Transcript Παρουσίαση του PowerPoint
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ
( ΑΛΓΕΒΡΑ, ΣΕΛ. 174-196)
1.
Ορισμοί
2.
Αλγεβρικό Συμπλήρωμα
3.
Τιμή ορίζουσας
4.
Βασικές ιδιότητες οριζουσών
5.
Συστήματα εξισώσεων
ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ
a = a 11 a 21 a 31 a 41 a 12 a 22 a 32 a 42 a 13 a 23 a 33 a 43 a 14 a 24 a 34 a 44
•Ορίζουσα λέγεται μια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες με τη μορφή ενός τετραγωνικού πίνακα. •Η ορίζουσα τοποθετείται μεταξύ δύο κατακόρυφων γραμμών όπως αυτές που χρησιμοποιούμε για τις απόλυτες τιμές.
•Τα περιεχόμενα μιας ορίζουσας λέγονται
στοιχεία
της ορίζουσας. •
Τάξη
ορίζουσας λέγεται
ο αριθμός των στοιχείων μιας γραμμής
. Για παράδειγμα η ορίζουσα
a
, που βλέπετε πιο πάνω, είναι
τάξης 4
.
•Κάθε ορίζουσα έχει μια και μόνο
τιμή
. Ο υπολογισμός της τιμής ορίζουσας, θα αναλυθεί αργότερα . Πριν όμως προχωρήσουμε, θα δώσουμε μερικούς
ορισμούς
.
ΑΛΓΕΒΡΙΚΟ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ
a = a 11 a 21 a 31 a 41 a 12 a 22 a 32 a 42 a 13 a 23 a 33 a 43 a 14 a 24 a 34 a 44
•
Αλγεβρικό συμπλήρωμα D
(
a ij
) που βρίσκεται στη
γραμμή i
και
του στοιχείου a στήλη j
λέγεται η τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου αυτού.
ij
Πρόσημο του αλγεβρικού συμπληρώματος είναι το , ορίζουσα που προκύπτει αν διαγράψουμε ολόκληρη
( –1) i+j Παράδειγμα:
Το στοιχείο
a 22
της ορίζουσας στήλη, τις οποίες διαγράφουμε.
a
βρίσκεται στη 2η γραμμή και 2η Ισχύει i=j=2. Συνεπώς το πρόσημο είναι (-1) 2+2 =+1 Άρα το στοιχείο
a 22
έχει το αλγεβρικό συμπλήρωμα
D
(
a 22
):
a 11 31 a 41 a 13 a 33 a 43 a 14 a 34 a 44 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Παρατηρούμε ότι το αλγεβρικό συμπλήρωμα κάθε στοιχείου είναι ορίζουσα τάξης μικρότερης κατά 1 της τάξης της αρχικής ορίζουσας.
ΑΛΓΕΒΡΙΚΟ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ
a = a 11 a 21 a 31 a 41 a 12 a 22 a 32 a 42 a 13 a 23 a 33 a 43 a 14 a 24 a 34 a 44 ΑΣΚΗΣΗ
: Να υπολογισθεί το αλγεβρικό συμπλήρωμα του στοιχείου
a 34
.
ΛΥΣΗ: i=3, j=4, i+j=7 (-1) i+j =(-1) 7 =-1 ( Πρόσημο ελάσσονος ορίζουσας το ) Η ορίζουσα θα προκύψει μετά τη διαγραφή της γραμμής 3 και της στήλης 4
a 11 21 a 41 a 12 a 22 a 42 a 13 a 23 a 43
ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ
a = a 11 a 21 a 31 a 41 a 12 a 22 a 32 a 42 a 13 a 23 a 33 a 43 a 14 a 24 a 34 a 44
•Η
τιμή
μιας ορίζουσας είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων όλων των στοιχείων μιας γραμμής (ή μιας στήλης) επί τα αλγεβρικά τους συμπληρώματα.
Η διαδικασία για τον υπολογισμό της τιμής μιας ορίζουσας
ν
τάξης είναι: Γράφουμε την ορίζουσα σε μορφή αθροίσματος γινομένων των στοιχείων μιας γραμμής της επί τα αλγεβρικά τους συμπληρώματα, που όλα θα είναι τάξης
ν-1.
Έτσι θα έχουμε πλέον
ν
ορίζουσες τάξης
ν-1
.
Κάθε μία ορίζουσα τάξης ν-1 τη γράφουμε σε μορφή αθροίσματος γινομένων των στοιχείων μιας γραμμής της επί τα αλγεβρικά τους συμπληρώματα, που όλα θα είναι τάξης
ν-2.
Έτσι θα έχουμε πλέον ν•(ν-1) ορίζουσες τάξης ν-2.
Επαναλαμβάνουμε τον υποβιβασμό της τάξης των οριζουσών, μέχρι να καταλήξουμε σε
ν!
ορίζουσες τάξης 1.
ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ
•Η
τιμή
μιας ορίζουσας της στοιχείου.
τάξης 1
(περιλαμβάνει ένα μόνο στοιχείο) είναι ίση με την τιμή του μοναδικού
a = a 11 = a 11
ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ
•Η
τιμή
μιας ορίζουσας της στοιχείου.
τάξης 1
(περιλαμβάνει ένα μόνο στοιχείο) είναι ίση με την τιμή του μοναδικού Η
τιμή
μιας ορίζουσας νωρίτερα ως εξής:
τάξης 2
(2 γραμμές και 2 στήλες) υπολογίζεται σύμφωνα με τον κανόνα που είδαμε
a = a a 11 21 a 12 a 22 a = a 11 = a 11
ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ
•Η
τιμή
μιας ορίζουσας της στοιχείου.
τάξης 1
(περιλαμβάνει ένα μόνο στοιχείο) είναι ίση με την τιμή του μοναδικού Η
τιμή
μιας ορίζουσας νωρίτερα ως εξής:
τάξης 2
(2 γραμμές και 2 στήλες) υπολογίζεται σύμφωνα με τον κανόνα που είδαμε 1.
Για κάθε στοιχείο της 1ης γραμμής υπολογίζουμε τα αλγεβρικά συμπληρώματα
a = a a 11 21 a 12 a 22 a = a 11 = a 11
ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ
•Η
τιμή
μιας ορίζουσας της στοιχείου.
τάξης 1
(περιλαμβάνει ένα μόνο στοιχείο) είναι ίση με την τιμή του μοναδικού Η
τιμή
μιας ορίζουσας νωρίτερα ως εξής:
τάξης 2
(2 γραμμές και 2 στήλες) υπολογίζεται σύμφωνα με τον κανόνα που είδαμε 1.
Για κάθε στοιχείο της 1ης γραμμής υπολογίζουμε τα αλγεβρικά συμπληρώματα
a = D(a 11 a a 11 21 a a 12 22 ) = (-1) a = a 1+1 • a a 11 11 21 = a 11 a a 12 22 = 1•a 22
ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ
•Η
τιμή
μιας ορίζουσας της στοιχείου.
τάξης 1
(περιλαμβάνει ένα μόνο στοιχείο) είναι ίση με την τιμή του μοναδικού Η
τιμή
μιας ορίζουσας νωρίτερα ως εξής:
τάξης 2
(2 γραμμές και 2 στήλες) υπολογίζεται σύμφωνα με τον κανόνα που είδαμε 1.
Για κάθε στοιχείο της 1ης γραμμής υπολογίζουμε τα αλγεβρικά συμπληρώματα
a = D(a 11 a a 11 21 a a 12 22 ) = (-1) a = a 1+1 • a a 11 11 21 = a 11 a a 12 22 = 1•a 22 D(a 12 ) = (-1) 1+2 • a 11 a 21 a 12 a 22 = -1•a 21
ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ
•Η
τιμή
μιας ορίζουσας της στοιχείου.
τάξης 1
(περιλαμβάνει ένα μόνο στοιχείο) είναι ίση με την τιμή του μοναδικού
a = a 11 = a 11
Η
τιμή
μιας ορίζουσας νωρίτερα ως εξής:
τάξης 2
(2 γραμμές και 2 στήλες) υπολογίζεται σύμφωνα με τον κανόνα που είδαμε
a = a a 11 21 a a 12 22
1.
Για κάθε στοιχείο της 1ης γραμμής υπολογίζουμε τα αλγεβρικά συμπληρώματα
D(a D(a 11 12 ) = (-1) ) = (-1) 1+1 1+2 • • a a 11 21 a 11 a 21 a a a a 12 22 12 22 = 1•a 22 = -1•a 21
2.
Εκφράζουμε την ορίζουσα σαν άθροισμα γινομένων των στοιχείων της 1ης γραμμής επί τα αλγεβρικά τους συμπληρώματα.
a= a 11 •D(a 11 ) +a 12 •D(a 12 ) = a 11 •a 22 - a 12 •a 21
ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ
•Η
τιμή
μιας ορίζουσας της στοιχείου.
τάξης 1
(περιλαμβάνει ένα μόνο στοιχείο) είναι ίση με την τιμή του μοναδικού
a = a 11 = a 11
Η
τιμή
μιας ορίζουσας νωρίτερα ως εξής:
τάξης 2
(2 γραμμές και 2 στήλες) υπολογίζεται σύμφωνα με τον κανόνα που είδαμε
a = a a 11 21 a a 12 22 = a 11 •a 22 - a 12 •a 21
1.
Για κάθε στοιχείο της 1ης γραμμής υπολογίζουμε τα αλγεβρικά συμπληρώματα
D(a D(a 11 12 ) = (-1) ) = (-1) 1+1 1+2 • • a a 11 21 a 11 a 21 a a a a 12 22 12 22 = 1•a 22 = -1•a 21
2.
Εκφράζουμε την ορίζουσα σαν άθροισμα γινομένων των στοιχείων της 1ης γραμμής επί τα αλγεβρικά τους συμπληρώματα.
a= a 11 •D(a 11 ) +a 12 •D(a 12 ) = a 11 •a 22 - a 12 •a 21
ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ
•Η
τιμή
μιας ορίζουσας της στοιχείου.
τάξης 1
(περιλαμβάνει ένα μόνο στοιχείο) είναι ίση με την τιμή του μοναδικού
a = a 11 = a 11
Η
τιμή
μιας ορίζουσας νωρίτερα ως εξής:
τάξης 2
(2 γραμμές και 2 στήλες) υπολογίζεται σύμφωνα με τον κανόνα που είδαμε
a = a a 11 21 a a 12 22 = a 11 •a 22 - a 12 •a 21
1.
Για κάθε στοιχείο της 1ης γραμμής υπολογίζουμε τα αλγεβρικά συμπληρώματα 2.
Εκφράζουμε την ορίζουσα σαν άθροισμα γινομένων των στοιχείων της 1ης γραμμής επί τα αλγεβρικά τους συμπληρώματα.
D(a D(a 11 12 ) = (-1) ) = (-1) 1+1 1+2 • • a a a a 11 21 11 21 αρνητικό.
a a a a 12 22 = 1•a διαφορά των γινομένων των 22 στοιχείων των διαγωνίων της. 22 διαγράμμιση για το θετικό γινόμενο και πράσινη για το 21 a= a 11 •D(a 11 ) +a 12 •D(a 12 ) = a 11 •a 22 - a 12 •a 21
ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ
ΑΣΚΗΣΗ
: Να.υπολογισθεί η τιμή της ορίζουσας:
a = 2 -2 -1 -4 ΛΥΣΗ
:
2 -2 a = -1 -4
ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ
•Η
τιμή
μιας ορίζουσας
τάξης 3
εκφράζοντάς τη σαν άθροισμα γινομένων των στοιχείων της 1ης γραμμής επί τα αλγεβρικά συμπληρώματα.
υπολογίζεται με την ίδια διαδικασία,
a
11
a = a
21
a
31
a
12
a
22
a
32
a
13
a
23
a
33
ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ
•Η
τιμή
μιας ορίζουσας
τάξης 3
εκφράζοντάς τη σαν άθροισμα γινομένων των στοιχείων της 1ης γραμμής επί τα αλγεβρικά συμπληρώματα.
υπολογίζεται με την ίδια διαδικασία, Υπάρχει όμως ένας πιο απλός τρόπος, ο κανόνας Sarrus: 1.
Γράφουμε την ορίζουσα
a
11
a = a
21
a
31
a
12
a
22
a
32
a
13
a
23
a
33
ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ
•Η
τιμή
μιας ορίζουσας
τάξης 3
εκφράζοντάς τη σαν άθροισμα γινομένων των στοιχείων της 1ης γραμμής επί τα αλγεβρικά συμπληρώματα.
υπολογίζεται με την ίδια διαδικασία, Υπάρχει όμως ένας πιο απλός τρόπος, ο κανόνας Sarrus: 1.
Γράφουμε την ορίζουσα
a
11
a = a
21
a
31
a
12
a
22
a
32
a
13
a
23
a
33 a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32
2.
Προσθέτουμε προς τα δεξιά τις 2 πρώτες στήλες
ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ
•Η
τιμή
μιας ορίζουσας
τάξης 3
εκφράζοντάς τη σαν άθροισμα γινομένων των στοιχείων της 1ης γραμμής επί τα αλγεβρικά συμπληρώματα.
υπολογίζεται με την ίδια διαδικασία, Υπάρχει όμως ένας πιο απλός τρόπος, ο κανόνας Sarrus: 1.
Γράφουμε την ορίζουσα
a
11
a = a
21
a
31
a
12
a
22
a
32
a
13
a
23
a
33 a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32
2.
Προσθέτουμε προς τα δεξιά τις 2 πρώτες στήλες
a = a 11 •a 22• a 33 + a 12 •a 23 •a 31 + a 13 •a 21 •a 32
3.
Υπολογίζουμε τα γινόμενα των διαγωνίων που φαίνονται με κόκκινη διαγράμμιση και τα προσθέτουμε.
ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ
•Η
τιμή
μιας ορίζουσας
τάξης 3
εκφράζοντάς τη σαν άθροισμα γινομένων των στοιχείων της 1ης γραμμής επί τα αλγεβρικά συμπληρώματα.
υπολογίζεται με την ίδια διαδικασία, Υπάρχει όμως ένας πιο απλός τρόπος, ο κανόνας Sarrus: 1.
Γράφουμε την ορίζουσα
a
11
a = a
21
a
31
a
12
a
22
a
32
a
13
a
23
a
33 a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32
2.
Προσθέτουμε προς τα δεξιά τις 2 πρώτες στήλες
a = a 11 •a 22• a 33 + a 12 •a 23 •a 31 + a 13 •a 21 •a 32 - a 31 •a 22 •a 13 - a 32 •a 23 •a 11 - a 33 •a 21 •a 12
3.
Υπολογίζουμε τα γινόμενα των διαγωνίων που φαίνονται με κόκκινη διαγράμμιση και τα προσθέτουμε.
4.
Υπολογίζουμε τα γινόμενα των διαγωνίων που φαίνονται με πράσινη διαγράμμιση και τα αφαιρούμε.
ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ
•Η
τιμή
μιας ορίζουσας
τάξης 3
εκφράζοντάς τη σαν άθροισμα γινομένων των στοιχείων της 1ης γραμμής επί τα αλγεβρικά συμπληρώματα.
υπολογίζεται με την ίδια διαδικασία, Υπάρχει όμως ένας πιο απλός τρόπος, ο κανόνας Sarrus: 1.
Γράφουμε την ορίζουσα
a
11
a = a
21
a
31
a
12
a
22
a
32
a
13
a
23
a
33 a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32
2.
Προσθέτουμε προς τα δεξιά τις 2 πρώτες στήλες
a = a 11 •a 22• a 33 + a 12 •a 23 •a 31 + a 13 •a 21 •a 32 - a 31 •a 22 •a 13 - a 32 •a 23 •a 11 - a 33 •a 21 •a 12
Το άθροισμα γινομένων που προκύπτει είναι η τιμή της ορίζουσας 3ης τάξης 3.
Υπολογίζουμε τα γινόμενα των διαγωνίων που φαίνονται με κόκκινη διαγράμμιση και τα προσθέτουμε.
4.
Υπολογίζουμε τα γινόμενα των διαγωνίων που φαίνονται με πράσινη διαγράμμιση και τα αφαιρούμε.
ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ
ΑΣΚΗΣΗ
: Να υπολογίσετε την τιμή της ορίζουσας 3ης τάξης με τον κανόνα Sarrus:
a = 1 1 2 1 2 -1 1 1 -1 ΛΥΣΗ
:
1 1 2 a = 1 2 -1 1 1 -1 1 1 1 2 = 1 1 1× 2 × (-1) + 1× (-1) × 1 + 2 × 1× 1 -1× 2 × 2 - 1× (-1) × 1 - (-1) × 1× 1 = -2 - 1+ 2 - 4 + 1+ 1 = -3
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΙΜΗΣ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ 5ης ΤΑΞΗΣ
Θέμα:
Να υπολογισθεί η τιμή της ακόλουθης ορίζουσας 5ης τάξης:
3 2 -1 3 -2 1 1 0 2 -2 a = 2 2 0 -1 -4 1 1 2 2 -2 2 1 3 -2 -1
Θέμα:
Να υπολογισθεί η τιμή της ακόλουθης ορίζουσας 5ης τάξης:
3 2 -1 3 -2 1 1 0 2 -2 a = 2 2 0 -1 -4 1 1 2 2 -2 2 1 3 -2 -1
Επιλέγω την
1η γραμμή
για να αναπτύξω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης.
Θέμα:
Να υπολογισθεί η τιμή της ακόλουθης ορίζουσας 5ης τάξης:
3 2 -1 3 -2 1 1 0 2 -2 a = 2 2 0 -1 -4 1 1 2 2 -2 2 1 3 -2 -1
Επιλέγω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης.
ΣΚΕΠΤΙΚΟ
γραμμής.
:
1η γραμμή
για να αναπτύξω την Ο αριθμός γραμμής παραμένει σταθερός i =1. Ο αριθμός στήλης αυξάνει κατά 1, αρχίζοντας από j=1. Επομένως το άθροισμα (i+j) αρχίζει από 2 και αυξάνει συνέχεια κατά 1. Συνεπώς οι δυνάμεις του (-1) είναι άρτιες και περιττές και εναλλάσσονται διαρκώς. Οι άρτιες δυνάμεις του (-1) μου δίνουν 1 και οι περιττές –1. Τα πρόσημα επομένως εναλλάσσονται αρχίζοντας από το + για το 1ο στοιχείο της 1ης
Θέμα:
Να υπολογισθεί η τιμή της ακόλουθης ορίζουσας 5ης τάξης:
3 2 -1 3 -2 1 1 0 2 -2 a = 2 2 0 -1 -4 1 1 2 2 -2 2 1 3 -2 -1 + - + - + 3 2 -1 3 -2 1 1 0 2 -2 a = 2 2 0 -1 -4 1 1 2 2 -2 2 1 3 -2 -1
Επιλέγω την 1η γραμμή για να αναπτύξω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης.
ΣΚΕΠΤΙΚΟ
: Ο αριθμός γραμμής παραμένει σταθερός i =1. Ο αριθμός στήλης αυξάνει κατά 1, αρχίζοντας από j=1. Επομένως το άθροισμα (i+j) αρχίζει από 2 και αυξάνει συνέχεια κατά 1. Συνεπώς οι δυνάμεις του (-1) είναι άρτιες και περιττές και εναλλάσσονται συνέχεια Οι άρτιες δυνάμεις του (-1) μου δίνουν 1 και οι περιττές –1. Τα πρόσημα επομένως εναλλάσσονται αρχίζοντας από το + για το 1ο στοιχείο της 1ης γραμμής.
Για κάθε στοιχείο της γραμμής, λοιπόν, σημειώνω το πρόσημο που θα έχει στο τελικό άθροισμα.
+ - + - + 3 2 -1 3 -2 1 1 0 2 -2 a = 2 2 0 -1 -4 1 1 2 2 -2 2 1 3 -2 -1
Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω.
Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση.
+ 3 1 2 1 2 + - + - + 3 2 -1 3 -2 1 1 0 2 -2 a = 2 2 0 -1 -4 1 1 2 2 -2 2 1 3 -2 -1 2 -1 3 -2 1 0 2 -2 2 0 -1 -4 1 2 2 -2 1 3 -2 -1
Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω.
Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση.
+ 3 1 2 1 2 + - + - + 3 2 -1 3 -2 1 1 0 2 -2 a = 2 2 0 -1 -4 1 1 2 2 -2 2 1 3 -2 -1 2 -1 3 -2 1 0 2 -2 2 0 -1 -4 1 2 2 -2 1 3 -2 -1 3 1 2 1 2 2 1 2 1 1
Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω.
Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση.
-1 3 -2 0 2 -2 0 -1 -4 2 2 -2 3 -2 -1
+ 3 1 2 1 2 + - + - + 3 2 -1 3 -2 1 1 0 2 -2 a = 2 2 0 -1 -4 1 1 2 2 -2 2 1 3 -2 -1 2 -1 3 -2 1 0 2 -2 2 0 -1 -4 1 2 2 -2 1 3 -2 -1 3 1 2 1 2 2 1 2 1 1
Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω.
Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση.
-1 3 -2 0 2 -2 0 -1 -4 2 2 -2 3 -2 -1 3 2 1 1 2 2 1 1 2 1 + -1 0 0 2 3 3 -2 2 -2 -1 -4 2 -2 -2 -1
+ 3 1 2 1 2 + - + - + 3 2 -1 3 -2 1 1 0 2 -2 a = 2 2 0 -1 -4 1 1 2 2 -2 2 1 3 -2 -1 2 -1 3 -2 1 0 2 -2 2 0 -1 -4 1 2 2 -2 1 3 -2 -1 3 1 2 1 2 2 1 2 1 1
Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω.
Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση.
-1 3 -2 0 2 -2 0 -1 -4 2 2 -2 3 -2 -1 3 2 1 1 2 2 1 1 2 1 + -1 0 0 2 3 3 -2 2 -2 -1 -4 2 -2 -2 -1 3 2 -1 1 1 0 2 2 0 1 1 2 2 1 3 3 2 -1 2 -2 -2 -2 -4 -2 -1
+ 3 1 2 1 2 + - + - + 3 2 -1 3 -2 1 1 0 2 -2 a = 2 2 0 -1 -4 1 1 2 2 -2 2 1 3 -2 -1 2 -1 3 -2 1 0 2 -2 2 0 -1 -4 1 2 2 -2 1 3 -2 -1 3 1 2 1 2 2 1 2 1 1
Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω.
Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση.
-1 3 -2 0 2 -2 0 -1 -4 2 2 -2 3 -2 -1 3 2 1 1 2 2 1 1 2 1 + -1 0 0 2 3 3 -2 2 -2 -1 -4 2 -2 -2 -1 3 2 -1 1 1 0 2 2 0 1 1 2 2 1 3 3 2 -1 2 -2 -2 -2 -4 -2 -1 3 2 -1 3 1 1 0 2 2 2 0 -1 1 1 2 2 2 1 3 -2 + -2 -2 -4 -2 -1
+ 3 1 2 1 2 + - + - + 3 2 -1 3 -2 1 1 0 2 -2 a = 2 2 0 -1 -4 1 1 2 2 -2 2 1 3 -2 -1 2 -1 3 -2 1 0 2 -2 2 0 -1 -4 1 2 2 -2 1 3 -2 -1 3 1 2 1 2 2 1 2 1 1
Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω.
Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση.
-1 3 -2 0 2 -2 0 -1 -4 2 2 -2 3 -2 -1 3 2 1 1 2 2 1 1 2 1 + -1 0 0 2 3 3 -2 2 -2 -1 -4 2 -2 -2 -1 3 2 -1 1 1 0 2 2 0 1 1 2 2 1 3 3 2 -1 2 -2 -2 -2 -4 -2 -1 3 2 -1 3 1 1 0 2 2 2 0 -1 1 1 2 2 2 1 3 -2
Αναπτύσσω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης.
+ -2 -2 -4 -2 -1
+ 3 1 2 1 2 + - + - + 3 2 -1 3 -2 1 1 0 2 -2 a = 2 2 0 -1 -4 1 1 2 2 -2 2 1 3 -2 -1 2 -1 3 -2 1 0 2 -2 2 0 -1 -4 1 2 2 -2 1 3 -2 -1 3 1 2 1 2 2 1 2 1 1
Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω.
Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση.
-1 3 -2 0 2 -2 0 -1 -4 2 2 -2 3 -2 -1 3 2 1 1 2 2 1 1 2 1 + -1 0 0 2 3 3 -2 2 -2 -1 -4 2 -2 -2 -1 3 2 -1 1 1 0 2 2 0 1 1 2 2 1 3 3 2 -1 2 -2 -2 -2 -4 -2 -1 3 2 -1 3 1 1 0 2 2 2 0 -1 1 1 2 2 2 1 3 -2
Αναπτύσσω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης.
+ -2 -2 -4 -2 -1 1 0 2 -2 2 0 -1 -4 +3 1 2 2 -2 1 3 -2 -1
+ 3 1 2 1 2 + - + - + 3 2 -1 3 -2 1 1 0 2 -2 a = 2 2 0 -1 -4 1 1 2 2 -2 2 1 3 -2 -1 2 -1 3 -2 1 0 2 -2 2 0 -1 -4 1 2 2 -2 1 3 -2 -1 3 1 2 1 2 2 1 2 1 1
Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω.
Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση.
-1 3 -2 0 2 -2 0 -1 -4 2 2 -2 3 -2 -1 3 2 1 1 2 2 1 1 2 1 + -1 0 0 2 3 3 -2 2 -2 -1 -4 2 -2 -2 -1 3 2 -1 1 1 0 2 2 0 1 1 2 2 1 3 3 2 -1 2 -2 -2 -2 -4 -2 -1 3 2 -1 3 1 1 0 2 2 2 0 -1 1 1 2 2 2 1 3 -2
Αναπτύσσω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης.
+ -2 -2 -4 -2 -1 1 0 2 -2 2 0 -1 -4 +3 1 2 2 -2 1 3 -2 -1 1 0 2 -2 2 0 -1 -4 -2 1 2 2 -2 2 3 -2 -1
+ 3 1 2 1 2 + - + - + 3 2 -1 3 -2 1 1 0 2 -2 a = 2 2 0 -1 -4 1 1 2 2 -2 2 1 3 -2 -1 2 -1 3 -2 1 0 2 -2 2 0 -1 -4 1 2 2 -2 1 3 -2 -1 3 1 2 1 2 2 1 2 1 1
Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω.
Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση.
-1 3 -2 0 2 -2 0 -1 -4 2 2 -2 3 -2 -1 3 2 1 1 2 2 1 1 2 1 + -1 0 0 2 3 3 -2 2 -2 -1 -4 2 -2 -2 -1 3 2 -1 1 1 0 2 2 0 1 1 2 2 1 3 3 2 -1 2 -2 -2 -2 -4 -2 -1 3 2 -1 3 1 1 0 2 2 2 0 -1 1 1 2 2 2 1 3 -2
Αναπτύσσω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης.
+ -2 -2 -4 -2 -1 1 0 2 -2 2 0 -1 -4 +3 1 2 2 -2 1 3 -2 -1 1 0 2 -2 2 0 -1 -4 -2 1 2 2 -2 2 3 -2 -1 1 1 2 -2 2 2 -1 -4 +(-1) 1 1 2 -2 2 1 -2 -1
+ 3 1 2 1 2 + - + - + 3 2 -1 3 -2 1 1 0 2 -2 a = 2 2 0 -1 -4 1 1 2 2 -2 2 1 3 -2 -1 2 -1 3 -2 1 0 2 -2 2 0 -1 -4 1 2 2 -2 1 3 -2 -1 3 1 2 1 2 2 1 2 1 1
Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω.
Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση.
-1 3 -2 0 2 -2 0 -1 -4 2 2 -2 3 -2 -1 3 2 1 1 2 2 1 1 2 1 + -1 0 0 2 3 3 -2 2 -2 -1 -4 2 -2 -2 -1 3 2 -1 1 1 0 2 2 0 1 1 2 2 1 3 3 2 -1 2 -2 -2 -2 -4 -2 -1 3 2 -1 3 1 1 0 2 2 2 0 -1 1 1 2 2 2 1 3 -2
Αναπτύσσω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης.
+ -2 -2 -4 -2 -1 1 0 2 -2 2 0 -1 -4 +3 1 2 2 -2 1 3 -2 -1 1 0 2 -2 2 0 -1 -4 -2 1 2 2 -2 2 3 -2 -1 1 1 2 -2 2 2 -1 -4 +(-1) 1 1 2 -2 2 1 -2 -1 1 1 0 -2 2 2 0 -4 -3 1 1 2 -2 2 1 3 -1
+ 3 1 2 1 2 + - + - + 3 2 -1 3 -2 1 1 0 2 -2 a = 2 2 0 -1 -4 1 1 2 2 -2 2 1 3 -2 -1 2 -1 3 -2 1 0 2 -2 2 0 -1 -4 1 2 2 -2 1 3 -2 -1 3 1 2 1 2 2 1 2 1 1
Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω.
Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση.
-1 3 -2 0 2 -2 0 -1 -4 2 2 -2 3 -2 -1 3 2 1 1 2 2 1 1 2 1 + -1 0 0 2 3 3 -2 2 -2 -1 -4 2 -2 -2 -1 3 2 -1 1 1 0 2 2 0 1 1 2 2 1 3 3 2 -1 2 -2 -2 -2 -4 -2 -1 3 2 -1 3 1 1 0 2 2 2 0 -1 1 1 2 2 2 1 3 -2
Αναπτύσσω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης.
+ -2 -2 -4 -2 -1 1 0 2 -2 2 0 -1 -4 +3 1 2 2 -2 1 3 -2 -1 1 0 2 -2 2 0 -1 -4 -2 1 2 2 -2 2 3 -2 -1 1 1 2 -2 2 2 -1 -4 +(-1) 1 1 2 -2 2 1 -2 -1 1 1 0 -2 2 2 0 -4 -3 1 1 2 -2 2 1 3 -1 1 1 0 2 2 2 0 -1 +(-2) 1 1 2 2 2 1 3 -2
+ 3 1 2 1 2 + - + - + 3 2 -1 3 -2 1 1 0 2 -2 a = 2 2 0 -1 -4 1 1 2 2 -2 2 1 3 -2 -1 2 -1 3 -2 1 0 2 -2 2 0 -1 -4 1 2 2 -2 1 3 -2 -1 3 1 2 1 2 2 1 2 1 1
Γράφω την ορίζουσα 5 φορές και κάθε φορά διαγράφω τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου ως προς το οποίο θα αναπτύξω.
Επίσης γράφω πάνω από κάθε στοιχείο το πρόσημο που θα έχει στην τελική άθροιση.
-1 3 -2 0 2 -2 0 -1 -4 2 2 -2 3 -2 -1 3 2 1 1 2 2 1 1 2 1 + -1 0 0 2 3 3 -2 2 -2 -1 -4 2 -2 -2 -1 3 2 -1 1 1 0 2 2 0 1 1 2 2 1 3 3 2 -1 2 -2 -2 -2 -4 -2 -1 3 2 -1 3 1 1 0 2 2 2 0 -1 1 1 2 2 2 1 3 -2
Αναπτύσσω την ορίζουσα σε άθροισμα 5 οριζουσών 4ης τάξης.
+ -2 -2 -4 -2 -1 1 0 2 -2 2 0 -1 -4 +3 1 2 2 -2 1 3 -2 -1 1 0 2 -2 2 0 -1 -4 -2 1 2 2 -2 2 3 -2 -1 1 1 2 -2 2 2 -1 -4 +(-1) 1 1 2 -2 2 1 -2 -1 1 1 0 -2 2 2 0 -4 -3 1 1 2 -2 2 1 3 -1 1 1 0 2 2 2 0 -1 +(-2) 1 1 2 2 2 1 3 -2
Συνεχίζω αναπτύσσοντας κάθε ορίζουσα σε άθροισμα 4 οριζουσών 3ης τάξης. κ.ο.κ.
Ο κλασσικός τρόπος υπολογισμού της τιμής μιας ορίζουσας
ν
βαθμού μας οδηγεί σε
ν!
πολλαπλασιασμούς, πράγμα πολύ χρονοβόρο.
Ο κλασσικός τρόπος υπολογισμού της τιμής μιας ορίζουσας
ν
βαθμού μας οδηγεί σε
ν!
πολλαπλασιασμούς, πράγμα πολύ χρονοβόρο.
Τώρα θα εξετάσουμε μερικές
ιδιότητες των οριζουσών
που θα μας φανούν χρήσιμες και θα μειώσουν το χρόνο υπολογισμού της τιμής μιας ορίζουσας.
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ
•Η
τιμή μιας ορίζουσας δεν μεταβάλλεται
αν αντικαταστήσω τα στοιχεία μιας γραμμής (ή στήλης) με το άθροισμα (ή τη διαφορά) των στοιχείων αυτών και των αντίστοιχων στοιχείων (ή και πολλαπλάσιων) μιας άλλης γραμμής (ή στήλης) :
a = a 11 a 21 a 31 a 41 a 51 a 61 a 12 a 22 a 32 a 42 a 52 a 62 a 13 a 23 a 33 a 43 a 53 a 63 a 14 a 24 a 34 a 44 a 54 a 64 a 15 a 25 a 35 a 45 a 55 a 65 a 16 a 26 a 36 a 46 a 56 a 66
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ
•Η
τιμή μιας ορίζουσας δεν μεταβάλλεται
αν αντικαταστήσω τα στοιχεία μιας γραμμής (ή στήλης) με το άθροισμα (ή τη διαφορά) των στοιχείων αυτών και των αντίστοιχων στοιχείων (ή και πολλαπλάσιων) μιας άλλης γραμμής (ή στήλης) :
a = a 11 a 21 a 31 a 41 a 51 a 61 a 12 a 22 a 32 a 42 a 52 a 62 a 13 a 23 a 33 a 43 a 53 a 63 a 14 a 24 a 34 a 44 a 54 a 64 a 15 a 25 a 35 a 45 a 55 a 65 a 16 a 26 a 36 a 46 a 56 a 66 = a 11 +2a 12 a 21 +2a 22 a 31 +2a 32 a 41 +2a 42 a 51 +2a 52 a 61 +2a 62 a a a a a a 12 22 32 42 52 62 a a a a a a 13 23 33 43 53 63 a a a a a a 14 24 34 44 54 64 a a a a a a 15 25 35 45 55 65 a 16 a 26 a 36 a 46 a 56 a 66
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ
•Η
τιμή μιας ορίζουσας δεν μεταβάλλεται
αν κατατάξω όλα τα στοιχεία των γραμμών σε στήλες και αντίστροφα.
a = a 11 a 21 a 31 a 41 a 51 a 61 a 12 a 22 a 32 a 42 a 52 a 62 a 13 a 23 a 33 a 43 a 53 a 63 a 14 a 24 a 34 a 44 a 54 a 64 a 15 a 25 a 35 a 45 a 55 a 65 a 16 a 26 a 36 a 46 a 56 a 66
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ
•Η
τιμή μιας ορίζουσας δεν μεταβάλλεται
αν κατατάξω όλα τα στοιχεία των γραμμών σε στήλες και αντίστροφα.
a = a 11 a 21 a 31 a 41 a 51 a 61 a 12 a 22 a 32 a 42 a 52 a 62 a 13 a 23 a 33 a 43 a 53 a 63 a 14 a 24 a 34 a 44 a 54 a 64 a 15 a 25 a 35 a 45 a 55 a 65 a 16 a 26 a 36 a 46 a 56 a 66 = a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16 a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 26 a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 a 36 a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 a 46 a 51 a 52 a 53 a 54 a 55 a 56 a 61 a 62 a 63 a 64 a 65 a 66
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ
•
Η ορίζουσα αλλάξει πρόσημο
αν αλλάξω δύο γραμμές (ή στήλες) μεταξύ τους.
a = a 11 a 21 a 31 a 41 a 51 a 61 a 12 a 22 a 32 a 42 a 52 a 62 a 13 a 23 a 33 a 43 a 53 a 63 a 14 a 24 a 34 a 44 a 54 a 64 a 15 a 25 a 35 a 45 a 55 a 65 a 16 a 26 a 36 a 46 a 56 a 66
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ
•
Η ορίζουσα αλλάξει πρόσημο
αν αλλάξω δύο γραμμές (ή στήλες) μεταξύ τους.
a = a 11 a 21 a 31 a 41 a 51 a 61 a 12 a 22 a 32 a 42 a 52 a 62 a 13 a 23 a 33 a 43 a 53 a 63 a 14 a 24 a 34 a 44 a 54 a 64 a 15 a 25 a 35 a 45 a 55 a 65 a 16 a 26 a 36 a 46 a 56 a 66 = a 11 a 21 a 31 a 41 a 51 a 61 a 15 a 25 a 35 a 45 a 55 a 65 a 13 a 23 a 33 a 43 a 53 a 63 a 14 a 24 a 34 a 44 a 54 a 64 a 12 a 22 a 32 a 42 a 52 a 62 a 16 a 26 a 36 a 46 a 56 a 66
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ
Οι ιδιότητες των οριζουσών μας δίνουν το δικαίωμα να
προσθέτουμε γραμμές (ή στήλες) μεταξύ τους
στήλης). έτσι ώστε να πετύχουμε τον μηδενισμό αρκετών στοιχείων μιας γραμμής (ή Στη συνέχεια αναπτύσσουμε την ορίζουσα ως προς τη γραμμή (ή στήλη) που έχει τα περισσότερα μηδενικά στοιχεία.
Αυτό θα μας οδηγήσει σε υπολογισμό λιγότερων ελασσόνων οριζουσών.
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ
Οι ιδιότητες των οριζουσών μας δίνουν το δικαίωμα να προσθέτουμε γραμμές (ή στήλες) μεταξύ τους έτσι ώστε να πετύχουμε τον μηδενισμό αρκετών στοιχείων μιας γραμμής (ή στήλης). Στη συνέχεια αναπτύσσουμε την ορίζουσα ως προς τη γραμμή (ή στήλη) που έχει τα περισσότερα μηδενικά στοιχεία.
Αυτό θα μας οδηγήσει σε υπολογισμό λιγότερων ελασσόνων οριζουσών.
Η αντικατάσταση μιας γραμμής με το άθροισμά της με το πολλαπλάσιο μιας άλλης
συμβολίζεται
όπως φαίνεται στα παραδείγματα που ακολουθούν.
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ
Οι ιδιότητες των οριζουσών μας δίνουν το δικαίωμα να προσθέτουμε γραμμές (ή στήλες) μεταξύ τους έτσι ώστε να πετύχουμε τον μηδενισμό αρκετών στοιχείων μιας γραμμής (ή στήλης). Στη συνέχεια αναπτύσσουμε την ορίζουσα ως προς τη γραμμή (ή στήλη) που έχει τα περισσότερα μηδενικά στοιχεία.
Αυτό θα μας οδηγήσει σε υπολογισμό λιγότερων ελασσόνων οριζουσών.
Η αντικατάσταση μιας γραμμής με το άθροισμά της με το πολλαπλάσιο μιας άλλης
συμβολίζεται
όπως φαίνεται στα παραδείγματα που ακολουθούν.
Γ3=Γ3-Γ1
: αντικαθιστώ την γραμμή 3 με τη διαφορά της 1ης από την 3η γραμμή
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ
Οι ιδιότητες των οριζουσών μας δίνουν το δικαίωμα να προσθέτουμε γραμμές (ή στήλες) μεταξύ τους έτσι ώστε να πετύχουμε τον μηδενισμό αρκετών στοιχείων μιας γραμμής (ή στήλης). Στη συνέχεια αναπτύσσουμε την ορίζουσα ως προς τη γραμμή (ή στήλη) που έχει τα περισσότερα μηδενικά στοιχεία.
Αυτό θα μας οδηγήσει σε υπολογισμό λιγότερων ελασσόνων οριζουσών.
Η αντικατάσταση μιας γραμμής με το άθροισμά της με το πολλαπλάσιο μιας άλλης
συμβολίζεται
όπως φαίνεται στα παραδείγματα που ακολουθούν.
Γ3=Γ3-Γ1
: αντικαθιστώ την γραμμή 3 με τη διαφορά της 1ης από την 3η γραμμή
Σ1=Σ1+2Σ4
: αντικαθιστώ τη στήλη 1 με τό άθροισμα της 1ης με το διπλάσιο της 4ης
ΤΙΜΗ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ
Θέμα:
Να υπολογισθεί η τιμή της ακόλουθης ορίζουσας 5ης τάξης:
3 2 -1 3 -2 1 1 0 2 -2 a = 2 2 0 -1 -4 1 1 2 2 -2 2 1 3 -2 -1
Εφαρμόζοντας τις παραπάνω ιδιότητες στην ορίζουσα του θέματος, μπορούμε να προχωρήσουμε με την εξής μέθοδο:
Θέμα:
Να υπολογισθεί η τιμή της ακόλουθης ορίζουσας 5ης τάξης:
3 2 -1 3 -2 1 1 0 2 -2 a = 2 2 0 -1 -4 1 1 2 2 -2 2 1 3 -2 -1
Εφαρμόζοντας τις παραπάνω ιδιότητες στην ορίζουσα του θέματος, μπορούμε να προχωρήσουμε με την εξής μέθοδο: Πρώτα αφαιρώ την 1η από τη 2η στήλη:
Σ2=Σ2-Σ1 =
3 1 2 1 2 2-3 1-1 2-2 1-1 1-2 -1 0 0 2 3 3 2 -1 2 -2 -2 -2 -4 -2 -1
=
3 1 2 1 2 -1 0 0 0 -1 -1 0 0 2 3 3 2 -1 2 -2 -2 -2 -4 -2 -1
=
3 1 2 1 2 -1 0 0 0 -1 -1 0 0 2 3 3 2 -1 2 -2 -2 -2 -4 -2 -1 Κατόπιν αφαιρώ την 1η από τη 5η γραμμή:
Γ5=Γ5-Γ1 =
3 1 2 -1 0 0 -1 0 0 3 2 -1 -2 -2 -4 1 0 2 2 -2 2-3 -1+1 3+1 -2-3 -1+2
= 3 -1 -1 3 -2 1 0 0 2 -2 2 1 0 0 -1 0 0 -1 -4 2 2 -2 4 -5 1
=
3 1 2 1 2 -1 0 0 0 -1 -1 0 0 2 3 3 2 -1 2 -2 -2 -2 -4 -2 -1 Κατόπιν αφαιρώ την 1η από τη 4η γραμμή:
Γ4=Γ4-Γ1 =
3 1 2 -1 0 0 -1 0 0 3 2 -1 -2 -2 -4 1 0 2 2 -2 2-3 -1+1 3+1 -2-3 -1+2
= 3 -1 -1 3 -2 1 0 0 2 -2 2 1 0 0 -1 0 0 -1 -4 2 2 -2 4 -5 1
Βλέπουμε ότι η στήλη 2 έχει μόνο ένα μη μηδενικό στοιχείο. Συνεπώς θα έχουμε μόνο μια ορίζουσα 4ης τάξης να υπολογίσουμε.
=
3 1 2 1 2 -1 0 0 0 -1 -1 0 0 2 3 3 2 -1 2 -2 -2 -2 -4 -2 -1 Κατόπιν αφαιρώ την 1η από τη 4η γραμμή:
Γ4=Γ4-Γ1 =
3 1 2 -1 0 0 -1 0 0 3 2 -1 -2 -2 -4 1 0 2 2 -2 2-3 -1+1 3+1 -2-3 -1+2
= 3 -1 -1 3 -2 1 0 0 2 -2 2 1 0 0 -1 0 0 -1 -4 2 2 -2 4 -5 1
Βλέπουμε ότι η στήλη 2 έχει μόνο ένα μη μηδενικό στοιχείο. Συνεπώς θα έχουμε μόνο μια ορίζουσα 4ης τάξης να υπολογίσουμε. Εκτός αυτού και οι ορίζουσες 3ης τάξης, που θα προκύψουν στη συνέχεια των υποβιβασμών, έχουν ήδη μηδενικά στοιχεία, όπως φαίνεται στη στήλη 3.
3 1 2 1 -1 -1 0 0 0 0 -1 0 0 2 4 3 2 -1 2 -5 -2 -2 -4 -2 1
=
1 2 1 -1 0 0 2 4 2 -1 2 -5 -2 -4 -2 1 Αναπτύσσω την ορίζουσα ως προς τη 2η στήλη. Το μοναδικό μη μηδενικό στοιχείο είναι το –1 (i=1η γραμμή, j=2η στήλη, άρα i+j=3, συνεπώς (–1) 3 =-1), (-1)(-1)= 1.
3 1 2 1 -1 -1 0 0 0 0 -1 0 0 2 4 3 2 -1 2 -5 -2 -2 -4 -2 1
=
1 2 1 -1 0 0 2 4 2 -1 2 -5 -2 -4 -2 1 Αναπτύσσω την ορίζουσα ως προς τη 2η στήλη. Το μοναδικό μη μηδενικό στοιχείο είναι το –1 (i=1η γραμμή, j=2η στήλη, άρα i+j=3, συνεπώς (–1) 3 =-1), (-1)(-1)= 1.
Στην ορίζουσα 4ης τάξης εφαρμόζω την πράξη:
Γ4=Γ4-2Γ3 =
1 2 0 0 2 -1 -2 -4 1 2 2 -2 -1-2 4-4 -5-4 1+4
=
1 2 1 -3 0 0 2 0 2 -1 2 -9 -2 -4 -2 5
3 1 2 1 -1 -1 0 0 0 0 -1 0 0 2 4 3 2 -1 2 -5 -2 -2 -4 -2 1
=
1 2 1 -1 0 0 2 4 2 -1 2 -5 -2 -4 -2 1 Αναπτύσσω την ορίζουσα ως προς τη 2η στήλη. Το μοναδικό μη μηδενικό στοιχείο είναι το –1 (i=1η γραμμή, j=2η στήλη, άρα i+j=3, συνεπώς (–1) 3 =-1), (-1)(-1)= 1.
Στην ορίζουσα 4ης τάξης εφαρμόζω την πράξη:
Γ4=Γ4-2Γ3 =
1 2 0 0 2 -1 -2 -4 1 2 2 -2 -1-2 4-4 -5-4 1+4
=
1 2 1 -3 0 0 2 0 2 -1 2 -9 -2 -4 -2 5 Η δεύτερη στήλη περιέχει μόνο ένα μη μηδενικό στοιχείο, άρα θα αναπτύξουμε ως προς τη στήλη 2 και θα έχουμε μόνο μια ορίζουσα 3ης τάξης.
3 1 2 1 -1 -1 0 0 0 0 -1 0 0 2 4 3 2 -1 2 -5 -2 -2 -4 -2 1
=
1 2 1 -1 0 0 2 4 2 -1 2 -5 -2 -4 -2 1 Αναπτύσσω την ορίζουσα ως προς τη 2η στήλη. Το μοναδικό μη μηδενικό στοιχείο είναι το –1 (i=1η γραμμή, j=2η στήλη, άρα i+j=3, συνεπώς (–1) 3 =-1), (-1)(-1)= 1.
Στην ορίζουσα 4ης τάξης εφαρμόζω την πράξη:
Γ4=Γ4-2Γ3 =
1 2 0 0 2 -1 -2 -4 1 2 2 -2 -1-2 4-4 -5-4 1+4
=
1 2 1 -3 0 0 2 0 2 -1 2 -9 -2 -4 -2 5 Η δεύτερη στήλη περιέχει μόνο ένα μη μηδενικό στοιχείο, άρα θα αναπτύξουμε ως προς τη στήλη 2 και θα έχουμε μόνο μια ορίζουσα 3ης τάξης.
Τέλος, η τιμή της ορίζουσας 3ης τάξης θα υπολογισθεί με τον κανόνα Sarrus.
=
1 2 1 -3 0 0 2 0 2 -1 2 -9 -2 -4 -2 5
ΑΣΚΗΣΗ
: Η παραπάνω ισότητα είναι η τελευταία στην ακολουθία του θέματός μας.
1.
Να δημιουργήσετε το αλγεβρικό συμπλήρωμα του μη μηδενικού στοιχείου της δεύτερης στήλης.
2.
3.
4.
Να συνεχίσετε την ισότητα Να υπολογίσετε την τιμή της ορίζουσας 3ης τάξης με τον κανόνα Sarrus.
Να υπολογίσετε την τελική τιμή της αρχικής ορίζουσας
ΑΣΚΗΣΗ
ορίζουσας.
: Να δημιουργήσετε μια ορίζουσα που κάθε στοιχείο της θα είναι το άθροισμα των δεικτών των στοιχείων της παρακάτω Μόνο με πράξεις μεταξύ των γραμμών (ή στηλών) να αποδείξετε ότι η τιμή της είναι μηδέν (0).
a = a 11 a 21 a 31 a 41 a 51 a 61 a 12 a 22 a 32 a 42 a 52 a 62 a 13 a 23 a 33 a 43 a 53 a 63 a 14 a 24 a 34 a 44 a 54 a 64 a 15 a 25 a 35 a 45 a 55 a 65 a 16 a 26 a 36 a 46 a 56 a 66 ΥΠΟΔΕΙΞΗ
: Μετά από κατάλληλες πράξεις πρέπει όλα τα στοιχεία μιας γραμμής (ή στήλης) να είναι μηδέν (0).
a = 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 5 6 7 8 6 7 8 7 8 9 9 10 8 9 10 11 9 10 11 12
a = 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 5 6 7 8 6 7 8 7 8 9 9 10 8 9 10 11 9 10 11 12 = 2 1 4 5 6 7
Γ2-Γ1
3 1 5 6 7 8 4 1 6 7 5 1 7 8 6 1 8 7 1 9 9 10 8 9 10 11 9 10 11 12
a = = 2 1 4 5 1 7 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 5 6 7 8 6 7 8 7 8 9 9 10 8 9 10 11 9 10 11 12
Γ5-Γ4
3 1 5 6 1 8 4 1 6 7 5 1 7 8 6 1 8 7 1 9 9 10 1 1 1 1 9 10 11 12 = 2 1 4 5 6 7
Γ2-Γ1
3 1 5 6 7 8 4 1 6 7 5 1 7 8 6 1 8 7 1 9 9 10 8 9 10 11 9 10 11 12
a = = 2 1 4 5 1 7 2 3 4 5 6 7
Γ2-Γ1
3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 5 6 7 8 6 7 8 7 8 9 9 10 8 9 10 11 9 10 11 12 = 2 1 4 5 6 7 3 1 5 6 7 8 4 1 6 7 5 1 7 8 6 1 8 7 1 9 9 10 8 9 10 11 9 10 11 12
Γ5-Γ4 Γ5-Γ2
3 1 5 6 1 8 4 1 6 7 5 1 7 8 6 1 8 7 1 9 9 10 1 1 1 1 9 10 11 12 = 2 1 4 5 0 7 3 1 5 6 0 8 4 1 6 7 5 1 7 8 6 1 8 7 1 9 9 10 0 0 0 0 9 10 11 12
a = = 2 1 4 5 1 7 2 3 4 5 6 7
Γ2-Γ1
3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 5 6 7 8 6 7 8 7 8 9 9 10 8 9 10 11 9 10 11 12 = 2 1 4 5 6 7 3 1 5 6 7 8 4 1 6 7 5 1 7 8 6 1 8 7 1 9 9 10 8 9 10 11 9 10 11 12
Γ5-Γ4 Γ5-Γ2
3 1 5 6 1 8 4 1 6 7 5 1 7 8 6 1 8 7 1 9 9 10 1 1 1 1 9 10 11 12 = 2 1 4 5 0 7 3 1 5 6 0 8 4 1 6 7 5 1 7 8 6 1 8 7 1 9 9 10 0 0 0 0 9 10 11 12
Η γραμμή 5 έχει μόνο μηδενικά στοιχεία, άρα a=0.
ΑΣΚΗΣΗ
: Να αποδείξετε ότι πάντα μια ορίζουσα υποβιβάζεται σε μία μόνο ορίζουσα μικρότερης τάξης.
Η απόδειξη να γίνει για την ορίζουσα:
a = 5 7 12 -8 -2 -3 1 7 4 3 5 9 9 -6 -4 3 8 2 7 -5 -6 3 2 8 4
a = Σ4-2Σ2 5 7 12 -8 -2 -3 1 7 4 3 5 9 9 -6 -4 3 8 2 7 -5 -6 3 2 8 4 Γ1-Γ3
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
0 -2 18 -4 -5 -3 1 7 4 3 5 9 -6 -4 3 9 8 2 7 -5 -6 3 2 8 4 -3 1 5 9
περιέχει στοιχεία που προσθέτουν δυσκολία
9 -6 -22 3 -6 3
Η μοναδική ορίζουσα μικρότερης τάξης
7 2
στον υπολογισμό των γινομένων.
Σ3+9Σ2 0 -2 0 -3 1 16 2 3 5 0 -5 9 75 -22 3
Αυτό όμως αντισταθμίζεται με το γεγονός ότι έχουμε μόνο 1 ορίζουσα αντί για 5
Σ5-2,5Σ2 0 -2 0 0 -3 1 16 2 5 9 8 74 -9 0 0,5 9 75 -22 -19,5 -25 -6 3 29 2 -3,5
ΑΣΚΗΣΗ
: Να αποδείξετε ότι η τιμή της παρακάτω ορίζουσας είναι ίση με μηδέν (0).
a = 1 3 4 3 1 -1 2 6 9 -3 1 6 3 2 1 4 ΛΥΣΗ Παρατηρούμε ότι η 3η γραμμή είναι το τριπλάσιο της 1ης γραμμής.
ΑΣΚΗΣΗ
: Να αποδείξετε ότι η τιμή της παρακάτω ορίζουσας είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου της.
a = a 11 0 0 0 a 12 a 22 0 0 a 13 a 23 a 33 0 a 14 a 24 a 34 a 44
ΑΣΚΗΣΗ
: Να αποδείξετε ότι η τιμή της παρακάτω ορίζουσας είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου της.
a = a 11 0 0 0 a 12 a 22 0 0 a 13 a 23 a 33 0 a 14 a 24 a 34 a 44
Θέλω να αποδείξω ότι:
a = a 11
a 22
a 33
a 44
Αναπτύσσοντας ως προς την 1η στήλη, θα έχω μόνο μια ορίζουσα 3ης τάξης.
Αναπτύσσοντας και πάλι ως προς την 1η στήλη, θα έχω μόνο μια ορίζουσα 2ης τάξης.
a = a 11 0 0 0 a 12 a 22 0 0 a 13 a 23 a 33 0 a 14 a 24 a 34 a 44 = a 11
a 22 0 0 a 23 a 33 0 a 24 a 34 a 44 = a 11
a 22
a 33 0 a 34 a 44 = a 11
a 22
a 33
a 44
Ορίζουσες τέτοιας μορφής λέγονται
τριγωνικές
.
a = a 11 0 0 0 a 12 a 22 0 0 a 13 a 23 a 33 0 a 14 a 24 a 34 a 44 ΑΣΚΗΣΗ
: Να αποδείξετε ότι κάθε ορίζουσα μπορεί να μετατραπεί σε τριγωνική.
ΑΣΚΗΣΗ 1
: Να υπολογίσετε την τιμή της ορίζουσας:
ΑΣΚΗΣΗ 2
διερευνήσετε την εξίσωση:
ΑΣΚΗΣΗ 3
: Να λύσετε και να : Να λύσετε και να διερευνήσετε την εξίσωση:
i A = 3 j 1 k 1 -2 -1 1 a f(x) = 1 b x 1 x a 1 = 0 1 a f(x) = 1 x x 1 b a 1 = 0 1
ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
Ένα σύστημα διάφορη του 0.
n
εξισώσεων με
n
αγνώστους έχει μία λύση όταν η ορίζουσα των συντελεστών είναι
Αυτά τα συστήματα ονομάζονται συστήματα Cramer
Η λύση ενός συστήματος Cramer είναι:
a x + a x + ... + a x = b 11 1 12 2 1n n 1 a x + a x + ... + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 .....
a x + a x + ... + a x = b n1 1 n2 2 nn n n A 1 x = 2 A A 2 A
......
A n A
όπου
Α
είναι η ορίζουσα των συντελεστών και
Α 1
,
Α 2
, ... ,
Α n
είναι οι ορίζουσες που προκύπτουν από την
Α
, αν στη θέση των συντελεστών κάθε αγνώστου θέσουμε τους σταθερούς όρους.
ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
: Να λυθεί το σύστημα:
2 2 2 3 3 3
Η ορίζουσα
Α
των συντελεστών είναι:
1 A = 4 2 -1 1 1 = -12
0 -3 2 -1
Οι ορίζουσες
Α 1
,
Α 2
,
Α 3
είναι:
0 -1 2 2 -1 1 1 = 6 2 -1 1 -3 0 -1 -2 -1 1 = -6 1
Συνεπώς η λύση του συστήματος είναι:
x = 1 A 1 A 6 = -12 1 = 2 x = 2 A 2 A -6 = -12 1 = 2 1 4 2 1 -3 2 0 -1 = -6 2 x = 3 A 3 A -6 = -12 1 = 2
ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
ΑΣΚΗΣΗ
: Να λυθεί το σύστημα:
2 4 2 2 3 3 3 4 4
ΤΕΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
(ΒΙΒΛΙΟ: ΑΛΓΕΒΡΑ, ΣΕΛ. 15-37)
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
1.
2.
3.
4.
5.
Εισαγωγή
Διανύσματα
Άλγεβρα Διανυσμάτων
Εσωτερικό Γινόμενο
Εξωτερικό Γινόμενο
ΕΙΣΑΓΩΓΗ Φυσικά Μεγέθη
Οτιδήποτε στη φύση μπορεί να μετρηθεί και να καταταγεί αποτελεί
φυσικό μέγεθος
. Τα φυσικά μεγέθη δεν είναι τίποτα άλλο από μια αντιστοίχιση των ιδιοτήτων υλικών σωμάτων ή ενεργειακών ποσοτήτων με κάποιο σώμα αριθμών ή μαθηματικό χώρο.
Βαθμωτά Μεγέθη
Βαθμωτό
είναι ένα φυσικό μέγεθος, για την περιγραφή του οποίου αρκεί ο προσδιορισμός του
μέτρου
(πραγματικός αριθμός και μονάδα μέτρησης).
Διανυσματικά Μεγέθη
Διανυσματικό
είναι ένα φυσικό μέγεθος, για την περιγραφή του οποίου χρειάζεται ο προσδιορισμός του
μέτρου
(πραγματικός αριθμός και μονάδα μέτρησης) και της
διεύθυνσης
(γωνία κατά την οποία εφαρμόζεται).
ΕΙΣΑΓΩΓΗ Άσκηση
Ποια από τα παρακάτω είναι φυσικά μεγέθη; Ηλεκτρισμός Βάρος Υγρασία Μάζα Μήκος Αυτοκίνητο Χρώμα Ποια από τα παρακάτω είναι βαθμωτά μεγέθη; Θερμοκρασία Χρόνος Όγκος Ταχύτητα Πλήθος Ποια από τα παρακάτω είναι διανυσματικά μεγέθη; Μήκος Απόσταση Θερμότητα
Συμβολισμός διανυσμάτων
Ο αναλυτικός συμβολισμός γίνεται με ελληνικούς ή λατινικούς χαρακτήρες πάνω από τους οποίους τοποθετείται ένα μικρό οριζόντιο βέλος.
των διανυσμάτων Το μέτρο των διανυσμάτων συμβολίζεται με τον τελεστή της απόλυτης τιμής.
ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Σε μερικές βιβλιογραφίες, για την παράσταση διανύσματος χρησιμοποιείται έντονη γραφή (χωρίς βέλος πάνω από το σύμβολο), ενώ για την παράσταση του μέτρου διανύσματος αρκεί η χρήση του συμβόλου του.
,
Η γραφική απεικόνιση ενός διανύσματος γίνεται με ένα βέλος μήκους ίσου με το μέτρο και ίδιας διεύθυνσης με εκείνη του διανύσματος.
a
Άλγεβρα διανυσμάτων
Για τη θεμελίωση της άλγεβρας διανυσμάτων, δηλαδή των νόμων που ορίζουν την εκτέλεση πράξεων σε αυτά, είναι απαραίτητος ο ορισμός δύο πολύ βασικών διανυσμάτων: του μοναδιαίου και του μηδενικού διανύσματος.
Μοναδιαίο είναι ένα διάνυσμα όταν το μέτρο του είναι ίσο με 1 Μηδενικό είναι ένα διάνυσμα όταν το μέτρο του είναι ίσο με 0
a a a a
1 0
Άλγεβρα διανυσμάτων
Για κάθε μη μηδενικό διάνυσμα αυτό διάνυσμα είναι ίσο με:
a
υπάρχει ένα μόνο μοναδιαίο διάνυσμα με την ίδια διεύθυνση. Το μοναδιαίο
Ίσα διανύσματα
Δύο διανύσματα είναι
ίσα
την ίδια διεύθυνση εάν έχουν ίσα μέτρα και
I
a a
a b Αντίθετα διανύσματα
Δύο διανύσματα είναι αντίθετα αλλά αντίθετη διεύθυνση εάν έχουν ίσα μέτρα, Το αντίθετο πρόσθεσης .
διάνυσμα είναι το μηδενικό στοιχείο της
b a
Άλγεβρα διανυσμάτων
Επάλληλα διανύσματα
Δύο διανύσματα λέγονται επάλληλα αποτελεί αρχή του δεύτερου. ή διαδοχικά , όταν το τέλος του πρώτου
a b Ακτινωτά διανύσματα
Δύο διανύσματα λέγονται ακτινωτά ή συμπίπτουν. διανυσματικές ακτίνες , όταν οι αρχές τους
b a
Άλγεβρα διανυσμάτων Άθροισμα διανυσμάτων
Άθροισμα διανυσμάτων λέγεται το αποτέλεσμα της πρόσθεσής τους.
Το Άθροισμα δύο επάλληλων διανυσμάτων , είναι διάνυσμα, το οποίο έχει ίδια αρχή με το πρώτο και ίδιο τέλος με το δεύτερο διάνυσμα.
c
a
b a b
Το Άθροισμα αρχικά.
δύο ακτινωτών διανυσμάτων, είναι διάνυσμα ίσο με τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου που ορίζουν τα διανύσματα, με αρχή την ίδια με τα
b a c
a
b
Άλγεβρα διανυσμάτων Διαφορά διανυσμάτων
Διαφορά διανυσμάτων λέγεται το αποτέλεσμα της αφαίρεσής τους.
Η Διαφορά δύο ακτινωτών διανυσμάτων, είναι διάνυσμα με αρχή το τέλος του δεύτερου και τέλος το τέλος του πρώτου.
b c
a
b a Άσκηση
Χρησιμοποιώντας τον ορισμό αθροίσματος επάλληλων διανυσμάτων να αποδείξετε τον παραπάνω ορισμό.
Γινόμενο διανύσματος με βαθμωτό
Γινόμενο διανύσματος
με ένα
βαθμωτό
μέγεθος είναι ένα νέο διάνυσμα με μέτρο ίσο με το γινόμενο του βαθμωτού επί το μέτρο του διανύσματος και διεύθυνση ίδια ή αντίθετη με αυτήν του διανύσματος, εξαρτώμενη από το πρόσημο του βαθμωτού μεγέθους.
a a r
( λ λ
a 0)
s
( κ
κ
a 0)
Το γινόμενο διανύσματος επί το μηδέν (0), είναι το μηδενικό διάνυσμα.
Δύο παράλληλα διανύσματα έχουν λόγο ένα πραγματικό αριθμό.
Ανάλυση διανυσμάτων
Κάθε διάνυσμα μπορεί να αναλυθεί σε 2 άλλα διανύσματα αρκεί να ορισθούν οι διευθύνσεις τους.
d d
a
b a b
Κατ’ επέκταση μπορεί να αναλυθεί σε 3, 4, κ.ο.κ. διανύσματα γνωστών διευθύνσεων.
d d
a
b
c a c b
Ορθογώνια μοναδιαία διανύσματα
Τρία μοναδιαία διανύσματα λέγονται ορθογώνια όταν είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους. Κάθε τριάδα ορθογώνιων διανυσμάτων ορίζει ένα τρισορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων .
z
y k i j
x
Συνιστώσες διανυσμάτων
Κάθε διάνυσμα μπορεί πάντα να αναλυθεί σε τρία διανύσματα παράλληλα προς τα ορθογώνια διανύσματα ενός συστήματος συντεταγμένων.
z
a
a x
a y
a z k j i a x a
a
y a z y
x y y
z
⇒
x
Οι πραγματικοί αριθμοί σ x , σ y , σ z λέγονται συνιστώσες του διανύσματος
a
.
Το διάνυσμα μπορεί να γραφεί
a = ( σ x , σ y , σ z )
Συνιστώσες διανυσμάτων
Κάθε διάνυσμα μπορεί πάντα να αναλυθεί σε τρία διανύσματα παράλληλα προς τα ορθογώνια διανύσματα ενός συστήματος συντεταγμένων.
z
a a z y k j i a x
a
y
Σημείωση
Στο εξής θα χρησιμοποιούμε
κόκκινο
για διανύσματα και
μαύρο
για τις συνιστώσες.
x
Οι πραγματικοί αριθμοί σ x , σ y , σ z λέγονται συνιστώσες του διανύσματος
a
.
Το διάνυσμα μπορεί να γραφεί
a = ( σ x , σ y , σ z )
Άθροισμα – Διαφορά διανυσμάτων από τις Συνιστώσες
Κάθε διάνυσμα
a
μπορεί πάντα να γραφεί
a = (
σ x , σ y , σ z
)
Οι πραγματικοί αριθμοί σ x , σ y , σ z λέγονται συνιστώσες του διανύσματος
a
.
Όταν είναι γνωστές οι συνιστώσες των διανυσμάτων τότε η αναλυτική έκφραση της πρόσθεσης και αφαίρεσης είναι:
Άσκηση
a b c
x x
b
y y
, ,
z z
a
x
x y
y z
b
z
Να υπολογίσετε το άθροισμα a + b και τη διαφορά a b των διανυσμάτων:
a
b
(2, 2, 2)
Μέτρο διανυσμάτων από τις Συνιστώσες
Κάθε διάνυσμα
a
μπορεί πάντα να γραφεί
a = (a
x , a y , a z
)
Οι πραγματικοί αριθμοί a x , a y , a z λέγονται συνιστώσες του διανύσματος
a
.
Όταν είναι γνωστές οι συνιστώσες των διανυσμάτων τότε η αναλυτική έκφραση του μέτρου του είναι:
a
a
x
2
a
y
2
a
z
2
Άσκηση
Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων:
a
(1, 2,3)
b
Εσωτερικό γινόμενο
Εσωτερικό (ή διανυσμάτων.
βαθμωτό ) γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι βαθμωτό μέγεθος ίσο με το γινόμενο των μέτρων των διανυσμάτων επί το συνημίτονο της περιεχόμενης γωνίας. Η πράξη συμβολίζεται με μια κουκίδα μεταξύ των
b φ
m a b
a
Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων από τις Συνιστώσες
Όταν είναι γνωστές οι συνιστώσες των διανυσμάτων τότε η αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου είναι:
a b =
=
τ x , τ y , τ z z
μ= Άσκηση
Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων:
a
b
(2, 2, 2)
m a b
Εξωτερικό γινόμενο
Εξωτερικό
(ή διανυσματικό) συμβολίζεται με το
x
.
γινόμενο
δύο διανυσμάτων είναι
διάνυσμα
κάθετο στο επίπεδο των δύο διανυσμάτων, με μέτρο ίσο με το γινόμενο των μέτρων των διανυσμάτων επί το ημίτονο της περιεχόμενης γωνίας. Η πράξη c = a x b c a b
b φ a ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 1: Το πρόσημο του ημιτόνου θα είναι και το πρόσημο του εξωτερικού γινομένου, άρα θα καθορίζει τη φορά του.
Εξωτερικό γινόμενο
Εξωτερικό
(ή διανυσματικό) συμβολίζεται με το
x
.
γινόμενο
δύο διανυσμάτων είναι
διάνυσμα
κάθετο στο επίπεδο των δύο διανυσμάτων, με μέτρο ίσο με το γινόμενο των μέτρων των διανυσμάτων επί το ημίτονο της περιεχόμενης γωνίας. Η πράξη c = a x b c a b
b φ a ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 2: Το μέτρο του εξωτερικού γινομένου είναι ίσο με το εμβαδό του παραλληλογράμμου των διανυσμάτων.
Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων από τις Συνιστώσες
Όταν είναι γνωστές οι συνιστώσες των διανυσμάτων σε ένα σύστημα μοναδιαίων διανυσμάτων i,j,k τότε η αναλυτική έκφραση του εξωτερικού γινομένου είναι:
a
(
x b
y y
, ,
z z
) )
i a x b x j a y b y k a z b z
Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων από τις Συνιστώσες Άσκηση
Να υπολογίσετε το εξωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων:
a
b
(2, 2, 2)
Λύση
i j k c = 3 -1 4 = 2 2 2 j+ 3 -1 2 2 k = -10i+ 2j+8k
ΤΕΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 2
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
(ΑΛΓΕΒΡΑ, ΣΕΛ. 41-120)
ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Εξίσωση ευθείας
Απόσταση σημείου από ευθεία
Εμβαδόν τριγώνου
Εξίσωση ευθείας
Όπως είναι γνωστό, δύο σημεία Α(x 1 ,y 1 ) και Β(x 2 ,y 2 ) ορίζουν μια ευθεία. Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β είναι: y y 2
y - y 1 x - x 1 = 1 1
y 1 Ο λόγος της διαφοράς των συντεταγμένων δύο σημείων μιας ευθείας λέγεται συντελεστής διεύθυνσης λ .
Α φ
x 1
φ Β
x 2 x
λ = 1 1
Όπως παρατηρούμε στο σχήμα, ο συντελεστής διεύθυνσης
λ
είναι ίσος με την εφαπτομένη της γωνίας φ που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα x.
Δηλαδή:
λ = Tanφ
Εξίσωση ευθείας
Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(x 1 ,y 1 ) και Β(x 2 ,y 2 ) είναι: Ευθεία που διέρχεται από σημείο Α(x 1 ,y 1 ) και έχει γνωστό συντελεστή διεύθυνσης λ περιγράφεται από την εξίσωση: Ευθεία που διέρχεται από σημείο Α(x 1 ,y 1 ) και είναι παράλληλη σε διάνυσμα r(x r ,y r ) περιγράφεται από την εξίσωση:
y - y 1 x - x 1 = y - y 1 x - x 1 = λ y - y 1 x - x 1 y = x r r 1 1
Εξίσωση ευθείας
Παράλληλες ευθείες σχηματίζουν την ίδια γωνία με τον άξονα x. Συνεπώς έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης.
ε 1 ε 2
2
y Κάθετες ευθείες σχηματίζουν γωνίες με τον άξονα x με διαφορά 90 ο . Συνεπώς οι συντελεστές διεύθυνσης έχουν τη σχέση:
ε 1
ε 2
λ = 1 -1 λ 2 ε 1 φ
y
ε 2 ε 1 φ φ ε 2 90 ο +φ
x x
Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας
Μια εξίσωση ευθείας μπορεί πάντα να μετασχηματισθεί στη μορφή: Η παραπάνω λέγεται Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας
Ax + By + Γ = 0
Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας
Μετασχηματίζοντας την εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία, καταλήγουμε στην εξίσωση:
y - y 1
x - x 1 = 2
x
x 1 1
1
y - y 1
y
2
Η παραπάνω εξίσωση είναι της μορφής:
1
όπου: Παρατηρούμε ότι:
1
x 1
x 1 - x 1
= 0
Ax + By + Γ = 0
Α = y - y Β = x - x 2
1 1 2 1 2
1
2 1
λ = 1 1 = Α Β 1
Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας
Αν η αρχική εξίσωση ευθείας ήταν της μορφής: τότε, κάνοντας τις πράξεις,
y - y 1 x - x 1 = λ
1
y - y 1 x - x 1 = λ x 1
λx + y + λx 1 y 1 = 0
καταλήγουμε στη γενική της μορφή: όπου: Παρατηρούμε και πάλι ότι:
Ax + By + Γ = 0
Α = -λ Β = 1 Γ = λx - y 1 λ = Α Β
Απόσταση σημείου από ευθεία
Δίνεται ευθεία
ε
και σημείο
Μ
Ζητείται η απόσταση
d
ευθεία ε.
εκτός αυτής.
του σημείου Μ από την Η εξίσωση της ευθείας είναι: Και ο συντελεστής διεύθυνσης:
Αx +Βy +Γ = 0 λ = Α Β
Από το σημείο Μ θεωρούμε την κάθετο ΜΝ στην ευθεία ε. Έστω (x 1 ,y 1 ) και (x 2 ,y 2 ) οι συντεταγμένες των Μ και Ν αντίστοιχα. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ΜΝ είναι: Αντικαθιστώντας τα λ, λ’, παίρνουμε τη σχέση:
λ' = 2 2
y
ε N
Επειδή η ΜΝ είναι κάθετη στην ευθεία ε, πρέπει:
λ = -1 λ'
A
B x - x 2 2 = -1
M
d
A 2 = B 2
x
Απόσταση σημείου από ευθεία
A 2 = B 2
Εκτελώντας κατάλληλες πράξεις παίρνουμε:
A 2 = B 2 = A 2 2 = B 2 2 = 1 2 2 2
Το σημείο Ν βρίσκεται στην ευθεία ε, άρα ικανοποιεί την εξίσωση:
Αx +Βy +Γ = 0 2 2
Γ = -Αx -Βy 2 2
Αντικαθιστώντας το Γ στην εξίσωση
(1)
έχουμε κατά σειρά:
A 2 = 2 (1) B 2 = Ax +By + Γ 2
2
2
2
=
Ax +By + Γ
2
2
2
A
2
2
2
=
B
2
2
2
=
Ax +By + Γ
2
2
2
x - x 1 2
1 2 Ax +By + Γ 1 1
2
2 A +B 2
Απόσταση σημείου από ευθεία
x - x 1 2 + y - y 1 2 Ax +By + Γ 1 1
2
2 A +B 2 (2)
Η απόσταση d του σημείου Μ από την ευθεία ε είναι ίση με το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΜΝ
2 2
2
(3)
Από τις σχέσεις
(2)
και
(3)
παίρνουμε τελικά: y
ε N d =
x - x 1 2 + y - y 1 2
2
=
Ax +By + Γ 1 1
2
2 A +B 2
d = Ax +By + Γ 2 M
d x
Εμβαδόν τριγώνου
Αν είναι γνωστές οι συντεταγμένες τριών σημείων:
A(x ,y ) B(x ,y ) C(x ,y ) 1 1 2 2 3 3
τότε το εμβαδόν του τριγώνου ABC είναι: 1. Για αριστερόστροφη διάταξη των σημείων
x 1 1 (ABC) = 2 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 1 1 1
2. Για δεξιόστροφη διάταξη των σημείων
y 1 1 (ABC) = 2 y 2 y 3 x 1 x 2 x 3 1 1 1 Α Α B C C B
Εμβαδόν τριγώνου
ΑΣΚΗΣΗ
: Δίνονται οι συντεταγμένες τριών σημείων:
A(10,1) B(13,8) C(18,3)
Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ABC
Α
ΛΥΣΗ
1 10 1 1 (ABC) = 2 8 13 1 = 3 18 1 1
2
B
= 2 1
C
ΤΕΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
(ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ, ΣΕΛ. 117-323)
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
1.
Παράγωγος συνάρτησης
2.
Ακρότατα συναρτήσεων
3.
Παράγωγος ανώτερης τάξης
4.
Μελέτη συνάρτησης 5.
Απροσδιόριστες μορφές – Κανόνας Hospital
Παράγωγος συνάρτησης
Έστω y = f(x) συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής x συνάρτησης.
μια πραγματική , και έστω x 0 ένα σημείο του πεδίου ορισμού της
y = f(x), x ∈ A f(x 0 +Δx) f(x 0 ) y
Σε κάθε μεταβολή Δx του x στην περιοχή του x 0 μεταβολή Δy αντιστοιχεί μια της συνάρτησης.
x = x 0 f(x ) 0 0 0 O 0 x 0 x 0 +Δx f(x) x
Παράγωγος συνάρτησης
Μέση ποσοστιαία μεταβολή της συνάρτησης στο διάστημα [x 0 , x 0 + Δx] πηλίκο: λέγεται το
0 = Tan φ Δx
Παράγωγος f
’
(x) της συνάρτησης f(x) στο σημείο x 0 λέγεται η στιγμιαία μεταβολή της στο σημείο αυτό, δηλαδή:
f(x 0 +Δx) f(x 0 ) y O θ x 0 φ x 0 +Δx f (x )= 0 lim 0 Δy Δx ' 0 = lim 0 Δx 0 = Tan θ f(x) x
Πλευρικές παράγωγοι συνάρτησης
Παράγωγος f
’ +
(x) από δεξιά της συνάρτησης f(x) στο σημείο όταν x 0 μεταβολή της στο σημείο αυτό, Δx >0 λέγεται η στιγμιαία , δηλαδή:
f (x ) 0 = lim
x
Δx 0 y f(x 0 +Δx) f(x 0 ) f(x 0 +Δx)
Παράγωγος f
’ -
(x) από αριστερά της συνάρτησης f(x) στο σημείο x 0 λέγεται η στιγμιαία μεταβολή της στο σημείο αυτό, όταν Δx <0 δηλαδή:
f (x ) 0 = lim
x
Δx 0 O x 0 +Δx x 0 x 0 +Δx f(x)
ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Οι παράγωγοι από δεξιά f
’ +
(x) και από αριστερά f
’ -
(x) σε ένα σημείο x 0 λέγονται πλευρικές παράγωγοι στο x 0 .
x
Παράγωγος συνάρτησης
Μια συνάρτηση έχει παράγωγο στο σημείο είναι ίσες.
x 0 αν υπάρχουν και οι δύο πλευρικές παράγωγοι και
' 0 0 y f(x 0 +Δx) f(x 0 ) f(x 0 +Δx)
Μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β) όταν έχει παράγωγο για κάθε σημείο x του διαστήματος αυτού.
f'(x)= lim Δx →0 Δy Δx Δx → 0 f(x + Δx)-f(x) Δx O x 0 +Δx x 0 x 0 +Δx f(x) x
Γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου
Η παράγωγος στη θέση x 0 κλίση της ευθείας y=g(x) είναι η που εφάπτεται της καμπύλης στο σημείο (x 0 , f(x 0 )) , δηλαδή: f ’(x 0 ) = Tan θ
y
Όταν η παράγωγος είναι θετική, η συνάρτηση είναι αύξουσα.
Όταν η παράγωγος είναι αρνητική η συνάρτηση είναι φθίνουσα.
O θ f(x) x
Εξίσωση εφαπτόμενης ευθείας
g(x)
Η εξίσωση της ευθείας y=g(x) εφαπτόμενης της καμπύλης f(x) στο σημείο (x 0 , f(x από τη σχέση: 0 )) , δίνεται
y εφθ = g(x)-g(x ) x - x 0 g g(x)= f'(x 0 0 ) 0 0 ⇒ 0 + f(x 0 ) 0 ) ⇒ O θ x 0 x f(x) x
Εξίσωση κάθετης ευθείας
Η εξίσωση της ευθείας y=h(x) κάθετης της καμπύλης f(x) στο σημείο (x 0 , f(x από τη σχέση: 0 )) , δίνεται
εφ(90 + θ)= h(x)-h(x ) x - x 0 εφ(90 + θ)= 1 εφθ 0 ⇒ 0 h(x)-f(x )= h(x)= f'( 0 1 x 0 ) f '( 1 0 (x - x ) 0 0 ⇒ y O h(x) θ x 0 g(x) f(x) 90+θ x
Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων
Συναρτήσεις Παράγωγοι f(x)=c ( σταθερά) f’(x)=0 f(x)=x f(x)=x n f’(x)=1 f’(x)=nx n-1 f(x)=sin x f(x)=cos x f’(x)=cos x f’(x)=-sin x f(x)=e x f(x)=ln x f’(x)=e x f’(x)=x -1
Βασικοί κανόνες παραγώγισης
Συναρτήσεις f(x)=d(x)+g(x) f(x)= d(x)•g(x) f(x)= c•d(x) f(x)= (d(x)) n f(x)=ln d(x) f(x)=log c d(x) f(x)=c d(x) f(x)= d(g(x)) f(x)=d -1 (x) Παράγωγοι f’(x)= d’(x)+g’(x) f’(x)= d’(x)•g(x)+ d(x)•g’(x) f’(x)=c•d’(x) f’(x)=n•(d(x)) n-1 • d’(x) f’(x)=d’(x) •(d(x)) -1 f’(x)=d’(x)•(d(x)) -1 •(ln c) -1 f’(x)=c d(x) •d’(x)•ln c f’(x)=d’ g (x)•g’(x) f’(x)= (d’(x)) –1
Υπολογισμός παραγώγων
Εφαρμογή: Να υπολογισθεί η παράγωγος της συνάρτησης: f(x) = 2x 4 Η συνάρτηση είναι γινόμενο σταθεράς επί συνάρτηση: Η παράγωγος της g είναι: Η παράγωγος της συνάρτησης f(x) είναι: όπου g(x) = x 4
' = 4x 3
3 3
Υπολογισμός παραγώγων
Εφαρμογή: Να υπολογισθεί η παράγωγος πολυωνυμικής συνάρτησης: 4 3 2 f(x) = 2x + x + 3x + 5x +1 Η συνάρτηση μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα συναρτήσεων: g = 2x 4 h = x i = 3x j = 5x k = 1 3 2
f(x) = g + h + j + i + k g' = 2x = 2 x = 2 4x = 8x 3 Οι παράγωγοι των επιμέρους συναρτήσεων είναι: h' = x ' = 3x 2
'
'
Η παράγωγος του αθροίσματος συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων: f'(x) = g' + h' + j' + i' + k' = 2
Υπολογισμός παραγώγων
Εφαρμογή: Να υπολογισθεί η παράγωγος πηλίκου συναρτήσεων: f(x) = g(x) h(x) Η συνάρτηση μπορεί να γραφεί σαν γινόμενο συναρτήσεων: g f = h = g
1 h -1 Γνωρίζουμε ότι αν
f(x)= d(x)•e(x)
τότε
f’(x)= d’(x)•e(x)+ d(x)•e’(x)
Γνωρίζουμε ότι αν
f’(x)=n•[d(x)] n-1 • d’(x) f(x)= [d(x)] n
τότε Συνεπώς για την συνάρτηση h -1 : '
'
-1
' 2
-1
2
h
' '
Οπότε έχουμε τελικά: '
-1 ' = g '
-1 '
'
h
2
2
h
Υπολογισμός παραγώγων
Άσκ. 1, σελ.208: Να υπολογισθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: 3 (1) y = (3x - x +1) 4 Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση είναι της μορφής: όπου Υπολογίζουμε την παράγωγο της d(x) : Γνωρίζουμε ότι αν
f’(x)=n•(d(x)) n-1 • d’(x) f(x)= (d(x)) n
τότε Συνεπώς για την συνάρτηση y έχουμε: Οπότε έχουμε τελικά: 3 (d)' = (3x - x +1)' = 3 - 3x 2 4 3 3 3 2 y' = 4(3x - x +1) (3 - 3x )
Υπολογισμός παραγώγων
Άσκ. 1, σελ.208: Να υπολογισθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: (2) y = x 1+ x
5
Η συνάρτηση είναι της μορφής: όπου d = x 1+ x Η συνάρτηση d(x) είναι πηλίκο συναρτήσεων. Άρα η παράγωγός της είναι:
'
x 1+ x
'
= x'(1+ x) - x(1+ x)'
1+ x
2
= 1
1+ x
2
Γνωρίζουμε ότι αν
f’(x)=n•(d(x)) n-1 • d’(x) f(x)= (d(x)) n
Συνεπώς για την συνάρτηση y: τότε y' = 5 = 5d d '
x 1+ x
1
1+ x
2
Ακρότατα συναρτήσεων
Όταν η παράγωγος σε ένα σημείο x 0 είναι f’(x 0 )=0 τότε στο σημείο αυτό η συνάρτηση έχει ένα τοπικό μέγιστο ή τοπικό ελάχιστο.
Πράγματι, η εξίσωση της ευθείας που εφάπτεται στο σημείο αυτό θα είναι:
y 0 0 0 O
Άρα η ευθεία θα είναι παράλληλη στον άξονα x
f(x)
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Για να βρούμε όλα τα τοπικά ακρότατα μιας συνάρτησης αρκεί να βρούμε τις ρίζες της παραγώγου της.
x
Παράγωγοι ανώτερης τάξης
Η παράγωγος f’(x) μιας συνάρτησης f(x) είναι επίσης μια συνάρτηση. Επομένως μπορούμε να υπολογίσουμε την παράγωγό της. Αυτή θα τη συμβολίζουμε με 2 τόνους, δηλαδή f’’(x) δεύτερη παράγωγο της f(x) .
και θα την ονομάζουμε Κατ’ ακολουθία, μπορούμε να υπολογίσουμε την τρίτη, τέταρτη κ.ο.κ. παραγώγους της αρχικής συνάρτησης.
Οι παράγωγοι ανώτερης τάξης συμβολίζονται με ένα εκθέτη σε παρένθεση, π.χ.
f (3) (x) f (5) (x) = τρίτη παράγωγος = πέμπτη παράγωγος κ.ο.κ.
Μελέτη συνάρτησης
Έστω η συνάρτηση f(x) : 3 2 f(x) = x - 2x - x + 2
7.5
Η πρώτη παράγωγος g(x) είναι : 2 g(x) = f'(x) = 3x - 4x - 1 με ρίζες : x1= -0.215, x2 = 1.549
-2 -1 5 2.5
-2.5
Και η δεύτερη παράγωγος h(x) είναι : h(x) = f''(x) = g'(x) = 6x - 4 με ρίζα : x = 0.667
-5 -7.5
1 2 3
Μελέτη συνάρτησης
Μεταξύ των δύο ριζών της η πρώτη παράγωγος g(x) τμήματά της είναι θετική.
είναι αρνητική, ενώ στα υπόλοιπα Συνεπώς η συνάρτηση f(x) θα είναι φθίνουσα στο διάστημα (-0.215,1.549) και αύξουσα στα υπόλοιπα διαστήματα.
Στο σημείο -0.215 η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό μέγιστο και στο σημείο 1.549 τοπικό ελάχιστο.
-2 -1 7.5
5 2.5
-2.5
-5 -7.5
1 2 3
Μελέτη συνάρτησης
Στο σημείο 0.667 η δεύτερη παράγωγος h(x) είναι ίση με 0. Συνεπώς το σημείο αυτό είναι σημείο καμπής της συνάρτησης f(x).
Αριστερά του 0.667 η δεύτερη παράγωγος είναι αρνητική, επομένως η συνάρτηση f(x) στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω.
Δεξιά του 0.667 η δεύτερη παράγωγος είναι θετική, συνεπώς η f(x) στρέφει τα κοίλα προς τα άνω.
-2 -1 7.5
5 2.5
-2.5
-5 -7.5
1 2 3