Transcript Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ
ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ
ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ
Μάθημα
«Ηλεκτροτεχνία - Ηλεκτρικές
Εγκαταστάσεις» / Ενότητα 1η
Διδάσκων
Δρ. Γ. Περαντζάκης
Ηλεκτρολόγος Μηχανικός
Βασικά Ηλεκτρικά Μεγέθη
 Ηλεκτρικό φορτίο (Q, q)
• Δημιουργία Ηλεκτρομαγνητικών (Η/Μ) πεδίων
• Άσκηση ελκτικών ή απωστικών δυνάμεων
μεταξύ ηλεκτρικών φορτίων
• Μονάδα μέτρησης: Coulomb (Cb)
• Στοιχειώδης ποσότητα ηλεκτρικού φορτίου
ηλεκτρονίου και πρωτονίου:
qe = - 1,6 *10-9 (Cb)
qp = +1,6 *10-9 (Cb)
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
2
Βασικά Ηλεκτρικά Μεγέθη
 Ένταση Ηλεκτρικού ρεύματος (I, i)
• Ηλεκτρικό ρεύμα: Η προσανατολισμένη κίνηση
ηλεκτρικών φορτίων μέσα από ένα μέσο.
• Ένταση ηλεκτρικού ρεύματος: Η χρονική
μεταβολή του ηλεκτρικού φορτίου.
• Μονάδα μέτρησης: Το Ampere (A).
• Σχέση:
i
dq
dt
• Σταθερό ηλεκτρικό ρεύμα: Ι = σταθ., π.χ. ΣΡ
• Χρονικά μεταβαλλόμενο ρεύμα: i(t), π.χ. ΕΡ
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
3
Βασικά Ηλεκτρικά Μεγέθη
 Ηλεκτρική τάση ή διαφορά δυναμικού(V, v)
• Ηλεκτρική τάση μεταξύ δύο σημείων (Α, Β), vAB:
Το έργο που καταναλώνεται ή παράγεται (dW) για
τη μετακίνηση ηλεκτρικού φορτίου (dq) από το
σημείο Α στο σημείο Β εντός ηλεκτρικού πεδίου.
• Σχέση:
v 
dW
dq
• Μονάδα: Το Volt, 1(V) = 1(J)/1(Cb)
• Σταθερή ηλεκτρική τάση: VAB = σταθ., π.χ. ΣΡ
• Χρονικά μεταβαλλόμενη τάση: vAB(t), π.χ. ΕΡ
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
4
Βασικά Ηλεκτρικά Μεγέθη
 Ηλεκτρική ισχύς (P, p)
• Στιγμιαία ηλεκτρική ισχύς: Το γινόμενο της
ηλεκτρικής τάσης v(t) στα άκρα ενός στοιχείου
κυκλώματος επί την ένταση i(t) που το διαρρέει.
• Σχέση:
p (t )  v (t ) i (t )
• Μονάδα: Το Watt, 1(W) = 1(V)*1(A)
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
5
Βασικά Ηλεκτρικά Μεγέθη
 Ηλεκτρική ενέργεια (W, w)
• Η ηλεκτρική ενέργεια που καταναλώνεται ή
παράγεται από ένα στοιχείο κυκλώματος εντός του
χρονικού διαστήματος [t1, t2] είναι:
t2
W   p ( t ) dt
t1
• Μονάδα: Το Joule, 1(J) = 1(V)*1(Cb)
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
6
Βασικά Ηλεκτρικά Μεγέθη
 Μαγνητική ροή (Φ, φ)
• Η μαγνητική ροή Φ που διαπερνά επιφάνεια S, η
οποία τοποθετείται εντός μαγνητικού πεδίου με

πυκνότητα μαγνητικής ροήςB είναι:
 
   B dS
S
•

Για B = σταθ.,
   B  S  cos 

Όπου: θ είναι η γωνία μεταξύ
και καθέτου προς
B
την επιφάνεια S.
• Μονάδα: Το Weber, 1(Wb) = 1(V)*1(s)
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
7
Ορισμοί – Φορές αναφοράς
 Ηλεκτρικά κυκλώματα
• Αποτελούνται από ενεργά και παθητικά στοιχεία.
• Τα ενεργά στοιχεία παρέχουν ηλεκτρική ενέργεια
στο κύκλωμα.
• Τα παθητικά στοιχεία καταναλώνουν ηλεκτρική
ενέργεια ή αποθηκεύουν ενέργεια.
• Τα ηλεκτρικά κυκλώματα διαμορφώνονται από
κλάδους και κόμβους.
• Οι κλάδοι ενός κυκλώματος σχηματίζουν απλούς
και σύνθετους βρόχους.
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
8
Ορισμοί – Φορές αναφοράς
 Κλάδος κυκλώματος
• Είναι κάθε στοιχείο δύο ακροδεκτών.
• Συζευγμένες φορές αναφοράς ρεύματος και τάσης
κλάδου. Είναι: i(t)>0, όταν η φορά του ρεύματος
είναι από το Α προς το Β και i(t)<0, στην αντίθετη
περίπτωση.
• Εάν: p  v ( t ) i ( t )  0
το στοιχείο καταναλώνει
ενέργεια
• Εάν: p  v ( t ) i ( t )  0 το στοιχείο παράγει ενέργεια.
AB
AB
AB
AB
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
9
Ορισμοί – Φορές αναφοράς
 Κόμβος, βρόχος κυκλώματος
• Κόμβος: Το κοινό σημείο διασύνδεσης των άκρων
των στοιχείων ενός κυκλώματος.
• Ηλεκτρικό δυναμικό κόμβου: Είναι η ηλεκτρική
τάση του κόμβου ως προς τον κόμβο αναφοράς.
• Κόμβος αναφοράς:
Είναι ο κόμβος όπου
συνδέονται
οι
περισσότεροι
κλάδοι
του
κυκλώματος.
• Βρόχος: Είναι οποιαδήποτε κλειστή διαδρομή
κλάδων.
• Απλός βρόχος: Δεν περιλαμβάνει στο εσωτερικό
του άλλους κλάδους
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
10
Ορισμοί – Φορές αναφοράς
• Σύνθετος βρόχος: Περιλαμβάνει στο εσωτερικό του
και άλλους κλάδους.
•
•
•
•
•
Κόμβοι: Α, Β
Κόμβος αναφοράς: 0
Απλός βρόχος: 1-3-4
Σύνθετος βρόχος: 1-2-5
Φορά
αναφοράς
βρόχων: Δεξιόστροφη
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
11
Ορισμοί – Φορές αναφοράς
• Σύνθετος βρόχος: Περιλαμβάνει στο εσωτερικό του
και άλλους κλάδους.
•
•
•
•
•
Κόμβοι: Α, Β
Κόμβος αναφοράς: 0
Απλός βρόχος: 1-3-4
Σύνθετος βρόχος: 1-2-5
Φορά
αναφοράς
βρόχων: Δεξιόστροφη
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
12
Ορισμοί – Φορές αναφοράς
 Συγκεντρωμένα κυκλώματα
• Οι διαστάσεις των στοιχείων είναι πολύ μικρότερες
από το μήκος κύματος του ρεύματος που τα
διαρρέει.
• Το ηλεκτρικό ρεύμα που εισέρχεται από τον έναν
ακροδέκτη ισούται κάθε χρονική στιγμή με το
ρεύμα που εξέρχεται από τον άλλο ακροδέκτη του
στοιχείου.
• Τα συγκεντρωμένα κυκλώματα υπακούουν στους
νόμους του Kirchhoff.
• Εδώ,
εξετάζονται
μόνο
συγκεντρωμένα
κυκλώματα.
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
13
Ορισμοί – Φορές αναφοράς
 Κατανεμημένα κυκλώματα
• Τα στοιχεία του κυκλώματος έχουν μέγεθος
συγκρίσιμο με το μήκος κύματος του ρεύματος που
τα διαρρέει, π.χ μια κεραία.
• Τα στοιχεία αυτά ακτινοβολούν ενέργεια.
• Το ρεύμα εξόδου είναι κάθε χρονική στιγμή
διαφορετικό από το ρεύμα εισόδου.
• Τα στοιχεία αυτά δεν υπακούουν στους νόμους του
Kirchhoff.
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
14
Ορισμοί – Φορές αναφοράς
 Πολικότητα ή φορά αναφοράς βρόχου
• Είναι αυθαίρετη και ορίζεται πριν από την επίλυση
ενός κυκλώματος.
• Είναι απαραίτητο για τη διαμόρφωση των
εξισώσεων του κυκλώματος.
• Διατηρείται σταθερή μέχρι την ολοκλήρωση της
επίλυσης του κυκλώματος.
• Επίλυση ενός κυκλώματος εννοούμε την εύρεση
των ρευμάτων και των τάσεων των κλάδων του
κυκλώματος.
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
15
Ορισμοί – Φορές αναφοράς
 Ορισμός φοράς αναφοράς βρόχων και συζευγμένων
φορών αναφοράς τάσης και ρεύματος κλάδων
κυκλώματος
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
16
Ηλεκτρικά Στοιχεία Κυκλώματος
 Ενεργά και παθητικά στοιχεία δύο ακροδεκτών
• Ενεργά στοιχεία: Παράγουν ηλεκτρική ενέργεια
(πηγές τάσης και ρεύματος) και προκαλούν τη
διέγερση του κυκλώματος.
• Παθητικά στοιχεία: Καταναλώνουν ηλεκτρική
ενέργεια (αντιστάτης) ή αποθηκεύουν (μαγνητική ή
ηλεκτρική) ενέργεια (πηνίο, πυκνωτής).
• Χαρακτηριστική στοιχείου : Είναι η σχέση τάσης –
ρεύματος ενός στοιχείου (v-i). Ανάλογα με τη μορφή
της χαρακτηριστικής διακρίνουμε τα γραμμικά και
τα μη γραμμικά στοιχεία.
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
17
Ηλεκτρικά Στοιχεία Κυκλώματος
 Ανεξάρτητη (ιδανική) πηγή τάσης (VS, vS)
• Η ηλεκτρική τάση της πηγής είναι σταθερή και
ανεξάρτητη από το ρεύμα που παρέχει.
• Πρέπει να ισχύει: v(t) i(t) < 0 για να προσφέρει ισχύ.
Σύμβολα
Χαρακτηριστική (v-i)
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
18
Ηλεκτρικά Στοιχεία Κυκλώματος
 Ανεξάρτητη (ιδανική) πηγή ρεύματος (IS, iS)
• Το ηλεκτρικό ρεύμα της πηγής είναι σταθερό και
ανεξάρτητο από την τάση στα άκρα της πηγής.
• Πρέπει να ισχύει: v(t) i(t) < 0 για να προσφέρει ισχύ.
Σύμβολο
Χαρακτηριστική (v-i)
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
19
Ηλεκτρικά Στοιχεία Κυκλώματος
 Αντιστάτης ή αντίσταση (R)
• Στοιχείο δύο ακροδεκτών που μετατρέπει την
ηλεκτρική ενέργεια σε θερμότητα.
• Η ηλεκτρική αντίσταση R = σταθ. (γραμμικό
στοιχείο).
• Ηλεκτρική αγωγιμότητα: G = 1/R.
• Μονάδα αντίστασης: Το Ohm 1(Ω) = 1(V)*1(A).
• Το Siemens, 1(S) = 1(A)/1(V).
• Νόμος του Ohm: v  t   R i  t 
• Ισχύς που καταναλώνεται στον αντιστάτη:
2
v
t
2
pt  v t i t  R i t 
0
R
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
20
Ηλεκτρικά Στοιχεία Κυκλώματος
 Αντιστάτης ή αντίσταση (R)
Σύμβολο
Χαρακτηριστική (v – i)
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
21
Ηλεκτρικά Στοιχεία Κυκλώματος
 Αντιστάτης ή αντίσταση (R)
• Βραχυκύκλωμα
Ανοικτό κύκλωμα
pt  v t i t   0
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
22
Ηλεκτρικά Στοιχεία Κυκλώματος
 Αντιστάτης ή αντίσταση (R)
• Η ηλεκτρική (ωμική) αντίσταση των αγωγών
ρεύματος εξαρτάται, για σταθερή θερμοκρασία, από
τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του αγωγού:
R
l
q
 ρ: Η ειδική αντίσταση του αγωγού σε (Ωmm2/m)
 l: Το μήκος του αγωγού σε (m)
 q: Η διατομή του αγωγού σε (mm2). Για αγωγούς
κυκλικής διατομής είναι:
q
d
4
2
, d
4q

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
23
Ηλεκτρικά Στοιχεία Κυκλώματος
 Πυκνωτής (C)
• Είναι στοιχείο δύο ακροδεκτών και αποτελείται από:
τους οπλισμούς, το διηλεκτρικό και τους ακροδέκτες.
• Είναι δυναμικό παθητικό στοιχείο και δεν
καταναλώνει πραγματική ισχύ.
• Αποθηκεύει ενέργεια στο ηλεκτρικό πεδίο μεταξύ των
οπλισμών του.
• Ο πυκνωτής στο ΣΡ είναι ανοιχτό κύκλωμα.
• Ο πυκνωτής στο ΕΡ είναι μια αντίσταση, η τιμή της
οποίας εξαρτάται από τη συχνότητα του ΕΡ.
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
24
Ηλεκτρικά Στοιχεία Κυκλώματος
 Πυκνωτής (C)
Σύμβολο – Φόρτιση πυκνωτή
Χαρακτηριστική (v – q)
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
25
Ηλεκτρικά Στοιχεία Κυκλώματος
 Πυκνωτής (C)
• Το φορτίο στους οπλισμούς είναι ανάλογο της τάσης
q t C v t 
 C: Η χωρητικότητα σε (F). Για C = σταθ., ο
πυκνωτής είναι ένα γραμμικό στοιχείο.
• Η χωρητικότητα εξαρτάται από τα γεωμετρικά χαρ/κά.
C 
S
d
r 0
S
d
 S: Επιφάνεια οπλισμών σε (m2). d: Απόσταση
οπλισμών σε (m). ε0: Διηλεκτρική σταθερά του κενού
= (1/36*π)10-9 (C2/Nm2). εR: Σχετική διηλεκτρική
σταθερά.
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
26
Ηλεκτρικά Στοιχεία Κυκλώματος
 Πυκνωτής (C)
• Το ρεύμα πυκνωτή εξαρτάται κάθε χρονική στιγμή
από το ρυθμό μεταβολής της τάσης στα άκρα του:
dv  t 
dq
iC  t  
C
dt
dt
• Η τάση στα άκρα πυκνωτή
στο
χρονικό
διάστημα
t
1
[t0,t]:
v  t    i c  t  dt  v  t 0 
1
C
t0
• Η εναποθηκευμένη ενέργεια εντός του πυκνωτή για
το χρονικό διάστημα [t0,t]:
t
2
q
1
t 1
2
W C  t    v  t  i  t  dt 
 C v t 
t0
2
C
2
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
27
Ηλεκτρικά Στοιχεία Κυκλώματος
 Πηνίο (L)
• Το πηνίο είναι στοιχείο δύο ακροδεκτών και
χρησιμοποιείται για τη δημιουργία μαγνητικού
πεδίου.
Σύμβολο – Σωληνοειδές π.
Χαρακτηριστική (i - φ )
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
28
Ηλεκτρικά Στοιχεία Κυκλώματος
 Πηνίο (L)
 Χαρακτηριστικά μεγέθη πηνίου:
 Μαγνητική ροή:  ( t )  B ( t ) S
 Πεπλεγμένη μαγνητική ροή:  ( t )  N  ( t )  L i ( t )
 Συντελεστής αυτεπαγωγής: L   ( t ) i ( t )    0 N 2 S / l
• μ: Μαγνητική διαπερατότητα του υλικού του
πυρήνα
• μ0 = 4 π10-6 (H/m), θεμελιώδης μαγνητική σταθερά
• Ν, S, l: Οι σπείρες, η διατομή και το μήκος του
πηνίου αντίστοιχα.
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
29
Ηλεκτρικά Στοιχεία Κυκλώματος
 Πηνίο (L)
 Τάση πηνίου (νόμος του Faraday)
vL t 
d t 
dt
N
d  t 
dt
L
di  t 
dt
vL t  0
vL t  0
ΣΡ: di  t  dt  0 Το πηνίο συμπεριφέρεται στο ΣΡ
ως βραχυκύκλωμα
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
30
Ηλεκτρικά Στοιχεία Κυκλώματος
 Πηνίο (L)
 Ρεύμα πηνίου στο χρονικό διάστημα [t0,t]
it
1
t
v  t  dt  i  t 

L
L
0
t0
i  t 0  : Ρεύμα πηνίου τη χρονική στιγμή t0
 Μαγνητική ενέργεια πηνίου
t
W L  t    v L  t  i  t  dt 
t0
t 1
1 
2
2
L

Li
2
2
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
t 
31
Ηλεκτρικά Στοιχεία Κυκλώματος
 Αλληλεπαγωγή (Μ)
 Τάση από επαγωγή σε μαγνητικώς συνεζευγμένα πηνία
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
32
Ηλεκτρικά Στοιχεία Κυκλώματος
 Αλληλεπαγωγή (Μ)
 Τάση από επαγωγή σε μαγνητικώς συζευγμένα πηνία
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
33
Ηλεκτρικά Στοιχεία Κυκλώματος
 Αλληλεπαγωγή (Μ)
 Τάσεις από αμοιβαία επαγωγή και αυτεπαγωγή σε πηνία
 Συντελεστής αμοιβαίας επαγωγής Μ:
• όταν διαρρέεται με ρεύμα μόνο το πηνίο 1
M 
N 2 2
i1
• όταν διαρρέεται με ρεύμα μόνο το πηνίο 2
M 
N 1 1
i2
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
34
Ηλεκτρικά Στοιχεία Κυκλώματος
 Αλληλεπαγωγή (Μ)
 Τάσεις από αμοιβαία επαγωγή και αυτεπαγωγή σε πηνία
 Τάσεις σε μαγνητικώς συζευγμένα πηνία, που
οφείλονται στην αυτεπαγωγή και αμοιβαία επαγωγή
 1  N 1  1   21   L1 i1  M i 2
 2  N 2   2  12   L2 i 2  M i1
ή
v 1  t   L1
v 2  t   L2
di1
dt
di 2
dt
M
M
di 2
dt
di1
dt
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
35
Πραγματικές Πηγές Τάσης και Ρεύματος
 Πραγματική πηγή τάσης
 Η τάση ακροδεκτών μιας πραγματικής πηγής μειώνεται με την
αύξηση του ρεύματος, λόγω της εσωτερικής αντίστασης της πηγής
it 
vs t 
RS  RL
, RS  RL
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
36
Πραγματικές Πηγές Τάσης και Ρεύματος
 Πραγματική πηγή ρεύματος
 Το ρεύμα μιας πραγματικής πηγής ρεύματος είναι
συνάρτηση της τάσης στα άκρα της πηγής
iL  t  
RS
RL  RS
iS  t  , RS  RL
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
37
Πραγματικές Πηγές Τάσης και Ρεύματος
 Ισοδυναμία πραγματικών πηγών τάσης και ρεύματος
 Είναι δυνατή η μετατροπή μιας πραγματικής πηγής τάσης σε μια
πραγματική πηγή ρεύματος και αντιστρόφως
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
38
Θεμελιώδεις Νόμοι των Κυκλωμάτων
 Οι νόμοι του Kirchhoff
 Είναι γενικοί νόμοι.
 Ισχύουν για κάθε συγκεντρωμένο ηλεκτρικό
κύκλωμα.
 Εξαρτώνται μόνο από την τοπολογία του κυκλώματος
και όχι από τη φύση των στοιχείων που συνθέτουν το
κύκλωμα.
 Ο πρώτος νόμος του Kirchhoff
 Το αλγεβρικό άθροισμα των ρευμάτων σε ένα κόμβο
συγκεντρωμένου ηλεκτρικού κυκλώματος είναι κάθε
χρονική στιγμή ίσο
με μηδέν.
N
 i  t   0,
k
t
k 1
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
39
Θεμελιώδεις Νόμοι των Κυκλωμάτων
 Ο δεύτερος νόμος του Kirchhoff
 Το αλγεβρικό άθροισμα των τάσεων των κλάδων σε
κάθε βρόχο συγκεντρωμένου ηλεκτρικού κυκλώματος
είναι κάθε χρονική στιγμή ίσο με μηδέν.
 Για την εφαρμογή των νόμων των κόμβων και των
βρόχων του Kirchhoff πρέπει προηγουμένως να
οριστούν (αυθαίρετα):
 οι φορές αναφοράς των ρευμάτων σε κάθε κλάδο
του κυκλώματος,
 οι φορές αναφοράς των βρόχων και
 οι συζευγμένες φορές αναφοράς των τάσεων των
κλάδων του κυκλώματος.
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
40
Θεμελιώδεις Νόμοι των Κυκλωμάτων
 Διαμόρφωση εξισώσεων Kirchhoff
i1 – i2 + i3 + i4 – i5 = 0
E 1  E 2  V1  V 3  V 2  V 4  0
E 1  E 2  I 1 R1  I 3 R 3  I 2 R 2  I 4 R 4  0
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
41
Θεμελιώδεις Νόμοι των Κυκλωμάτων
 Ανεξάρτητες εξισώσεις Kirchhoff
 Με εφαρμογή των νόμων των τάσεων του Kirchhoff
προκύπτει σύστημα με (Nb – Nn + 1) γραμμικά
ανεξάρτητες εξισώσεις. Όπου Nb και Nn είναι ο αριθμός
των κλάδων και των κόμβων του κυκλώματος
αντίστοιχα.
 Οι άγνωστοι σε ένα κύκλωμα είναι τα ρεύματα και οι
τάσεις των κλάδων του κυκλώματος. Στη συνέχεια,
με εφαρμογή του νόμου του Ohm, οι άγνωστοι μπορεί
να είναι μόνο τα ρεύματα ή μόνο οι τάσεις στους
κλάδους του κυκλώματος.
 Για τη διαμόρφωση των ανεξάρτητων εξισώσεων
τάσεων θεωρούνται μόνο οι απλοί βρόχοι και
αγνοούνται οι σύνθετοι βρόχοι.
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
42
Θεμελιώδεις Νόμοι των Κυκλωμάτων
 1ο Παράδειγμα εφαρμογής των νόμων του Kirchhoff
 Εξισώσεις κόμβων (1ος νόμος του Kirchhoff):
Κόμβος Β: Ι1 + Ι4 + Ι6 = 0
Κόμβος Γ: Ι2 – Ι4 – Ι5 = 0
Κόμβος Δ: Ι5 – Ι3 – Ι6 = 0
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
43
Θεμελιώδεις Νόμοι των Κυκλωμάτων
 1ο Παράδειγμα εφαρμογής των νόμων του Kirchhoff
 Εξισώσεις τάσεων βρόχων (2ος νόμος του Kirchhoff):
Βρόχος m1:
-Ε1 – V1 + V4 + V2 = 0
Βρόχος m2:
E2 – V2 – V5 – V3 = 0
Βρόχος m3:
-V4 + V6 + V5 = 0
 Με εφαρμογή του νόμου του Ohm, οι εξισώσεις των
τάσεων των βρόχων μετατρέπονται σε εξισώσεις με
αγνώστους τα ρεύματα των κλάδων
Βρόχος m1:
-Ε1 – I1 R1 + I4 R4 + I2 R2= 0
Βρόχος m2:
E2 – I2 R2 – I5 R5 – I3 R3= 0
Βρόχος m3:
- I4 R4 + I6 R6 + I5 R5= 0
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
44
Θεμελιώδεις Νόμοι των Κυκλωμάτων
 1ο Παράδειγμα εφαρμογής των νόμων του Kirchhoff
 Από το συνδυασμό των εξισώσεων των ρευμάτων
των κόμβων και των εξισώσεων των τάσεων των
βρόχων,
προκύπτει
το
γραμμικό
σύστημα
ανεξάρτητων εξισώσεων με έξι αγνώστους (τα
ρεύματα των κλάδων)
 1
 0

 0

 R1

 0

 0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
R2
0
R4
0
 R2
 R3
0
 R5
0
0
 R4
R5
1   I1   0 
0  I2   0 
  

1  I3   0 
 
   R  I    E 
0
I
E
 4  1 
0   I5   E 2 
  

R6   I 6   0 
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
45
Θεμελιώδεις Νόμοι των Κυκλωμάτων
 1ο Παράδειγμα εφαρμογής των νόμων του Kirchhoff
 Από την επίλυση του συστήματος (π.χ. με τον κανόνα
του Cramer) προκύπτουν τα ρεύματα των κλάδων.
Είναι:
I  D I R , i  1, 2,..., 6.
i
i
Όπου:
R : Η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων
D I i : Η ορίζουσα που προκύπτει από την R εάν στη θέση
των συντελεστών των αγνώστων Ιi τεθούν οι σταθεροί
όροι
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
46
Θεμελιώδεις Νόμοι των Κυκλωμάτων
 1ο Παράδειγμα εφαρμογής των νόμων του Kirchhoff
D I1 
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
E1
R2
0
R4
0
0
E2
 R2
 R3
0
 R5
0
0
0
0
 R4
R5
R6
D I 2  ...  71.280 (V )
D I 3  ...  42.120 (V )
D I 4  ...  36.000 (V )
D I 5  ...  35.280 (V )
D I 6  ...   6.840(V )
R 
  29.160 (V )
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
 R1
R2
0
R4
0
0
0
 R2
 R3
0
 R5
0
0
0
0
 R4
R5
R6
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
 1872 (  )
47
Θεμελιώδεις Νόμοι των Κυκλωμάτων
 1ο Παράδειγμα εφαρμογής των νόμων του Kirchhoff
 29.160
I1 
D I1
I2 
DI2
R
1872
I3 
DI3
42.120
I4 
DI4
R
1872
I5 
DI5
35.280
I6 
DI6

R
1872


R
71.280
 38.077 ( A )
 22, 500 ( A )
1872


R
R
  15, 577 ( A )
36.000
 19, 231 ( A )
 18, 846 ( A )
1872

 6.840
1872
  3, 654 ( A )
 Η επίλυση του συστήματος
γίνεται και με αντιστροφή
του
1
πίνακα  I    R   E 
 Αρνητική τιμή του ρεύματος
σημαίνει ότι η πραγματική
φορά του ρεύματος είναι
αντίθετη από την αρχική.
 Θετική τιμή του ρεύματος
σημαίνει ότι η πραγματική
φορά του ρεύματος είναι ίδια
με την αρχική.
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
48
Θεμελιώδεις Νόμοι των Κυκλωμάτων
 2ο Παράδειγμα εφαρμογής των νόμων του Kirchhoff
Κόμβος A: IS1 + I2 – I1 = 0
Κόμβος Γ: ΙS2 – Ι2 – Ι3 – I4 = 0
Κόμβος Δ:
Ι4 + Ι5 + Ι6 = 0
Βρόχος m1:
-I5 R5 – E = 0
Βρόχος m2:
I3 R 3 – I4 R 4 + I5 R 5 = 0
Βρόχος m3:
I1 R 1 + I2 R 2 – I3 R 3 = 0
0
0
0
0   I1    I S 1 
1 1

  

0
1
1
1
0
0 I2
IS2

  

0
0
1
1
1  I3   0 
 0

 
   R  I    E , I S  , ........
0
0
0
0
 R5 0 I 4
E

  

 0
0
R3
 R4
R5
0  I5   0 

  

R
R

R
0
0
0
I
0

 1
 6 
2
3
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
49
Θεμελιώδεις Νόμοι των Κυκλωμάτων
 Το θεώρημα του Tellegen
Σε κάθε συγκεντρωμένο ηλεκτρικό κύκλωμα το
άθροισμα των γινομένων της τάσης επί του ρεύματος
κάθε κλάδου είναι κάθε χρονική στιγμή ίσο με μηδέν.
Nb
 v  t  i  t   0,
k
k
t
k 1
Η ηλεκτρική ισχύς παραμένει εντός του
συγκεντρωμένου κυκλώματος, ρέει μόνον διαμέσου
των κλάδων του κυκλώματος και δεν ακτινοβολείται.
Το θεώρημα του Tellegen είναι άμεση συνέπεια
των νόμων του Kirchhoff.
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
50
Ισοδυναμία Κυκλωμάτων
 Ορισμός ισοδυναμίας κυκλωμάτων
Δύο ή περισσότερα κυκλώματα δύο ακροδεκτών είναι
ισοδύναμα, όταν οι τάσεις και τα ρεύματα των ακροδεκτών
τους είναι κάθε χρονική στιγμή ίσα μεταξύ τους.
v 1 ( t )  v 2 ( t ) 
i1 ( t )  i 2 ( t )
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
51
Ισοδυναμία Κυκλωμάτων
 Σύνδεση στοιχείων δύο ακροδεκτών σε σειρά
Κατά την εν σειρά σύνδεση, το τέλος του ενός στοιχείου
συνδέεται με την αρχή του επόμενου κοκ., χωρίς να
υπάρχει σημείο λήψης ανάμεσά τους.
 Σύνδεση αντιστάσεων σε σειρά
N
R S   Rk
k 1
και
1
GS
N

k 1
1
Gk
R S , G S : Η ισοδύναμη αντίσταση και η ισοδύναμη
αγωγιμότητα αντίστοιχα.
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
52
Ισοδυναμία Κυκλωμάτων
 Σύνδεση πηνίων σε σειρά
N
L S   Lk
k 1
 Σύνδεση πυκνωτών σε σειρά
1
CS
N

k 1
1
Ck
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
53
Ισοδυναμία Κυκλωμάτων
 Σύνδεση ανεξάρτητων πηγών τάσης σε σειρά
N
v S   v Sk
k 1
 Σύνδεση ανεξάρτητων πηγών ρεύματος σε σειρά
iS1  iS 2
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
54
Συνδεσμολογίες Ηλεκτρικών Στοιχείων
 Σύνδεση στοιχείων δύο ακροδεκτών παράλληλα
Κατά την παράλληλη σύνδεση, τα άκρα των στοιχείων
συνδέονται μεταξύ δύο ακροδεκτών, δηλαδή έχουν κοινά
άκρα.
 Παράλληλη συνδεσμολογία αντιστάσεων
1
RP
N

k 1
1
Rk
N
και
GP   Gk
k 1
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
55
Συνδεσμολογίες Ηλεκτρικών Στοιχείων
 Παράλληλη συνδεσμολογία πηνίων
1
LP
N

k 1
1
Lk
 Παράλληλη συνδεσμολογία πυκνωτών
N
CP  Ck
k 1
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
56
Συνδεσμολογίες Ηλεκτρικών Στοιχείων
 Παράλληλη συνδεσμολογία ανεξάρτητων πηγών τάσης
v S1  v S 2  v S
 Παράλληλη συνδεσμολογία ανεξάρτητων πηγών ρεύματος
N
i S   i Sk
k 1
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
57
Συνδεσμολογίες Ηλεκτρικών Στοιχείων
 Μικτή συνδεσμολογία στοιχείων δύο ακροδεκτών
Κατά τη μικτή συνδεσμολογία, τα στοιχεία διασυνδέονται
με διαφόρους τρόπους μεταξύ τους, οι οποίοι είναι
συνδυασμοί παράλληλης και εν σειράς συνδεσμολογίας.
1
R 234

1
R2

1
R3

1
R4
και
R eq  R1  R 234  R 5
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
58
Μετατροπές Συνδεσμολογιών Τριγώνου και Αστέρα
 Μετατροπή τριγώνου αντιστάσεων σε αστέρα και αντίστροφα
 Μετατροπή από Δ σε Υ
Ra 
Rb 
Rc 
R ab R ca
R ab  R bc  R ca
R ab R bc
R ab  R bc  R ca
R bc R ca
R ab  R bc  R ca
 Μετατροπή από Υ σε Δ
R ab 
R bc 
R ca 
Ra Rb  Rb Rc  Rc Ra
Rc
Ra Rb  Rb Rc  Rc Ra
Ra
Ra Rb  Rb Rc  Rc Ra
Rb
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
59
Μετατροπές Συνδεσμολογιών Τριγώνου και Αστέρα
 Μετατροπή τριγώνου πυκνωτών σε αστέρα και αντίστροφα
 Μετατροπή από Δ σε Υ
Ca 
Cb 
Cc 
C ab C bc  C bc C ca  C ca C ab
C bc
C ab C bc  C bc C ca  C ca C ab
C ca
C ab C bc  C bc C ca  C ca C ab
C ab
 Μετατροπή από Υ σε Δ
C ab 
C bc 
C ca 
Ca Cb
Ca  Cb  Cc
Cb Cc
Ca  Cb  Cc
Ca Cc
Ca  Cb  Cc
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
60
Μετατροπές Συνδεσμολογιών Τριγώνου και Αστέρα
 Μετατροπή τριγώνου πηνίων σε αστέρα και αντίστροφα
 Μετατροπή από Δ σε Υ
La 
Lb 
Lc 
L ab L ca
L ab  L bc  L ca
L ab L bc
L ab  L bc  L ca
L bc L ca
L ab  L bc  L ca
 Μετατροπή από Υ σε Δ
L ab 
L bc 
L ca 
La Lb  Lb Lc  Lc La
Lc
La Lb  Lb Lc  Lc La
La
La Lb  Lb Lc  Lc La
Lb
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
61
Διαιρέτης Τάσης και Διαιρέτης Ρεύματος
 Κανόνας του διαιρέτη τάσης
Η τάση στα άκρα μιας αντίστασης ισούται με την τάση
της πηγής επί ένα κλάσμα του οποίου αριθμητής είναι η
τιμή της αντίστασης και παρονομαστής είναι το
άθροισμα των εν σειρά συνδεδεμένων αντιστάσεων.
v1  v 
v1  v
v
R1  R 2
R2
R1
R1  R 2
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
62
Διαιρέτης Τάσης και Διαιρέτης Ρεύματος
 Κανόνας του διαιρέτη ρεύματος
Το ρεύμα μέσα από μια αντίσταση ισούται με το ρεύμα
της πηγής επί ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι η
τιμή της αντίστασης του άλλου κλάδου και παρονομαστής
είναι το άθροισμα των δύο παράλληλων αντιστάσεων.
i1 R1  i
i1  i
R1 R 2
R1  R 2
R2
R1  R 2
Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 1, Γ. Περαντζάκης
63