4 Δυναμική Πλέγματος
Download
Report
Transcript 4 Δυναμική Πλέγματος
ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ
•
•
Ασχολείται με:
Κίνηση των ατόμων (ιόντων) μέσα στο πλέγμα.
Προσέγγιση:
Born Oppenheimer. (Αδιαβατική προσέγγιση)
•
Η συνολική ενέργεια των ατόμων παίζει το ρόλο δυναμικού,
εντός του οποίου κινούνται τα επιμέρους άτομα.
H ions ( R1 , .... R n ) H 0 ( R10 , .... R n 0 ) H ( R10 , .... R n 0 )
'
•
Μικρή αλληλεπίδραση δυναμικής ενέργειας των ατόμων και
της ενέργειας των ηλεκτρονίων.
•
•
•
Ειδική θερμότητα, θερμική διαστολή, θερμική αγωγιμότητα
Αλληλεπίδραση με ακτινοβολία.
Φαινόμενα μεταφοράς
Αδιαβατική Προσέγγιση (Born Oppenheimer )
Συνολική Ενέργεια = Ενέργεια Ιόντων + Ενέργεια ηλεκτρονίων +
ενέργεια αλληλεπίδρασης ιόντος –ηλεκτρονίου
H H ion s ( R j ) H e ( ri , R j 0 ) H e ion ( ri , R j )
2
H ions ( R1 , .... R n )
Pj
2M
j
H e ( ri , R j ,0 )
2
j
p
H e ion ( ri , R j )
i, j
1
i , j ,i j
2
i
2m
i
Σωτήριος Βες
1
2
4 0 R j R j
1
2
i
Z i Z je
i , j ,i j
4
i, j
1
Z je
1
0
e
2
ri R j
2
4 0 ri r j
1
1
Z je
r R
ri R j 0
j
i
2
2
Pj
2M
j
E e ( R1 , .... R n )
j
1
4
i, j
Z je
0
H
R e
j
j
Δυναμική πλέγματος
2
ri R j 0
R j
R j0
Προσέγγιση
Born Oppenheimer
Προσέγγιση
Αδιαβατική
Προσέγγιση
Παγωμένων
φωνονίων
Φαινόμενα
μεταφοράς
Διαφάνεια 2
ΔΥΝΑΜΙΚΟ
• Συμβολισμός:
rn n 1 a1 n 2 a 2 n 3 a 3
rn a rn ra
• Απομάκρυνση από θέση
ισορροπίας
u n i
Άτομο α
n-οστή στοιχειώδης κυψελίδα
Μ ηδενίζετα ι η παράγω γος
λόγω ακροτάτου στη
θέση ισορροπ ίας
Σ ταθερός όρος ισορροπίας
( rn ai u n a i )
( rn ai )
n i
1
2
n i
m j
( rn ai )
rn ai
u nai
2
rn i rn j
u n ai u m j
• Αρμονική
προσέγγιση
Α ρμ ονικός όρος
1
6
n i
m j
o k
3
rn i rm j ro k
u n i u m j ' u o k . ..
Α ναρμ ονικοί όρο ι
Σωτήριος Βες
Δυναμική πλέγματος
Διαφάνεια 3
Σταθερές σύζευξης
2
•
Σταθερές σύζευξης (Μεταξύ
οιονδήποτε ατόμων)
mi
rn i rm j
n j
n i
n j
Δύναμη (ελκτική) στο α-άτομο της n-στής
U kx / 2 U / x k κυψελίδας στην j-κατεύθυνση, αν το βάτομο της σταθερών
m-στής κυψελίδας
στην i-κατεύθυνση
• Ιδιότητες
σύζευξης:
2
2
mi
2
• Συμμετρία μετατόπισης
(m n)i
n j 0 j
nm j i mn i j
• Δράση- Αντίδραση
•
mi
n j
0
n
mi
n j
R n k
n
Σωτήριος Βες
n
m k
n j
R n i
Αναλλοίωτο της Δυναμικής ενέργειας σε
απειροστή μετατόπιση
•
Αναλλοίωτο της Δυναμικής ενέργειας σε
απειροστή στροφή
Δυναμική πλέγματος
Διαφάνεια 4
Εξίσωση κίνησης
m u n i
nm i
j
• Νόμος Νεύτωνα
0
m j
1
u n i
M
u i ( q ) e
• Λύση - Απαίτηση !!!
Ανηγμένα Πλάτη [L] [M]-1/2
i ( q r t )
a
j
D i
u i ( q )
2
j
j
D
i
(q)
m
u i ( q )
2
1
M aM
m
1
j
i
i q ( rm rn )
u n ( q ) 0
n i e
i q ( rm rn )
u j (q) 0
j
D e t D i u n ( q ) 1 0
j
Σωτήριος Βες
2
• Εξίσωση κινήσεως
m j
M aM
D
m j
n i e
(q)
Δυναμική πλέγματος
ό
ί
3r 3r
• Εξίσωση κινήσεως
• Μη τετριμμένες λύσεις
• Σχέση διασποράς
Διαφάνεια 5
Εφαρμογή: Γραμμική διατομική αλυσίδα
• Εξίσωση κινήσεως (γενική):
n 1,2
M 1u n 1 n 1
• Αλληλεπιδρούν μόνο γειτονικά
άτομα με την ίδια "σταθερά f "
• Συνολική δύναμη σε κάθε άτομο
μηδενική.
• Δείκτες α, β ={1,2}, {i,j,k} ={x}
• Δείκτης m ={n-1,n,n+1)
u n 1, 2 n 1 u n 1 n 1 u n ,2 0
n1
n ,2
n 1,1
M 2u n 2 n 2 u n1 n 2 u n 2 n 2
n1
n2
u n 1 ,1 0
Δύναμη που ασκεί στον
"εαυτό" (2f) του ένα άτομο
όταν εκτρέπεται κατά u0
nn1 1,2 nn1, 2 nn21 nn2 1,1 f
n1
n1
n2
n2
2 f
m j
n i
m n , j
0i
M 1 u n 1 f ( 2 u n 1 u n ,2 u n 1 , 2 ) 0
M 2 u n 2 f ( 2 u n 2 u n 1 u n 1 ,1 ) 0
Σωτήριος Βες
Δυναμική πλέγματος
με το σύνολο των δυνάμεων που
ασκούν τα άλλα άτομα σε αυτό
όταν αυτά κινούνται κατά - u0. (2f)
• Εξίσωση κινήσεως:
Παρατηρείστε
Διαφάνεια 6
Εφαρμογή: Γραμμική διατομική αλυσίδα
• Λύση ( όχι γενική !, επιθυμητή !!):
1
u na
M
ua ( q )e
x
D ax
2
f (1 e
f (1 e
iq a
M 1M
iq a
M 1M
2
)
2f
M
iqa
)
M 1M 2
2f
2
M2
f (1 e
M1
i ( an t )
a
2f
2
M1
j
x
D ai ( q ) D ax ( q )
f (1 e iqa )
M 1M 2
2f
2f
2
M1
f (1 e iqa )
M 1M 2
2
M2
D i u j ( q ) 0
M 1M 2
2f
u i ( q )
2
iqa
) u n1 0
u 0
n2
f (1 e
2
j
j
Σχέση διασποράς
)
0
2
2
2
(q) f (
2
1
M1
Σωτήριος Βες
Δυναμική πλέγματος
1
M
) f
2
1
1
4
M2
M 1M
M1
2
sin ( q a / 2 )
2
Διαφάνεια 7
Σχέσεις διασποράς: ιδιότητες
2
(q) f (
2
1
M1
1
M
) f
2
1
1
4
M2
M 1M
M1
2
sin ( q a / 2 )
2
(q) = (-q)
(q) = (q+2π/a)
• Γενίκευση
j
D ai ( q )
m
1
M aM
m j i q ( rm rn )
n i e
j
j
j
ai
j
ai
D ai ( q ) D ai ( q G ) G rn 2 m
D
(q) D
(t t
(q)
N ew ton ί )
(q) (q G )
(q) ( q)
= j(q) όπου j=1, 2,…3(a+b), 3ρ
• Καθορίζουν σε μεγάλο βαθμό
• Την αλληλεπίδραση με την ακτινοβολία
(ταχύτητα διαδόσεως, διασπορά, μήκος κύματος κλπ)
•
Θερμικές ιδιότητες
(Ειδική θερμότητα, αγωγιμότητα, αναρμονικότητα)
Σωτήριος Βες
Δυναμική πλέγματος
Διαφάνεια 8
Γραφική παράσταση σχέσεως διασποράς
Οπ
τικ
ός
Κλ
άδ
ος
A'
2 f M m
Β'
Mm
2f
Κύρια στοιχεία:
1.Δύο κλάδοι διασποράς
i."Ακουστικός"
a. Μηδενίζεται για q 0
b. Η μέγιστη συχνότητα καθορίζεται από την
βαριά μάζα M.
c. Τα δύο είδη ατόμων κινούνται σε φάση.
(Μόνο για q0 !!!)
m
ος
Χάσμα Συχνοτήτων
άδ
2f
ii."Οπτικός"
στι
κός
Κλ
M
G
Β
Ακ
ου
A
a. Εμφανίζεται αν ρ 2 (άτομα/ κυψελίδα)
b. Δεν μηδενίζεται η συχνότητα
c. Η ελάχιστη συχνότητα καθορίζεται από την
ελαφρά μάζα m.
d. Η μέγιστη συχνότητα εξαρτάται και από τις
δύο μάζες.
2
0
Wavevectror
a. Εξαρτάται από τη "διαφορά" μαζών
• Παρατηρείστε και εδώ την ισοδυναμία
σημείων που "απέχουν" κατά n G
• Παρατηρείστε ότι το εύρος του ακουστικού
κλάδου είναι περίπου τριπλάσιο του
οπτικού. ( M/m=2 ).
Σωτήριος Βες
2.Χάσμα Συχνοτήτων
3.Διαφορετική διασπορά ( Εύρος ταινίας).
Δ ω ac ω ac
m ax
Δ ω op
Δυναμική πλέγματος
2f(M m )
Mm
2f
M
2f
m
2f
m
m
2M
Δ ω ac
m
4M
Διαφάνεια 9
Επίδραση του λόγου μαζών
Οπ
τικ
ός
Κ
λά
δο
ς
• Παρατηρείστε την εξάρτηση
του χάσματος μεταξύ του
ακουστικού και του οπτικού
κλάδου.
Αυξάνεται
όσο
αυξάνει ο λόγος Μ / m.
op
M/m = 1
M/m = 2
M/m = 10
Κλ
άδ
ος
• Παρατηρείστε τον μηδενισμό
του χάσματος για M = m
• Παρατηρείστε ότι το εύρος
συχνοτήτων του ακουστικού
και του οπτικού κλάδου
μειώνονται με το λόγο Μ/m.
Ακ
ουσ
τικ
ός
ac
0
Wavevector
ac ac
m ax
Σωτήριος Βες
2k
M
op
• Θυμηθείτε ότι τα εν λόγω
εύρη δίδονται από τις
εκφράσεις:
2k (M m )
Mm
Δυναμική πλέγματος
2k
m
2k
m
m
2M
ac
m
4M
Διαφάνεια 10
Πλάτη
2f
2
M
f (1 e iqa )
Mm
f (1 e
iqa
Mm
2f
m
2
) uM
um
0
0
A
B
uM /
M
um /
m
Με τη βοήθεια της σχέσεως διασποράς προκύπτει ότι
Ειδικά σημεία:
q 0
(q)
2
2 f M m
4f
2
M
m 8 f M m 1 cos qa
2
A
1
B ac
f (1 e
)
2
2 f m
f (1 e
2
iq
)
A
0 στον ακουστικό κλάδο ( εν φάσει)
B
A
0 στον οπτικό κλάδο ( εκτός φάσεως)
B
k
2( M m )
q 0
qa
k M m
op
Mm
O
qa
2
Τα άτομα κινούνται
εν φάσει
α
Σωτήριος Βες
iq
2 f M
ac
2
2Mm
Δυναμική πλέγματος
λ >> α
Διαφάνεια 11
Πλάτη
Ειδικά σημεία:
q 0, λ
m
A
M
B op
α
Τα άτομα κινούνται εκτός
φάσεως αντιστρόφως
ανάλογα προς το λόγο των
μαζών των..
Ειδικά σημεία:
q / ( λ=2α)
B
0
A ac
λ=2α
Κινούνται μόνο τα
βαρέα άτομα!!
α
(Γειτονικά βαρέα
λ=2α
κινούνται αντίθετα)
A
0
B op
Κινούνται μόνο τα
ελαφρά άτομα!!
(Γειτονικά ελαφρά
κινούνται αντίθετα)
Σωτήριος Βες
λ >> α
α
Δυναμική πλέγματος
Διαφάνεια 12
Πλάτη ταλάντωσης διατομικής αλυσίδας
0
f1
n-1
m
n
n
α1-α2
M
f2
m
n+1
1
10;
2
10 3; f2 2; f1 7; m 1; M 7
1
Light Heavy Amplitude
M
1
1
4
Light Heavy Amplitude
α1
0
1
6
2
0
2
Acoustic
4
Optical
10;
2
10 4; f1 1; f2 4; m 2; M 2
0.5
0
Acoustic
0.5
Optical
6
α2
1
0
0
1
1
q
0
0
5
1
1
0
1
10;
2
Light Heavy Amplitude
•
Παρατηρείστε ότι θεωρούνται
δύο διαφορετικές σταθερές
δύναμης.
Εξάρτηση του λόγου των
πλατών του, "ελαφρύ" προς
"βαρύ", για διάφορες τιμές
των παραμέτρων.
Light Heavy Amplitude
•
q
10 4; f1 2; f2 2; m 1; M 4
5
Acoustic
10
Optical
15
1
10,
2
10 2, f2 2, f1 2, m 1, M 1
0.5
0
Acoustic
Optical
0.5
1
1
q
0
1
q
• Η πλέον γενική εμφανίζεται στο άνω αριστερό σχήμα και η πλέον
συμμετρική στο κάτω δεξιό. Παρατηρείστε ότι, γενικά, ο οπτικός κλάδος
παρουσιάζει μεγαλύτερη μεταβολή, απ΄ ότι ο ακουστικός
Σωτήριος Βες
Δυναμική πλέγματος
13
3 Διαστάσεις (Πραγματικά Υλικά)
Si
LO:?
TO:?
LA:?
L
Θεωρία
Πείραμα
TA:?
1 THz = 4.1310-15 eV
= 33.3 cm-1.
• Η εμφάνιση του οπτικού κλάδου οφείλεται την παρουσία
τουλάχιστον δύο ατόμων στη στοιχειώδη
• Αν διπλασιάσουμε την σταθερά κυψελίδας
α2α τότε η 1 ζώνη Brillouin υποδιπλασιάζεται.
• Ότι βρίσκεται εκτός ζώνης πρέπει να αναχθεί εντός
ζώνης.
3N=3 ac+3N-3op
GaAs, Si κλπ : 23 = 3+3
(2TA+LA+2TO+LO)
• Έτσι προκύπτει ο οπτικός κλάδος
Σωτήριος Βες
Δυναμική πλέγματος
14
Προσομοίωση
Σωτήριος Βες
Δυναμική πλέγματος
Διαφάνεια 15
Cl
Na
Cl
Na
Διαπερατότητα
Εφαρμογές (Infrared absorption in ionic crystals)
Cl
mNa= 23 amu = 23 1.6610-27 kg
100%
50 60 70 (m)
mCl= 35.5 amu = 35.5 1.6610-27 kg
λ = 61μm
f= ?
2 f (m M )
mM
f
2
2
mM
4 c
2
2
2
2
11.2 N / m
Σωτήριος Βες
ω
(cm-1)
mM
Δυναμική πλέγματος
λ
(μm)
f
(N/m)
GaAs
300
33,3
95,7
Si
520
19,2
112
C-H
3000
3,33
245
Διαφάνεια 16
Σκέδαση από χρονικά μεταβαλλόμενες δομές
• Πλάτος στο Β
K
k
AB e
k0
i 0 t
( r ( t ))e
iK n r ( t )
dr
K k k0
𝜌(𝐫(𝑡 : Μιγαδική πυκνότητα σκέδασης
(Φάση , πλάτος σε σχέση με το προσπίπτον)
(r, t)
( r rn ( t )
n
rn ( t ) rn u n ( t )
un ( t )
A B
e
( r rn ( t )) f ( r ) d r f ( r )
AB
[1 iK u n ( t )]e
i 0 t
un ( t ) u
n
n
Σωτήριος Βες
i K rn
e
iK un ( t )
e
i 0 t
n
i K rn
Ainel
e
e
i( K
q ) rn
iK u ( t )
1
e
1
e
i ( q rn ( q ) t )
M
i (0 ( q ) t
M
Δυναμική πλέγματος
Διαφάνεια 17
Σκέδαση από χρονικά μεταβαλλόμενες δομές
Ainel
e
i( K
q ) rn
iK u ( t )
n
=0 (q)
1
e
Αinel 0
i (0 ( q ) t
M
• Διατήρηση Ενέργειας
ℏ -ℏ0 ∓ ℏ(q) =0
k – k0 ∓ q = G
ℏk – ℏk0 ∓ ℏq - ℏG =0
• Σκέδαση Raman
• Σκέδαση Brillouin
• Διατήρηση Ψευδο-Ορμής
– (Μέτρο G)
Συμμετοχή από οπτικό κλάδο
Συμμετοχή από ακουστικό κλάδο
Οπτική περιοχή:
Συμμετέχουν
ταλαντώσεις για q ≃ 0
Σωτήριος Βες
Κινηματικές
Εξισώσεις
Μη ελαστικής
Σκέδασης
2k0
q m ax
Δυναμική πλέγματος
4
4
5000 Å
3
2 10 Å
-1
2
q m ax
1000
( 2 / )
( 2 / 5Å )
1
1000
1000
1000
Å
-1
Διαφάνεια 18
Σκέδαση από χρονικά μεταβαλλόμενες δομές
Περιοχή ακτίνων X:
Ενέργειες: 104 eV (λ =1,24 Å ,
ΔΕ:
1eV (Δλ =-1,2410-4 Å)
E
λ[nm]=hc/E[eV]=1240 [eVnm]/E[eV]
Δλ[nm] = - 1,24 10-5[nm eV] ΔΕ/Ε2
2 d sin
•
2 d sin 2 dco
d
d
E
E
10
1 m eV
4
4
E
Ενέργειες φωνονίων: 1 - 100 meV ( λ = 1,24 10 7 – 1,24 10 5 Å
ΔΕ:
1 meV (Δλ =-1,2410 3 Å)
• Αν χρησιμοποιούμε ακτίνες Χ
• Για να επιτευχθεί αυτό
10
10
2
7
10 eV
d
tan
d
tan
10
Εξαιρετικά δύσκολο να βρεθούν κρύσταλλοι αυτής της τελειότητας
7
𝛥𝑑
𝑑
• Εξαιρετικά δύσκολο να επιτευχθεί τόσο μικρό γωνιακό άνοιγμα Δθ.
– Σύγχροτρον
Λύση: Σκέδαση θερμικών νετρονίων. Ε ( 100 meV – 1 eV ( λ = 1,24 10 5 – 1,24 10 4 Å
ΔΕ:
1 meV (ΔΕ/Ε = Δλ/λ = 10-2- 10-3)
Σωτήριος Βες
Δυναμική πλέγματος
Διαφάνεια 19