Transcript κινητικη θεωρια

Κινητική θεωρία των αερίων
1
Στην Κινητική θεωρία των αερίων θα
προσεγγίσουμε
τη
μελέτη
των
αερίων
μικροσκοπικά. Σ’ αυτό θα μας βοηθήσει η
Στατιστική Μηχανική, που υπολογίζει και
αξιοποιεί μέσες τιμές μεγεθών.
Θυμίζουμε ότι
στη
μικροσκοπική
προσέγγιση
ασχολούμαστε με μεγέθη όπως η
ταχύτητα, η κινητική ενέργεια, η ορμή
και μας βοηθάει να ερμηνεύσουμε τους
μακροσκοπικούς νόμους.
2
Εισαγωγικό συμπλήρωμα από τα Μαθηματικά
Έστω ότι έχουμε ποσότητα ιδανικού αερίου που αποτελείται από Ν
μόρια που κινούνται με ταχύτητες μέτρων υ1, υ2, ….., υΝ.
Η μέση ταχύτητα
υ
των μορίων υπολογίζεται από τη σχέση:
υ =
υ1 + υ2 + ... + υΝ
Ν
_
Η μέση τιμή των τετραγώνων των ταχυτήτων
_
υ2 =
υ
2
είναι:
υ1 + υ 2 + ... + υΝ
2
2
2
Ν
3
Η τετραγωνική ρίζα της μέσης
τετραγώνων των ταχυτήτων είναι:
υ2 =
τιμής
των
υ12 + υ 22 + ... + υΝ2
Ν
Η τετραγωνική ρίζα της μέσης τιμής των
τετραγώνων των ταχυτήτων ονομάζεται ενεργός
ταχύτητα, δηλαδή
υεν = υ 2
4
Γενικά στα Μαθηματικά, η έννοια της ενεργού τιμής ενός μεγέθους
εκφράζεται με την τετραγωνική ρίζα της μέσης τιμής των τετραγώνων
των τιμών αυτού του μεγέθους και παριστάνει μία σταθερή τιμή αυτού
του μεγέθους που στατιστικά αντιπροσωπεύει μία απειρία
διαφορετικών τιμών του.
xεν =
x2 =
Προσοχή
υ
2
x 12 + x 22 + ... + x Ν2
Ν
 (υ )
2
5
Παραδοχές κινητικής θεωρίας
 Τα μόρια του αερίου συμπεριφέρονται
μικροσκοπικές, απόλυτα ελαστικές σφαίρες.
σαν
 Στα μόρια ασκούνται δυνάμεις μόνο τη στιγμή
που έρχονται σε επαφή με άλλα μόρια ή με τα
τοιχώματα του δοχείου.
 Οι κρούσεις των μορίων με τα τοιχώματα του
δοχείου είναι ελαστικές.
6
Σχέση πίεσης (p) και θερμοκρασίας (T) με
τις ταχύτητες των μορίων.
p =

υ

F
p =

- F
2N
3V
(
1 N .m.υ
3
1
2
2
p =
V
p .V =
2
.m.υ )

υ
Θέτουμε
p .V = n .R .T
R
NA
p .V =
= k = σταθερά Boltzmann
2
3
N
NA
1
3
ρ.υ 2
.N .E Κ(μετ) (1)
.R .T
=1,381.10-23
(2)
J
μόριο .Κ
7
Από (1) και (3) έχουμε
E Κ(μετ) =
Τελικά
(4) 
(3)
p .V = N .k .T
(2)
1
2
m .υ
 υ εν 
2

3
2
2
3
.N .E Κ(μετ) = N .k .T
3
2
.k .T
k .T  υ
3 .R .T
m .N A
2
(4)

3 k .T
 υεν 
m

υ
2

3k .T
m
 υεν
3R .T
Mr
όπου Mr= γραμμομοριακή μάζα του αερίου
8
Συμπεράσματα από την παραπάνω μελέτη
 Η εξίσωση
E Κ(μετ) =
3
2
.k .T
κινητική ενέργεια E Κ ( μετ )
μεταφορικής κίνησης.
υπολογίζει τη μέση
των
μορίων
λόγω
 Η θερμοκρασία ενός αερίου είναι ανάλογη της
μέσης κινητικής ενέργειας των μορίων που το
αποτελούν.
 Η μέση κινητική ενέργεια των μορίων είναι
ανεξάρτητη της μάζας των αερίων.
9
 Για θερμοκρασία Τ=0 προκύπτει
E Κ ( μετ )  0
δηλαδή στο απόλυτο μηδέν τα μόρια του
ιδανικού αερίου παραμένουν ακίνητα.
Αυτό δεν ισχύει για τα πραγματικά αέρια.
10
Ερωτήσεις Βιβλίου
Κινητική θεωρία Ιδανικών αερίων
11
1.9 Πώς ορίζεται το ιδανικό αέριο α) μακροσκοπικά και
β) μικροσκοπικά;
1.10 Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές;
α. Η θερμοκρασία ενός αερίου είναι ανάλογη με τη
μέση κινητική ενέργεια των μορίων του.
β. Η πίεση ενός αερίου είναι ανάλογη με τη μέση ταχύτητα
των μορίων του.
γ. Οι ενεργές
ταχύτητες των μορίων του οξυγόνου
και του αζώτου είναι ίσες, αν τα δύο αέρια
βρίσκονται στην ίδια θερμοκρασία.
δ. Η άτακτη κίνηση των μορίων του αέρα είναι πιο
«γρήγορη» το καλοκαίρι από ό,τι το χειμώνα.
12
1.11 Δύο δοχεία περιέχουν οξυγόνο και υδρογόνο
αντίστοιχα, στην ίδια θερμοκρασία. Η μέση κινητική
ενέργεια των μορίων του υδρογόνου είναι:
α. Ίση με τη μέση κινητική ενέργεια των μορίων του
οξυγόνου.
β. Το μισό της μέσης κινητικής ενέργειας των μορίων
του οξυγόνου.
γ. Διπλάσια από τη μέση κινητική ενέργεια των
μορίων του οξυγόνου.
δ. Τετραπλάσια από τη μέση κινητική ενέργεια των
μορίων του οξυγόνου.
Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.
13
1.12 Η πίεση που ασκεί ένα αέριο είναι ανάλογη με
α. τη μέση τιμή των ταχυτήτων των μορίων.
β. τον όγκο του δοχείου που το περιέχει.
γ. την πυκνότητα του αερίου.
δ. την πίεση που υπάρχει έξω από το δοχείο.
Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.
1.13 Αέριο συμπιέζεται ισόθερμα στο μισό του αρχικού
του όγκου. Η ενεργός ταχύτητα των μορίων του
α. διπλασιάζεται.
β. παραμένει σταθερή.
γ. υποδιπλασιάζεται.
δ. τα στοιχεία δεν επαρκούν για να κρίνουμε αν η
ενεργός ταχύτητα μεταβάλλεται και πώς.
Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.
14
Ασκήσεις Βιβλίου
Κινητική θεωρία Ιδανικών αερίων
15
1.27 Βρείτε τις ενεργές ταχύτητες (υεν) των μορίων του
He και των υδρατμών στους 27 οC. Oι αντίστοιχες
γραμμομοριακές μάζες είναι 4.10-3 kg/mol και 18.10-3 kg/mol.
Δίνεται:
R = 8 ,314
υεν,He=1368
m
s
,
J
mol .K
m
υεν,H O = 644,8 s .
2
1.28 Εννιά όμοια σωματίδια έχουν ταχύτητες 3, 5, 8, 8, 8,
12, 12, 16, 20.
Όλες οι ταχύτητες είναι μετρημένες σε m/s. Υπολογίστε:
m
υ
=
10
,
2
α. τη μέση ταχύτητά τους.
s
m
β. την ενεργό ταχύτητά τους υεν.
υ = 11,4
εν
s
16
1.29 Υπολογίστε την ενεργό ταχύτητα των ατόμων του
υδρογόνου στην επιφάνεια του Ήλιου όπου η θερμοκρασία
είναι 5800Κ.
Δίνεται ότι η γραμμοατομική μάζα του υδρογόνου είναι
J
1.10-3 kg/mol και R=8,314
.
mol .K
υεν = 12028
m
s
17
Διάφορες Ερωτήσεις και Ασκήσεις
18
1. Ποσότητα ιδανικού μονοατομικού αερίου βρίσκεται αρχικά σε
κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας και καταλαμβάνει όγκο V0. Mε
κατάλληλη αντιστρεπτή μεταβολή ο όγκος του αερίου διπλασιάζεται,
ενώ η μέση κινητική ενέργεια των ατόμων του αερίου παραμένει
σταθερή.
Α. Η θερμοκρασία του αερίου στη νέα κατάσταση είναι
α. ίση με την αρχική
β. διπλάσια της αρχικής
γ. ίση με το μισό της αρχικής.
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Β. Η πίεση του αερίου στη νέα κατάσταση είναι
α. ίση με την αρχική
β. διπλάσια της αρχικής
γ. ίση με το μισό της αρχικής.
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
19
2. Ιδανικό μονοατομικό αέριο συμπιέζεται ισόθερμα στο μισό του
αρχικού του όγκου.
Α. Η πίεση του αερίου
α. διπλασιάζεται.
β. υποδιπλασιάζεται.
γ. παραμένει σταθερή.
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Β. Η ενεργός ταχύτητα του αερίου
α. διπλασιάζεται.
β. υποδιπλασιάζεται.
γ. παραμένει σταθερή.
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
20
3. Τετραπλασιάζουµε την πίεση ιδανικού αερίου
διατηρώντας σταθερή την πυκνότητά του. Η ενεργός
ταχύτητα των µορίων του θα
α. διπλασιαστεί.
β. τετραπλασιαστεί.
γ. υποδιπλασιαστεί.
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
21
4. α. Πόση είναι η μέση μεταφορική κινητική ενέργεια ενός
μορίου Ηλίου σε θερμοκρασία 300 Κ;
β. Πόση είναι η ολική μέση κινητική ενέργεια, λόγω
μεταφορικής κίνησης των μορίων 1 mol Ηλίου σε
θερμοκρασία 300 Κ;
γ. Ποια είναι η μέση τιμή του τετραγώνου της ταχύτητας;
J
J
Δίνονται: k=1,38.10-23
,
R=8,314
μ ό ριο .Κ
mol .K
5. Ποσότητα ιδανικού αερίου μεταφέρεται από κατάσταση
όγκου V1 και πίεσης p1 σε κατάσταση όγκου V2 και πίεσης
p2, διατηρώντας τη θερμοκρασία σταθερή.
Να υπολογιστούν:
α. η μεταβολή της κινητικής ενέργειας των μορίων, λόγω
μεταφορικής κίνησης.
β. η μεταβολή της ενεργού ταχύτητας των μορίων του
αερίου.
22
6. Σε ύψος 30 km από την επιφάνεια της γης, η
θερμοκρασία είναι -38 0C.
α. Πόση είναι η ενεργός ταχύτητα ενός μορίου οξυγόνου
( Ο2 ) και ενός μορίου όζοντος ( O3 ) στους -38 0C;
β. Πόση είναι η μέση κινητική ενέργεια αυτών των
μορίων;
23
7. Μια ποσότητα ιδανικού αερίου καταλαμβάνει όγκο VΑ = 4 m3 σε πίεση
pA = 3.105 N και θερμοκρασία ΤΑ = 400 Κ. Το αέριο εκτελεί κυκλική
m
μεταβολή που αποτελείται από τις παρακάτω επί μέρους μεταβολές:
α) ισοβαρής εκτόνωση ΑΒ με ΤΒ = 800 Κ.
β) ισόχωρη ψύξη ΒΓ .
γ) ισόθερμη συμπίεση ΓΑ.
i) Να γράψετε το νόμο των αερίων που ισχύει σε κάθε μεταβολή.
ii) Να συμπληρώσετε τα κενά του παρακάτω πίνακα τιμών.
2
p/
N
m
2
V / m3
T/K
A
B
Γ
iii) Να παραστήσετε την κυκλική μεταβολή σε διαγράμματα p - V, V - T,
p - T.
24
8. Ποσότητα ιδανικού αερίου μεταφέρεται από κατάσταση
όπου V1 = 2L και p1 = 3.105 Ν/m2 σε κατάσταση όπου
V2 = 6L και p2 = 105 N/m2, διατηρώντας τη θερμοκρασία
σταθερή. Να υπολογιστεί η μεταβολή της ενεργού
ταχύτητας των μορίων του αερίου.
( Δυεν = 0 )
9. Αέριο θερμαίνεται μέχρι διπλασιασμού της θερμοκρασίας
του:
i) υπό σταθερό όγκο,
ii) υπό σταθερή πίεση.
α. Σε ποια περίπτωση αυξάνεται περισσότερο η ενεργός
ταχύτητα των μορίων;
β. Σε κάθε περίπτωση να υπολογίσεις τις τελικές τιμές των
μεταβλητών p, V, T, ως συνάρτηση των αρχικών p0,V0,T0.
25
10. Ποσότητα υδρογόνου βρίσκεται στην ίδια θερμοκρασία
με ποσότητα οξυγόνου.
α. Να συγκριθούν οι ενεργές ταχύτητες και οι μέσες
μεταφορικές κινητικές ενέργειες των μορίων των δύο
αερίων.
β. Πώς θα μεταβληθούν οι σχέσεις μεταξύ των
προηγουμένων μεγεθών, αν οι θερμοκρασίες των δύο
αερίων τετραπλασιαστούν;
α. υεν ,Η2 = 4υεν ,Ο2
K H2 = K O2
β. Θα παραμείνουν ίδιες.
26