k 0
M
k
k
1   bˆk z 1
(6-48)
k 1
여기서 aˆk  ak  ak 이고, bˆk  bk  bk 이다.
44/99
– 계수 양자화 오차의 영향
• 디지털 필터의 전달함수
H ( z) 
1
1  0.95 z 1
– 한 개의 근이 z = 0.95 안에 있음으로 안정
– 양자화 간격의 크기를 q = 0.125로 가정
– 계수 0.95는 0.875와 1 사이에 있음으로 1로 바뀌게 되며, 전달함수는
Hˆ ( z ) 
1
1  z 1
» 불안정한 시스템으로 바뀜
45/99

직렬 및 병렬 구현
– 복잡한 전달함수를 몇 개의 단순한 함수로 분해
• 제한된 계수의 정확도를 가져야 하는 특수 목적의 경우 전달 함수
의 차수가 늘어감에 따라 커지는 양자화 오차를 최소화
– 직렬형(cascade canonic form 또는 series from)의 분해
H ( z )  a0 H1 ( z ) H 2 ( z )
Hl ( z)
l
=a0  H i ( z )
(6-49)
i 0
• 대부분의 경우 일차 혹은 이차로 표현됨
– 일차의 형태
1  ai1 z 1
Hi ( z) 
1  bi1 z 1
(6-50)
– 이차의 형태
1  ai1 z 1  ai 2 z 2
Hi ( z ) 
1  bi1 z 1  bi 2 z 2
(6-51)
46/99
• 직렬 구현의 일반적 배치와 직접형 2 구현을 사용한 구성
그림 6-12. 직렬 구현 형태
그림 6-13. 직렬 구현에서 각 전달함수의 구현
(a) 1차, (b) 2차 구현
47/99
– 병렬형 (parallel canonic form)의 분해
H ( z )  A  H1 ( z )  H 2 ( z ) 
 H r ( z)
r
=A   H r ( z )
(6-52)
i 0
• 일차 형태
ai 0
1  bi1 z 1
(6-53)
ai 0  ai1 z 1
Hi ( z) 
1  bi1 z 1  bi 2 z 2
(6-54)
Hi ( z) 
• 이차 형태
48/99
• 병렬 구현의 일반적 배치와 직접형 2 구현을 사용한 구성
그림 6-14. 병렬 구현 형태
그림 6-15. 병렬 구현에서 각 전달함수의 구현
(a) 1차, (b) 2차 구현
49/99

예제 6-12
– 다음의 시스템을 (a) 직렬 구현 및 (b) 병렬 구현하라.
3  3.6 z 1  0.6 z 2
H ( z) 
1  0.1z 1  0.2 z 2
• 직렬 구현에 있어 일차 식으로 분해한 구현
– 양의 차수 사용
3z 2  3.6 z  0.6
H ( z)  2
z  0.1z  0.2
– 인수 분해 적용
H ( z) 
3( z  1)( z  2)
( z  0.5)( z  0.4)
– 그룹을 나눈 후 음의 차수로 변환
1  z 1
H1 ( z ) 
1  0.5 z 1
1  0.2 z 1
H 2 ( z) 
1  0.4 z 1
50/99
– 직접형 구현의 전달함수와 분해된 전달함수의 비교
» 분모의 계수가 원래 분모의 계수인 -0.2보다 큼으로 직렬형 구조
에서 계수 양자화 오차가 작아짐으로 직렬형 혹은 병렬형으로
분해하여 시스템 구현하는 것이 계수의 부정확성에 덜 민감
H ( z )  H1 ( z ) H 2 ( z )
1  z 1 1  0.2 z 1
=
1  0.5 z 1 1  0.4 z 1
– 직렬형으로 구현
그림 6-16. 예제 6-12의 시스템 구현
(a) 직렬 구현, (b) 병렬 구현
51/99
• 병렬 구현
– 부분 분수 전개
A3
A
A2
H ( z)
3( z  1)( z  2)

 1

z
z ( z  0.5)( z  0.4) z z  0.5 z  0.4
– 계수의 결정
A1  3, A2  1, A3  7
– 각 부분에 z를 곱하고 음의 차수로 변환
A  3
H1 ( z ) 
1
1  0.5 z 1
H 2 ( z) 
7
1  0.4 z 1
52/99
– 병렬형 구현
그림 6-16. 예제 6-12의 시스템 구현
53/99

예제 6-13
– 전달 함수의 부분 인수 분해 형태가 다음과 같이 주어진다. 일
차와 이차항을 사용하여 직렬형으로 구현하라.
2( z  1)( z 2  1.4 z  1)
H ( z) 
( z  0.5)( z 2  0.9 z  0.81)
• 영점은 z  1  134.43 에 위치하고 극점은 z  0.9  60 위치
• 분해는 2개의 이차 다항식을 가지는 2차 항과 2개의 일차 다항식
을 가지는 1차 항으로 그룹
1  z 1
H1 ( z ) 
1  0.5 z 1
1  1.4 z 1  z 2
H 2 ( z) 
1  0.9 z 1  0.81z 2
54/99
• 직렬형으로의 구현
그림 6-17. 예제 6-13의 시스템 구현
55/99

예제 6-14
– 예제 6-13의 시스템을 병렬형으로 구현하라.
• 부분 분수 전개
H ( z)
2( z  1)( z 2  1.4 z  1)

z
z ( z  0.5)( z 2  0.9 z  0.81)
A z  A4
A
A2
= 1
 2 3
(6-55)
z z  0.5 z  0.9 z  0.81
• A1= - 4.94이고, A2=2.19 이다.
• A3와 A4에 대해 z의 비특이(nonsingular) 값을 선택하여 연립선형방
정식 구현
– z = 1과 z = -1을 사용하여 연립방정식 획득
A3  A4  3.17
 A3  A4  6.26
• A3=4.72이고, A4=-1.55 이다.
56/99
• 식의 양변에 z를 곱하고 음의 차수로 재정리하면 다음의 수식 획득
A  4.94
H1 ( z ) 
2.19
1  0.5 z 1
4.72  1.55 z 1
H 2 ( z) 
1  0.9 z 1  0.81z 2
그림 6-18. 예제 6-14의 시스템 구현
57/99

FIR 시스템 구현
– 직접형 구현
• 영점만을 가짐으로 다음의 차분 방정식으로 나타남
N
y (n)   ai x(n  i )
(6-56)
i 1
• 탭 지연선 (tapped delay line) 구조 또는 횡단필터(transversal filter)
라 불림
• 각 탭에서 각 계수에 의해 신호가 가중되어 출력 획득
그림 6-19. FIR 시스템의 직접형 구현
58/99
– 직렬형 구현
• 다항식의 시스템 함수를 인수분해
N
H ( z )   h(n) z
n 0
n
Ns
  (a0 k  a1k z 1  a2 k z 2 )
(6-57)
k 1
여기서 Ns  ( N  1) / 2 이다.
그림 6-20. FIR 시스템의 직렬형 구현
59/99
– 선형 위한 FIR 시스템 구조
• FIR 시스템의 임펄스 응답이 다음의 대칭성 조건 만족 시 선형 위
상 특성 가짐
h(n)  h( N  n)
h(n)  h( N  n)
n  0,1,
n  0,1,
, N , 또는
(6-58)
,N
(6-59)
• N이 짝수인 경우 유형 1 또는 유형 3 시스템의 표현
N
y ( n)   h( n) x ( n  k )
k 0


N /2 1
N
k 0
k  N /2 1
 h(k ) x(n  k )  h( N / 2) x(n  N / 2)  
N /2 1
N /2 1
k 0
k 0
h( k ) x ( n  k )
 h(k ) x(n  k )  h( N / 2) x(n  N / 2)   h( N  k ) x(n  N  k )
60/99
– 유형 1 시스템의 경우, 식 (6-58)을 적용 후
y ( n) 
N /2 1
 h(k ) x(n  k )  x(n  N  k )  h( N / 2) x(n  N / 2)
(6-60)
k 0
– 유형 3 시스템의 경우, 식 (6-59)을 적용 후
y ( n) 
N /21
 h(k )( x(n  k )  x(n  N  k ))
(6-61)
k 0
• N이 홀수인 경우
– 유형 3 시스템들의 표현
y ( n) 
( N 1)/2

h(k )( x(n  k )  x(n  N  k ))
(6-62)
k 0
– 유형 4 시스템들의 표현
y ( n) 
( N 1)/2

k 0
h(k )( x(n  k )  x(n  N  k ))
(6-63)
61/99
• 식 (6-60)에 대한 구조는 그림 6-21(a)에, 식 (6-62)에 대한 구조는
그림 6-21(b)에 표현
그림 6-21. 선형 위상 FIR 시스템의 직접형 구조
(a) N이 짝수일 때, (b) N 이 홀수일 때
62/99

격자 구현
– FIR 필터의 격자 구조
• FIR 시스템의 전달함수
H ( z)  1  a1z 1  a2 z 2 
 aN z  N
(6-64)
• 입∙출력 형태의 차분 방정식 및 변환
y(n)  x(n)  a1x(n 1)  a2 x(n  2) 
 aN x(n  N )
(6-65)
N
y(n)  x(n)  xˆ (n)  x(n)   ak x(n  k )
(6-66)
k 1
– FIR 필터의 출력이 신호 x(n) 과 xˆ (n) 사이의 오차로 해석되어, FIR 필
터를 선형 예측기(linear predictor)로 생각할 수 있음
63/99
• x(n) 의 선형 예측 값
N
xˆ (n)   ak x(n  k )
(6-67)
k 1
여기서 ak 는 예측 계수(prediction coefficient)이다.
• N=1 일 때, FIR 필터 출력
y(n)  x(n)  a1x(n 1)
(6-68)
– 출력은 1차 또는 1단 (single-stage)의 격자 필터(lattice filter)로부터 획
득
– FIR 필터에 대한 1단의 격자 구조
y(n)  x(n)  k1x(n 1)
g (n)  k1 x(n)  x(n 1)
여기서
(6-69)
k1 은 반사계수(reflection coefficient)라 불린다.
그림 6-22. 1단(single-stage)의 FIR 격자 구조
64/99
• N=2 일 때, 시스템 식과 구조
y2 (n)  y1 (n)  k2 g1 (n  1)
=x( n)  k1 x( n  1)  k2  k1 x(n  1)  x( n  2) 
=x( n)  ( k1  k1k2 ) x(n  1)  k 2 x(n  2)
g 2 (n)  k2 y1 (n)  g1 (n  1)
=k2 x( n)  k1k2 x(n  1)   k1 x(n  1)  x(n  2) 
=k2 x( n)  (k1  k1k2 ) x(n  1)  x(n  2)
(6-70)
그림 6-23. 2단(two-stage)의 FIR 격자 구조
65/99
• N=3 일 때, 시스템 식과 구조
y3 (n)  x(n)  (k1  k1k2  k2 k3 ) x(n  1)
+(k2  k1k3  k1k2 k3 ) x(n  2)  k3 x(n  3)
g3 (n)  k3 x(n)  (k2  k1k3  k1k2 k3 ) x(n  1)
+(k1  k1k2  k2 k3 ) x(n  2)  x(n  3)
(6-71)
– b1  k1  k1k2  k2k3 , b2  k2  k1k3  k1k2k3 , b3  k3 으로 대체
y3 (n)  x(n)  b1x(n 1)  b2 x(n  2)  b3 x(n  3)
g3 (n)  b3 x(n)  b2 x(n 1)  b1x(n  2)  x(n  3)
그림 6-24. 3단(three-stage) FIR 격자 구조
66/99
• N=M 일 때의 직렬 격자 구조
M
yM (n)   bi x(n  i )
i 0
M
g M (n)   bM i x(n  i )
여기서
b0  1 이다.
– 만약
i 0
(6-72)
(6-70)
x(n)   (n)
M
YM ( z )   bi z i
i 0
M
GM ( z )   bM i z i
(6-73)
i 0
1
GM ( z )  z  M YM ( )
z
그림 6-25. M 단의 FIR 격자 구조
(6-74)
67/99

예제 6-15
– 다항식이 아래와 같이 주어져 있을 때 (1)GM(z)를 구하고, (2) 계
수 k1과 k2를 구하고 격자 구조로 구현하라.
Y2 ( z)  1  0.9z 1  0.8z 2
(1) M=2일 때,
1
G2 ( z )  z 2Y2 ( )
z
=z 2 (1  0.9 z  0.8 z 2 )
=0.8  0.9 z 1  z 2
68/99
• (2) 필터이득 kM 은 그림 6-25와 식 (6-73)을 살펴보면 마지막 단의
이득은 계수 bM과 일치함으로
kM  bM
(6-75)
– 따라서 k2  b2  0.8 가 되며,
k1  k1k2  b1
k1  0.8k1  0.9
– 됨으로
k1  0.5
– 격자 구조로 구현
그림 6-26. 예제 6-15의 2단 FIR 격자 구조
69/99
– 필터 계수의 계산
• 식 (6-75)로 부터
M
YM ( z )   bi z 1
(6-76)
i 0
• 임의의 m 번째 단에서
Ym ( z)  Ym1 ( z)  km z 1Gm1 ( z)
Gm ( z)  kmYm1 ( z)  z 1Gm1 ( z)
(6-77)
• 식 (6-77)의 두 번째 식을 Gm1 ( z) 에 대해 풀어 첫 번째 식에 대입
 G ( z )  kmYm1 ( z ) 
Ym ( z )  Ym1  km z 1  m

z 1


(6-78)
70/99
• Ym-1(z)에서 km ≠ 1 에 대해
Ym1 ( z ) 
Ym ( z )  kmGm ( z )
,
2
1  km
km  1
(6-79)
• M = m 으로 두고 식 (6-79)에 대입
Ym ( z )  km z  mYm (1/ z )
Ym1 ( z ) 
1  km2
(6-80)
71/99

예제 6-16
– 아래의 다항식으로부터 식 (6-80)을 사용하여 첫째 단의 필터
계수를 구하라.
Y2 ( z)  1  0.9z 1  0.8z 2
• k2 = 0.8을 적용
Y2 ( z )  k2 z 2Y2 (1/ z )
Y1 ( z ) 
1  k22
(1  0.9 z 1  0.8 z 2 )  0.8 z 2 (1  0.9 z  0.8 z 2 )
=
1  (0.8)2
=1  0.5 z 1
• k1 = -0.5
72/99
– 필터 이득과 계수들을 얻는 식의 일반화
• 식 (6-73)의 표현
M
YM ( z )   bMi z i
(6-81)
i 0
• M = m 으로 대체
m
Ym ( z )   bmi z i
(6-82)
i 0
• z를 1/z로 대체
m
Ym (1/ z )   bmi z i
(6-83)
i 0
m
Ym (1/ z )   bm,mi z mi
(6-84)
i 0
73/99
• m = 3 에 대하여,
Y3 ( z)  b30  b31z 1  b32 z 2  b33 z 3
Y3 (1/ z)  b30  b31z  b32 z 2  b33 z3
• 식 (6-80)에서
Ym ( z )  km z  mYm (1/ z )
Ym1 ( z ) 
1  km2
• 식 (6-82)와 식 (6-83)을 대입
m
m 1
i
b
z
 m1,i 
b
i 0
mi
i
z  km z
m
1 k
i 0
m
m
b
i 0
m , m i
2
m
m
i
b
z

k
b
z
 mi
m  m , m i
=
z m i
i
i 0
1 k
i 0
2
m
(6-85)
74/99
• 양변을 z-i로 나누어 정리
bm1,i 
bmi  kmbm,mi
1 k
2
m
,
i  0,1, , m  1
m  M , M 1, , 2,1, km  1
(6-86)
– 계수의 표현
km  bmm
75/99

예제 6-17
– 아래의 FIR 필터에 대하여 격자구조를 구현하고 계수를 구하
라.
Y3 ( z)  1  0.5z 1  0.2z 2  0.5z 3
• m=3일때
Y3 ( z)  1  b31z 1  b32 z 2  b33 z 3
• 식 (6-86)으로부터
k3  b33  0.5
• Y2(z)에 대한 계수를 계산하기 위하여 식 (6-86)으로부터
bm1,i 
bmi  kmbm,mi
1 k
2
m
,
76/99
• m = 3과 i = 0 일 때,
b30  k3b33
1  k32
b20 
=
1  (0.5)(0.5)
1
1  (0.5) 2
• m = 3과 i = 1 일 때,
b21 
=
b31  k3b32
1  (k3 )2
0.5  (0.5)(0.2)
 0.8
1  (0.5)2
• m = 3과 i = 2 일 때,
b22 
=
b32  k3b31
1  (k3 )2
0.2  (0.5)(0.5)
 0.6
1  (0.5)2
77/99
• 식 (6-86)에서 k2  b22 임으로
Y2 ( z)  1  b21 z 1  b22 z 2
 1  0.8z 1  0.6 z 2
• 첫 번째 단에서
b11 
=
– 그러므로
b21  k2b21
1  ( k2 ) 2
0.8  (0.6)(0.8)
 0.5
2
1  (0.6)
k1  b11 이고, Y1 ( z)  1  0.5z 1 이다.
그림 6-27. 예제 6-17의 3단 FIR 격자 구조
78/99
– IIR 필터의 격자구조
• 전극점(all-pole) 시스템에서 IIR 필터 고려
H ( z) 
1
1
2
1  a1 z  a2 z 
 aN z
(6-87)
N
• 차분 방정식
y(n)  x(n)  a1 y(n 1)  a2 y(n  2) 
 aN y(n  N )
(6-88)
– 식 (6-88)에서 입력과 출력 교환
x(n)  y(n)  a1x(n 1)  a2 x(n  2) 
 aN x(n  N )
(6-89)
N
y (n)  x(n)   ak x(n  k )
(6-90)
k 1
– 시스템 함수 H(z) = A(z)를 가지는 FIR 시스템으로부터 입∙출력 역할
을 바꾸면, IIR 시스템 함수인 H(z)=1/A(z)를 획득됨을 알 수 있음
79/99
• N = 1인 경우
y(n)  x(n)  k1 y(n 1)
g (n)  k1 x(n)  y(n 1)
(6-91)
– 첫 번째 식은 1단 전극점 IIR 시스템
– 두 번째 식은 2단 FIR 시스템
그림 6-28. 1단의 전극점 IIR 격자구조
80/99
• N = 2인 경우
y(n)  k1 (1  k2 ) y(n 1)  k2 y(n  2)  x(n)
g2 (n)  k2 y(n)  k1 (1  k2 ) y(n 1)  y(n  2)
(6-92)
그림 6-29. 2단의 전극점 IIR 격자구조
81/99
• N 차인 경우
yN (n)  x(n)
ym1 (n)  ym (n)  km gm1 (n 1), m  N , N 1,
, 2,1
gm (n)  km ym1 (n)  gm1 (n 1), m  N , N 1,
, 2,1
g0 (n)  y(n)
(6-93)
그림 6-30. N단의 전극점 IIR 격자구조
82/99
• 일반적 시스템에서 IIR 시스템 함수 고려
M
H ( z) 
b z
i 0
N
i
i
1   ai z 1

B( z )
A( z )
(6-94)
i 1
– 1/A(z)를 전극점 격자구조로 구현하고, B(z)를 선형결합하는 사다리
(ladder)부분을 추가하여 구현하며 이를 격자-사다리(lattice-ladder)구
조라 함
– M = N으로 가정
그림 6-31. 극점-영점 IIR 시스템의 격자-사다리 구조
83/99
– 격자-사다리 구조의 시스템 출력
M
y ( n)   d m g m ( n)
m0
(6-95)
여기서 d m 은 시스템의 영점들을 결정하는 매개변수이다.
– 시스템의 전달함수 식
G ( z ) B( z )
Y ( z) M
H ( z) 
=  dm m

X ( z ) m0
X ( z ) A( z )
(6-96)
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– 식 (6-94)와 식 (6-96)으로부터
Gm ( z ) M
G ( z ) G0 ( z )
B( z ) M
  dm
=  dm m
A( z ) m0
X ( z ) m0 G0 ( z ) X ( z )
M
=  d mGm ( z )
m 0
여기서 Gm ( z ) 
1
A( z )
(6-97)
Gm ( z )
이다.
G0 ( z )
– 식 (6-97)로부터
M
B( z )   d mGm ( z )
m0
(6-98)
– 분자다항식 B(z)의 계수들은 사다리 매개변수 dm을 결정하고, 분모다
항식 A(z)의 계수들은 사다리 매개변수 km을 결정함
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
예제 6-18
– 다음의 전달함수를 가지는 IIR 시스템을 격자구조로 구현하라.
H ( z) 
1
1  0.5 z 1  0.2 z 2  0.5 z 3
• 전극점 IIR 시스템이며, 반사계수는
k3  0.5, k2  0.6, k1  0.5
• 격자구조의 구현
그림 6-32. 예제 6-18의 전극점 IIR 시스템의 격자 구현
86/99

예제 6-19
– 다음의 전달함수를 가지는 IIR시스템을 격자구조로 구현하라.
1  z 1  z 2  z 3
H ( z) 
1  0.5 z 1  0.2 z 2  0.5 z 3
• 전극점 격자구조이며, 각 결점(node)에서의 다항식은
G3 ( z )  0.5  0.2 z 1  0.5 z 2  z 3
G2 ( z )  0.6  0.8 z 1  z 2
G1 ( z )  0.5  z 1
G0 ( z )  1
• 격자 사다리 구조
그림 6-33. 예제 6-19의 IIR 시스템의 격자 구현
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• 전영점 시스템을 선형조합하는 사다리 구성 블록에서의 관계
B( z )  1  z 1  z 2  z 3
=d0G0 ( z )  d1G1 ( z )  d 2G2 ( z )  d3G3 ( z )
=d0  d1 (0.5  z 1 )  d 2 (0.6  0.8 z 1  z 2 )
+d3 (0.5  0.2 z 1  0.5 z 2  z 3 )
=(d0  0.5d1  0.6d 2  0.5d3 )
+(d1  0.8d 2  0.2d3 ) z 1  ( d 2  0.5d3 ) z 2  d3 z 3
• 계수의 비교
d0  0.5d1  0.6d 2  0.5d3  1
d1  0.8d 2  0.2d3  1
d 2  0.5d3  1
d3  1
• 계수의 결정
d3  1, d2  0.5, d1  0.4, d0  1
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7. 디지털 필터에 관한 고찰

필터
– 원하는 방법으로 파형의 모양이나 주파수에 따른 신호의 진폭
또는 위상 특성을 선택적으로 변환하는 시스템
– 목적
• 잡음을 제거해서 신호의 질을 향상시키거나 신호들로부터 정보를
추출하거나 통신 채널을 효과적으로 사용하기 위해 복합 신호를
분리

디지털 필터
– 필터처리의 목적에 맞는 디지털 신호를 출력하기 위해 디지털
입력신호에 동작하는 하드웨어 또는 소프트웨어로 구현하는
수학적인 알고리즘
– 필터처리 알고리즘을 수행하는 특정한 하드웨어 또는 소프트
웨어 루틴을 지칭
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– 아날로그 입출력에서 디지털 필터의 역할
• 아날로그 신호가 주기적으로 표본화되고, x(n), n=0,1, …의 디지털
표본들로 변환
• 디지털 프로세서는 필터처리 연산을 수행하며 x(n)을 y(n)으로 변
환
• 디지털-아날로그 변환기(DAC)는 디지털로 필터처리된 출력을 아
날로그 값으로 변환하며, 고주파 성분을 평활하게 하고 제거하기
위해 다음 단에서 아날로그 필터처리
그림 6-34. 아날로그 입∙출력 신호를 가지는 디지털 필터의 간단한 블록 다이어그램
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
디지털 필터의 역할
– 디지털 필터는 아날로그 필터로는 불가능한 선형 위상 응답
과 같은 특성을 가질 수 있다.
– 아날로그 필터와 다르게, 디지털 필터의 수행 능력은 온도 변
화와 같은 환경 변화에 크게 영향을 받지 않는다. 따라서 주
기적으로 보정을 할 필요가 없다.
– 만약 프로그램 가능한 프로세서를 이용한다면 디지털 필터의
주파수 응답을 자동으로 조절할 수 있다. 이것이 바로 디지털
필터가 적응필터(adaptive filter)에 광범위하게 사용되는이
유이기도 하다.
– 하나의 디지털 필터만으로 하드웨어의 복제 없이 여러 개의
입력 신호 또는 채널을 필터처리 할 수 있다.
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– 필터 처리된 데이터와 그렇지 않은 데이터 모두 다음 사용을
위해 저장할 수 있다.
– VLSI 기술의 발전으로 소형화, 저전력 사용, 생산 단가가 절
감된 디지털 필터가 가능해졌다.
– 실제로 아날로그 필터로 가능한 정밀도는 한계가 있다. 예를
들어 일반 기성제품을 이용하여 설계된 능동필터(active
filter)는 최대로 약 60-70dB의 정지대역 감쇠만이 가능하다
. 하지만 디지털 필터는 오직 사용되는 단어 길이(word
length)에 의해서만 정밀도가 제한된다.
– 디지털 필터의 수행은 장치에서 장치로 반복할 수 있다.
– 디지털 필터는 의공학 분야에서 아날로그 필터로는 실행할
수 없는 매우 낮은 주파수에서도 사용할 수 있다. 또한 단순
히 표본화 주파수 변환만으로도 광범위한 주파수에서 사용할
수 있도록 만들 수 있다.
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
아날로그 필터와 비교하여 디지털 필터의 단점들
– 속도 제한: 실시간으로 디지털 필터가 제어할 수 있는 신호의
최대 대역폭은 아날로그 필터보다 현저히 낮다. 실시간의 경
우, 아날로그-디지털-아날로그 변환 과정은 디지털 필터의
실행에 속도 제한을 일으킨다. ADC의 변환시간과 DAC의 정
착시간은 처리될 수 있는 최고 주파수를 제한한다. 더구나 디
지털 필터의 연산 속도는 사용되는 디지털 프로세서의 속도
와 필터처리 알고리즘에서 반드시 수행되어야 하는 산술 연
산의 수에 좌우된다.
– 유한 단어길이 효과: 디지털 필터는 연속신호의 양자화에 의
한 ADC 오차와 계산 과정에서발생하는 반올림(roundoff) 오
차에 종속적이다. 고차의 순환형 필터에 있어서 반올림 오차
의 누적은 시스템을 불안정하게 만들 수 있다.
– 긴 개발 시간: 특히 하드웨어 개발에 있어서, 디지털 필터의
설계 및 개발 시간은 아날로그필터에 비해 현저히 길다. 그러
나 한번 구현된 하드웨어나 소프트웨어는 수정이 거의 없이
도 다른 필터처리나 디지털 신호처리 연산에 사용할 수 있다.
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
디지털 필터의 형태
– 상승적분(convolution)을 사용한 FIR 필터와 IIR 필터의 표현
• IIR 필터

y ( n)   h( k ) x ( n  k )
(6-99)
k 0
• FIR 필터
N 1
y ( n)   h( k ) x ( n  k )
(6-100)
k 0
• FIR에서 h(k)는 N개의 값만 가지므로 임펄스 응답은 유한하지만,
IIR에서는 임펄스 응답이 무한함
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• IIR 필터에 대한 순환 형태의 표현

N
M
y(n)   h(k ) x(n  k )   bk x(n  k )  ak y (n  k )
k 0
k 0
(6-101)
k 1
여기서 ak 와 bk 는 필터의 계수이다.
– 식 (6-100)과 식 (6-101)
• 각각 FIR 필터와 IIR 필터의 차분방정식(difference equation) 형태
• ak와 bk 값이 필터 설계에 있어 가장 중요
• 식 (6-101)의 출력 표본 y(n)은 궤환(feed back) 시스템으로 현재와
과거 입력 분 아니라 과거 출력의 함수
• FIR의 출력 표본 y(n)은 현재와 과거의 입력 값에 대한 함수
– ak를 0으로 하면 IIR 식인 (6-101)은 FIR식인 (6-102)와 동일하게 됨
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– FIR과 IIR에 대한 다른 표현
• 필터의 전달 함수로 필터의 주파수 응답을 평가하는데 유용
N 1
H ( z )   h( k ) z  k
(6-102)
k 0
N
H ( z) 
k
b
z
k
k 0
M
1   ak z  k
(6-103)
k 1
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
FIR 과 IIR 필터의 선택
– 두 필터의 상대적인 장점
• FIR 필터는 정확한 선형 위상 응답을 가질 수 있다. 이것은 필터에
의해 신호의 위상 왜곡이 발생하지 않는다는 것을 의미하며, 데이
터 전송이나 의공학, 디지털 음성처리, 디지털 영상처리 등의 많은
응용분야에 있어서 중요한 요구사항이다. IIR 필터의 경우, 위상
응답은 특히 대역의 가장자리 부근에서 비선형적이다.
• 식 (6-100)에서 바로 알 수 있듯이, 비순환형으로 구현된 FIR 필터
는 항상 안정적이다. IIR 필터의 안전성은 항상 보장되지 않는다.
• 필터를 구현하는데 반올림 오차와 계수 양자화 오차화 같은 유한
개수의 비트를 사용하게되는 영향은 FIR보다는 IIR에서 훨씬 더
크다.
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• 급격한 차단(cutoff) 필터에서, 즉 급격한 천이영역(transition
region)을 가지기 위해 FIR은 IIR 보다 많은 계수가 요구된다. 따라
서 주어진 진폭응답 사양에 대해, FIR은 보다 많은 수행 시간과 정
보량이 요구된다. 그러나 FFT의 계산 속도와 다중속도(multirate)
기술을 사용하면 FIR 구현의 효율을 향상시킬 수 있다.
• 아날로그 필터는 유사한 사양을 갖는 IIR 디지털 필터로 쉽게 바
꿀 수 있다. FIR 필터에서는 대응되는 아날로그 필터가 없다면 불
가능하다. 하지만 FIR에서는 임의의 주파수 응답을 가지는 필터
들을 합성하기는 훨씬 쉽다.
• 만약 CAD의 지원이 없다면, 일반적으론 FIR 필터를 합성하기가
산술적으로 더 어렵다.
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– FIR 필터와 IIR 필터에 대한 대략적인 지침
• 중요한 요구 사항이 단지 급격한 차단 필터와 높은 처리량 이라면
IIR을 사용한다. IIR 필터가 FIR 보다 적은 계수로도 가능하다.
• 만약 필터 계수의 수가 너무 크지 않거나, 특히 위상왜곡을 아주
작거나 영으로 원한다면 FIR을 사용한다.
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