Transcript SSDSP THEORY 2014

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.)
ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ
ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ
ΛΑΜΙΑ 2014
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
•
ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
•
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
•
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
•
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z
•
ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER
•
ΔΟΜΕΣ ΦΙΛΤΡΩΝ
•
ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ
•
ΧΩΡΟΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ
•
KALMAN FILTER
•
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
2
ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
•
•
•
•
ΒΑΣΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΗΜΑΤΩΝΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
3
ΒΑΣΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
Ένα σήμα διακριτού χρόνου
είναι μία ακολουθία
πραγματικών ή μιγαδικών αριθμών
που παριστάνεται ως συνάρτηση x(n)
της οποίας η ανεξάρτητη μεταβλητή n
παίρνει διακριτές (ακέραιες) τιμές.
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
4
Πραγματικό σήμα διακριτού χρόνου
πραγματικές τιμές x(n)
διακριτές ακέραιες τιμές n
3
x(n)
0.9 n
2
1
0
-1 0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
n
n
3
1.1 n
2
1
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
0
-1 0
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
-8
-6
-4
-2
0
2
4
5
6
8
10
Μιγαδικό σήμα διακριτού χρόνου
x(n) = a(n) + j b(n) = |x(n)| ejφ(n)
πραγματική συνιστώσα a(n)
φανταστική συνιστώσα b(n)
πλάτος |x(n)| = (a(n)2 + b(n)2)1/2
φάση φ(n) = atan (b(n)/a(n))
όπου
ejφ(n) = cos(φ(n)) + j sin(φ(n)), |ejφ(n)| = 1
Συζυγές μιγαδικό σήμα
x*(n) = a(n) - j b(n) = |x(n)| e-jφ(n)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
6
Σήμα μοναδιαίου δείγματος
(ακολουθία μοναδιαίου δείγματος)
1, n  n0
 ( n  n0 )  
0, n  n0
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
function [x,n]=sigimp(n0,n1,n2)
% impulse signal
% d(n-n0) n=n1..n2
n=[n1:n2];
x=[(n-n0)==0];
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
7
Σήμα μοναδιαίου δείγματος
Παράδειγμα: δ(n), δ(n-2), δ(n+4)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
8
Σήμα μοναδιαίου βήματος
(μοναδιαία βηματική ακολουθία)
1, n  n0
u ( n  n0 )  
0, n  n0
function [x,n]=sigstep(n0,n1,n2)
% step signal
% u(n-n0) n=n1..n2
n=[n1:n2];
x=[(n-n0)>=0];
 (n)  u(n)  u(n  1)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
9
Σήμα μοναδιαίου βήματος
Παράδειγμα: u(n), u(n-2), u(n+4)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
10
Πραγματικό εκθετικό σήμα
x(n)=rn
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
function [x,n]=sigrexp(r,n1,n2)
% real exp signal
% r^n n=n1..n2
n=[n1:n2];
x=r.^n;
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
11
Πραγματικό εκθετικό σήμα
Παράδειγμα: x(n)=0.9n x(n)=1.1n
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
12
Φανταστικό εκθετικό σήμα
•
•
•
•
•
x(n)=ejωn=cos(ωn)+jsin(ωn)
η πραγματική συνιστώσα
του σήματος είναι cos(ωn)
η φανταστική συνιστώσα
του σήματος είναι sin(ωn)
το πλάτος του σήματος είναι 1
η φάση του σήματος είναι ωn
η ψηφιακή συχνότητα
του σήματος είναι ω (σε rad)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
function
[rex,imx,mx,fx,n]=sigiexp(w,n1,n2)
% imaginary exp signal
% exp(jwn)=cos(wn)+jsin(wn) n=n1..n2
n=[n1:n2];
rex=cos(w*n);
imx=sin(w*n);
mx=1.^n;
fx=w*n;
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
13
Φανταστικό εκθετικό σήμα
Παράδειγμα: x(n)=ejπn/5
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
14
Μιγαδικό εκθετικό σήμα
x(n)=rnejωn=rn[cos(ωn)+jsin(ωn)]
• η πραγματική συνιστώσα
του σήματος είναι rncos(ωn)
• η φανταστική συνιστώσα
του σήματος είναι rnsin(ωn)
• το πλάτος του σήματος είναι rn
• η φάση του σήματος είναι ωn
• η ψηφιακή συχνότητα
του σήματος είναι ω (σε rad)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
function
[rex,imx,mx,fx,n]=sigcexp(r,w,n1,n2)
% complex exp signal
% r^n*exp(jwn)=
(r^n)*{cos(wn)+jsin(wn)}
% n=n1..n2
n=[n1:n2];
mx=r.^n;
fx=w*n;
rex=mx.*cos(w*n);
imx=mx.*sin(w*n);
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
15
Μιγαδικό εκθετικό σήμα
Παράδειγμα: x(n)=0.9nej0.3n
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
16
Ημιτονοειδές σήμα
x(n)=sin(ωn+φ)
• η συχνότητα του σήματος
είναι ω
• η φάση του σήματος είναι φ
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
function [x,n]=sigsin(w,f,n1,n2)
% sinusoidal signal
% x(n)=sin(w*n+f) n=n1..n2
n=[n1:n2];
x=sin(w.*n+f);
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
17
Ημιτονοειδές σήμα
Παράδειγμα: x(n)=sin(0.2n+π)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
18
Διάρκεια σήματος διακριτού χρόνου
• Σήμα πεπερασμένου μήκους x(n), n1≤n ≤ n2
• Σήμα απείρου μήκους
- Ακολουθία δεξιάς πλευράς
x(n), n0≤n
- Ακολουθία αριστερής πλευράς x(n), n ≤ n0
- Αμφίπλευρη ακολουθία
x(n), -∞<n<+∞
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
19
ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
Ένα σήμα διακριτού χρόνου είναι περιοδικό
αν ισχύει η ακόλουθη σχέση:
x(n) = x(n+N) n
Η θεμελιώδης περίοδος του σήματος
είναι ο ελάχιστος ακέραιος θετικός αριθμός N
για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση.
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
20
Περιοδικό φανταστικό εκθετικό σήμα
Το φανταστικό εκθετικό σήμα
x(n) = ejωn = cos(ωn) + j sin(ωn)
είναι περιοδικό
αν η ψηφιακή συχνότητα του σήματος (ω)
είναι ρητό πολλαπλάσιο του 2π
Η θεμελιώδης περίοδος
του περιοδικού φανταστικού σήματος είναι
N = 2π/ω
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
21
Περιοδικότητα φανταστικού εκθετικού σήματος
Το φανταστικό εκθετικό σήμα x(n)=ejωn είναι περιοδικό
αν x(n)=x(n+N), δηλαδή αν ejωn = ejω(n+Ν)
ή αν ejωn = ejωn ejωΝ
ή αν ejωΝ = 1
ή αν cos(ωΝ) + j sin(ωΝ) = 1
ή αν cos(ωΝ) = 1 και sin(ωΝ) = 0
ή αν ωΝ = 2kπ, όπου k φυσικός αριθμός
ή αν ω = 2π k/N
δηλαδή αν η ψηφιακή συχνότητα του σήματος (ω)
είναι ρητό πολλαπλάσιο του 2π
Για k=1 προκύπτει η θεμελιώδης περίοδος N=2π/ω
του περιοδικού φανταστικού σήματος
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
22
Περιοδικό φανταστικό εκθετικό σήμα
Παράδειγμα: x(n)=ejωn ω=π/8 Ν=2π/ω=16
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
23
Περιοδικό ημιτονοειδές σήμα
Το ημιτονοειδές σήμα
sin(ωn+φ)
είναι περιοδικό
αν η συχνότητα του σήματος (ω)
είναι ρητό πολλαπλάσιο του 2π
Η θεμελιώδης περίοδος
του περιοδικού ημιτονοειδούς σήματος είναι
N = 2π/ω
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
24
Περιοδικό ημιτονοειδές σήμα
Παράδειγμα: x(n)=sin(ωn) ω=π/4 Ν=8
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
25
Άθροισμα περιοδικών σημάτων
Αν το σήμα x1(n) είναι περιοδικό με θεμελιώδη περίοδο Ν1
και το σήμα x2(n) είναι περιοδικό με θεμελιώδη περίοδο
Ν2
τότε το σήμα x(n)=x1(n)+x2(n)
είναι περιοδικό με θεμελιώδη περίοδο
Ν=Ν1∙N2/ΜΚΔ(N1,N2)
Παρατήρηση: Αν N1=N2, τότε Ν=Ν1=Ν2
Παράδειγμα:
x1(n)=cos(πn/12) με θεμελιώδη περίοδο Ν1=24
x2(n)=sin(πn/18) με θεμελιώδη περίοδο Ν2=36
x(n)=x1(n)+x2(n)=cos(πn/12)+sin(πn/18)
με θεμελιώδη περίοδο
Ν=Ν1N2/ΜΚΔ(N1,N2)=24∙36/12=72
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
26
ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΗΜΑΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
• ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΠΛΑΤΟΥΣ
• ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
27
Πράξεις Μετασχηματισμού Πλάτους
1. πρόσθεση σημάτων y(n)=x1(n)+x2(n)
2. πολλαπλασιασμός σημάτων y(n)=x1(n)x2(n)
3. κλιμάκωση στο πλάτος y(n)=cx(n)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
28
Πρόσθεση Σημάτων
function [y,n]=sigadd(x1,n1,x2,n2)
% addition
% y(n)=x1(n)+x2(n)
n=min(min(n1),min(n2)):max(max(n1),max(n2));
y1=zeros(1,length(n));
y2=y1;
y1(find((n>=min(n1))&(n<=max(n1))==1))=x1;
y2(find((n>=min(n2))&(n<=max(n2))==1))=x2;
y=y1+y2;
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
29
Πρόσθεση Σημάτων: Παράδειγμα
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
30
Πολλαπλασιασμός Σημάτων
function [y,n]=sigmult(x1,n1,x2,n2)
% multiplication
% y(n)=x1(n)x2(n)
n=min(min(n1),min(n2)):max(max(n1),max(n2));
y1=zeros(1,length(n));
y2=y1;
y1(find((n>=min(n1))&(n<=max(n1))==1))=x1;
y2(find((n>=min(n2))&(n<=max(n2))==1))=x2;
y=y1.*y2;
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
31
Πολλαπλασιασμός Σημάτων: Παράδειγμα
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
32
Κλιμάκωση στο Πλάτος
y(n)=c·x(n)
όπου c πραγματικός αριθμός
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
33
Κλιμάκωση στο Πλάτος: Παράδειγμα
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
34
Πράξεις Μετασχηματισμού Χρόνου
1. μετατόπιση σήματος y(n)=x(n-n0)
Αν n0>0, τότε έχουμε καθυστέρηση
(το σήμα μετατοπίζεται δεξιά)
Αν n0<0, τότε έχουμε πρωτοπορία
(το σήμα μετατοπίζεται αριστερά)
2. αντιστροφή σήματος y(n)=x(-n)
3. κλιμάκωση στο χρόνο y(n)=x(cn)
Αν c=M, τότε έχουμε διαίρεση συχνότητας
Αν c=1/M, τότε έχουμε πολλαπλασιασμό συχνότητας
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
35
Μετατόπιση
function [y,n]=sigshift(x,m,n0)
% shift
% y(n)=x(n-n0)
n=m+n0;
y=x;
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
36
Μετατόπιση: Παράδειγμα
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
37
Αντιστροφή
function [y,n]=sigfold(x,n)
% fold
% y(n)=x(-n)
y=fliplr(x);
n=-fliplr(n);
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
38
Αντιστροφή: Παράδειγμα
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
39
Διαίρεση Συχνότητας
function [y]=sigscaldiv(c,x)
% frequency division
% x(n) n=1:l
% y(n)=x(cn)
% c>1
nl=length(x);
m=floor(nl/c);
for i=1:m
y(i)=x(i*c);
end;
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
40
Πολλαπλασιασμός Συχνότητας
function [y]=sigscalmul(c,x)
% frequency multiplication
% x(n) n=1:l
% y(n)=x(n/c)
% c>1
nl=length(x);
m=nl*c;
for i=1:m
y(i)=0;
if mod(i,c)==0
y(i)=x(i/c);
end;
end;
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
41
Κλιμάκωση στο Χρόνο: Παράδειγμα
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
42
ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
Ένα πραγματικό σήμα διακριτού χρόνου
είναι άρτιο αν
x(n)=x(-n)
Ένα πραγματικό σήμα διακριτού χρόνου
είναι περιττό αν
x(n)=-x(-n)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
43
Άθροισμα τιμών συμμετρικού πραγματικού σήματος
περιττό σήμα
x(n)=-x(-n)
άρτιο σήμα
x(n)=x(-n)

1

 x(n)   x(n)  x(0)   x(n) 
n  
n  
n 1


n 1
n 1
  x(n)  x(0)   x(n) 

 x(0)  2 x(n)
n 1

1

n  
n  
n 1
 x(n)   x(n)  x(0)   x(n) 


n 1
n 1
  x(n)  x(0)   x(n) 


n 1
n 1
  x(n)  x(0)   x(n) 
 x(0)  0
για n=0 είναι: x(0)=-x(-0)=-x(0)
οπότε 2∙x(0)=0
άρα: x(0)=0
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
44
Γινόμενο άρτιου σήματος επί περιττό σήμα
Αν το σήμα x1(n) είναι άρτιο
και το σήμα x2(n) είναι περιττό,
τότε το σήμα x(n)=x1(n) ∙ x2(n) είναι περιττό
Απόδειξη:
x1(n)=x1(-n)
x2(n)=-x2(-n)
x(n)=x1(n) ∙ x2(n)
x(-n)=x1(-n) ∙ x2(-n) = x1(n) ∙ (-x2(n)) = - (x1(n) ∙ x2(n)) = -x(n)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
45
Ανάλυση σε άρτιο και περιττό σήμα
Κάθε πραγματικό σήμα διακριτού χρόνου x(n)
μπορεί να αναλυθεί σε άθροισμα
άρτιου σήματος xe(n) και περιττού σήματος xo(n):
x(n)=xe(n)+xo(n)
όπου
xe(n)=(½) [x(n)+x(-n)]
xo(n)=(½) [x(n)-x(-n)]
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
46
Παράδειγμα ανάλυσης σε άρτιο και περιττό σήμα
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
47
Συμμετρία μιγαδικού σήματος
Ένα μιγαδικό σήμα διακριτού χρόνου
είναι συζυγές συμμετρικό αν
x(n)=x*(-n)
Ένα μιγαδικό σήμα διακριτού χρόνου
είναι συζυγές αντισυμμετρικό αν
x(n)=-x*(-n)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
48
Παράδειγμα συμμετρικού μιγαδικού σήματος
Το σήμα x(n)=jejπn/4
είναι συζυγές αντισυμμετρικό
Απόδειξη:
= j [cos(πn/4) + j sin(πn/4)] =
= -sin(πn/4)] + j cos(πn/4)
x(-n)= j [cos(-πn/4) + j sin(-πn/4)] =
= j [cos(πn/4) - j sin(πn/4)] =
= sin(πn/4)] + j cos(πn/4)
-x(-n) = -sin(πn/4)] - j cos(πn/4)
-x*(-n) = -sin(πn/4)] + j cos(πn/4) = x(n)
x(n)=jejπn/4
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
49
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
•
•
•
•
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ: ΟΡΙΣΜΟΙ
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΝΕΛΙΞΗ
ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΩΝ
ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
50
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ: ΟΡΙΣΜΟΙ
Ένα σύστημα διακριτού χρόνου
είναι ένας μετασχηματισμός.
x(n)
T[∙]
y(n)
είσοδος
μετασχηματισμός
έξοδος
απόκριση: y(n)=T[x(n)]
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
51
Μνήμη συστήματος
• Σύστημα χωρίς μνήμη
Η έξοδος για n=n0 εξαρτάται μόνο από την είσοδο για n=n0
Παράδειγμα: y(n)=x2(n)
• Σύστημα με μνήμη
Η έξοδος για n=n0 εξαρτάται από τις εισόδους για n≤n0
Παράδειγμα: y(n)=x(n)+x(n-1)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
52
Αρχή της επαλληλίας
(αρχή της υπέρθεσης)
T[x1(n)+x2(n)] = T[x1(n)] + T[x2(n)]
Παράδειγμα: y(n)=T[x(n)]=x(n)+x(-n)
Ισχύει η αρχή της επαλληλίας (υπέρθεσης):
T[x1(n)+x2(n)] = (x1(n)+x2(n)) + (x1(-n)+x2(-n)) =
= (x1(n)+x1(-n)) + (x2(n)+x2(-n)) =
= T[x1(n)] + T[x2(n)]
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
53
Ομογένεια
T[c x(n)] = c T[x(n)]
Παράδειγμα: y(n)=T[x(n)]=x2(n)/x(n-1)
Το σύστημα είναι ομογενές:
T[c x(n)] = (c x(n))2 / (c x(n-1)) =
= c x2(n)/x(n-1) = c T[x(n)]
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
54
Γραμμικό Σύστημα
(Linear System)
T[c1 x1(n) + c2 x2(n)] = c1 T[x1(n)] + c2 T[x2(n)]
Ισχύει η αρχή της επαλληλίας και η ομογένεια
Παράδειγμα: y(n)=T[x(n)]=x(n)sin(πn/2)
Το σύστημα είναι γραμμικό:
T[c1 x1(n) + c2 x2(n)] =
= (c1 x1(n) + c2 x2(n)) sin(πn/2) =
= c1 x1(n) sin(πn/2) + c2 x2(n) sin(πn/2) =
= c1 T[x1(n)] + c2 T[x2(n)]
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
55
Σύστημα Αμετάβλητο Κατά τη Μετατόπιση
(Time Invariant system)
Αν y(n)=T[x(n)], τότε y(n-n0)=T[x(n-n0)]
Παράδειγμα: y(n)=T[x(n)]=x2(n)
Το σύστημα είναι Αμετάβλητο Κατά τη Μετατόπιση:
y(n-n0) = x2(n-n0) = T[x(n-n0)]
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
56
Γραμμικό Αμετάβλητο Κατά τη Μετατόπιση (ΓΑΚΜ) Σύστημα
(Linear Time Invariant (LTI) System)

y (n)  T [ x(n)]  T [  x(k ) (n  k )] 
ά ά
k  


 [ x(k ) (n  k )] 
 ή  ί
k  



 x(k )[ (n  k )]   x(k )h (n) 
k  

k  

 x ( k ) h( n  k )
k
έ
ά  ά  ό
k  
y(n)  T [ x(n)] y(n  n0)  T [ x(n  n0)]
h(n)  T [ (n)] h(n  k )  T [ (n  k )]  hk (n)
h(n) ή ό(ό ί  (n))
y ( n) 

 x(k )h(n  k )  x(n) * h(n)
ή έ
k  
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
57
Αιτιότητα
Η έξοδος για n=n0 εξαρτάται από τις εισόδους μέχρι n=n0
LTI αιτιατό: h(n)=0, n<0
Παράδειγμα:
Αιτιατό: y(n)=x(n)+x(n-1)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
58
Ευστάθεια
Bounded Input Bounded Output (BIBO) stability
Αν |x(n)|<A, τότε |y(n)|<B
LTI ευσταθές:

 h( n)  C
n  
Παράδειγμα:
Ευσταθές: h(n)=anu(n) αν |a|<1
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
59
Αντιστρεψιμότητα
Αν x1(n)≠x2(n), τότε y1(n)]≠y2(n)
Η είσοδος μπορεί να προσδιοριστεί από την έξοδο
με μοναδικό τρόπο
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
60
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΝΕΛΙΞΗ
y(n)  h(n) * x(n) 

 x(k )h(n  k )
k  
function [y,ny]=sigconv(x,nx,h,nh)
% linear convolution
% y(n)=x(n)*h(n)
nyb=nx(1)+nh(1);
nye=nx(length(x))+nh(length(h));
ny=[nyb:nye];
y=conv(x,h);
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
61
Ιδιότητες Γραμμικής Συνέλιξης
ταυτοτικό στοιχείο της συνέλιξης είναι η το σήμα δ(n)
x(n)*δ(n)=x(n)
αντιμεταθετική ιδιότητα
x1(n)*x2(n)=x2(n)*x1(n)
προσεταιριστική ιδιότητα
x1(n)*[x2(n)*x3(n)]=[x1(n)*x2(n)]*x3(n)
επιμεριστική ιδιότητα
x1(n)*[x2(n)+x3(n)]=x1(n)*x2(n)+x1(n)*x3(n)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
62
Γραμμική Συνέλιξη
σημάτων πεπερασμένου μήκους
Όταν τα σήματα είναι πεπερασμένου μήκους,
τότε η συνέλιξή τους είναι και αυτή
ένα σήμα πεπερασμένου μήκους:
Αν το σήμα h(n) είναι πεπερασμένου μήκους Lh
στο διάστημα [Mh,Nh]
και το σήμα x(n) είναι πεπερασμένου μήκους Lx
στο διάστημα [Mx,Nx],
τότε το σήμα y(n)= h(n)*x(n) είναι πεπερασμένου μήκους Ly
στο διάστημα [My,Ny]
όπου Ly=Lx+Lh-1
My=Mx+Mh
Ny=Nx+Nh
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
63
Υπολογισμός Γραμμικής Συνέλιξης
σημάτων πεπερασμένου μήκους
-2
3
-1
1
3
2
3
0
2
2
1
2
3
1
1
3
1
1
2
3
1
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
2
2
1
2
3
4
3
3
1
2
3
10
4
1
2
3
12
5
1
2
9
6
n
x(n)
h(n)
h(-n)
[1,3]
[-1,1]
y(0)=1∙1+2∙0+3∙0
y(1)=1∙2+2∙1+3∙0
y(2)=1∙3+2∙2+3∙1
y(3)=1∙0+2∙3+3∙2
y(4)=1∙0+2∙0+3∙3
1
9
y(n)=x(n)*h(n)
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
[0,4]
64
Γραμμική Συνέλιξη: Παράδειγμα
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
65
Ετεροσυσχέτιση (Crosscorrelation)
rxy (n) 
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ


k  
k  
 x(k ) y(n  k )   x(k ) y(k  n) x(n) * y(n)
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
66
Αυτοσυσχέτιση (Autocorrelation)
rx (n) 
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ


k  
k  
 x(k ) y(n  k )   x(k ) y(k  n) x(n) * x(n)
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
67
ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ
Η είσοδος x(n) και η έξοδος y(n)
ενός συστήματος γραμμικού αμετάβλητου κατά τη μετατόπιση
(Linear Time Invariant – LTI)
συνδέονται με τη σχέση:
y(n)=x(n)*h(n)
όπου
h(n) είναι η κρουστική απόκριση του συστήματος,
δηλαδή η έξοδος του συστήματος
για είσοδο
x(n)=δ(n)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
68
Συστήματα συνδεδεμένα σε σειρά
Αν ένα σύστημα που έχει είσοδο x(n), κρουστική
απόκριση h1(n) και έξοδο w(n) συνδεθεί σε σειρά με ένα
σύστημα που έχει κρουστική απόκριση h2(n) και έξοδο
y(n), δηλαδή:
y(n)=w(n)*h2(n)
w(n)=x(n)*h1(n)
τότε το συνολικό σύστημα έχει είσοδο x(n), έξοδο y(n) και
κρουστική απόκριση
h(n)=h1(n)*h2(n)
όπου y(n)=x(n)*h(n)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
69
Συστήματα συνδεδεμένα παράλληλα
Αν ένα σύστημα που έχει είσοδο x(n), κρουστική
απόκριση h1(n) και έξοδο w(n) συνδεθεί παράλληλα με
ένα σύστημα που έχει που έχει είσοδο x(n), κρουστική
απόκριση h2(n) και έξοδο v(n) προσθέτοντας τις εξόδους
των φίλτρων, δηλαδή:
y(n)=w(n)+v(n)
w(n)=x(n)*h1(n)
v(n)=x(n)*h2(n)
τότε το συνολικό σύστημα έχει είσοδο x(n), έξοδο y(n) και
κρουστική απόκριση
h(n)=h1(n)+h2(n)
όπου y(n)=x(n)*h(n)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
70
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΩΝ
ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ
Κάθε γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα (φίλτρο)
περιγράφεται με μία
γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές
(ΓΕΔΣΣ):
M
N
k 0
k 1
y ( n)   b( k ) x ( n  k )   a ( k ) y ( n  k )
Η κρουστική απόκριση του φίλτρου h(n)
είναι η λύση της εξίσωσης διαφορών για x(n)=δ(n)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
71
Κατηγορίες Φίλτρων
Τα γραμμικά χρονικά αμετάβλητα φίλτρα
χωρίζονται σε δύο κατηγορίες
ανάλογα με το μήκος της κρουστικής τους απόκρισης:
•
τα φίλτρα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης
(Finite-duration Impulse Response – FIR)
• τα φίλτρα άπειρης κρουστικής απόκρισης
(Infinite-duration Impulse Response – IIR)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
72
Φίλτρα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης
Τα FIR φίλτρα περιγράφονται από την εξίσωση διαφορών:
M
y ( n)   b( k ) x ( n  k )
k 0
Moving Average (MA)
Κρουστική Απόκριση φίλτρων FIR
M
h(n)   b(k ) (n  k )
k 0
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
73
Φίλτρα άπειρης κρουστικής απόκρισης
Τα IIR φίλτρα περιγράφονται από τις εξισώσεις διαφορών:
N
y(n)  x(n)   a(k ) y(n  k )
k 1
Auto Regressive (AR)
M
N
k 0
k 1
y ( n)   b( k ) x ( n  k )   a ( k ) y ( n  k )
Auto Regressive Moving Average (ARMA)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
74
Επίλυση ΓΕΔΣΣ FIR Φίλτρων
Υπολογισμός κρουστικής απόκρισης h(n)
y(n)=x(n)*h(n)
Παράδειγμα
y(n)=x(n)-x(n-2)
x(n)=nu(n)
h(n)=δ(n)-δ(n-2)
y(n)=nu(n)-(n-2)u(n-2)=x(n)*h(n)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
75
FIR (MA)
Παράδειγμα: y(n)=x(n)-x(n-2)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
76
Επίλυση ΓΕΔΣΣ IIR Φίλτρων
y(n)=yp(n)+yh(n)
Η μερική λύση yp(n)
ικανοποιεί τη ΓΕΔΣΣ
για τη δεδομένη είσοδο x(n)
με μηδενικές αρχικές συνθήκες
Η ομογενής λύση yh(n)
αντιστοιχεί στην απόκριση του φίλτρου
για μηδενική είσοδο x(n)=0
με τις δεδομένες αρχικές συνθήκες
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
77
Μερική Λύση
Όρος στην είσοδο x(n)
Μερική Λύση
c
c1
c∙n
c1∙n+c2
c∙an
c1∙an
c∙cos(ωn)
c1∙cos(ωn)+c2∙sin(ωn)
c∙sin(ωn)
c1∙cos(ωn)+c2∙sin(ωn)
c∙δ(n)
0
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
78
Ομογενής Λύση
yh(n)=zn
Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο
z N  a(1) z N 1  a(2) z N 2  ...  a( N  1) z  a( N )  0
Αν το Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο
έχει απλές ρίζες, τότε
yh (n)  Ak z kn
Οι συντελεστές Ak υπολογίζονται έτσι ώστε
να ικανοποιούνται οι αρχικές συνθήκες
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
79
Παράδειγμα Επίλυσης ΓΕΔΣΣ IIR Φίλτρου
y(n)  x(n)  15 y(n 1), y(1)  0, x(n)  u(n)
ή ύ
y p (n)  c  c  x(n)  15 c  1  15 c  c  54  y p (n)  54
ή ύ
yh (n)  z n  x(n)  0  yh (n)  15 yh (n  1) 
 z n  15 z n 1  z n 1 ( z  15 )  0 
 yh (n)  A( 15 ) n
y (n)  y p (n)  yh (n)  54  A( 15 ) n
 y (0)  54  A( 15 ) 0
  y (0)  54  A 5
1

 
  4  A 1 A   4
1
 y (0)  x(0)  5 y (1)  y (0)  1  0 
y (n)  54  14 ( 15 ) n
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
80
IIR (AR)
Παράδειγμα: y(n)=x(n)+0.5y(n-1)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
81
IIR (ARMA)
Παράδειγμα: y(n)=x(n)-x(n-1)+0.5y(n-1)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
82
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER
ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ (DTFT)
•
•
•
•
ΟΡΙΣΜΟΣ DTFT
ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ
ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΕΔΣΣ ΜΕ DTFT
ΦΙΛΤΡΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
83
ΟΡΙΣΜΟΣ DTFT
Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (Discrete
Time Fourier Transform – DTFT) ενός σήματος x(n)
ορίζεται ως ακολούθως:
j
X (e ) 

 jn
x
(
n
)
e

n  
Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου του
σήματος x(n) υπάρχει αν ισχύει η σχέση:

 x ( n)  S  
n  
Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου
είναι περιοδικός ως προς ω με περίοδο 2π
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
84
Ζευγάρια DTFT
σήμα
μετασχηματισμός Fourier
διακριτού χρόνου διακριτού χρόνου (DTFT)
x(n)
X(ejω)
δ(n)
1
δ(n-n0)
e-jωn0
1
2πδ(ω)
ejω0n
2πδ(ω-ω0)
anu(n), -1<a<1
1/(1-ae-jω)
cos(nω0)
πδ(ω+ω0)+πδ(ω-ω0)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
85
DTFT Παράδειγμα: x(n)=0.9n ejnπ/3
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
86
Ιδιότητες DTFT
ιδιότητα
μετασχηματισμού Fourier
διακριτού χρόνου (DTFT)
σήμα
διακριτού χρόνου
x(n)
μετασχηματισμός Fourier
διακριτού χρόνου (DTFT)
X(ejω)
c1 x1(n) + c2 x2(n)
c1 X1(ejω) + c2 X2(ejω)
μετατόπιση στο χρόνο
x(n-n0)
e-jωn0 X(ejω)
αντιστροφή στο χρόνο
x(-n)
X(e-jω)
e-jωn0 x(n)
X(ej(ω-ωo))
x1(n)*x2(n)
X1(ejω) X2(ejω)
γραμμικότητα
μετατόπιση στη συχνότητα
συνέλιξη στο χρόνο
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
87
Μετατόπιση στη συχνότητα
Παράδειγμα: x(n)=cos(πn/2) y(n)=ejnπ/4 x(n)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
88
Υπολογισμός DTFT
x(n)  a n u(n), a  1

 x(n) 
n  
j
X (e ) 

 x(n)e
n  
 jn



 a u(n)   a 
n  
 a u(n)e
n
n  

n
n
n 0
 jn

 a e
n
1

1 a
 jn
n 0

  (ae  j ) n 
n 0
1
1  ae j
ae  j  a e  j  a cos(  )  j sin(  )  a 1  a  1
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
89
ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ
Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) H(ejω)
της κρουστικής απόκρισης h(n) ονομάζεται απόκριση συχνότητας:
H (e j ) 

 jn
h
(
n
)
e

n  
Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT)
X(ejω) της εισόδου x(n) και
ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT)
Y(ejω) της εξόδου y(n) του φίλτρου
συνδέονται με τη σχέση:
Y(ejω)=H(ejω) X(ejω)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
90
Συστήματα συνδεδεμένα σε σειρά
Αν ένα σύστημα που έχει είσοδο x(n), απόκριση
συχνότητας H1(ejω) και έξοδο w(n) συνδεθεί σε σειρά με
ένα σύστημα που έχει απόκριση συχνότητας H2(ejω) και
έξοδο y(n), δηλαδή:
Y(ejω)= H2(ejω) W(ejω)
W(ejω)= H1(ejω) X(ejω)
τότε το συνολικό σύστημα έχει είσοδο x(n), έξοδο y(n) και
απόκριση συχνότητας
H(ejω)= H1(ejω) H2(ejω)
όπου Y(ejω)= H(ejω) X(ejω)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
91
Συστήματα συνδεδεμένα παράλληλα
Αν ένα σύστημα που έχει είσοδο x(n), απόκριση
συχνότητας H1(ejω) και έξοδο w(n) συνδεθεί παράλληλα
με ένα σύστημα που έχει που έχει είσοδο x(n) απόκριση
συχνότητας H2(ejω) και έξοδο v(n) προσθέτοντας τις
εξόδους των φίλτρων, δηλαδή:
Y(ejω)= W(ejω) V(ejω)
W(ejω)= H1(ejω) X(ejω)
V(ejω)= H2(ejω) X(ejω)
τότε το συνολικό σύστημα έχει είσοδο x(n), έξοδο y(n) και
απόκριση συχνότητας
H(ejω)= H1(ejω) + H2(ejω)
όπου Y(ejω)= H(ejω) X(ejω)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
92
ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΕΔΣΣ ΜΕ DTFT
ΓΑΚΜ και ΓΕΔΣΣ
M
N
k 0
k 1
M
N
k 0
k 0
y ( n)   b( k ) x ( n  k )   a ( k ) y ( n  k )
Y (e j )   b(k )e  jk X (e j )   a(k )e  jkY (e j )
M
j
Y
(
e
)
H ( e j ) 

j
X (e )
 jk
b
(
k
)
e

k 0
N
1   a(k )e  jk
k 0
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
93
Παράδειγμα Επίλυσης ΓΕΔΣΣ με DTFT
y(n)  x(n)  x(n  2)  14 y(n 1), x(n)   (n)
j
2 j
Y
(
e
)
1

e
H (e j ) 

j
X (e ) 1  14 e j
X (e j )  1
1
e2 j
Y (e ) 
 1  j
1  j
1 4 e
1 4 e
j
1 n 2
4
y(n)  ( ) u(n)  ( )
1 n
4
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
u(n  2)
94
ΦΙΛΤΡΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Τα ιδανικά φίλτρα επιλογής συχνοτήτων έχουν
κατά τμήματα σταθερό πλάτος απόκρισης συχνότητας
• χαμηλοπερατά φίλτρα (Low Pass)
H(ejω)=1 για ω[-ωc,ωc] όπου 0<ωc<π
• υψηπερατά φίλτρα (High Pass)
H(ejω)=1 για ω[-ωc,ωc] όπου 0<ωc<π
• ζωνοπερατά φίλτρα (Band Pass)
H(ejω)=1 για ω[-ω2,-ω1] και για ω[ω1,ω2] με 0<ω1<ω2<π
• ζωνοφρακτικά φίλτρα (Band Stop)
H(ejω)=1 για ω [-ω2,-ω1] και για ω[ω1,ω2] με 0<ω1<ω2<π
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
95
Low Pass
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
96
High Pass
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
97
Band Pass
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
98
Band Stop
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
99
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ
•
•
•
•
ΔΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z
ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z
ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
100
ΔΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z
Ο δίπλευρος μετασχηματισμός z (bilateral z-transform)
ενός σήματος διακριτού χρόνου x(n) ορίζεται ως
ακολούθως:
X ( z) 

 x ( n) z
n
n  
όπου η μιγαδική μεταβλητή z ονομάζεται μιγαδική
συχνότητα και είναι ίση με z=|z|ejω όπου ω είναι η
πραγματική συχνότητα.
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
101
Περιοχή Σύγκλισης
Περιοχή Σύγκλισης (ΠΣ)
(Region Of Convergence - ROC)
είναι το σύνολο των τιμών της μεταβλητής z
για το οποίο υπάρχει η X(z).
Η σχέση |z|=1 (ή z=ejω ) ορίζει
το Μοναδιαίο Κύκλο (Unit Circle) στο μιγαδικό επίπεδο.
Αν η Περιοχή Σύγκλισης περιέχει το Μοναδιαίο Κύκλο,
τότε η X(z) υπολογίζεται πάνω στο Μοναδιαίο κύκλο και
ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου X(ejω)
αποτελεί ειδική περίπτωση του μετασχηματισμού z X(z).
j
X ( z) z e j  X (e )
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
102
Ιδιότητες της Περιοχής Σύγκλισης
- αν x(n) είναι ακολουθία δεξιάς πλευράς: x(n)=0, n<n0
τότε η ΠΣ είναι η εξωτερική επιφάνεια ενός κύκλου |z|>a
- αν x(n) είναι ακολουθία αριστερής πλευράς: x(n)=0, n>n0
τότε η ΠΣ είναι η εσωτερική επιφάνεια ενός κύκλου |z|<b
- αν x(n) είναι αμφίπλευρη ακολουθία
τότε η ΠΣ είναι η δακτυλιοειδής επιφάνεια a<|z|<b
- αν x(n) είναι ακολουθία πεπερασμένου μήκους:
x(n)=0, n<n1 και n>n2
τότε η ΠΣ είναι ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο z
εκτός ίσως από τα σημεία z=0 και z=
αν n2>0 τότε το σημείο z=0 δεν ανήκει στην ΠΣ
αν n1<0 τότε το σημείο z= δεν ανήκει στην ΠΣ
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
103
Ζευγάρια Μετασχηματισμού z
σήμα διακριτού χρόνου
x(n)
μετασχηματισμός z
X(z)
περιοχή
σύγκλισης
δ(n)
1
z
anu(n)
1/(1-az-1)
|z|>|a|
-anu(-n-1)
1/(1-az-1)
|z|<|a|
nanu(n)
az-1/(1-az-1)2
|z|>|a|
-nanu(-n-1)
az-1/(1-az-1)2
|z|<|a|
cos(nω0) u(n)
(1-cos(ω0)z -1)/(1-2cos (ω0)z-1+z-2)
|z|>1
sin(ω0) u(n)
sin(ω0)z -1/(1-2cos (ω0)z-1+z-2)
|z|>1
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
104
Ιδιότητες Μετασχηματισμού z
ιδιότητα
μετασχηματισμού z
σήμα
μετασχηματισμός z
διακριτού χρόνου
X(z)
x(n)
περιοχή
σύγκλισης
c1x1(n)+c2x2(n)
c1X1(z)+c2X2(z)
Rx1  Rx2
μετατόπιση στο χρόνο
x(n-n0)
z-n0 X(z)
Rx
αντιστροφή στο χρόνο
x(-n)
X(z-1)
1 / Rx
an x(n)
X(a-1z)
|a| Rx
x1(n) * x2(n)
X1(z) X2(z)
Rx1  Rx2
x*(n)
X*(z*)
Rx
γραμμικότητα
μετατόπιση στη συχνότητα
συνέλιξη στο χρόνο
μιγαδική συζυγία
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
105
Πόλοι και Μηδενικά
Έστω X(z) είναι ρητή συνάρτηση του z:
X(z)=B(z)/A(z)
Οι ρίζες του B(z) καλούνται μηδενικά (zeros) της X(z)
Οι ρίζες του A(z) καλούνται πόλοι (poles) της X(z)
Στο διάγραμμα πόλων-μηδενικών στο μιγαδικό επίπεδο
τα μηδενικά συμβολίζονται με το σύμβολο ‘o’ και
οι πόλοι με το σύμβολο ‘x’
Η Περιοχή Σύγκλισης δεν περιλαμβάνει τους πόλους
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
106
Υπολογισμός Πόλων και Μηδενικών
X ( z) 
1
1  108 z 1

z
z  108
zplane(b,a)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
107
Υπολογισμός Μετασχηματισμού z
x ( n)  a n u ( n)
X ( z) 

1

n  
n  
n 0
n
n
n n
x
(
n
)
z

0
z

a


 z 

1
z
  (az ) 

1
za
1  az
n 0
1 n
 az 1  1 ή z  a
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
108
Σήματα με ίδιο Μετασχηματισμό z
Διαφορετικά σήματα μπορούν να έχουν
την ίδια συναρτησιακή μορφή μετασχηματισμού z
με διαφορετική Περιοχή Σύγκλισης
1
, z  0.5
1  0.5 z 1
1
 2 n u (n  1) 
,z 2
1  2 z 1
x1(n)  0.5 n u (n)  2 n u (n  1) 
1
, z  0.5
1  0.5 z 1
1
2 n u ( n) 
,z 2
1
1  2z
x 2(n)  0.5 n u (n)  2 n u (n) 
0.5 n u (n) 
0.5 n u (n) 
1
1

1  0.5 z 1 1  2 z 1
  ή ύ
 X 2( z ) 
 X 1( z ) 
z  0.5  z  2  0.5  z  2
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
1
1

1  0.5 z 1 1  2 z 1
  ή ύ
z  0.5  z  2  z  2
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
109
Θεώρημα Αρχικής Τιμής
 x(n)  0, n  0,ό X ( z ) z
 x(0)

X ( z) 

 x ( n) z
n
n  
1
  0z
n  
n

  x ( n) z  n 
n 0
 x(0)  x(1) z 1  x(2) z  2  ... z
 x(0)

 x(n)  0, n  0,ό X ( z ) z
 x(0)
0
X ( z) 

 x ( n) z
n  
n
0
  x ( n) z
n
n  

  0 z n 
n 1
 ...  x(2) z 2  x(1) z 1  x(0)  ... z
 x(0)
0
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
110
ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z
Αν η X(z) είναι ρητή συνάρτηση του z
με πόλους pk, k=1,2,…,N
τότε για τον υπολογισμό του αντίστροφου μετασχηματισμού z
χρησιμοποιείται η μέθοδος
ανάπτυξης της X(z) σε άθροισμα μερικών κλασμάτων.
M
B( z )
X ( z) 

A( z )
k
b
(
k
)
z

k 0
N
k
a
(
k
)
z

k 1
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
111
Απλοί Πόλοι Ν>Μ
N
Rk
X ( z)  
1
k 1 1  pk z
1
Rk  [(1  pk z ) X ( z )]
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
z  pk
112
Απλοί Πόλοι Ν Μ
N
Rk
X ( z)  

1
k 1 1  pk z
M N
C z
k 0
k
k
1
Rk  [(1  pk z ) X ( z )]
z  pk
οι συντελεστές Ck υπολογίζονται
εκτελώντας τη διαίρεση B(z)/A(z)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
113
Παράδειγμα Αντίστροφου Μετασχηματισμού z
1
, z 2
1
2
1  3z  2 z
1
X ( z) 
(1  2 z 1 )(1  z 1 )
X ( z) 


1
A1  (1  2 z 1 )
2
1
1 
(1  2 z )(1  z )  z  2



1
A2  (1  z 1 )
 1
1
1 
(1  2 z )(1  z )  z  1

1
1
X ( z)  2

(

1
)

1
1
1 2z
1 z
1
1
2

1  (2) z 1 1  (1) z 1
x(n)  2(2) n u (n)  (1) n u (n)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
114
Παράδειγμα Ανάπτυξης σε Μερικά Κλάσματα Ν>Μ
z 1
z 1
1
1
X ( z) 


4

(

4
)
1  34 z 1  18 z 2 (1  12 z 1 )(1  14 z 1 )
(1  12 z 1 )
(1  14 z 1 )
[R,p,C]=residuez(b,a)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
b=[0,1]
a=[1,-0.75,0.125]
[R,p,C]=residuez(b,a)
R=
4
-4
p=
0.5000
0.2500
C=
[]
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
115
Παράδειγμα Ανάπτυξης σε Μερικά Κλάσματα Ν  Μ
4  74 z 1  14 z 2
2  14 z 1
1
1
X ( z) 

2


2

3

(

1
)
1  34 z 1  18 z 2
(1  12 z 1 )(1  14 z 1 )
(1  12 z 1 )
(1  14 z 1 )
[R,p,C]=residuez(b,a)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
b=[4,-1.75,0.25]
a=[1,-0.75,0.125]
[R,p,C]=residuez(b,a)
R=
3
-1
p=
0.5000
0.2500
C=
2
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
116
ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z
Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός z
(one-sided z-transform)
ενός σήματος διακριτού χρόνου x(n)
ορίζεται ως ο μετασχηματισμός z
του σήματος x(n)u(n):

X ( z )   x ( n) z

n
n 0
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
117
Ιδιότητα Μετατόπισης στο Χρόνο
Αν X+(z) είναι ο μονόπλευρος μετασχηματισμός z του
σήματος x(n), τότε
- ο μονόπλευρος μετασχηματισμός z του σήματος x(n-n0),
n0>0 [δεξιά ολίσθηση] είναι:
n0
z n0 X  ( z )  z n0  x(i) z i
i 1
- ο μονόπλευρος μετασχηματισμός z του σήματος x(n-n0),
n0<0 [αριστερή ολίσθηση] είναι:
n0 1
z n0 X  ( z )  z n0  x(i) z i
i 0
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
118
Επίλυση ΓΕΔΣΣ
με μη μηδενικές αρχικές συνθήκες
xic=filtic(b,a,Y)
y=filter(b,a,x,xic)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
119
Παράδειγμα Επίλυσης ΓΕΔΣΣ
y(n)  12 y(n 1)  x(n), y(1)  14 , x(n)  u(n)
Y  ( z )  12 [ z 1Y  ( z )  y (1)]  X  ( z )  12 z 1Y  ( z )  12 14 
1

1
1 z
9
1 1

1

8
8 z
1 1
1
 Y ( z )[1  2 z ]  8 


1
1
1 z
1 z
9
1 1
1
1

8 8 z
7
 Y ( z) 



2

8
1
1
1 1
1 1
(1  2 z )(1  z )
(1  2 z )
(1  z )
 y (n)   78 ( 12 ) n u (n)  2u (n)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
120
Μορφές λύσης ΓΕΔΣΣ
πόλοι
απόκριση
μέσα στο Μ.Κ.
transient response
πάνω στο Μ.Κ.
steady state response
έξω από το Μ.Κ. unbounded response
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
121
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
Συνάρτηση Μεταφοράς ενός LTI φίλτρου
είναι ο Μετασχηματισμός z
της κρουστικής απόκρισης του φίλτρου
και είναι ρητή συνάρτηση του z
q
Y ( z)
H ( z) 

X ( z)
 b( k ) z
k 0
p
1   a(k ) z  k
k 0
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
q
k
C
1
(
1


z
)

k
k 1
p
1
(
1


z
)

k
k 1
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
122
Αιτιατό Σύστημα
h(n)=0, n<0
Π.Σ. της H(z): |z|>a και πόλοι ανήκουν στο |z|≤a
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
123
Ευσταθές Σύστημα

 h( n)  C
n  
Ο Μ.Κ. ανήκει στην Π.Σ. της H(z)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
124
Πραγματοποιήσιμο Σύστημα
Ευσταθές και Αιτιατό
Π.Σ. της H(z): |z|>a, 0 ≤ a<1
δηλαδή πόλοι ανήκουν στο εσωτερικό του Μ.Κ.
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
125
Αντίστροφα Συστήματα
H(z) G(z) = 1
Η Π.Σ. της H(z) επικαλύπτεται από την Π.Σ. της G(z)
δηλαδή η τομή των Π.Σ. των H(z) και G(z)
δεν είναι το κενό σύνολο
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
126
Σύστημα Ανάδρασης
H(z): σύστημα ευθύ κλάδου
G(z): σύστημα κλάδου ανάδρασης
Q(z): συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόγχου
+
+
X(z)
H(z)
-
G(z)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
Y(z)
Y ( z )  H ( z )[ X ( z )  G ( z )Y ( z )] 
 Y ( z )[1  H ( z )G ( z )]  H ( z ) X ( z ) 
Y ( z)
H ( z)
 Q( z ) 

X ( z ) 1  H ( z )G ( z )
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
127
Ανάδραση και Ευστάθεια
Το σύστημα ευθύ κλάδου H(z) είναι ασταθές
γιατί ο Μ.Κ. δεν ανήκει στην Π.Σ. της H(z)
αφού πόλος α>1
1
, ό   1.2
1  1.2 z 1
G( z)  K  0
H ( z) 
1
1
H ( z)
1
Q( z ) 
 11.21z

,
1
1  H ( z )G ( z ) 1 
K
(
1

K
)

1
.
2
z
1
11.2 z
ό  ' 
1.2
1 
Για να είναι το συνολικό σύστημα Q(z) ευσταθές
πρέπει ο Μ.Κ. να ανήκει στην Π.Σ. της Q(z)
δηλαδή πόλος α’<1 ή Κ>0.2
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
128
ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ
FOURIER (DFT)
• DFS
• DFT
• FFT
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
129
DFS
Η Διακριτή Σειρά Fourier (Discrete Fourier Series –
DFS) ενός περιοδικού σήματος με περίοδο Ν ορίζεται ως
ακολούθως:
N 1
~
nk
~
X (k )   x (n)WN
n 0
WN  e
 j 2 / N
Οι συντελεστές της DFS είναι περιοδικοί με περίοδο Ν.
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
130
Ιδιότητες DFS
ιδιότητα DFS
γραμμικότητα
μετατόπιση
περιοδική συνέλιξη
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
Περιοδικό σήμα
διακριτού χρόνου
~
x1(n)  ~
x 2(n)
~
x (n  n0 )
~
x1(n)  ~
x 2(n)
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
DFS
~
~
X1(k )  X 2(k )
kn0
N
W
~
X (k )
~
~
X1(k ) X 2(k )
131
Περιοδική Συνέλιξη
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
0
1
0
1
1
0
2
1
1
3
1
1
4
0
0
5
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
2
2
2
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
132
DFT
Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier
Transform – DFT) ενός σήματος x(n) πεπερασμένου
μήκους N που μηδενίζεται έξω από το διάστημα [0,N-1]
ορίζεται ως ακολούθως:
N 1
X (k )   x(n)WNnk , 0  k  N
n 0
WN  e
 j 2 / N
και ο αντίστροφος διακριτός μετασχηματισμός Fourier
(Inverse Discrete Fourier Transform – IDFT) ορίζεται ως
ακολούθως:
1 N 1
x(n)   X (k )WNnk , 0  n  N
N k 0
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
133
Ιδιότητες DFT
ιδιότητα
διακριτού
μετασχηματισμού
Fourier (DFT)
γραμμικότητα
σήμα
διακριτού
χρόνου
x(n)
διακριτός
μετασχηματισμός
Fourier (DFT)
X(k)
c1 x1(n) + c2 x2(n)
c1 X1(k) + c2 X2(k)
συμμετρία
x(n) πραγματικό σήμα X(k)=X*((-k))=X*((N-k))N
πραγματικού σήματος
συμμετρία
x(n) φανταστικό σήμα X(k)=-X*((-k))=-X*((N-k))N
φανταστικού σήματος
κυκλική μετατόπιση
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
x((n-n0))N RN(n)
και
(WN)nk0x(n)
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
(WN)n0k X(k)
X((k+k0))N
134
Υπολογισμός DFT
function [Xk]=sigdft(xn,N)
% DFT
% x(n) -- X(k)
% N = length of x(n)
n=[0:1:N-1];
k=[0:1:N-1];
WN=exp(-j*2*pi/N);
nk=n'*k;
WNnk=WN.^nk;
Xk=xn*WNnk;
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
135
Παράδειγμα υπολογισμού DFT
x (n) x(0) = 0
x(1)= 1
x(2)= 2
x(3)= 2
X(k) X(0)= 5.0000
X(1)= -2.0000 + 1.0000i
X(2)= -1.0000
X(3)= -2.0000 - 1.0000i
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
136
Κυκλική Μετατόπιση
function [y]=sigcirshift(x,m,N)
% circural shift
% x(n) of length N
% y(n) = x((n-m))N
x=[x zeros(1,N-length(x))];
n=[0:1:N-1];
n=mod(n-m,N);
y=x(n+1);
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
137
Παράδειγμα Κυκλικής Μετατόπισης
x(n) n=0..3
0
1
2
2
Κυκλική μετατόπιση κατά 1
Κυκλική μετατόπιση κατά 2
Κυκλική μετατόπιση κατά 3
Κυκλική μετατόπιση κατά 4
2
2
1
0
0
2
2
1
1
0
2
2
2
1
0
2
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
138
Κυκλική Συνέλιξη
Η κυκλική συνέλιξη N σημείων δύο σημάτων διακριτού
χρόνου πεπερασμένου μήκους N ορίζεται ως ακολούθως:
 N 1 ~ ~

y(n)  h(n)(N ) x(n)   x (k )h (n  k ) RN (n)
 k 0

Αν το σήμα x(n) είναι πεπερασμένου μήκους N1 και το
σήμα h(n) είναι πεπερασμένου μήκους N2 όπου N1N2,
τότε η κυκλική συνέλιξη N σημείων y(n)=h(n)(N)x(n)
είναι πεπερασμένου μήκους Ν όπου Nmax{N1,N2}και
υπολογίζεται αφού πρώτα τα σήματα συμπληρωθούν με
μηδενικά ώστε να αποκτήσουν μήκος N.
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
139
Υπολογισμός Κυκλικής Συνέλιξης
function [y]=sigcirconv(x1,x2,N)
% circular convolution
% y(n)=x1(n) N x2(n)
x1=[x1 zeros(1,N-length(x1))];
x2=[x2 zeros(1,N-length(x2))];
m=[0:1:N-1];
x2=x2(mod(-m,N)+1);
H=zeros(N,N);
for n=1:1:N
H(n,:)=sigcirshift(x2,n-1,N);
end;
y=x1*H';
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
140
Παράδειγμα υπολογισμού Κυκλικής Συνέλιξης
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
0
1
1
1
1
-1
1
0
1
2
-1
-1
0
1
-1
1
2
3
1
1
1
0
1
-1
3
3
0
-1
1
0
1
1
4
2
2
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
141
Γραμμική και Κυκλική συνέλιξη
Η γραμμική και η κυκλική συνέλιξη δύο σημάτων
διακριτού χρόνου πεπερασμένου μήκους δεν είναι γενικά
ίσες μεταξύ τους.
Αν το σήμα x(n) είναι πεπερασμένου μήκους N1 και
το σήμα h(n) είναι πεπερασμένου μήκους N2,
τότε η γραμμική συνέλιξη yl(n)=h(n)*x(n)
είναι πεπερασμένου μήκους Nl=N1+N2-1 και
η κυκλική συνέλιξη N σημείων yc(n)=h(n)(N)x(n)
είναι πεπερασμένου μήκους Nc=Ν.
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
142
Σχέση Γραμμικής και Κυκλικής Συνέλιξης Nc Nl
yl(n)=h(n)*x(n)=h(n)(N)x(n)=yc(n)
δηλαδή η γραμμική και η κυκλική συνέλιξη είναι ίσες
μεταξύ τους.
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
143
Σχέση Γραμμικής και Κυκλικής Συνέλιξης Nc<Nl
yc(n)=yl(n)+yl(n+Nc) όπου n[0,Nc-1]
δηλαδή η γραμμική και η κυκλική συνέλιξη δεν είναι ίσες
μεταξύ τους.
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
144
IDFT μέσω DFT
X (k )  X * (k ) DFT

 g (n)  x(n) 
1 *
g ( n)
N
N 1


*
nk
g
(
n
)

X
(
k
)
W

N




k 0


N 1
N 1
 x ( n)  1
X (k )W N nk  Nx * (n)   X * (k )W Nnk 



N k 0
k 0
 Nx * (n)  g (n) 
1
 x ( n)  g * ( n)
N
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
145
FFT
Γρήγορος μετασχηματισμός Fourier
(Fast Fourier Transform – FFT)
ονομάζεται το σύνολο των γρήγορων αλγορίθμων
για τον υπολογισμό του διακριτού μετασχηματισμού Fourier
(Discrete Fourier Transform – DFT).
Ο χρόνος εκτέλεσης του διακριτού μετασχηματισμού Fourier
(Discrete Fourier Transform – DFT) είναι της τάξης O(N2).
Ο χρόνος εκτέλεσης του γρήγορου μετασχηματισμού Fourier
(Fast Fourier Transform – FFT) είναι της τάξης O(Nlog2N)
όταν N είναι δύναμη του 2.
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
146
Αλγόριθμοι FFT
Τυπικοί αλγόριθμοι FFT είναι οι ακόλουθοι:
• FFT με βάση 2 (radix-2 FFT)
- διαίρεσης στο χρόνο
(Decimation In Time FFT - DIT-FFT)
- διαίρεσης στη συχνότητα
(Decimation In Frequency FFT - DIF-FFT)
• FFT σύνθετων βάσεων
• FFT πρώτων παραγόντων
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
147
Υπολογισμός FFT
X=fft(x,N)
x (n) x(0) = 1
x(1)= 0
x(2)= 0
x(3)= 2
X(k)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
X(0)= 3.0000
X(1)= 1.0000 + 2.0000i
X(2)= -1.0000
X(3)= 1.0000 - 2.0000i
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
148
Χρόνος εκτέλεσης FFT
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
149
ΔΟΜΕΣ ΦΙΛΤΡΩΝ
•
•
•
•
ΒΑΣΙΚΑ ΔΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ
ΨΗΦΙΑΚΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ
ΔΟΜΕΣ FIR ΦΙΛΤΡΩΝ
ΔΟΜΕΣ IIR ΦΙΛΤΡΩΝ
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
150
ΒΑΣΙΚΑ ΔΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ
• Αθροιστής
x1(n)
x1(n)+x2(n)
+
x2(n)
a
• Πολλαπλασιαστής
• Καθυστέρηση
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
x(n)
x(n)
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
a x(n)
z-1
x(n-1)
151
ΨΗΦΙΑΚΟ ΔΙΚΤΥΩΜΑ
-
Από τον τρόπο υλοποίησης ενός συστήματος διακριτού χρόνου
εξαρτάται:
Το πλήθος των υπολογισμών
Το πλήθος των θέσεων μνήμης
Η ευαισθησία του φίλτρου ως προς τον κβαντισμό των συντελεστών
Η ευαισθησία του φίλτρου ως προς το θόρυβο στρογγυλοποίησης που
εμφανίζεται στην έξοδο του φίλτρου
Ένα ψηφιακό δικτύωμα μπορεί να παρασταθεί με ένα διάγραμμα ροής
σήματος (signal flowchart) που αποτελείται από κλάδους που
συνδέονται με κόμβους (nodes).
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
152
ΚΛΑΔΟΙ ΚΑΙ ΚΟΜΒΟΙ
Κλάδοι
- Κάθε κλάδος έχει μια είσοδο και μια έξοδο
- Η κατεύθυνση σημειώνεται με ένα βέλος
- Η έξοδος είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός της εισόδου
- Ο γραμμικός τελεστής σημειώνεται δίπλα στο βέλος
και είναι πολλαπλασιαστής ή καθυστερητής
Κόμβοι
- Κόμβος πηγής (source node)
χρησιμοποιείται για είσοδο, εμφανίζεται εξερχόμενος κλάδος
- Κόμβος απαγωγής (sink node)
χρησιμοποιείται για έξοδο, εμφανίζεται εισερχόμενος κλάδος
- Αθροιστής
κόμβος όπου καταλήγουν περισσότεροι από ένας κλάδος
- Σημείο διακλάδωσης
κόμβος από τον οποίο αποχωρούν περισσότεροι από ένας κλάδοι
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
153
Παράδειγμα
x(n)
2
z-1
y(n)
z-1
-1/5
2
-1/2
H ( z) 
G( z)
1  12 G ( z )
2(1  z 1 )
G( z) 
1  15 z 1
1  z 1
H ( z) 
1  0.6 z 1
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
154
ΔΟΜΕΣ ΦΙΛΤΡΩΝ
ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΚΡΟΥΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ
(FIR FILTER STRUCTURES)
•
•
•
•
•
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΕΥΘΕΙΑ ΜΟΡΦΗ
ΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΡΡΑΚΤΗ
ΦΙΛΤΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΦΑΣΗΣ
ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ
ALL-ZERO ΦΙΛΤΡΑ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
155
Ευθεία Μορφή
Direst Form
Απευθείας υλοποίηση εξίσωσης διαφορών
M
y(n)   b(k ) x(n  k )  b(0) x(n)  b(1) x(n 1)  ...  b( M ) x( n  M )
k 0
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
156
Ευθεία Μορφή
Δομή
z-1
z-1
z-1
x(n)
b(0)
b(1)
…
b(2)
z-1
b(M-1)
…
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
z-1
b(M)
y(n)
157
Ευθεία Μορφή
Παράδειγμα
y(n)  x(n)  16.0625x(n  4)  x(n  8)
a=1
b=[1 0 0 0 16.0625 0 0 0 1]
y=filter(b,a,x)
z-4
z-4
x(n)
16.0625
y(n)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
158
Μορφή Καταρράκτη
Cascade Form
Χρήση παραγοντοποίησης της συνάρτησης μεταφοράς
σε παράγοντες δευτέρου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές
M
H ( z )   bn z  n  b0  b1 z 1  b2 z 2  ...  bM z  M 
n 0
 b0 [1  (b1 / b0 ) z 1  (b2 / b0 ) z 2  ...  (bM / b0 ) z  M ] 
M
 b0  (1  ak z  k ) 
k 1
ak : zeros of H ( z )
 M  1
 b0  (1  Bk ,1 z 1  Bk ,2 z 2 ) M s : 
 2 
k 1
Ms
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
159
Μορφή Καταρράκτη
Δομή
b(0)
…
x(n)
z-1
z-1
Β1,1
z-1
z-1
Β2,1
z-1
Β1,2
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
y(n)
ΒMs,1
z-1
Β2,2
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
ΒMs,2
160
Μορφή Καταρράκτη
Παράδειγμα
4
H ( z)  1  16.0625z  z
8
a=1
b=[1 0 0 0 16.0625 0 0 0 1]
[b0,B,A]=dir2cas(b,a)
y=casfilt(b0,B,A,x)
b0=1
B=[2.8284 0.7071 -0.7071 -2.8284
4
0.25
0.25
4
]
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
161
ΦΙΛΤΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΦΑΣΗΣ
(LINEAR PHASE)
Type I: Η κρουστική απόκριση h(n) είναι συμμετρική και Μ άρτιος
Type II: Η κρουστική απόκριση h(n) είναι συμμετρική και Μ περιττός
Type III: Η κρουστική απόκριση h(n) είναι αντισυμμετρική και Μ άρτιος
Type IV: Η κρουστική απόκριση h(n) είναι αντισυμμετρική και Μ περιττός
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
162
ΦΙΛΤΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΦΑΣΗΣ
TYPE I
h(n)=[-4 1 -1 -2 5 6 5 -2 -1 1 -4] για n=[0:10]
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
163
ΦΙΛΤΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΦΑΣΗΣ
TYPE II
h(n)=[-4 1 -1 -2 5 6 6 5 -2 -1 1 -4] για n=[0:11]
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
164
ΦΙΛΤΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΦΑΣΗΣ
TYPE III
h(n)=[-4 1 -1 -2 5 0 5 -2 -1 1 -4] για n=[0:10]
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
165
ΦΙΛΤΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΦΑΣΗΣ
TYPE IV
h(n)=[-4 1 -1 -2 5 6 -6 5 -2 -1 1 -4] για n=[0:11]
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
166
Δειγματοληψία συχνότητας
Frequency Sampling Form
Χρήση DFT
 M M 1
1 z
H ( z) 
M
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
H (k )

j 2 k / M 1
z
k 0 1  e
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
167
All-Zero φίλτρα πλέγματος
All-Zero Lattice Form
Υπολογισμός των συντελεστών ανάκλασης
με αναδρομικό αλγόριθμο
k
1
Ak ( z)  Ak 1 ( z)  k z Ak 1 ( z ), A0 ( z)  1
Τα FIR φίλτρα γραμμικής φάσης
δεν μπορούν να υλοποιηθούν χρησιμοποιώντας δομή πλέγματος
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
168
Ευστάθεια Schur-Cohn
Ένα αιτιατό φίλτρο με
ρητή συνάρτηση μεταφοράς
H(z)=B(z)/A(z)
είναι ευσταθές
αν και μόνον αν
οι συντελεστές ανάκλασης Γk
που αντιστοιχούν στην A(z)
ικανοποιούν τη σχέση:
k  1, k  1,..., M
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
169
ΔΟΜΕΣ ΦΙΛΤΡΩΝ
ΑΠΕΙΡΗΣ ΚΡΟΥΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ
(IIR FILTER STRUCTURES)
•
•
•
•
•
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΕΥΘΕΙΑ ΜΟΡΦΗ
ΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΡΡΑΚΤΗ
ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΔΟΜΗ
ALL-POLE ΦΙΛΤΡΑ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ
ZERO-POLE ΦΙΛΤΡΑ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
170
Ευθεία Μορφή
Direst Form
Απευθείας υλοποίηση εξίσωσης διαφορών
Type I
Type II
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
M
N
k 0
k 1
w(n)   b(k ) x(n  k ), y(n)  w(n)   a(k ) y(n  k )
N
M
k 1
k 0
w(n)  x(n)   a(k ) w(n  k ), y(n)   b(k ) w(n  k )
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
171
Μορφή Καταρράκτη
Cascade Form
Χρήση παραγοντοποίησης της συνάρτησης μεταφοράς
σε παράγοντες δευτέρου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές
N /2
H ( z )  b(0)
1  Bk ,1 z 1  Bk ,2 z 2
1
2
1

A
z

A
z
k 1
k ,1
k ,2
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
172
Παράλληλη Μορφή
Parallel Form
Ανάπτυξη της συνάρτησης μεταφοράς σε απλά κλάσματα
H ( z) 
M N
k
c
z
 k 
k 0
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
N /2
Bk ,0  Bk ,1 z 1
1
2
1

A
z

A
z
k 1
k ,1
k ,2
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
173
All-Pole φίλτρα πλέγματος
All-Pole Lattice Form
H ( z) 
1
N
1   a(k ) z  k
k 1
Υπολογισμός των συντελεστών ανάκλασης
με αναδρομικό αλγόριθμο
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
174
Zero-Pole φίλτρα πλέγματος
Zero-Pole Lattice Form ή Lattice Ladder Form
M
H ( z) 
k
b
(
k
)
z

k 0
N
1   a(k ) z  k
k 1
Υπολογισμός των συντελεστών ανάκλασης
με αναδρομικό αλγόριθμο
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
175
ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ
• ΣΧΕΔΙΑΣΗ FIR ΦΙΛΤΡΩΝ
• ΣΧΕΔΙΑΣΗ IIR ΦΙΛΤΡΩΝ
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
176
ΣΧΕΔΙΑΣΗ FIR ΦΙΛΤΡΩΝ
• ΣΧΕΔΙΑΣΗ FIR ΦΙΛΤΡΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΦΑΣΗΣ
ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΘΥΡΟΥ
• ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ
• ΙΣΟΚΥΜΑΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΦΑΣΗΣ
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
177
Σχεδίαση FIR φίλτρων γραμμικής φάσης
με χρήση παραθύρου
Ιδανικό Low-Pass filter
sin[(n  a)c ]
hd (n) 
 (n  a)
Επειδή το ιδανικό LP φίλτρο δεν είναι πραγματοποιήσιμο
(είναι αναιτιατό και ασταθές),
πρέπει να προσδιοριστούν οι προδιαγραφές
πραγματοποιήσιμου LP φίλτρου.
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
178
Προδιαγραφές πραγματοποιήσιμου LP φίλτρου
1   p  H (e j )  1   p , 0     p
H (e j )   s ,
s    
 p : ό  έ
s : ό  ή
 p : ό  ώ  έ ,  p  20 log10 (1   p )
 s : ό ( έ )  ώ  ή ,  s  20 log10 ( s )
s   p
f : ύ  ώ  ά , f 
2
s   p
c : ό  ή , c 
2
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
179
Περιορισμός με χρήση παραθύρου
Τύποι παραθύρων:
Ορθογώνιο
Bartlett
Hanning
Hamming
Blackman
Kaiser
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
180
Τύποι παραθύρων
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
181
Συναρτήσεις παραθύρων
1, 0  n  N
0,  ύ
 ώ w(n)  
Bartlett
Hanning
Hamming
Blackman
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
 2n / N , 0  n  N / 2

w(n)  2  2n / N , N / 2  n  N
 0,
 ύ

0.5  0.5cos(2 n / N ), 0  n  N
w(n)  
0,  ύ

0.54  0.46 cos(2 n / N ), 0  n  N
w(n)  
0,  ύ

0.42  0.5cos(2 n / N )  0.08cos(4 n / N ), 0  n  N
w(n)  
0,  ύ

ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
182
Ιδιότητες παραθύρων
Δω
Δf=Δω/2π
Πλάτος
πλευρικού
λοβού
Ορθογώνιο
1.8π/Ν
0.9/Ν
13
21
Bartlett
6.1π/Ν
3.05/Ν
27
25
Hanning
6.2π/Ν
3.1/Ν
31
44
Hamming
6.6π/Ν
3.3/Ν
41
53
Blackman
11π/Ν
5.5/Ν
57
74
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
Εξασθένιση
στη ζώνη
αποκοπής
183
Παράδειγμα
0.99  H (e j )  1.01, 0    0.19
H (e j )  0.01, 0.21    
 p  0.01,  p  0.19
 s  0.01, s  0.21
c  0.2
Hanning
 s   p 0.02
f 


 0.01
2
2
2
 f  c  3.1
3.1
N
 310
0.01
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
184
Δειγματοληψία συχνότητας
Η επιθυμητή απόκριση συχνότητας υφίσταται
δειγματοληψία σε Ν ισαπέχοντα σημεία στο διάστημα [0,2π]
H (k )  Hd (e j 2 k / N ), k  0...N 1
Αυτά τα δείγματα αποτελούν έναν DFT-N σημείων, του
οποίου ο IDFT αντιστοιχεί σε ένα FIR φίλτρο τάξης Ν-1
h(n)  IDFT [ H (k )]
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
185
Ισοκυματικά φίλτρα γραμμικής φάσης
Προσεγγιστική συνάρτηση βάρους του σφάλματος:
E( j)  W ()[ Hdr ()  Hr ()]
minmax problem: αναζήτηση συντελεστών :

j
min a ( k ) maxF E (e )
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

186
Θεώρημα Εναλλαγής
Πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον L+1 συχνότητες
ακροτάτων ω0<ω1<…<ωL+1 στο σύνολο των
συχνοτήτων F, ώστε:
E (e jk )   E (e jk 1 ), k  0...L


E (e jk )  maxF E (e j ) , k  0...L  1
Επομένως, το βέλτιστο φίλτρο είναι το ισοκυματικό φίλτρο.
Εύρεση των συχνοτήτων των ακροτάτων με τον αλγόριθμο
Parks-McClellan.
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
187
ΣΧΕΔΙΑΣΗ IIR ΦΙΛΤΡΩΝ
• ΠΡΟΤΥΠΑ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ
• ΣΧΕΔΙΑΣΗ IIR ΦΙΛΤΡΩΝ ΑΠΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
188
Πρότυπα Αναλογικών Φίλτρων
• φίλτρα Butterworth
• φίλτρα Chebychev
• ελλειπτικά φίλτρα
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
189
Ιδιότητες Αναλογικών Φίλτρων
Prototype
Order N
Stopband
attenuation
Batterworth
6
15
Chebyshev
4
25
Elliptic
3
27
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
190
Σχεδίαση IIR φίλτρων από αναλογικά φίλτρα
 κρουστική αμεταβλητότητα
 διγραμμικός μετασχηματισμός
 ελάχιστα τετράγωνα
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
191
Κρουστική Αμεταβλητότητα
(impulse invariance transformation)
δειγματοληψία στην κρουστική απόκριση
ενός αναλογικού φίλτρου με περίοδο
δειγματοληψίας Τs:
h(n)  ha (nTs )
1
j
H (e ) 
Ts
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ


k 
H a ( j Ts  j 2Tsk )
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
192
Διγραμμικός Μετασχηματισμός
(bilinear transformation)
απεικόνιση (μετασχηματισμός) sεπίπεδο στο z-επίπεδο:
1
2 1 z
s
1
Ts 1  z
H ( z )  H a ( s)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
193
Διγραμμικός Μετασχηματισμός
Παράδειγμα
1
H a ( s) 
, a  0, Ts  2
sa
2 1  z 1 1  z 1
s

1
Ts 1  z
1  z 1
H ( z) 
1
1  z 1
1 1  z 1


1
(1  a)  (1  a) z
1  a 1  11 aa z 1
1  z 1
a
1
1 z
1 a
 ό  z 
1 a
 ί  z  1
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
194
Ελάχιστα Τετράγωνα
- Προσέγγιση Pade
- Μέθοδος Prony
- Προσέγγιση αντίστροφου FIR φίλτρου
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
195
Προσέγγιση Pade
q

hd (n)  ί  h(n)  H ( z )   h(n) z  n 
n 0
k
b
(
k
)
z

k 0
p
1   a(k ) z  k
k 0
n  0,1,...q
 bn ,
hd (n)   ak hd (n  k )  
k 1
0, n  q  1,..., q  p
p
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
196
Υπολογισμοί Προσέγγισης Pade
 ό ak , k  1,..., p  ό p  ί   ώ :
hd (q  1)
 hd (q)
 h (q  1)
hd (q)
 d

...
...

 hd (q  p  1) hd (q  p  2)
... hd (q  p  1)   a1 
 hd (q  1) 
 
 h (q  2) 
... hd (q  p  2)   a2 

  d


  ... 
...
...
...


 
a
)
p

q
(
h
hd (q)
...

 d
  p 
 ό bk , k  0,1,..., q  ό q  1 ώ  ώ :
p
bn  hd (n)   ak hd (n  k ), n  0,1,..., q
k 1
ό n  0,1,..., p  q, ό h(n)  hd (n)
ό n  p  q, ό h(n)   ί  ή  έ hd (n)
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
197
Παράδειγμα Προσέγγισης Pade
hd (n)  3( 12 ) n u (n)
b0  b1 z 1
H ( z) 
, q  1, p  1
1
1  a1 z
hd (1)a1  hd (2)  3 12 a1  3( 12 ) 2  a1   12
hd (0)  a1hd (1)  b0  3  a1 0  b0  b0  3

 3



a
3

b
h
(1)

a
h
(0)

b
b

0
1
1 d
1 
 1

 d
2 1
H ( z) 
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
3
1  12 z 1
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
198
Μέθοδος Prony
 ί  ά
 ί  ώ
L
   hd (n)  h(n)
2
n 0
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
199
Προσέγγιση αντίστροφου FIR φίλτρου
h ( n ) * g ( n )   ( n)
 ί  ά

   e ( n ) , e( n )   ( n )  h ( n ) * g ( n)
2
n0
 ό h(n)   ί   ώ  ώ :
k 0
 g (0),
h(l )rg (k  l )  

l 0
 0, k  1, 2,..., N  1
N 1

rg (k )   g (n) g (n  k )
n 0
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
200
Παράδειγμα Προσέγγισης αντίστροφου FIR φίλτρου
g (n)   2 1  0 1 ,   3
 g (0), k  0
h
(
l
)
r
(
k

l
)



g
l 0
0, k  1, 2
2

rg (k )   g (n) g (n  k )  g (n) * g ( n) ( έ )
n 0
rg (1)  2, rg (0)  5, rg (1)  2
h(0)rg (0)  h(1)rg ( 1)  h(2)rg ( 2)  g (0) 


 h(0)rg (1)  h(1)rg (0)  h(2) rg ( 1)  0  
 h(0) r (2)  h(1)r (1)  h(2)r (0)  0 
g
g
g


 5 2 0   h(0)   2   h(0)   0.494 
 2 5 2   h(1)    0    h(1)    0.235


   
 

 0 2 5   h(2)   0   h(2)   0.094 
 (n)  h(n) * g (n)   0.988 0.023 0.047 0.094  0 1 2 3


   e(n)    (n)  h(n) * g (n)  0.0118
2
n 0
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
2
n 0
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
201
ΧΩΡΟΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ
• ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ (STATE SPACE)
• ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
• ΕΛΕΓΞΙΜΟΤΗΤΑ
• ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑ
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
202
ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ (STATE SPACE)
x(n  1)  A x(n)  bv(n)
T
y (n)  c x(n)  dv(n)
x(n) Nx1 state vector
y (n) output
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
203
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
 ( n)  A n
n 1
x(n)  (n  n0 ) x(n0 )   (n  1  k )bv(n)
k  n0
T
H ( z )  c ( zI  A) 1 b  d
h(n)  c An 1 bu (n  1)  d (n)
T
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
204
ΕΛΕΓΞΙΜΟΤΗΤΑ
(CONTROLABILITY)
 ύ ί  έ  S

S  b Ab A2 b ... A N 1 b
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
1

ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
205
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑ
(OSERVABILITY)
 ύ ί ή  V 1

T
T
T
T
V  c c A c A ... c A N 1
T
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
2
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

206
Παράδειγμα
y(n)  34 y(n 1)  18 y(n  2)  v(n)
 x1(n)   y (n  2)
x ( n)  
   y (n  1)  
x
2
(
n
)

 

 x1(n  1)   y (n  1)  x 2(n)
 x(n  1)  
   y ( n)    y ( n) 
x
2
(
n

1
)

 
 

x(n  1)  A x(n)  bv(n)
T
y (n)  c x(n)  dv(n)
0
A 1
 8
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
1
 18 
0 
, b   , c   3 , d  1
3
1
4
 4 
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
207
Συνάρτηση Μεταφοράς
T
H ( z )  c ( zI  A) 1 b  d 
1
3    z 0   0 1   0 
  1 3    1 



4  0 z   8 4   1
1
 H ( z) 
1  34 z 1  18 z  2
 1
 8
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
208
Ελεγξιμότητα – Παρατηρησιμότητα
 ύ ί  έ
0 1 
S  b Ab  
3
1
4

S  1  0  S 1
 ύ ί ή
 cT    18
V   T   3
c A  32
V  641  0  V 1
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
3
4
7
16



ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
209
KALMAN FILTER
•
•
•
•
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΜΟΝΤΕΛΟ
ΦΙΛΤΡΟ ΚΑΛΜΑΝ
ΕΞΙΣΩΣΗ RICCATI
ΕΞΙΣΩΣΗ LYAPUNOV
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
210
ΜΟΝΤΕΛΟ
x(k  1)  F (k  1, k ) x(k )  w(k )
z (k  1)  H (k  1) x(k  1)  v(k  1)
x(k ) nx1 state vector
z (k ) m x1 m easurem ent vector
F (k  1, k ) nxntransitionm atrix
H (k ) m xnoutputm atrix
{w(k )} ~ N (0, Q)
{v(k )} ~ N (0, R )
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
211
ΦΙΛΤΡΟ KALMAN
x(k  1 / k )  Fx(k / k )
P(k  1 / k )  Q  FP(k / k ) F T
K (k  1)  P(k  1 / k ) H T [ HP(k  1 / k ) H T  R]1
x(k  1 / k  1)  x(k  1 / k )  K (k  1)[z (k  1)  Hx(k  1 / k )]
P(k  1 / k  1)  P (k  1 / k )  K (k  1) HP(k  1 / k )
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
212
ΕΞΙΣΩΣΗ RICCATI
P(k  1 / k )  Q  FP(k / k  1) F T 
 FP(k / k  1) H T [ HP(k / k  1) H T  R]1 HP(k / k  1) F T
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
213
ΕΞΙΣΩΣΗ LYAPUNOV
ό R   ύ  ί Lyapunov
P(k  1 / k )  Q  FP(k / k  1) F T
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
214
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
[1] M. H. Hayes, “Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος”, Εκδόσεις ΤΖΙΟΛΑ, 2000
[2] J. H. McClellan, R. W. Schafer, M. A. Yoder, “Θεμελιώδεις Έννοιες της
Επεξεργασίας Σημάτων”, Φιλομάθεια, 2006
[3] Γ. Καραγιάννης, Κ. Τζιτζιράχου, “Εισαγωγή στα Σήματα και Συστήματα”,
Παπασωτηρίου, 2003
[4] J. Proakis and D. Manolakis, “Digital Signal Processing”, Macmillan, 1992
[5] Oppeinheim A. V., Schafer R. W. and Buck J. R., “Discrete-Time Signal
Processing”, 2nd ed., Prentice-Hall, 1999
[6] Ασημάκης Ν., “Σήματα, Συστήματα και Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων”,
Gutenberg, 2008
[7] V. K. Ingle and J. G. Proakis, “Digital Signal Processing using MATLAB”,
BROOKS/COLE Publishing Company, 2000
[8] The MathWorks Inc., “The Student Edition of MATLAB”, Prentice Hall,
Englewood Cliffs, N.J., 1995
Δρ. ΑΣΗΜΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
215