Transcript null

ΘΕΜΑ 1
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :    για την οποία ισχύουν:
f 0 
1
και e x  f΄ ( x)  f ( x )  f΄ ( x) , για κάθε x  
2
ex
, x
1  ex
Β. i) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και να ορίσετε την αντίστροφη συνάρτηση f 1
Α. Να αποδείξετε ότι f ( x ) 
ii) Να λύσετε την ανίσωση:
f  f ( x) 
e
1 e
1
Γ. Αν g ( x )  ln x (x  0) , να δείξετε ότι  fog   g 1of 1
Δ.
i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( x )  x έχει μοναδική ρίζα x0  
ii) Να βρείτε συναρτήσει του x0 , το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη
γραφική παράσταση της συνάρτησης f και τις ευθείες y  x και x  0
2
iii) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: 13 f 1 ( x )dx
2
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :    για την οποία ισχύει :
f 3 ( x )  f ( x )  x3  3 x 2  4 x  2 , για κάθε x  
Α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι “1-1”
B . i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( x)  0 έχει μοναδική ρίζα x0  2, 0 .


ii) Να λύσετε την ανίσωση :
f f  f ( x)  f  f (0)


Γ. Αν για την συνάρτηση g :    ισχύει:
f  g ( x)  4 x  f 3  x 2 , για κάθε x   ,


να βρείτε το x1 στο οποίο η συνάρτηση g παρουσιάζει μέγιστο.
Δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της
συνάρτησης h  f 2  f και τις ευθείες x  2 και x  0 .
ΘΕΜΑ 3
f ( x )  x5  x 3  x, x  
Δίνεται η συνάρτηση:
Α. i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι “1-1”
ii) Να αποδείξετε ότι :
e5 x  e 2 x2  e x 4  e5  x x 4  x 2  1 για κάθε x  


Β. i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( x)  1 έχει μοναδική ρίζα x0  0,1
 
ii) Να λύσετε την ανίσωση:
2 x 6  3 x 4  6 x 2  12 x  2 x0 6  3 x0 4  6 x0 2  12 x0
Γ. i) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν 1 , 2   με 1   2 τέτοια, ώστε :
f΄ 1  1  x0

f΄  2  2 x0
ii) Να αποδείξετε ότι:
2 1
3

1 1
f (t )dt
 42
2  1
1 x2
Δ. i) Να αποδείξετε : 3 0 e dx  4

ii) Να υπολογίσετε συναρτήσει του x0 το ολοκλήρωμα:
1

0
f 1  x dx