Transcript midterm 풀이 및 답지

제어공학
Mid-term 답지
I.R.L.
Pusan National University
Intelligent Robot Lab.
Mid-term
 1. 중간고사 총점은 250점을 만점으로 시험 반영은 25%가
반영됨
 2. 답만 적은 것 인정 하지 않음
 3. 풀이와 다른 방식으로 풀더라도 맞게 풀었으면 해당 풀이
에 대해 각각의 부분점수 부여
2
Pusan National University Intelligent Robot Lab.
http://robotics.pusan.ac.kr
Mid-term
 1번. 그림 1의 전달함수 구하기 (15점)
운동방정식
𝑠 2 + 3𝑠 + 2 𝑋1 𝑠
− 𝑠 + 1 𝑋2 𝑠 = 0
− 𝑠 + 1 𝑋1 𝑠 + 𝑠 2 + 2𝑠 + 1 𝑋2 𝑠 = 𝐹(𝑠)
3
5점
Pusan National University Intelligent Robot Lab.
http://robotics.pusan.ac.kr
Mid-term
 1번. 그림 1의 전달함수 구하기 (15점)
𝑋1 =
0
−(𝑠 + 1)
𝐹 𝑠 2 + 2𝑠 + 1
𝑠 2 + 3𝑠 + 2
−(𝑠 + 1)
−(𝑠 + 1)
𝑠 2 + 2𝑠 + 1
𝑋1
1
=
𝐹(𝑠) 𝑠 3 + 4𝑠 2 + 4𝑠 + 1
=
𝐹(𝑠)
𝑠 3 + 4𝑠 2 + 4𝑠 + 1
5점
5점
4
Pusan National University Intelligent Robot Lab.
http://robotics.pusan.ac.kr
Mid-term
 2번. 극점선도의 종류와 파형 구하기 (40점) 기준이 없는 경우 3점
5점
Undamped response
무감쇠 응답
5점
5점
Underdamped response
5점
미흡 감쇠 응답
5
Pusan National University Intelligent Robot Lab.
http://robotics.pusan.ac.kr
Mid-term
 2번. 극점선도의 종류와 파형 구하기 (40점) 기준이 없는 경우 3점
5점
Critically damped response
5점
임계 감쇠 응답
5점
Overdamped response
과감쇠 응답
6
5점
Pusan National University Intelligent Robot Lab.
http://robotics.pusan.ac.kr
Mid-term
 3번. 전달함수를 상태공간에서 표현하기 (25점)
2s  1
G (s)  2
s  7s  9
분모 분자 분리
R( s)
1
s2  7s  9
X (s)
Y (s)
2s  1
5점
𝑠 2 + 7𝑠 + 9 𝑋 𝑠 = 𝑅(𝑠)
𝑥 + 7𝑥 + 9𝑥 = 𝑟
왼쪽 블록 정리
𝑥1 = 𝑥
𝑥2 = 𝑥
𝑥1 = 𝑥2
𝑥2 = 𝑥 = −7𝑥 − 9𝑥 + 𝑟 = −9𝑥1 − 7𝑥2 + 𝑟
7
5점
Pusan National University Intelligent Robot Lab.
http://robotics.pusan.ac.kr
Mid-term
 3번. 전달함수를 상태공간에서 표현하기 (25점)
오른쪽 블록 정리
𝑥1 = 𝑥
𝑥2 = 𝑥
𝑦 = 2𝑥 + 𝑥 = 𝑥1 + 2𝑥2
5점
상태방정식과 출력방정식
𝒙=
0
−9
𝑦= 1
1
0
𝒙+
𝑟
−7
1
2𝒙
5점
5점
8
Pusan National University Intelligent Robot Lab.
http://robotics.pusan.ac.kr
Mid-term
 4번. a)그림 3의 전달함수를 구하기 (20점)
𝑉1 = 𝐼 𝑠 𝑅1 + 𝑉𝑜 (𝑠)
I 𝑠 =
𝑉𝑖 𝑠 − 𝑉𝑜 (𝑠)
𝑅1 + 𝑅2
𝑉𝑜 𝑠 = 𝐴(𝑉2 𝑠 − 𝑉1 (𝑠))
1
(𝑅 𝑉 𝑠 + 𝑅2 𝑉𝑜 (𝑠))
𝑅1 + 𝑅2 1 𝑖
1
𝐶𝑠
𝑉2 𝑠 = 𝑉𝑖 𝑠
5점
1
𝑅3 + 𝐶𝑠
𝑉1 𝑠 =
9
5점
Pusan National University Intelligent Robot Lab.
http://robotics.pusan.ac.kr
Mid-term
 4번. a)그림 3의 전달함수를 구하기 (20점)
𝑉𝑜 𝑠 = 𝐴 𝑉2 𝑠 − 𝑉1 𝑠 에 𝑉1 과 𝑉2 를 대입하면 다음과 같은 전달함수를 구할 수 있다.
𝑉𝑜 (𝑠)
𝐴 𝑅2 − 𝑅1 𝑅3 𝐶𝑠
=
𝑉𝑖 (𝑠) (𝑅3 𝐶𝑠 + 1)(𝑅1 + 𝑅2 (1 + 𝐴))
5점
𝐴를 ∞로 두고 정리하면 다음과 같은 전달함수를 구할 수 있다.
𝑅2
(𝑠
−
𝑉𝑜 (𝑠) 𝑅2 − 𝑅1 𝑅3 𝐶𝑠
𝑅1
𝑅1 𝑅3 𝐶 )
=
=−
𝑉𝑖 (𝑠) 𝑅2 𝑅3 𝐶𝑠 + 𝑅2
𝑅2 (𝑠 + 1 )
𝑅3 𝐶
10
5점
Pusan National University Intelligent Robot Lab.
http://robotics.pusan.ac.kr
Mid-term
 4번. b) 필터의 계단 함수 구하기 (15점)
𝑅2
(𝑠
−
𝑉𝑜 (𝑠) 𝑅2 − 𝑅1 𝑅3 𝐶𝑠
𝑅2
𝑅1 𝑅3 𝐶 )
=
=−
𝑉𝑖 (𝑠) 𝑅2 𝑅3 𝐶𝑠 + 𝑅2
𝑅1 (𝑠 + 1 )
𝑅3 𝐶
1
𝑅1 = 𝑅2 , 𝑅3 𝐶 =
로 두면 전달함수는 다음과 같이 된다.
10
1
(𝑠
−
𝑉𝑜 (𝑠)
(𝑠 − 10)
𝑅3 𝐶 )
=−
=−
5점
1
𝑉𝑖 (𝑠)
(𝑠
+
10)
(𝑠 + 𝑅 𝐶 )
3
1
즉, 계단 함수 입력 에 대해 다음과 같은 응답을 얻을 수 있다.
𝑠
𝑠 − 10
1
1
𝐶 𝑠 =−
=−
+ 10
𝑠 𝑠 + 10
𝑠 + 10
𝑠(𝑠 + 10)
11
5점
Pusan National University Intelligent Robot Lab.
http://robotics.pusan.ac.kr
Mid-term
 4번. b) 필터의 계단 함수 구하기 (15점)
𝐶 𝑠 =−
𝑠 − 10
1
1
=−
+ 10
𝑠 𝑠 + 10
𝑠 + 10
𝑠(𝑠 + 10)
전체를 분리하면 다음과 같다.
𝐶 𝑠 =−
1
1
1
1
1
1
2
+ 10
=−
+ −
= −
𝑠 + 10
𝑠 𝑠 + 10
𝑠 + 10 𝑠 𝑠 + 10 𝑠 𝑠 + 10
위 식을 Inverse Laplace변환을 하면 다음과 같은 최종 출력을 얻게 된다.
c 𝑡 = 1 − 2𝑒 −10𝑡
5점
12
Pusan National University Intelligent Robot Lab.
http://robotics.pusan.ac.kr
Mid-term
 5번. 상태공간에서 표현된 시스템의 전달함수 구하기 (20점)
상태방정식 및 출력방정식

x  Ax  Bu
y  Cx  Du
sX ( s )  AX ( s )  BU ( s )
Y ( s )  CX ( s )  DU ( s )
Y (s)
G( s) 
 C ( sI  A) 1 B  D
U (s)
13
5점
Pusan National University Intelligent Robot Lab.
http://robotics.pusan.ac.kr
Mid-term
 5번. 상태공간에서 표현된 시스템의 전달함수 구하기 (20점)
 2 3 8
A   0 5 3 
 3 5 4
1 
B   4
6 
adj( sI  A)
( sI  A) 

det( sI  A)
1
C  1 3 6
D0
 s 2  s  5 3s  28
8s  31 


2
s  2s  32
3s  6 
 9
2
 3s  15

5
s

19
s
 7 s  10 

49s 2  373s  680
G( s)  3
s  3s 2  27 s  103
s 3  3s 2  27 s  103
5점
5점
5점
14
Pusan National University Intelligent Robot Lab.
http://robotics.pusan.ac.kr
Mid-term
 6번. 그림 4를 상태공간에서 표현하기 (30점)
상태공간 표현 시 상태변수는
독립적이어야 하므로 다음과
같이 등가시스템으로 표현하고,
운동방정식을 구하여 상태공간에
표현한다.
이때 상태변수의 최소 개수는
전달함수의 전체 차수와 같다
등가 시스템
운동 방정식
100𝑠 2 + 100 𝜃2
− 100𝜃3 = 10𝑇
−100𝜃2 + 100𝑠 2 + 100𝑠 + 100 𝜃3 = 0
15
10점
Pusan National University Intelligent Robot Lab.
http://robotics.pusan.ac.kr
Mid-term
 6번. 그림 4를 상태공간에서 표현하기 (30점)
Inverse Laplace
𝜃2 + 𝜃2 − 𝜃3 =
1
𝑇
10
−𝜃2 + 𝜃3 + 𝜃3 + 𝜃3 = 0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
= 𝜃2
= 𝜃2
= 𝜃3
= 𝜃3
중간 풀이 과정 미흡한 경우 5점
𝑥1 = 𝑥2 그렇지 않은 경우10점
1
0
𝑥2 = 𝜃2 = −𝜃2 + 𝜃3 + 𝑇
0 1
0
0
1
10
1
0 𝒙+
1
𝒙 = −1 0
10 𝑇
0 0
0
1
= −𝑥1 + 𝑥3 +
𝑇
0
10
1 0 −1 −1
𝑥3 = 𝑥4
0
𝑥4 = 𝜃3 = 𝜃2 − 𝜃3 − 𝜃3
𝑦 = 10 0 0 0 𝒙
5점
= 𝑥1 − 𝑥3 − 𝑥4
𝑦 = 10𝜃2 = 10𝑥1
16
5점
Pusan National University Intelligent Robot Lab.
http://robotics.pusan.ac.kr
Mid-term
 7번. 각 항에 대해 설명하기(30점)
각항의 식도 인정하며 뜻이
조금 엇나갈 경우 3점
𝑇𝑠
Settling Time
(정착시간)
응답이 최종 값의 2%이내에 도달하여 머무는데 걸리는 5점
시간
4
𝑇𝑠 =
𝜁𝜔𝑛
𝑇𝑟
Rise Time
(상승시간)
응답이 최종 값의 0.1에서 0.9까지 상승하는데 걸리는
시간
𝑇𝑝
Peak Time
(최고값 시간)
첫 번째 최고 값 또는 최고 값에 도달하는데 걸리는 시간 5점
𝑇𝑝 =
𝜋
𝜔𝑛 1 − 𝜁 2
=
17
5점
𝜋
𝜔𝑑
Pusan National University Intelligent Robot Lab.
http://robotics.pusan.ac.kr
Mid-term
 7번. 각 항에 대해 설명하기(30점)
%𝑂𝑆
Percent overshoot 최고 값 시간에서 파형의 정상 상태 또는 최종상태를
(퍼센트 오버슈트) 넘는 최대값을 정상 상태 값에 대해 퍼센트로 나타낸 값
𝑐𝑚𝑎𝑥 − 𝑐𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
%𝑂𝑆 =
× 100 = 𝑒 −(𝜁𝜋/
𝑐𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑃𝑜𝑙𝑒
𝑍𝑒𝑟𝑜
각항의 식도 인정하며 뜻이
조금 엇나갈 경우 3점
5점
1−𝜁 2 )
× 100
(극점)
전달함수가 무한대가 되도록 하는 s값 또는
전달함수의 분자항의 근과 같은 분모항의 근도 포함하는 전달함수
의 분모항의 근
5점
(영점)
전달함수가 0이 되도록 하는 s값 또는
전달함수 분모항의 근과 같은 분자항의 근도 포함하는 전달함수의 5점
분자항의 근
18
Pusan National University Intelligent Robot Lab.
http://robotics.pusan.ac.kr
Mid-term
 8번. a) 상태방정식 해와 입력에 대한 출력 구하기 (45점)
상태방정식의 해를 구하는 문제
로 상태방정식을 Laplace 변환
하여 X(s)에 대하여 표현하고, 각
항을 대입한다.
X(s)에 대한 해 3개를 구한 후
Laplace 변환한 출력방정식에
대입 후 Inverse laplace 변환을
하면 최종 출력을 구할 수 있다.
상태방정식
𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢
 0
A   0
 24
𝑠𝑋 𝑠 − 𝑥 0 = 𝐴𝑋 𝑠 + 𝐵𝑈(𝑠)
𝑠𝐼 − 𝐴 𝑋 𝑠 = 𝑥 0 + 𝐵𝑈(𝑠)
𝑎𝑑𝑗(𝑠𝐼 − 𝐴)
𝑋 𝑠 =
𝑥 0 + 𝐵𝑈(𝑠) 5점
det(𝑠𝐼 − 𝐴)
1
0
26
C  1 1 0
19
0
1 
9 
0
B  0 
1 
D0
Pusan National University Intelligent Robot Lab.
http://robotics.pusan.ac.kr
Mid-term
 8번. a) 상태방정식 해와 입력에 대한 출력 구하기 (45점)
 s 2  9s  26
s9
1


2

24
s

9
s
s


2


24
s

(26
s

24)
s
adj( sI  A) 

1
( sI  A) 

det( sI  A)
s3  9s 2  26s  24
U (s) 
e t
Laplace
5점
5점
1
s 1
20
Pusan National University Intelligent Robot Lab.
http://robotics.pusan.ac.kr
Mid-term
 8번. a) 상태방정식 해와 입력에 대한 출력 구하기 (45점)
𝑋 𝑠 = (𝑠𝐼 − 𝐴)−1 𝑥 0 + 𝐵𝑈(𝑠)
위 식에 𝐴, 𝐵, 𝑥 0 , 𝑈(𝑠) 를 대입하면 다음과 같은 해를 얻는다.
𝑠 3 + 10𝑠 2 + 37𝑠 + 29
𝑠 3 + 10𝑠 2 + 37𝑠 + 29
𝑋1 𝑠 = 4
=
𝑠 + 10𝑠 3 + 35𝑠 2 + 50𝑠 + 24 (𝑠 + 1)(𝑠 + 2)(𝑠 + 3)(𝑠 + 4)
5점
2𝑠 2 − 21𝑠 − 24
2𝑠 2 − 21𝑠 − 24
𝑋2 𝑠 = 4
=
𝑠 + 10𝑠 3 + 35𝑠 2 + 50𝑠 + 24 (𝑠 + 1)(𝑠 + 2)(𝑠 + 3)(𝑠 + 4)
5점
2𝑠 3 − 21𝑠 2 − 24
𝑠(2𝑠 2 − 21𝑠 − 24)
𝑋3 𝑠 = 4
=
𝑠 + 10𝑠 3 + 35𝑠 2 + 50𝑠 + 24 (𝑠 + 1)(𝑠 + 2)(𝑠 + 3)(𝑠 + 4)
5점
21
Pusan National University Intelligent Robot Lab.
http://robotics.pusan.ac.kr
Mid-term
 8번. a) 상태방정식 해와 입력에 대한 출력 구하기 (45점)
출력 방정식은 다음과 같으므로 𝑋 𝑠 각 값을 대입하면 다음과 같은 식을 얻는다.
𝑦= 1 1
𝑌 𝑠 = 1
0 𝑥 → 𝑌 𝑠 = 1 0 0 𝑋(𝑠)
1
𝑋1 (𝑠)
0 𝑋2 (𝑠) = 𝑋1 𝑠 + 𝑋2 (𝑠)
𝑋3 (𝑠)
𝑠 3 + 12𝑠 2 + 16𝑠 + 5
−6.5
19
11.5
𝑌 𝑠 =
=
+
−
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)(𝑠 + 3)(𝑠 + 4) 𝑠 + 2 𝑠 + 3 𝑠 + 4
10점
위 식을 Inverse Laplace 하면 다음과 같은 최종 출력을 얻게 된다.
𝑦 𝑡 = −6.5𝑒 −2𝑡 + 19𝑒 −3𝑡 − 11.5𝑒 −4𝑡
5점
22
Pusan National University Intelligent Robot Lab.
http://robotics.pusan.ac.kr
Mid-term
 8번. b) 시스템의 고유치와 극점 구하기(10점)
시스템이 상태 공간에서 표현 된다면 det 𝑠𝐼 − 𝐴 = 0 의 근이 고유치 및 극점이
되므로 다음을 계산한다.
det 𝑠𝐼 − 𝐴 = 𝑠 3 + 9𝑠 2 + 26𝑠 + 24 = 0
𝑠+2 𝑠+3 𝑠+4 =0
따라서, 이 시스템의 고유치 및 극점은 -2,-3,-4 가 된다.
5점
5점
23
Pusan National University Intelligent Robot Lab.
http://robotics.pusan.ac.kr
THANK YO U
24
Pusan National University Intelligent Robot Lab.
http://robotics.pusan.ac.kr