ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

Μ ά θ η μ α

«

Ηλεκτροτεχνία - Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις» / Ενότητα 2

η

Διδάσκων Δρ. Γ. Περαντζάκης Ηλεκτρολόγος Μηχανικός

  

Ηλεκτρικά

Κυκλώματα (ΗΚ) ΕΡ

Ανάλυση ΗΚ: Εύρεση χρονικής απόκρισης με γνωστή τη δομή και τη διέγερση του ΗΚ.

Δομή ΗΚ: Εξετάζονται μόνο γραμμικά και χρονικά αμετάβλητα ΗΚ.

Διέγερση ΗΚ: Πραγματοποιείται από ανεξάρτητες πηγές τάσης ή ρεύματος, οι οποίες παρέχουν ημιτονοειδή σήματα. Γιατί ημιτονοειδή σήματα;

   

Παράγονται εύκολα σε μεγάλο φάσμα συχνοτήτων.

Χρησιμοποιούνται σήμερα για τη μεταφορά, τη διανομή και τη χρήση της ηλεκτρικής ενέργειας.

Ευκολία στη μελέτη και ανάλυση των ΗΚ.

Ανάλυση περιοδικού σήματος σε σειρά Fourier.

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

2

xi(t)

Ημιτονοειδές Σήμα

 

Σήματα ή κυματομορφές είναι μαθηματικές συναρτήσεις που περιγράφουν τις τάσεις και τα ρεύματα (φυσικές ποσότητες) στους κλάδους των ΗΚ.

Ημιτονοειδές σήμα

Am T

x1(t) x2(t)

wt



A m

sin    2 

f

 2  1

T



x3(t)

Am*sin(phi) Am*sin(-phi)

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

3

   

Ημιτονοειδές Σήμα

Χαρακτηριστικά μεγέθη ημιτονοειδούς σήματος Μέση τιμή περιοδικού σήματος x(t), με περίοδο T

    1

T T

   0

Ενεργός τιμή περιοδικού σήματος x(t), με περίοδο T X rms

 1

T

0

T



x

2 ,

X rms



A m

2  0,707

A m Κατανάλωση στιγμιαίας πραγματικής ισχύος σε αντίσταση R

2

T T T

1

T

0     1

T

 0

R i

2     1

T

0 

i

2     

R I

2

rms Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

4



Εκθετικό Σήμα

Εκθετικό σήμα Παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον, επειδή συνδέονται στενά με τη δυναμική συμπεριφορά των φυσικών συστημάτων

  

st

,

s j



Εάν:

      0: 0: 0:

Εκθετική αύξηση Εκθετική απόσβεση Σταθερή ποσότητα Εάν: s



j

 

A m

cos 

t



j A m

sin 

t Όπου: e

  cos 

t



j

sin 

t (τύπος του Euler) Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

5



Εκθετικό Σήμα

Η εκθετική συνάρτηση με φανταστικό εκθέτη είναι μιγαδικός αριθμός, του οποίου το πραγματικό και φανταστικό μέρος είναι ημιτονοειδείς όροι.

 

Αν και η μιγαδική μορφή ενός σήματος δεν έχει φυσική σημασία, εντούτοις οι όροι του μιγαδικού σήματος παριστάνουν φυσικές ποσότητες (τάσης ή έντασης):

Re Im           Re Im  

A e m



A e m

    

A m A m

cos sin  

t t Συχνά είναι επιθυμητό, από μαθηματικής άποψης, να θεωρούμε τα σήματα μιγαδικά και στη συνέχεια να παίρνουμε το πραγματικό ή φανταστικό μέρος τους για να παραστήσουμε φυσικές ποσότητες (τάσης ή έντασης).

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

6



Εκθετικό Σήμα

Γενική περίπτωση εκθετικού σήματος με φανταστικό εκθέτη:

  

A e m

   

A m

cos   

j A m

sin   

με μέτρο (όρισμα)



A m

cos 2    sin 2   

A m



και όρισμα

arg  tan  1    sin cos   tan  1   Im Re           1 tan   tan  

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

    7



Εκθετικό Σήμα

Το εκθετικό σήμα παριστάνεται στο μιγαδικό επίπεδο ως ένα στρεφόμενο διάνυσμα με μέτρο Α m και όρισμα ±(ωt + φ).

X



σήματος:



Πολική μορφή εκθετικού

   arg     

A m

   

Η απόκριση όλων των φυσικών συστημάτων ακολουθεί την κυματομορφή εκθετικού σήματος.

 

Τα εκθετικά σήματα έχουν ιδιαίτερη σημασία στην ανάλυση γραμμικών κυκλωμάτων.

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

8

   

Απόκριση ΗΚ με Ημιτονοειδή Διέγερση

Η διέγερση των με ημιτονοειδή σήματα.

ΗΚ που εξετάζονται πραγματοποιείται από πηγές τάσης και ρεύματος Η ανάλυση των ΗΚ πραγματοποιείται είτε στο πεδίο του χρόνου, είτε στο πεδίο της συχνότητας.

Στο πεδίο του χρόνου οι αποκρίσεις των ΗΚ είναι ημιτονοειδείς ή εκθετικές συναρτήσεις του χρόνου και αντιπροσωπεύουν πραγματικά φυσικά μεγέθη του κυκλώματος.

Στο πεδίο της συχνότητας τα μεγέθη του κυκλώματος παριστάνονται, με κατάλληλο μετασχηματισμό, ως σταθερά διανύσματα και εκφράζονται σε πολική ή μιγαδική μορφή.

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

9

Απόκριση ΗΚ με Ημιτονοειδή Διέγερση



Με το μετασχηματισμό από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας απλοποιείται η ανάλυση και επίλυση κυκλωμάτων ΕΡ.



Κατά την επίλυση κυκλώματος ΕΡ στο πεδίο του χρόνου επιχειρείται η εύρεση των χρονικών συναρτήσεων των στιγμιαίων τιμών των ρευμάτων και των τάσεων των κλάδων του κυκλώματος.

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

10



Απόκριση στο Πεδίο του Χρόνου

Απόκριση κυκλώματος R-L διέγερση στο πεδίο του χρόνου: με ημιτονοειδή s

  

V o

sin 

t Διαφορική εξίσωση κυκλώματος (2 ος νόμος του Kirchhoff) V

0 sin    

L dt Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

11



Απόκριση στο Πεδίο του Χρόνου

Η λύση της διαφορικής εξίσωσης δίνει τη συνολική απόκριση του κυκλώματος:



i SS

 

i tr R

2

V

0   

L

 2   

R

2

V

0   

L

 2 sin  sin   

e



R t L

sin     

R

2

V

0   

L

 2

e



R t L

sin 

i tr

  :

Η μεταβατική συνιστώσα του ρεύματος, η οποία εκφράζει το μεταβατικό φαινόμενο της απόκρισης i SS

  :

Η μόνιμη συνιστώσα του ρεύματος, η οποία περιγράφει την τιμή του ρεύματος στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

12



Απόκριση στο Πεδίο του Χρόνου

Συνιστώσα του ρεύματος στη μόνιμη ημιτονοειδή κατάσταση (ΜΗΚ): i SS



R

2

V

0   

L

 2 sin   

I

0 sin   

Συνιστώσα του ρεύματος στη μεταβατική κατάσταση: i tr

  

R

2

V

0   

L

 2

e Όπου: φ: Η αρχική φάση του ρεύματος,



R t L Ι 0 : Το μέτρο του ρεύματος, I

0  sin    tan  1

R

2

V

0       

R L L

 2   

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

13



Απόκριση στο Πεδίο της Συχνότητας

Με το μετασχηματισμό από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας, οι ολοκληροδιαφορικές εξισώσεις του συστήματος μετατρέπονται σε απλές αλγεβρικές εξισώσεις.

 

Η επίλυση κυκλώματος ΕΡ στο πεδίο συχνότητας αφορά μόνο στην εύρεση της συνιστώσας του ρεύματος στην ΜΗΚ.

Οι τάσεις και τα ρεύματα σε ΗΚ ΕΡ με ημιτονοειδή διέγερση μπορούν να εκφραστούν ως εκθετικά σήματα με μιγαδικό εκθέτη:

 0

j

 

και

I



I e

0

j

 

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

14

 

Απόκριση στο Πεδίο της Συχνότητας

Στο πεδίο του χρόνου τα

,

περιστρέφονται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω και επομένως η μεταξύ τους σχετική θέση παραμένει αμετάβλητη.

Αυτό σημαίνει ότι τα δύο διανύσματα μπορούν να θεωρηθούν ακίνητα και μετατοπισμένα το ένα ως προς το άλλο κατά τη γωνία φ – θ.

Στο πεδίο του χρόνου Στο πεδίο της συχνότητας Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

15



Απόκριση στο Πεδίο της Συχνότητας

Η μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας απαλείφει το χρόνο.



Για την παράσταση στρεφόμενου διανύσματος στο πεδίο της συχνότητας απαιτείται το μέτρο, η συχνότητα και η αρχική φάση του σήματος.



Ένα ημιτονοειδές σήμα τάσης ή έντασης σε ένα κύκλωμα ΕΡ θεωρείται ότι είναι το πραγματικό (συνημίτονο) η το φανταστικό (ημίτονο) μέρος ενός εκθετικού σήματος με μιγαδικό εκθέτη.

Για παράδειγμα,

  

V

0 cos  Re  Re

V e

0

j

( 

t

   )  Re 

V

0  cos 

V V e

  0

j j

(   sin  Re   

V

cos       0

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

)    16



Απόκριση στο Πεδίο της Συχνότητας

Κανόνας: Ο μετασχηματισμός ενός ημιτονοειδούς σήματος από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας εκτελείται σε δύο βήματα:



μετατροπή του ημιτονοειδούς σήματος σε μιγαδική εκθετική συνάρτηση και στη συνέχεια,



μετατροπή σε σταθερό διάνυσμα με αφαίρεση του όρου της χρονικής εξάρτησης e j t



V

0 cos     0

j

    0

j

   0 

Παράδειγμα: Μετασχηματισμός από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας



t

 50 

V



V

  0 

j

sin 50 0   147,84 

j Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

17



Απόκριση στο Πεδίο της Συχνότητας



I Παράδειγμα: Μετασχηματισμός από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας

 314(

rad

0

A

/ s),

f

   50(

Hz

),

I

0 

t

 30 0    30 0

(!!!) Ο μετασχηματισμός στο πεδίο της συχνότητας

δεν έχει καμία φυσική σημασία, πραγματοποιείται δε μόνον για την απλοποίηση της επίλυσης του κυκλώματος ΕΡ.

Για να βρεθεί η πραγματική λύση (στιγμιαία τιμή) πρέπει να πραγματοποιηθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός από το πεδίο της συχνότητας στο πεδίο του χρόνου.

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

18

Νόμοι του Kirchhoff στο Πεδίο της Συχνότητας



Οι νόμοι του Kirchhoff ισχύουν και για κυκλώματα ΕΡ μετασχηματισμένα στο πεδίο της συχνότητας, αρκεί οι πηγές τάσης μιας μόνο συχνότητας.

και ρεύματος του κυκλώματος να παρέχουν ημιτονοειδή σήματα



Για το μετασχηματισμό κυκλώματος ΕΡ στο πεδίο της συχνότητας πρέπει προηγουμένως να μετασχηματιστούν στοιχεία του συχνότητας.

τα ενεργά κυκλώματος στο και παθητικά πεδίο της Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

19



Μετασχ/σμός Στοιχείων Πεδίο της Συχνότητας

Μετασχηματισμός ωμικής αντίστασης στο πεδίο της συχνότητας Στο πεδίο του χρόνου i(t), v(t) vR(t) iR(t)

wt

i R v R



v R



V

0   cos 

R V

0

R

 cos   

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

20



Μετασχ/σμός Στοιχείων Πεδίο της Συχνότητας

Μετασχηματισμός αυτεπαγωγής στο πεδίο της συχνότητας

 

Τάση και ρεύμα πηνίου στο πεδίο του χρόνου: v L



V

0 cos  

i L

   1

L t



v L

  

V L

0  sin     

V L

0  cos 0

Τάση και ρεύμα πηνίου στο πεδίο της συχνότητας: V L

  0 

I L



V

0

L

        2   

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

21

i(t), v(t)

Μετασχ/σμός Στοιχείων Πεδίο της Συχνότητας



Μετασχηματισμός αυτεπαγωγής στο πεδίο της συχνότητας Στο πεδίο της συχνότητας Στο πεδίο του χρόνου iL(t) vL(t)



Στο πηνίο το ρεύμα καθυστερεί της τάσης κατά 90 0.

wt pi/2

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

22

Μετασχ/σμός Στοιχείων Πεδίο της Συχνότητας

   

Επαγωγική αντίδραση πηνίου: X L του Ohm):



V I L L Η επαγωγική αντίδραση πηνίου έχει διαστάσεις (Ω), είναι διάνυσμα με μέτρο και όρισμα: X



L L V

  

L L

  ,

L

2

X I



L L

 

e



X j L j

 

L

2 

I L

  2

j L



Επαγωγική επιδεκτικότητα πηνίου: B L



I L V L

 1

L

  2  1

L



e



j

 2 

j

1

L

  1

L

    2

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

23

Μετασχ/σμός Στοιχείων Πεδίο της Συχνότητας

 

Συμπεριφορά του πηνίου ως προς τη μεταβολή της συχνότητας: Στο ΣΡ, f = 0, X βραχυκύκλωμα.

L = 0. Το πηνίο συμπεριφέρεται ως

 

Στο ΕΡ η τιμή της επαγωγικής αντίδρασης του πηνίου εξαρτάται από την τιμή της συχνότητας του ρεύματος.

Για μεγάλη συχνότητα του ΕΡ, η επαγωγική αντίδραση του πηνίου αποκτά υψηλή τιμή. Στην περίπτωση αυτή τα πηνία ονομάζονται αποπνικτικά ή στραγγαλιστικά.



Εάν, f → ∞, X L → ∞ και το πηνίο συμπεριφέρεται ως ανοικτό κύκλωμα.

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

24

i C

 

Μετασχ/σμός Στοιχείων Πεδίο της Συχνότητας

Μετασχηματισμός χωρητικότητας στο πεδίο της συχνότητας Τάση και ρεύμα πηνίου στο πεδίο του χρόνου:

 

C d v C dt

 

v C

  

V

0 

V C

0  cos sin     

V C

0  cos

Τάση και ρεύμα πηνίου στο πεδίο της συχνότητας: I C



V C

  0 

V C

0         2     2

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

25

i(t), v(t)

Μετασχ/σμός Στοιχείων Πεδίο της Συχνότητας



Μετασχηματισμός χωρητικότητας στο πεδίο της συχνότητας Στο πεδίο του χρόνου Στο πεδίο της συχνότητας ic(t) vc(t)

wt



Στον πυκνωτή το ρεύμα προπορεύεται της τάσης κατά 90 0.

pi/2

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

26



Μετασχ/σμός Στοιχείων Πεδίο της Συχνότητας

Χωρητική αντίδραση πυκνωτή:

  

X C



V I C



C

1    2  

C

1 

e

 

j

 2 

j C

1 

C Η χωρητική αντίδραση πυκνωτή έχει διαστάσεις (Ω), είναι διάνυσμα με μέτρο και όρισμα: C

2

Τάση του πυκνωτή στο πεδίο της συχνότητας (νόμος του Ohm): B C



V Χωρητική επιδεκτικότητα πυκνωτή: I V C C

 

X C C



X I C



C

1    2 , 1

j C C

 

X



I e C C j

   2 

j C

1

j C

 

I



C C C Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

   2 27

Μετασχ/σμός Στοιχείων Πεδίο της Συχνότητας



Συμπεριφορά του πηνίου ως προς τη μεταβολή της συχνότητας:

 

Στο ΣΡ, f = 0, X L → ∞. Ο πυκνωτής συμπεριφέρεται ως ανοικτό κύκλωμα.

 

Στο ΕΡ η χωρητική αντίδραση του πυκνωτή είναι αντιστρόφως ανάλογη της συχνότητας.

Στις υψηλές συχνότητες ο πυκνωτής εμφανίζει πολύ χαμηλή χωρητική αντίδραση. Το αντίθετο συμβαίνει στις χαμηλές συχνότητες.

Εάν, f → ∞, X L → 0 και ο πυκνωτής συμπεριφέρεται ως βραχυκύκλωμα.

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

28

Ανάλυση Κυκλωμάτων ΕΡ Πεδίο της Συχνότητας



Βήματα για την ανάλυση κυκλώματος ΕΡ στη ΜΗΚ στο πεδίο της συχνότητας:

   

Τα σήματα των ανεξάρτητων πηγών τάσης και ρεύματος εκφράζονται με τον ίδιο τριγωνομετρικό αριθμό, δηλαδή το ημίτονο ή το συνημίτονο.

Τα σήματα διανύσματα.

των ανεξάρτητων πηγών μετασχηματίζονται στο πεδίο της συχνότητας σε Η τάση και το ρεύμα κάθε κλάδου αντικαθίστανται με διανύσματα.

Οι αυτεπαγωγές L αντικαθίστανται με επαγωγικές αντιδράσεις jLω ή με επαγωγικές επιδεκτηκότητες 1/jLω.

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

29

Ανάλυση Κυκλωμάτων ΕΡ Πεδίο της Συχνότητας



Βήματα για την ανάλυση κυκλώματος ΕΡ στη ΜΗΚ στο πεδίο της συχνότητας:



Οι χωρητικότητες C αντικαθίστανται με χωρητικές αντιδράσεις 1/jCω ή χωρητικές επιδεκτηκότητες



jCω.

Οι αντιστάσεις R και οι αγωγιμότητες 1/R παραμένουν αναλλοίωτες.

 

Για την επίλυση κυκλώματος ΕΡ στη ΜΗΚ, διατυπώνονται οι εξισώσεις των κόμβων και των βρόχων του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας.

Οι τάσεις και τα ρεύματα των κλάδων του κυκλώματος αντικαθίστανται με τις σχέσεις (V – I) στο πεδίο της συχνότητας

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

30

Ανάλυση Κυκλωμάτων ΕΡ Πεδίο της Συχνότητας



Παράδειγμα 1 ο Δεδομένα: v

S (t) = V 0 sin(ωt), V 0 = 325 (V), f = 50 (Hz), R = 10 (Ω), L = 100 (mH).

Κύκλωμα στο πεδίο του χρόνου Κύκλωμα στο πεδίο της συχνότητας Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

31

Ανάλυση Κυκλωμάτων ΕΡ Πεδίο της Συχνότητας



Παράδειγμα 1 ο Μετατροπή στοιχείων από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας: V S V

0 0 

X



j L

 

j

2 

f L



j

2  50 100 10  3 

j L

Με εφαρμογή του νόμου των τάσεων του Kirchhoff :



V S



V R



V L V S



V R



V L

συχνότητας:

I S V



L I



R



L I X I L L



I

Και οι τάσεις του κυκλώματος στο πεδίο της



j L



I



j

31, 4

I V V R



R I



R I

 10

R Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

32

Ανάλυση Κυκλωμάτων ΕΡ Πεδίο της Συχνότητας



Παράδειγμα 1 ο



Ρεύμα κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας (νόμος του Ohm): I

 

R



V S j L

  

R

2  

L

 

V

0 2  0 0    tan  1 

L



R

  

I I

 10 2  31, 4 2  9,86  0    tan 0 

A

 1  31, 4 10     0  0

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

33

Ανάλυση Κυκλωμάτων ΕΡ Πεδίο της Συχνότητας

 

Παράδειγμα 1 ο Η ποσότητα: Z j L

 

R

2  

L

  2    tan  1

ονομάζεται σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος



με ωμικό-επαγωγική συμπεριφορά.

L



R

  

Διανυσματικό διάγραμμα στο πεδίο της συχνότητας Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

34

Ανάλυση Κυκλωμάτων ΕΡ Πεδίο της Συχνότητας

 

Παράδειγμα 1 ο Αντίστροφος μετασχηματισμός του ρεύματος από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας:



R

2

V

0  

L

  2 sin    

t

 tan  1   

L



R

       9,86 sin (314

t

 0

A i(t), v(t)

Vo Io wt -72,33 deg.

i(t) vs(t) Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

35

Ανάλυση Κυκλωμάτων ΕΡ Πεδίο της Συχνότητας



Παράδειγμα 2 ο Δεδομένα: v

S (t) = V 0 sin(ωt + π/6) , V 0 R = 8 (Ω), C = 1500 (μF).

= 230 (V), f = 50 (Hz),

Κύκλωμα στο πεδίο του χρόνου Κύκλωμα στο πεδίο της συχνότητας Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

36

Ανάλυση Κυκλωμάτων ΕΡ Πεδίο της Συχνότητας



Παράδειγμα 2 ο X C Μετατροπή στοιχείων από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας



j

1

C



V S



j

  0   1  6 6 

rad

  50  

j

0

V

2,12  2,12   0  

Με εφαρμογή του νόμου των τάσεων του Kirchhoff :



V συχνότητας: V C S

 

V R



V C X I C I S I R I C V



S I



V R



V C Και οι τάσεις του κυκλώματος στο πεδίο της C



j C

1 

I



j

2,12 

V



R I



R I

8

I V R R Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

37

Ανάλυση Κυκλωμάτων ΕΡ Πεδίο της Συχνότητας



Παράδειγμα 2 ο I I I

  

Ρεύμα κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας (νόμος του Ohm):



V

0  2 6 

rad R



V S j

1

C

 

R

2   1

C

       tan  1   1

C R

       8 2  2,12 2 27,78    0    tan  1       1  6     0  8, 28   14,86 0

A Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

38

Ανάλυση Κυκλωμάτων ΕΡ Πεδίο της Συχνότητας

 

Παράδειγμα 1 ο Η ποσότητα: Z j C

1  

R

2   

C

1    2    tan  1   

ονομάζεται σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος με ωμικό-χωρητική συμπεριφορά.

1

C R

    

Διανυσματικό διάγραμμα στο πεδίο της συχνότητας Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

39

Ανάλυση Κυκλωμάτων ΕΡ Πεδίο της Συχνότητας

 

Παράδειγμα 2 ο Αντίστροφος μετασχηματισμός του ρεύματος από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας:



R

2

V

0 1

C

 2 sin  27, 78 sin (314

t

   

t

 tan  1 0

A

  1

C R

       

vs(t) i(t), v(t) i(t)

  

I



V

 44,86 0  30 0  14,86 0

14,86 deg.

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

wt

40

Ανάλυση Κυκλωμάτων ΕΡ Πεδίο της Συχνότητας



Παράδειγμα 3 ο Δεδομένα: v

S (t) = V 0 sin(ωt) , V 0 = 325 (V), f = 50 (Hz), R = 5 (Ω), C = 800 (μF), L = 150 (mH).

Κύκλωμα στο πεδίο του χρόνου Κύκλωμα στο πεδίο της συχνότητας Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

41

Ανάλυση Κυκλωμάτων ΕΡ Πεδίο της Συχνότητας



Παράδειγμα 3 ο Μετατροπή στοιχείων από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας

1

V S

325 

X



j



j V

0 0 0 1 0

V



j

3,98  3,98   0 

C C

  6  50 

X



j L

 

j

 3  314 

j

  0 

L Με εφαρμογή του νόμου των τάσεων του Kirchhoff :



V S



V R



V C S

 

V L I R V S C

 

V R



I



V C



V L Και οι τάσεις του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας: V C I



X I C C



I C

 

j I L

1

I



j

3,98 

V L



X I L L



j

47,10 

V



R I



R I

5

I V R R Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

42

Ανάλυση Κυκλωμάτων ΕΡ Πεδίο της Συχνότητας



Παράδειγμα 3 ο



I Ρεύμα κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας (νόμος του Ohm):

  

R

    1

C

    

R

2  

L

  1

C



V

0  2  0 0    tan  1  

LC



C R

2   1    

I

 5 2    2  tan  1    0  3   6  6  314 2  1    

I

  0 0  7, 48   0 0  83,94 0   7, 48  83 ,94 0 

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

43

Ανάλυση Κυκλωμάτων ΕΡ Πεδίο της Συχνότητας



Παράδειγμα 3 ο



Η ποσότητα: Z

  

j L

 

C

1     

R

2    

L

 

C

1     2     tan  1    

LC



C R

2   1      

ονομάζεται σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος με R-L-C στοιχεία.

Διανυσματικό διάγραμμα στο πεδίο της συχνότητας Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

44

Ανάλυση Κυκλωμάτων ΕΡ Πεδίο της Συχνότητας

 

Παράδειγμα 3 ο Αντίστροφος μετασχηματισμός του ρεύματος από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας:



R

2 

V

0

L

 

C

  7, 48 sin (314

t

 1 2 sin    0

A t

tan  

LC



C R

2   1    

i(t), v(t) vs(t) i(t)

wt - 83,94 deg.

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

45

Ανάλυση Κυκλωμάτων ΕΡ Πεδίο της Συχνότητας



Παράδειγμα 4 ο Δεδομένα: v

S (t) = V 0 sin(ωt + π/4) , V 0 R 1 = 1,2 (Ω),R 2 = 325 (V), f = 50 (Hz), = 3(Ω), C = 1000 (μF), L = 150 (mH).

Κύκλωμα στο πεδίο του χρόνου Κύκλωμα στο πεδίο της συχνότητας Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

46

Ανάλυση Κυκλωμάτων ΕΡ Πεδίο της Συχνότητας

 

Παράδειγμα 4 ο Με εφαρμογή των νόμων του Kirchhoff και του νόμου του Ohm στο πεδίο της συχνότητας:

Κόμβος Α: Βρόχος m 1

:

Βρόχος m 2 :

I C I L I S I R S

1

X I C

 

X I C X I L L C

 

V S I R L

2  0 

Μετατροπή των στοιχείων στο πεδίο της συχνότητας: X C

 

j C

1  

j

1  6  50 

j X L



j L

 

j

 50

j V S V

0 45 0   0 

j

sin 45 0   229,81 

j Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

47

Ανάλυση Κυκλωμάτων ΕΡ Πεδίο της Συχνότητας



Παράδειγμα 4 ο



Προκύπτει σύστημα τριών εξισώσεων αγνώστους τα ρεύματα των κλάδων, Ι S , I C και I L : με

        1

R

1 0    1

j C

1 

j C

1   

j L

 0 1   

R

2  

I I I V S

  

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

48

Ανάλυση Κυκλωμάτων ΕΡ Πεδίο της Συχνότητας



Παράδειγμα 4 ο



Από την επίλυση του συστήματος, π.χ. με αντιστροφή του πίνακα [R], προκύπτουν τα ρεύματα των κλάδων του κυκλώματος Ι S , I C I

 

I



I L

       1

R

1 0  

j j

 1

C C

1 1  

και I



L

 1

j L

 0

:



R

2           1

V S I I

   40, 0115 37,1392  2,8723   

j j j

92,9937 87, 2809 5, 7127         

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

 0 16, 69 0 0     49

Ανάλυση Κυκλωμάτων ΕΡ Πεδίο της Συχνότητας



Παράδειγμα 4 ο



Με εφαρμογή του νόμου του Ohm, υπολογίζονται οι τάσεις στους κλάδους του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας:

     

V V V R

1

R

2

Xc V XL

       

I R S

1

I R L

2

I X C C I X L L

                  0  0 0 0         3,1831    90 0 0               

V V V R

1

R

2

Xc V XL

               4 8, 014 8, 6169 277,82  269, 20    

j j j j

111,590 17,1381   118, 22 135,35            301,3168  0 0 0   153,31 0      

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

50

Ανάλυση Κυκλωμάτων ΕΡ Πεδίο της Συχνότητας



Παράδειγμα 4 ο



Τα ρεύματα και οι τάσεις στους κλάδους του κυκλώματος στο πεδίο του χρόνου προκύπτουν με τον αντίστροφο μετασχηματισμό: I

 

I I L

     0  0 0           

i i i C S L

                 101, 24sin 94,85sin 6,35sin      

t t t

   113, 28 0 113,05 0 116,69 0              

V V V R

1

R

2

Xc V XL

             301,3168    0 0 0 153,31 0             

v v v v R

1

R

2

Xc XL

                      121, 48sin 19,18sin    301,93sin 301,92sin     

t t t t

  113, 28 0 116, 69 0     23, 05 0 153,31 0         

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

51

Ανάλυση Κυκλωμάτων ΕΡ Πεδίο της Συχνότητας



Παράδειγμα 4 ο



Η διαφορά φάσης μεταξύ των διανυσμάτων της



τάσης και του ρεύματος της πηγής

 

Is

 

Vs

 113, 28 0

Στο πεδίο της συχνότητας

 45 0 

V I είναι:

68, 28 0

S S Χωρητική συμπεριφορά Στο πεδίο του χρόνου

400 300 (V), (A) 200 100 0 -100 -200 -300

vs(t) is(t)

-400 0 0.02

0.03

0.01

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 2, Γ. Περαντζάκης

0.04

0.05

52 0.06

t(sec)