Transcript null
ΘΕΜΑ 1
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύουν:
f 0
1
και e x f΄ ( x) f ( x ) f΄ ( x) , για κάθε x
2
ex
, x
1 ex
Β. i) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και να ορίσετε την αντίστροφη συνάρτηση f 1
Α. Να αποδείξετε ότι f ( x )
ii) Να λύσετε την ανίσωση:
f f ( x)
e
1 e
1
Γ. Αν g ( x ) ln x (x 0) , να δείξετε ότι fog g 1of 1
Δ.
i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( x ) x έχει μοναδική ρίζα x0
ii) Να βρείτε συναρτήσει του x0 , το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη
γραφική παράσταση της συνάρτησης f και τις ευθείες y x και x 0
2
iii) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: 13 f 1 ( x )dx
2
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύει :
f 3 ( x ) f ( x ) x3 3 x 2 4 x 2 , για κάθε x
Α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι “1-1”
B . i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( x) 0 έχει μοναδική ρίζα x0 2, 0 .
ii) Να λύσετε την ανίσωση :
f f f ( x) f f (0)
Γ. Αν για την συνάρτηση g : ισχύει:
f g ( x) 4 x f 3 x 2 , για κάθε x ,
να βρείτε το x1 στο οποίο η συνάρτηση g παρουσιάζει μέγιστο.
Δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της
συνάρτησης h f 2 f και τις ευθείες x 2 και x 0 .
ΘΕΜΑ 3
f ( x ) x5 x 3 x, x
Δίνεται η συνάρτηση:
Α. i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι “1-1”
ii) Να αποδείξετε ότι :
e5 x e 2 x2 e x 4 e5 x x 4 x 2 1 για κάθε x
Β. i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( x) 1 έχει μοναδική ρίζα x0 0,1
ii) Να λύσετε την ανίσωση:
2 x 6 3 x 4 6 x 2 12 x 2 x0 6 3 x0 4 6 x0 2 12 x0
Γ. i) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν 1 , 2 με 1 2 τέτοια, ώστε :
f΄ 1 1 x0
f΄ 2 2 x0
ii) Να αποδείξετε ότι:
2 1
3
1 1
f (t )dt
42
2 1
1 x2
Δ. i) Να αποδείξετε : 3 0 e dx 4
ii) Να υπολογίσετε συναρτήσει του x0 το ολοκλήρωμα:
1
0
f 1 x dx