Transcript pptx

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα
Διγαλάκης Βασίλης
Γραμμικά Συστήματα

Σύστημα:
x(t)
y(t)
T

Κατηγορίες:


Συνεχή/Διακριτά
Γραμμικά/Μη Γραμμικά


Αν
Τότε
Γραμμικά Συστήματα

Σύστημα:
x(t)
y(t)
T

Κατηγορίες:

Χρονικά Αναλλοίωτα/Μεταβαλλόμενα


Αν
Αιτιατά/Μη αιτιατά

Η έξοδος του δεν εξαρτάται από μελλοντικές τιμές της εισόδου:
y(t0 )  T [x(t );  t  t0 ]
Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Τ.Δ.

Γραμμικός Μετασχηματισμός Τ.Δ.:

Χ η είσοδος του «συστήματος» Α και Υ η έξοδος.

Η μέση τιμή:

Ο πίνακας συνδιακύμανσης:
Απόκριση Διακριτών ΓΧΑ Συστημάτων

Στην περίπτωση μηδενικών αρχικών συνθηκών,
υπολογίζεται από τη συνέλιξη:

Αν το σύστημα είναι αιτιατό  h(k)=0,k<0
Για να είναι ευσταθές:

Μετασχηματισμός Fourier κρουστικής απόκρισης

Ορίζεται ως η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος:
Μέση τιμή διακριτού ΓΧΑ συστήματος

Αν X(n) είναι Τ.Σ., είσοδος σε διακριτό ΓΧΑ σύστημα, τότε
η έξοδος:

Υ(n) είναι τυχαίο σήμα
Μέση τιμή:

Δηλαδή:

Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης διακριτού ΓΧΑ
συστήματος

Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης:
Για WSS είσοδο σε ΓΧΑ σύστημα (1)


Αν X(n) WSS:
Οπότε για Υ(n):


αφού
Συνεπώς:

Για WSS είσοδο σε ΓΧΑ σύστημα (2)


Αν X(n) WSS:
Οπότε για Υ(n):

Αλλά για RYX(n,n+k) ………
Για WSS είσοδο σε ΓΧΑ σύστημα (3)

Ισχύει:
Για WSS είσοδο σε ΓΧΑ σύστημα (4)

Τελικά:

Όπου:



Αν σε ένα ΓΧΑ σύστημα Χ(n) WSS  και Y(n) WSS
Για WSS είσοδο σε ΓΧΑ σύστημα (5)

Αν σε ένα ΓΧΑ σύστημα η είσοδος Χ(n) είναι Τ.Σ. WSS
τότε και η έξοδος Y(n) θα είναι WSS.

Αντιστοιχία με τον γραμμικό μετασχηματισμό Τυχαίων
Διανυσμάτων: Υ=ΑΧ:
Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος Εξόδου

Αν η είσοδος σε ένα ΓΧΑ σύστημα είναι WSS διαδικασία,
η έξοδος θα έχει συνάρτηση αυτοσυσχέτισης:

Η πυκνότητα φάσματος ισχύος της εξόδου:
Διακριτά συστήματα και μετασχηματισμοί
διανυσμάτων

Για αιτιατό ΓΧΑ σύστημα:

Αν h(k) είναι αιτιατό σύστημα με h(k)=0 για k<0 και
X(n)=0 για n<0 

Για διάφορες χρονικές στιγμές:
Διακριτά συστήματα και μετασχηματισμοί
διανυσμάτων

Σε μορφή πίνακα:


Γραμμικός μετασχηματισμός για το Τ.Δ.
Συνεπώς:
Παράδειγμα (1)



Η είσοδος X(n) σε ΓΧΑ σύστημα είναι στατική διαδικασία
με μx=0 και Rx(k) = δ(k). Η κρουστική απόκριση του
συστήματος είναι h(k)=1, k=0,1, και 0 αλλού. Υπολογίστε
μέση τιμή, συνάρτηση αυτοσυσχέτισης και πυκνότητα
φάσματος ισχύος της εξόδου.
Μέση τιμή:
Συν. Αυτοσυσχέτισης:
Παράδειγμα (1)

PSD:




Όμως:
Επίσης:

Τελικά:

Απόκριση Συνεχών ΓΧΑ Συστημάτων

Η απόκριση ενός συνεχούς ΓΧΑ συστήματος σε ένα σήμα Χ(t),
στην περίπτωση μηδενικών αρχικών συνθηκών, υπολογίζεται
από τη συνέλιξη της εισόδου με την κρουστική απόκριση του
συστήματος:


Αν είναι αιτιατό h(t)=0 για t<0.
Για να είναι ευσταθές το σύστημα:
Απόκριση Συνεχών ΓΧΑ Συστημάτων

Ο Fourier της κρουστικής απόκρισης είναι η συνάρτηση
μεταφοράς του συστήματος:

Για Ντετερμινιστικό σήμα:
Μέση τιμή εξόδου συνεχούς ΓΧΑ συστήματος

Η έξοδος του συνεχούς ΓΧΑ συστήματος υπολογίζεται:

Μέση τιμή:
Αυτοσυσχέτιση εξόδου συνεχούς ΓΧΑ συστήματος

Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης:
WSS είσοδος συνεχούς ΓΧΑ συστήματος

X(t) WSS 

Οπότε:
Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος Εξόδου


Ισχύει:
PSD εξόδου:
Συνοψίζοντας…..

Για ΓΧΑ σύστημα με κρουστική απόκριση h(t) και
συνάρτηση μεταφοράς H(f) στο οποίο εφαρμόζουμε ένα
τυχαίο σήμα εισόδου X(t) ισχύουν για το σήμα εξόδου:
Παράδειγμα (2)

Δώστε την τιμή της παραμέτρου α ώστε η σηματοθορυβική σχέση στην έξοδο να
γίνει μέγιστη. Υπολογίστε τα Β και θ για την τιμή αυτή.
Παράδειγμα (2)

Μορφή Συστήματος:

Έχω 2 συνιστώσες στην είσοδο:

SNR στην έξοδο:
Παράδειγμα (2)

Υπολογισμός του a για μεγιστοποίηση του SNR:

Έστω ότι εφαρμόζουμε καθαρό από θόρυβο σήμα εισόδου:

Τότε:

όμως:
Παράδειγμα (2)

Παίρνοντας Fourier:


Αν :
Μέση ισχύς εισόδου:

Μέση ισχύς εξόδου:
Παράδειγμα (2): Μέση ισχύς σήματος εξόδου

Μέση ισχύς εξόδου:

Αλλά:

Τελικά:
Παράδειγμα (2): Μέση ισχύς θορύβου εξόδου

Μέση ισχύς θορύβου στην έξοδο:
στην είσοδο:

στην έξοδο:



Ιδιότητα:
Παράδειγμα (2): Βελτιστοποίηση SNR

Σηματοθορυβική σχέση:

Το SNR είναι συνάρτηση του a. Η βέλτιστη τιμή του a που
μεγιστοποιεί το SNR βρίσκεται: