Transcript ΕΝΘΕΤΟ
ΕΝΘΕΤΟ
3
Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΕΥΘΕΙΑ
Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε:
Να ορίζουμε και να υπολογίζουμε τη γωνία δύο ευθειών. Να αποδεικνύουμε και να εφαρμόζουμε τη συνθήκη για να συντρέχουν τρεις ευθείες. Να ορίζουμε τη δέσμη ευθειών και να την εφαρμόζουμε στην επίλυση προβλημάτων. Να υπολογίζουμε την απόσταση σημείου από ευθεία και το εμβαδόν τριγώνου.
Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας Διερεύνηση
Να ανοίξετε το εφαρμογίδιο
«A_Lyk_Entheto3_KlisiEftheias.ggb»
. Δίνεται μια ευθεία η οποία τέμνει τον άξονα των τετμημένων στο σημείο .
2
Να επιλέξετε το δρομέα και να του δώσετε διάφορες τιμές. Να απαντήσετε στα πιο κάτω ερωτήματα: (α) Ποια είναι η αρχική και ποια είναι η τελική πλευρά της γωνίας ; (β) Ποιες είναι οι δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει η γωνία ; (γ) Ποια είναι η σχέση που συνδέει τις γωνίες και ; (δ) i.
Ποια είναι η τιμή της κλίσης της ευθείας , όταν: ii.
iii.
iv.
(ε) Με ποιον τριγωνομετρικό αριθμό της γωνίας σχετίζεται η κλίση της ευθείας και με ποιο τρόπο; (στ) Να μετακινήσετε το σημείο σε διάφορες θέσεις και να επαναλάβετε την πιο πάνω διαδικασία.
ΕΝΘΕΤΟ :ΕΥΘΕΙΑ
Μαθαίνω
Η
κλίση
ή
ο συντελεστής διεύθυνσης
της ευθείας , όπου και , είναι
:
,
Σημείωση:
H κλίση της ευθείας δεν ορίζεται όταν . , όταν με Αν Αν Αν ( ( Σχήμα 1 Σχήμα 2 ( ), τότε ), τότε Σχήμα 3 ), τότε: και . και η και η κλίση δεν ορίζονται. Η ευθεία (α) (β) με , αν και , ή έχει εξίσωση: όπου είναι η κλίση της ευθείας (η ευθεία θα είναι κατακόρυφη, δηλαδή παράλληλη προς τον άξονα των τεταγμένων)
Απόδειξη
Έστω τυχαίο σημείο της ευθείας , διαφορετικό από τα και . (α) Αν οι κλίσεις των και ορίζονται και είναι ίσες μεταξύ τους. Επομένως, έχουμε:
Παρατήρηση
Αν , τότε οι κλίσεις των και ορίζονται και είναι ίσες με μηδέν. Επομένως, έχουμε: (β) Αν , τότε η κλίση της δεν ορίζεται. Επομένως, δεν ορίζεται η κλίση της ( ) , δηλαδή:
ΕΝΘΕΤΟ :ΕΥΘΕΙΑ 3
Δύο ευθείες τέμνονται στο σημείο . Η θετική κυρτή γωνία με αρχική πλευρά την ευθεία και τελική πλευρά την ευθεία ονομάζεται συμβολίζεται με . Αν οι ευθείες και .
γωνία
των δύο ευθειών και συμπίπτουν, ορίζουμε Άρα, Παρατηρούμε ότι αν , τότε . Αν είναι η γωνία δύο μη παράλληλων ευθειών ( ), όπου δεν είναι παράλληλες με τον άξονα των τεταγμένων, οι οποίες έχουν κλίσεις αντίστοιχα, τότε ισχύει:
Παρατηρήσεις:
Αν οι ευθείες είναι κάθετες μεταξύ τους, τότε , η δεν ορίζεται και .
( Αν η μία από τις δύο ευθείες (π.χ. η ) είναι παράλληλη με τον άξονα των τεταγμένων δεν ορίζεται), τότε για τη γωνία των δύο ευθειών ισχύει:
4
Απόδειξη:
Έχουμε:
ΕΝΘΕΤΟ :ΕΥΘΕΙΑ
Παραδείγματα
1.
2.
Δίνονται τα σημεία ευθειών και . , και . Να βρείτε τις εξισώσεις των
Λύση: 1 ος Τρόπος
Η ευθεία έχει εξίσωση , με και . Άρα: Η ευθεία έχει εξίσωση , γιατί τα σημεία και έχουν την ίδια τετμημένη.
2 ος Τρόπος
Η κλίση της είναι . Χρησιμοποιούμε την εξίσωση . Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία: (α) διέρχεται από το σημείο και έχει συντελεστή διεύθυνσης (β) διέρχεται από το σημείο και σχηματίζει με τον άξονα των τετμημένων γωνία
Λύση:
(α) Η γενική εξίσωση της ευθείας είναι της μορφής . Η κλίση είναι και το σημείο από το οποίο διέρχεται είναι το . Αντικαθιστώντας, έχουμε: (β) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ζητούμενης ευθείας είναι √ . Επομένως, η εξίσωσή της είναι: √ √ 3.
Στο διπλανό σχήμα, δίνονται οι ευθείες και .
(α) Να υπολογίσετε την οξεία γωνία (β) (γ) των δύο ευθειών. Να υπολογίσετε τις οξείες γωνίες ( και ) που σχηματίζει η ευθεία με τους δύο άξονες. Αν , να υπολογίσετε την γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες και ( ).
ΕΝΘΕΤΟ :ΕΥΘΕΙΑ 5
6
Λύση:
4.
(α)
1 ος Τρόπος
Αν και είναι η οξεία γωνία των δύο ευθειών, τότε ισχύει . Επομένως, έχουμε όπου .
2 ος Τρόπος
Αν είναι η γωνία που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα των τετμημένων, έχουμε: (σε δεκαδικό ψηφίο) Αν είναι η γωνία που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα των τετμημένων, έχουμε: (σε δεκαδικό ψηφίο) Συνεπώς, έχουμε: (β) Αν είναι η οξεία γωνία μεταξύ της και του άξονα των τεταγμένων, μπορούμε να την υπολογίσουμε από τον τύπο , γιατί δεν ορίζεται η κλίση της ευθείας . Επομένως, (σε δεκαδικό ψηφίο). Για την οξεία γωνία μεταξύ της και του άξονα των τετμημένων, έχουμε: (σε δεκαδικό ψηφίο) (γ) Έστω είναι η γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες και ( ). Είναι: Αφού , συμπεραίνουμε ότι . Να αποδείξετε ότι οι ευθείες και είναι κάθετες αν και μόνο αν .
Λύση:
Οι ευθείες και είναι κάθετες μεταξύ τους και σχηματίζουν προσανατολισμένες γωνίες με τον άξονα των τετμημένων και , αντίστοιχα. Ισχύει: , αφού η είναι εξωτερική γωνία στο τρίγωνο . Επομένως,
ΕΝΘΕΤΟ :ΕΥΘΕΙΑ
5.
Αντίστροφα, αν ισχύει Επιπλέον, αφού , τότε: τότε ευθείες είναι κάθετες μεταξύ τους. . Επομένως, οι Να υπολογίσετε την τιμή του , ώστε οι ευθείες και να είναι κάθετες.
Λύση:
Οι κλίσεις των και είναι και αντίστοιχα. Για και , οι ευθείες είναι κάθετες, όταν ισχύει ( ) ( ) . Επομένως: Σε αυτή την περίπτωση οι δύο ευθείες έχουν εξισώσεις και . Επιπλέον, εξετάζουμε τις περιπτώσεις για . Αν , οι ευθείες έχουν εξισώσεις και . Επομένως, οι δύο ευθείες είναι κάθετες μεταξύ τους.
Αν , οι ευθείες έχουν εξισώσεις και . Επομένως, οι δύο ευθείες δεν είναι κάθετες μεταξύ τους.
ΕΝΘΕΤΟ :ΕΥΘΕΙΑ 7
8
Δραστηριότητες
1.
2.
3.
4.
Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία: (α) διέρχεται από τα σημεία και (β) διέρχεται από τα σημεία και (γ) διέρχεται από τα σημεία και Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο σχηματίζει γωνία με τον άξονα των τετμημένων. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο και: και (α) (β) (γ) έχει συντελεστή διεύθυνσης σχηματίζει γωνία με τον άξονα των τετμημένων είναι παράλληλη προς την ευθεία Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία: (α) διέρχεται από το σημείο και είναι κάθετη στην ευθεία (β) διέρχεται από το σημείο και είναι παράλληλη με την ευθεία 5.
6.
7.
8.
Να υπολογίσετε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες: (α) (β) (γ) (δ) και και και και Δίνονται τα σημεία , και . (α) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών και . (β) Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζει η καθεμία από τις πιο πάνω ευθείες με τον άξονα των τετμημένων. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου με κορυφές τα σημεία και . Να εξετάσετε κατά πόσο οι ευθείες και είναι κάθετες μεταξύ τους. 9.
Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο κάθετη στην ευθεία . και είναι 10.
Να υπολογίσετε την τιμή του , ώστε οι ευθείες: και να είναι κάθετες.
ΕΝΘΕΤΟ :ΕΥΘΕΙΑ
11.
Να υπολογίσετε την τιμή του , ώστε η ευθεία να είναι κάθετη στην ευθεία . 12.
Δίνονται οι ευθείες (α) και . Να αποδείξετε ότι οι ευθείες και τέμνονται κάθετα. (β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο και είναι κάθετη στην ευθεία . 13.
Σε τρίγωνο εξισώσεις , η κορυφή έχει συντεταγμένες . (α) (β) και δύο ύψη του έχουν Να υπολογίσετε τις εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου. Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των κορυφών και . 14.
Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου του ευθυγράμμου τμήματος , όταν και . 15.
Να βρείτε τις συντεταγμένες του ορθόκεντρου και . του τριγώνου , όταν 16.
Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με και εξισώσεις δύο διαγωνίων του και . Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των άλλων κορυφών του ορθογωνίου. 17.
Δίνεται η ευθεία . Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία είναι: (α) συμμετρική της ως προς τον άξονα των τετμημένων (β) συμμετρική της ως προς τον άξονα των τεταγμένων 18.
Δίνεται το σημείο και η ευθεία . Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του συμμετρικού σημείου του ως προς την ευθεία . 19.
Να δείξετε ότι η εξίσωση | | παριστάνει την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία και .
ΕΝΘΕΤΟ :ΕΥΘΕΙΑ 9
Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας - Δέσμη Ευθειών Διερεύνηση 1
Να ανοίξετε το εφαρμογίδιο
«Α_Lyk_Entheto3_GenikiMorfiEutheias.ggb».
Δίνεται η εξίσωση , . (α) Να μεταβάλλετε τους δρομείς και να παρατηρείτε τις ευθείες που σχηματίζονται. (β) Να θέσετε τον δρομέα και να μεταβάλλετε τους δρομείς και . Τι παρατηρείτε για τη θέση της ευθείας, την κλίση της και τις τομές της με τους δύο άξονες; (γ) Ποια τιμή είναι αναγκαία ώστε η ευθεία να είναι παράλληλη προς τον άξονα των τεταγμένων; (δ) Για ποιες τιμές των και η εξίσωση , δεν παριστάνει ευθεία;
10 ΕΝΘΕΤΟ :ΕΥΘΕΙΑ
Διερεύνηση 2
Να ανοίξετε το εφαρμογίδιο
«A_Lyk_Entheto3_Desmi.ggb»
. Δίνεται η παραμετρική εξίσωση ευθείας
.
(α) Να επιλέξετε το δρομέα και να του δώσετε διάφορες τιμές. (β) Τι παρατηρείτε; (γ) Να μετασχηματίσετε την εξίσωση της ευθείας στη μορφή να είναι αλγεβρικές παραστάσεις συναρτήσει των και . , με και (δ) Ποια σχέση παρουσιάζουν οι ευθείες που έχουν εξισώσεις γενική εξίσωση ; και με τη (ε) Υπάρχει ευθεία από τις πιο πάνω ευθείες που να διέρχεται από το σημείο ; Ποια είναι η εξίσωσή της;
ΕΝΘΕΤΟ :ΕΥΘΕΙΑ 11
12
Μαθαίνω
Κάθε εξίσωση της μορφής : παριστάνει ευθεία, όταν ή έχει συντελεστή διεύθυνσης (κλίση)
Παράδειγμα:
Να βρείτε την κλίση της ευθείας .
Λύση:
H πιο πάνω εξίσωση είναι της μορφής , με και , άρα παριστάνει ευθεία. Επειδή . και , η κλίση της πιο πάνω ευθείας είναι
Δέσμη ευθειών
ονομάζεται η οικογένεια των ευθειών που έχει την μορφή:
Παρατηρήσεις:
Αν οι ευθείες και σημείο , τότε έχουμε
δέσμη ευθειών με κέντρο το σημείο
. Αν οι ευθείες και τέμνονται στο είναι παράλληλες, τότε έχουμε
δέσμη παράλληλων ευθειών
.
Παράδειγμα 1:
Δίνεται η δέσμη ευθειών . (α) Να βρείτε το κέντρο της δέσμης. (β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας της πιο πάνω δέσμης που περνά από το σημείο .
Λύση:
(α) Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων των ευθειών και , βρίσκουμε ότι το σημείο τομής τους είναι το . Άρα, το κέντρο της πιο πάνω δέσμης ευθειών είναι το . (β) Οι συντεταγμένες του σημείου επαληθεύουν την εξίσωση της δέσμης. Έχουμε: Επομένως, η εξίσωση της ευθείας της πιο πάνω δέσμης που περνά από το σημείο είναι η:
Παράδειγμα 2:
Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών , ευθεία . και είναι παράλληλη με την
Λύση:
Αφού η ευθεία διέρχεται από το κοινό σημείο των ευθειών τότε ανήκει στη δέσμη ευθειών .
ΕΝΘΕΤΟ :ΕΥΘΕΙΑ
Η ευθεία γράφεται και ως . Αφού είναι παράλληλη με την , τότε: και επομένως η ζητούμενη εξίσωση της ευθείας είναι: Αν οι ευθείες με εξισώσεις και , έχουν κοινό σημείο
(συντρέχουν),
τότε ισχύει: | |
Παραδείγματα
1.
Δίνονται οι ευθείες και . (α) Να υπολογίσετε τις κλίσεις τους. (β) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των σημείων τομής της ευθείας με τους άξονες των συντεταγμένων. (γ) Να υπολογίσετε το , ώστε το σημείο με συντεταγμένες να ανήκει στην ευθεία .
Λύση:
(α) Η ευθεία είναι της μορφής . Επομένως, έχει κλίση . Η ευθεία είναι της μορφής . . Επομένως, έχει κλίση (β) Ο άξονας των τετμημένων και ο άξονας των τεταγμένων έχουν εξισώσεις και , αντίστοιχα.
Για το σημείο τομής της ευθείας με τον άξονα των τετμημένων, αντικαθιστούμε στην εξίσωση της το και έχουμε: Έτσι, η τομή της με τον άξονα των τετμημένων είναι το σημείο με συντεταγμένες . Για το σημείο τομής της ευθείας με τον άξονα των τεταγμένων, αντικαθιστούμε στην εξίσωση της το και έχουμε: Έτσι, η τομή της με τον άξονα των τετμημένων είναι το σημείο με συντεταγμένες (γ) Το σημείο ανήκει στην ευθεία . Επομένως, οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωσή της. Έχουμε:
ΕΝΘΕΤΟ :ΕΥΘΕΙΑ 13
2.
Να εξηγήσετε τι παριστάνουν οι εξισώσεις: (α) (β)
Λύση:
(α) Οι κλίσεις των ευθειών και είναι και 1, αντίστοιχα. Άρα, οι ευθείες τέμνονται και λύνοντας το σύστημα των εξισώσεών τους βρίσκουμε ότι το σημείο τομής τους είναι το . Συνεπώς, η εξίσωση παριστάνει δέσμη ευθειών με κέντρο το σημείο . (β) Οι κλίσεις των ευθειών και είναι . Άρα, οι ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους. Συνεπώς, η εξίσωση παριστάνει δέσμη παράλληλων ευθειών. 3.
Οι εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου είναι: , και . Να βρείτε την εξίσωση του ύψους .
Λύση: 1 ος τρόπος
Οι συντεταγμένες του σημείου υπολογίζονται από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων των πλευρών και , που είναι το . Αφού , τότε ισχύει: Για να βρούμε την εξίσωση του ύψους , χρησιμοποιούμε την εξίσωση . Έχουμε:
2 ος τρόπος
Το ύψος περνά από το σημείο τομής των ευθειών και . Επομένως, είναι μέλος της δέσμης των ευθειών με κέντρο το και έτσι έχει εξίσωση: Αφού , τότε ισχύει: και έτσι η εξίσωση είναι:
14 ΕΝΘΕΤΟ :ΕΥΘΕΙΑ
4.
Δίνεται η εξίσωση: (α) Να αποδείξετε ότι η πιο πάνω εξίσωση παριστάνει ευθεία . (β) Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες, που σχηματίζονται , διέρχονται από ένα (γ) σταθερό σημείο. Να υπολογίσετε το σημείο αυτό. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται και από το σημείο .
Λύση:
(α) (β) (γ) Η εξίσωση παριστάνει ευθεία για κάθε πραγματική τιμή της παραμέτρου , γιατί δεν υπάρχει τιμή του για την οποία να ισχύει και συγχρόνως. Αν ισχύει κάτι τέτοιο, έχουμε και Η εξίσωση , δηλαδή (αδύνατο).
γράφεται ισοδύναμα ως και παριστάνει δέσμη ευθειών με κέντρο το σημείο τομής των ευθειών και .
Το σύστημα των εξισώσεων των ευθειών και έχει λύση , άρα το κοινό σημείο των δύο ευθειών είναι το . Από τη δέσμη ευθειών ζητούμε εκείνη την ευθεία που διέρχεται από το . Επομένως, ισχύει: Η εξίσωση της ζητούμενης ευθείας είναι η .
ΕΝΘΕΤΟ :ΕΥΘΕΙΑ 15
1.
2.
3.
4.
5.
Δραστηριότητες
Να βρείτε την κλίση των πιο κάτω ευθειών: (α) (β) (γ) (δ) Δίνονται οι ευθείες και . (α) Να υπολογίσετε τις κλίσεις τους. (β) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των σημείων τομής της ευθείας με τους άξονες των συντεταγμένων. Η ευθεία με εξίσωση έχει κλίση . Να υπολογίσετε την τιμή του . Οι εξισώσεις και είναι οι εξισώσεις των πλευρών και ενός παραλληλογράμμου , αντίστοιχα. Αν οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου τέμνονται στο σημείο : (α) (β) να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του παραλληλογράμμου να αποδείξετε ότι το παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος Οι ευθείες με εξισώσεις και αποτελούν δύο πλευρές ενός παραλληλογράμμου. Αν το σημείο είναι μία από τις κορυφές του παραλληλογράμμου, να βρείτε τις εξισώσεις των διαγωνίων του. 6.
7.
8.
Τετράγωνο έχει κορυφή και η εξίσωση μίας διαγωνίου του είναι . Να βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής του . Δίνεται τετράγωνο . Οι συντεταγμένες των κορυφών του και είναι και , αντίστοιχα. Να βρείτε: (α) (β) (γ) τις συντεταγμένες του σημείου τομής των διαγωνίων του την εξίσωση της διαγωνίου του τις συντεταγμένες των κορυφών του και Να δείξετε ότι οι ευθείες και διέρχονται από το ίδιο σημείο. 9.
Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών και και είναι παράλληλη προς την ευθεία .
16 ΕΝΘΕΤΟ :ΕΥΘΕΙΑ
10.
Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από την τομή των ευθειών και και είναι κάθετη στην ευθεία . 11.
Να εξηγήσετε τι παριστάνει η εξίσωση . 12.
Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται το σημείο τομής των ευθειών , και από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος , όπου και . 13.
Οι πλευρές ενός τριγώνου ανήκουν στις ευθείες και . Να δείξετε ότι το ορθόκεντρο του τριγώνου είναι το σημείο . 14.
Δίνεται η εξίσωση . (α) Να εξετάσετε κατά πόσο η εξίσωση παριστάνει ευθεία για τις διάφορες πραγματικές τιμές του . (β) (γ) (δ) Να υπολογίσετε (αν υπάρχει) την τιμή του , ώστε . Να υπολογίσετε (αν υπάρχει) την τιμή του , ώστε . Να υπολογίσετε (αν υπάρχει) την τιμή του , ώστε ευθεία να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 15.
Δίνονται τα σημεία , και (α) Να αποδείξετε ότι η γωνία είναι ορθή. (β) (γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο . Να βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής του παραλληλογράμμου .
ΕΝΘΕΤΟ :ΕΥΘΕΙΑ 17
Απόσταση Σημείου από Ευθεία - Εμβαδόν Τριγώνου Διερεύνηση 1
Να ανοίξετε το εφαρμογίδιο
«A_Lyk_Entheto3_ApostasiSimeiou.ggb»
.
Να μετακινήσετε το σημείο σε διάφορες θέσεις και να απαντήσετε στα πιο κάτω ερωτήματα: (α) (β) Ποια είναι η ελάχιστη απόσταση μεταξύ των σημείων και ; Ποια είναι η σχέση της ελάχιστης απόστασης και της τιμής του ; (γ) Ποιο είναι το μέτρο της γωνίας που σχηματίζεται ανάμεσα στο ευθύγραμμο τμήμα και στην ευθεία στην περίπτωση αυτή; Να μετακινήσετε το σημείο σε διάφορες θέσεις και να επαναλάβετε την πιο πάνω διαδικασία σε κάθε περίπτωση. Να μετακινήσετε την ευθεία σε διάφορες θέσεις και να επαναλάβετε την πιο πάνω διαδικασία σε κάθε περίπτωση.
18 ΕΝΘΕΤΟ :ΕΥΘΕΙΑ
Διερεύνηση 2
Να ανοίξετε το εφαρμογίδιο
«A_Lyk_Entheto3_EmbadonTrigwnou.ggb»
. Να μετακινήσετε την κορυφή του τριγώνου σε διάφορες θέσεις και να απαντήσετε στα πιο κάτω ερωτήματα σε κάθε περίπτωση: (α) Ποια είναι η σχέση των στοιχείων του πίνακα με τις συντεταγμένες των κορυφών του τριγώνου ; (β) Ποια είναι η σχέση που συνδέει την τιμή της ορίζουσας του πίνακα με το εμβαδόν του τριγώνου ; (γ) Τι παρατηρείτε όταν το τοποθετηθεί πάνω στην ευθεία που ορίζουν τα σημεία και ; Ποια είναι η σχέση που συνδέει τις κλίσεις των και ; Να μετακινήσετε τις κορυφές του τριγώνου σε διάφορες θέσεις και να γράψετε τα συμπεράσματά σας.
ΕΝΘΕΤΟ :ΕΥΘΕΙΑ 19
Μαθαίνω
Η απόσταση του σημείου από την ευθεία δίνεται από τον τύπο: | √ | Ειδικότερα, αν , τότε | | . | | , ενώ αν , τότε
Απόδειξη
Από το σημείο φέρουμε κάθετη στην ευθεία στο σημείο και κάθετη στον άξονα των τετμημένων που τέμνει την ευθεία στο σημείο . Από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε .
20
Για το ισχύει: √ √ √ √ | | Για τις συντεταγμένες του σημείου , το οποίο είναι το κοινό σημείο των ευθειών και , έχουμε και τελικά . Επομένως, οι συντεταγμένες του είναι | | | | | . Για το μήκος του | | | | , ισχύει: | Τελικά, έχουμε: | | | | | | √
Παρατηρήσεις:
| √ | Στο πιο πάνω σχήμα, η ευθεία σχηματίζει με τον άξονα των τετμημένων οξεία γωνία . Παρόμοια απόδειξη έχουμε στην περίπτωση που η ευθεία σχηματίζει με τον άξονα των τετμημένων αμβλεία γωνία . Αν το σημείο ανήκει στην ευθεία , τότε η απόστασή του από την ευθεία θα είναι μηδέν. Αυτό ισχύει, αφού και έτσι | | √
ΕΝΘΕΤΟ :ΕΥΘΕΙΑ
Το
εμβαδόν ενός τριγώνου
με και δίνεται από τον τύπο: | | | |
Απόδειξη
Θεωρούμε τρίγωνο με , και φέρουμε το ύψος . Έχουμε: με √ .
Η εξίσωση της ευθείας είναι: Για το μήκος του έχουμε: | √ | και | Επομένως, Παρατηρούμε ότι: Τελικά, είναι: | | (ανάπτυξη κατά τα στοιχεία της 1 ης γραμμής) | | | | | | |
Παράδειγμα:
Αν , να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου .
Λύση:
Eίναι
Παρατήρηση:
Αν | | | | και με | . | , έχουμε . Δηλαδή τα σημεία και δεν σχηματίζουν τρίγωνο, άρα είναι συνευθειακά. Tα σημεία και είναι
συνευθειακά
, αν και μόνο αν | |
ΕΝΘΕΤΟ :ΕΥΘΕΙΑ 21
1.
Παραδείγματα
Να υπολογίσετε την απόσταση του σημείου από την ευθεία: (α) (β)
Λύση:
(α) Η απόσταση του σημείου από την ευθεία είναι: | | √ | | (β) Η απόσταση του σημείου από την ευθεία είναι: | | √ 2.
3.
Nα υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου με και .
Λύση:
Για το τρίγωνο με και υπολογίζουμε: | | | | | | Δίνονται τα σημεία και . Να υπολογίσετε: (α) το μήκος του ύψους του τριγώνου (β) (γ) το εμβαδόν του τριγώνου την τιμή του , ώστε τα σημεία και να είναι συνευθειακά
Λύση:
(α) Η ευθεία έχει εξίσωση: Το ύψος του τριγώνου είναι η απόσταση του σημείου από την ευθεία . Επομένως: | | √ √ √
22 ΕΝΘΕΤΟ :ΕΥΘΕΙΑ
(β) (γ)
1 ος τρόπος
√ √ √
2 ος τρόπος
| | | | √ | |
1 ος τρόπος
Η ευθεία έχει εξίσωση
.
Για να είναι τα σημεία και συνευθειακά, πρέπει οι συντεταγμένες του σημείο να επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας . Επομένως,
2 ος τρόπος
Αν τα σημεία και είναι συνευθειακά, τότε ισχύει | | . Επομένως, | | | | | |
3 ος τρόπος
Αν τα σημεία και είναι συνευθειακά, τότε ισχύει . Ισοδύναμα, έχουμε:
ΕΝΘΕΤΟ :ΕΥΘΕΙΑ 23
4.
Να υπολογίσετε . την απόσταση των ευθειών και
Λύση:
Οι ευθείες είναι παράλληλες και έτσι έχει νόημα να υπολογίσουμε την απόσταση μεταξύ τους. Επιλέγουμε ένα τυχαίο σημείο της ευθείας , έστω το , και στη συνέχεια υπολογίζουμε την . | | √
24 ΕΝΘΕΤΟ :ΕΥΘΕΙΑ
Δραστηριότητες
1.
2.
3.
Να υπολογίσετε την απόσταση του σημείου από την ευθεία: (α) (β) (γ) Να υπολογίσετε το ύψος του τριγώνου , αν: (α) (β) (γ) και και και Δίνονται τα σημεία , και . Να υπολογίσετε: (α) (β) το εμβαδόν του τριγώνου το εμβαδόν του παραλληλογράμμου 4.
Να αποδείξετε ότι τα σημεία και συνέχεια, να υπολογίσετε: (α) το εμβαδόν του τριγώνου (β) (γ) το μήκος του ύψους το μήκος της διαμέσου ορίζουν τρίγωνο. Στη 5.
Να υπολογίσετε το μήκος του ύψους του τριγώνου , όπου και και στη συνέχεια να υπολογίσετε το εμβαδόν του. 6.
Να υπολογίσετε την απόσταση μεταξύ των ευθειών . και 7.
8.
Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών , και η απόσταση της αρχής των αξόνων από την ευθεία αυτή είναι μονάδες. Δίνονται τα σημεία , και , όπου και τρεις πραγματικοί αριθμοί διαφορετικοί μεταξύ τους. Να αποδείξετε ότι τα και είναι κορυφές τριγώνου και να υπολογίσετε το εμβαδόν του. 9.
Δύο πλευρές ενός τετραγώνου ανήκουν στις ευθείες και . Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραγώνου. 10.
Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραπλεύρου σημεία και . , το οποίο έχει κορυφές τα
ΕΝΘΕΤΟ :ΕΥΘΕΙΑ 25
Δραστηριότητες Ενότητας
1.
2.
Να υπολογίσετε τον συντελεστή διεύθυνσης: (α) (β) της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία και της ευθείας που σχηματίζει γωνία με τον άξονα των τετμημένων Να υπολογίσετε το συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας , η οποία σχηματίζει με τον άξονα των τετμημένων γωνία ίση με: (α) (β) (γ) (δ) 3.
4.
5.
Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο και: (α) έχει συντελεστή διεύθυνσης (β) είναι παράλληλη με τον άξονα των τετμημένων (γ) είναι παράλληλη με των άξονα των τεταγμένων Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία και . Να δείξετε ότι η εξίσωση | | παριστάνει ευθεία που διέρχεται από τα σημεία και . Να γράψετε μία εξίσωση ευθείας που να είναι παράλληλη και μία εξίσωση ευθείας που 6.
7.
8.
να είναι κάθετη προς τις ευθείες με εξίσωση: (α) (β) Να υπολογίσετε την οξεία γωνία που σχηματίζουν μεταξύ τους οι ευθείες και . Να υπολογίσετε την οξεία γωνία που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα των τεταγμένων. 9.
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες και διέρχονται από το ίδιο σημείο. 10.
Να υπολογίσετε την τιμή του , ώστε οι ευθείες και να τέμνονται. Για ποια τιμή του οι ευθείες τέμνονται κάθετα;
26 ΕΝΘΕΤΟ :ΕΥΘΕΙΑ
11.
Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το κοινό σημείο των ευθειών και και: (α) (β) (γ) είναι παράλληλη προς την ευθεία είναι κάθετη προς την ευθεία διέρχεται και από το σημείο 12.
Δίνεται τρίγωνο το οποίο έχει κορυφές και . (α) Να υπολογίσετε το μήκος του ύψους . (β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου . 13.
Να υπολογίσετε την απόσταση: (α) του σημείου από την ευθεία (β) του σημείου από την ευθεία (γ) (δ) του σημείου από την ευθεία μεταξύ των ευθειών και 14.
Να αποδείξετε ότι οι αποστάσεις ενός οποιουδήποτε σημείου της ευθείας από τις ευθείες και είναι ίσες. Τι συμπεραίνετε για τη σχέση της ευθείας ως προς τις ευθείες και ; 15.
Να δείξετε ότι η εξίσωση σημείο και έχει κλίση . | παριστάνει ευθεία που διέρχεται από το 16.
Να αποδείξετε ότι τα σημεία και είναι κορυφές ρόμβου και στη συνέχεια να βρείτε τις εξισώσεις των διαγωνίων του. 17.
Δίνονται τα σημεία και . (α) (β) (γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας . Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο και είναι κάθετη στην . Να δείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από το σημείο . 18.
Να δείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει ευθεία για κάθε πραγματική τιμή της παραμέτρου και ότι όλες οι ευθείες διέρχονται από ένα σταθερό σημείο.
ΕΝΘΕΤΟ :ΕΥΘΕΙΑ 27
Δραστηριότητες Εμπλουτισμού
1.
Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που σχηματίζει με τον άξονα των τετμημένων και απέχει από το σημείο απόσταση ίση με √ . 2.
Δίνεται οι ευθείες με εξισώσεις: και . Να υπολογίσετε την τιμή του , ώστε να ισχύει: (α) (β) (γ) (δ) 3.
Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών οι οποίες είναι παράλληλες προς την ευθεία και σχηματίζουν με τους άξονες των συντεταγμένων τρίγωνο με εμβαδόν τετραγωνικές μονάδες. 4.
5.
6.
7.
8.
Να δείξετε ότι το σημείο ανήκει σε ευθεία και να βρείτε την εξίσωσή της. Να υπολογίσετε την τιμή του , ώστε οι ευθείες: { να συντρέχουν. Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των ευθειών . Αν οι ευθείες και , να αποδείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει ευθεία για κάθε . και τέμνονται στο σημείο Η εξίσωση της ευθείας , περιγράφει τη φωτεινή ακτίνα που εκπέμπει ένας περιστρεφόμενος φάρος . (α) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του φάρου . (β) (γ) Τρία πλοία βρίσκονται στα σημεία και . Να βρείτε τις εξισώσεις των φωτεινών ακτινών που διέρχονται από τα πλοία . Να υπολογίσετε ποιο από τα πλοία και βρίσκεται πλησιέστερα στη φωτεινή ακτίνα που διέρχεται από το .