Transcript Σημειώσεις μαθήματος. Σχεδιασμος αναλογικων και ψηφιακων φίλτρων

ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ
ΝΙΚ. Α. ΤΣΟΛΙΓΚΑΣ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΦΙΛΤΡΑ
ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΑ ΦΙΛΤΡΑ
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ MATLAB ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ
ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ
ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ:
ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΑ ΦΙΛΤΡΑ…
 Τι είναι τα φίλτρα και τύποι φίλτρων?
 Ορισμός Αναλογικού Φίλτρου.
 Υλοποίηση φίλτρων με R, C- Φίλτρα Διέλευσης
Χαμηλών και Υψηλών Συχνοτήτων με χρήση
Matlab.
 Ενεργά Φίλτρα (Butterworth, Chebyshev , Bessel)
 Ορισμός Ψηφιακού Φίλτρου και τύποι αυτών.
 Σχεδιασμός FIR φίλτρου Διέλευσης Χαμηλών και
Υψηλών συχνοτήτων.
 Φιλτρρ0 FIR διέλευσης περιοχής συχνοτήτων.
 MATLAB – Εφαρμογές φίλτρωνButterworth IIR ?
ΦΙΛΤΡΑ ΚΑΙ ΤΥΠΟΙ ΦΙΛΤΡΩΝ
Τι είναι φίλτρο?
Στα ηλεκτρονικά κυκλώματα απαιτείται η ύπαρξη κυκλωμάτων που θα επιλέγουν μια
συχνότητα η περιοχή συχνοτήτων
Το κύκλωνα που επιλέγεται για αυτό το σκοπό ονομάζεται φίλτρο
 Τύποι φίλτρων:
• Αναλογικά Φίλτρα (Ενεργά-Παθητικά):
Χρησιμοποιούν ηλεκτρονικά κυκλώνατε αποτελούμενα
από Αντιστάσεις (R) πηνία (L) πυκνωτές (C) καθώς και
τελεστικούς Ενισχυτές
• Ψηφιακά φίλτρα: Χρησιμοποιούν επεξεργαστές για
αριθμητικούς υπολογισμούς πάνω σε δείγματα σημάτων.
(Ένα PC η ένα DSP chip
Παθητικά αναλογικά Φίλτρα
Βασικά:
Τεσσεροι τύποι ‘Ιδανικων’ Φίλτρων”
Διέλευσης Χαμηλών Συχνοτήτων
Δ. Ζώνης Σ.
Δ. Υψηλών Σ.
Απόρριψης Ζωνών
Παθητικά αναλογικά Φίλτρα
Βασικά:
Ρεαλιστικά φίλτρα
Διέλευσης Χαμηλών Συχνοτήτων
Δ. Ζώνης Σ.
Δ. Υψηλών Σ.
Διέλευσης Ζωνών
ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ
Αποκοπή συχνότητας f2
ΑΠΟΚΡΙΣΗ :
ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ
Στο πεδίο των συχνοτήτων η απόκριση ενός φίλτρου περιγράφεται με
μαθηματικά ως η συνάρτηση μεταφοράς του φίλτρου που είναι ο λόγος του
σήματος εξόδου προς το σήμα εισόδου.
VOUT ( j )
H ( j ) 
VIN ( j )
Βασικό μέγεθος είναι το εύρος η κέρδος της συνάρτησης μεταφοράς του φίλτρου
ως συνάρτηση της συχνότητας και απεικονίζει την επίπτωση που έχει το φίλτρο
πάνω στο εύρος των εισερχόμενων σημάτων. Η συνάρτηση μεταφοράς του
εύρους έναντι της συχνότητας ονομάζεται: Απόκριση η απόκριση εύρους
ΤΥΠΟΙ ΦΙΛΤΡΩΝ :
ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ
:
•Φίλτρο Χαμηλών : Επιτρέπει την διέλευση των Χ.Σ και αποκόπτει τις Υψηλές
H
Συχνότητες
1
0
f
fo
•Φίλτρο Υψηλών: Επιτρέπει την διέλευση Υψηλών συχνοτήτων και απορρίπτει τις
H
1
χαμηλές Συχνότητες
0
f
fo
•Διέλευση Ζώνης: Επιτρέπει την διέλευση ζώνης συχνοτήτων και αποκόπτει τις
H
όλες τις άλλες.
1
0
f1
f2
f
•Notch η απόρριψης περιοχής : απορρίπτει περιοχή συχνοτήτων και επιτρέπει
H
άλλες να περάσουν
1
0
f1
f2
f
Παθητικά Αναλογικά Φίλτρα
Φίλτρο Διέλευσης Χαμηλών
VI
+
R
+
C
_
VO
_
Η αντίδραση –Αντίσταση του πυκνωτή ελαττώνεται
με την αύξηση των συχνοτήτων. Συνεπώς βραχυκυκλώνει τις
υψηλές συχνότητες
1
VO ( jw)
jwC

1
Vi ( jw)
R
jwC

1
1  jwRC
Παθητικά Αναλογικά Φίλτρα
Φίλτρο Διέλευσης Χαμηλών
0 dB
-3 dB
.
Bode

1/RC
Περνά Χ. Συχνότητες
Εξασθενεί Υ. Σ
1
0.707
0
x
1/RC
Linear Plot

Παθητικά Αναλογικά Φίλτρα
Φίλτρο Διέλευσης Χαμηλών
Σε όλα τα φίλτρα Χ.Σ υπάρχει η συχνότητα αποκοπής η cutoff
frequency.
Είναι η συχνότητα στην οποία η τάση εξόδου πέφτει κάτω από το 0.707 της
τάσεως εισόδου και υπολογίζεται από τον τύπο.
1
fo 
2RC
Με άλλα λόγια είναι το σημείο όπου οι δυο αντιστάσεις (σε ohm) Αντίσταση
(R) και Πυκνωτής (C) εχουν την ίδια τιμή .
For x = 1 (f = fo) we have:
Uo
20 lg
 3dB
U in
o  

4
Παθητικά Αναλογικά Φίλτρα
Φίλτρο Διέλευσης Χαμηλών
Παθητικά Αναλογικά Φίλτρα
Φίλτρο Διέλευσης Υψηλών Συχνοτήτων
Σε φίλτρο υψηλών συχνοτήτων περνούν οι υψηλές συχνότητες και κόβονται οι χαμηλές.
+
Vi
+
C
R
_
VO
_
Φίλτρο Υψηλών
VO ( jw)
R

Vi ( jw)
R 1
jwC

jwRC
1  jwRC
Παθητικά Αναλογικά Φίλτρα
Φίλτρο Διέλευσης Υψηλών Συχνοτήτων
0 dB
.
-3 dB
Διέλευση Υψηλών
Bode
1/RC
Εξασθένηση Χαμηλών
1/RC
1

x.
0.707
Linear
0
1/RC

Παθητικά Αναλογικά Φίλτρα
Uo
R
jRC
jx



1
U in R 
1  jRC 1  jx
jwC
x = RC
Εύρος
Φάση
Συχνότητα αποκοπής:
1
  arctg
x
1
fo 
2RC
Για x = 1 (f = fo) we have:
Στη περιοχή διέλευσης, x >> 1, :
Στην περιοχή αποκοπής, f x << 1, :
U2
0
U1
20 lg
U out
x

U in
1  x2
Uo
 3dB
U in
Uo
1
U in


2
o 
 0

4
Παθητικά Αναλογικά Φίλτρα
Παθητικά Αναλογικά Φίλτρα
Φίλτρο Διέλευσης Περιοχής Συχνοτήτων
Φίλτρο διέλευσης περιοχής (Wien Bridge)
Συνδυάζει τις ιδιότητες ενός φίλτρου Δ.Χ.Σ και ενός φίλτρου διέλευσης Υ.Σ.
R1
C1
1
3
Uin
R2
Uot
C2
2
4
1  jR1C1
1
Z1  R1 

jC1
jC1
R2
Z2 
1  jR2 C 2
Παθητικά Αναλογικά Φίλτρα
Φίλτρο Διέλευσης ΠεριοχήςΣυχνοτήτων
Για R1=R2= R και C1=C2= C :
1  jRC
Z1 
jC
Z2 
R
1  jRC
Η συνάρτηση Μεταφοράς:
R
U2
Z2
1  jRC
jRC



2
R
U 1 Z1  Z 2 1  jRC


1

j

RC
 jRC

jC
1  jRC
x  RC

U2
jx
jx
3x 2  jx 1  x 2



2
2
U 1 1  jx   jx 1  x  3 jx 1  x 2 2  9 x 2



Παθητικά Αναλογικά Φίλτρα
Φίλτρο Διέλευσης Περιοχής Συχνοτήτων
U2

U1
Εύρος
x
(1  x 2 ) 2  9 x 2
1 x2
  arctg(
)
3x
Φάση
Tσυχνότητα συντονισμού
Στην συχνότητα συντονισμού τα φανταστικά στοιχεία είναι μηδενικά και η
συμπεριφορά του κυκλώματος είναι ωμική.
1 x  0
2
fo 
1
2RC
Παθητικά Αναλογικά Φίλτρα
Φίλτρο Διέλευσης Περιοχής Συχνοτήτων
Παθητικά Αναλογικά Φίλτρα
Φίλτρο Διέλευσης Περιοχής Συχνοτήτων
Bode
0 dB
.
-3 dB
l
.
hi

o
1
.
0.707
.
Linear
0
l
o
hi

Παθητικά Αναλογικά Φίλτρα
Φίλτρο Διέλευσης Περιοχής Συχνοτήτων
Παθητικά Αναλογικά Φίλτρα
Notch η Απόρριψης Ζώνης συχνοτήτων
(Wien-Robinson bridge)
Αντίθετο του φίλτρου Διέλευσης ζώνης.
U1
R
2R1
U3
0
C
U4
U2
R
0
C
0
R1
0
0
0
Παθητικά Αναλογικά Φίλτρα
U3  U4 U2
U4 
U1
3
U3 1 U2
 
U1 3 U1
U2
jx

U 1 (1  jx) 2  jx
U3 1
jx
 
U 1 3 (1  jx) 2  jx
1 x2
U3

U 1 3 (1  x 2 ) 2  9 x 2
  arctg
3x
x2 1
Παθητικά Αναλογικά Φίλτρα
1
0 
RC
Για x->1, x>1
1
f0 
2RC
0  

2
Για x=1
U3
0
U1
Για x->1, x<1
0  

2
Βασικά Ενεργών Φίλτρων
Χαρακτηριστικά Απόκρισης Φίλτρων:
Κάθε φίλτρο L.P, H.P, B.P, B.R ενσωματώνει R,L,C στοιχεία έτσι ώστε να έχει
χαρακτηριστικά π.χ: Butterworth, Chebyshev, Bessel. Αναγνωρίζονται (τα
φίλτρα( από την απόκριση των)
1. Butterworth φίλτρα: Έχουν το ίδιο
κέρδος στην περιοχή διέλευσης.
Πτώση -20db/decade.
2. Chebyshev: Εχει κυμάτωση στην
περιοχή διέλευσης και ελαττώνεται η
ενίσχυση του περισσοτερο από 20db/decade
3. Bessel: Χρησιμοποιούνται για
φιλτράρισμα τετραγωνικών παλμών
Βασικά Ενεργων Φίλτρων
Χαρακτηριστικά Απόκρισης Φίλτρων
Κάθε φίλτρο L.P, H.P, B.P, B.R ενσωματώνει R,L,C στοιχεία έτσι ώστε να έχει
χαρακτηριστικά π.χ: Butterworth, Chebyshev, Bessel. Αναγνωρίζονται (τα
φίλτρα( από την απόκριση των).
Συντελεστής απόσβεσης DF Ενεργών Φίλτρων :
Καθορίζει εάν το φίλτρο είναι Butterworth, Chebyshev η άλλο και καθορίζεται
από τις από την αρνητική ανάδραση των αντιστάσεων R1, R2
Βασικά Ενεργών Φίλτρων
Φίλτρα Διέλευσης Χαμηλών Συχνοτήτων
C
Rfb
+
Vin
_
Rin
+
VO
_
ΨΗΦΙΑΚΑ ΦΙΛΤΡΑ
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (LTI):
ΟΡΙΣΜΟΙ
 ΣΥΣΤΗΜΑ: Ένα μέρος του φυσικού κόσμου που σχεδιάστηκε να κάνει μια
συγκεκριμένη εργασία. Συνεπώς ένα σύστημα μπορεί να μετασχηματίζει
σήματα εισόδου σε σήματα εξόδου, με άλλα λόγια παίρνει σήματα στην είσοδο
και παράγει άλλα στην έξοδο.
 ΤΥΠΟΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ: Συνεχούς χρόνου, Διακριτού χρόνου, αναλογικά,
ψηφιακά κλπ
•Έστω x(t) και x(n) είναι η απεικόνιση του σήματος
εισόδου για τον συνεχή χρόνο και αντίστοιχα για το
σύστημα διακριτού χρόνου.
•Kαι ακόμη y(t) και y(n) τα αντίστοιχα σήματα
εξόδου .
•Με Η =Η[-] παρουσιάζουμε το σύστημα έτσι ώστε
y(t) = H[x(t)] και σχηματικά
ΨΗΦΙΑΚΑ ΦΙΛΤΡΑ
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (LTI):
ΟΡΙΣΜΟΙ
 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ :
 ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ: Ένα σύστημα είναι γραμμικό εφ’ όσον ισχύουν οι σχέσεις.

 ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΑ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ:
 Καθυστέρηση ενός σήματος στην είσοδο κατά χρόνο to το σήμα εξοδου
καθυστερεί κατά τον ίδιο χρόνο
ΨΗΦΙΑΚΑ ΦΙΛΤΡΑ
ΕΞΟΔΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ
 Στο Διακριτό σύστημα εφαρμόζεται σήμα μοναδιαίου δείγματος δ(n)
 x[n] = δ[n].
 Η έξοδος είναι ένα σήμα που απεικονίζεται ως: h[n] και ισχύει :

h[n] = H[δ(n)]
 H συνάρτηση h[n] ονομάζεται ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ
 Δηλαδή είναι η απόκριση του συστήματος όταν στην είσοδο του συστήματος
εφαρμόσουμε συνάρτηση δέλτα.
 Αμετάβλητο στο χρόνο:
 Εάν σε ένα σύστημα με κρουστική απόκριση h[n] εφαρμόσουμε ένα σήμα x[n]
τότε η έξοδος y[n] υπολογίζεται από την σχέση:
Η εξίσωση αυτή ονομάζεται ΣΥΝΕΛΙΞΗ
y[n]=x[n]*h[n]*
ΨΗΦΙΑΚΑ ΦΙΛΤΡΑ matlab code για ΣΥΝΕΛΙΞΗ







x1=input('Enter the first sequence e.g x1(n) = [1 2 6 2 3 1 4]
x1(n) = ');
t1=input('Enter the starting time of first sequence e.g t1 = -3 t1 = ');
x2=input('Enter the second sequence e.g x2(n) = [3 1 4 5 2]
x2(n) = ');
t2=input('Enter the starting time of second sequence e.g t2 = -1 t2 = ');
l1=length(x1);
l2=length(x2);
ln=l1+l2-1;


yn=conv(x1,x2);









a=t1+l1-1;
t=t1:a;
subplot(311);
stem(t,x1);
grid on;
xlabel('time--->');
ylabel('amplitude--->');
title('First sequence');









a=t2+l2-1;
t=t2:a;
subplot(312);
stem(t,x2);
grid on;
xlabel('time--->');
ylabel('amplitude--->');
title'Second sequence');











tn=t1+t2;
a=tn+ln-1;
t=tn:a;
subplot(313);
stem(t,yn);
grid on;
xlabel('time--->');
ylabel('amplitude--->');
title('Convolved output');
ΕΞΟΔΟΣ LTI ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΑΠΟΚΡΙΣΗ
ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ
 Εάν στην είσοδο του συστήματος έχουμε ημιτονικο σήμα της μορφής :
 Και το σύστημα μας έχει κρουστική απόκριση h(t) τότε η έξοδος υπολογίζεται
από την σχέση:
 Όπου H(jω) η απόκριση συχνότητας του συστήματος.
 Για διακριτά συστήματα ισχύει:
ΨΗΦΙΑΚΑ ΦΙΛΤΡΑ
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ:
υ
ΨΗΦΙΑΚΑ ΦΙΛΤΡΑ
Ένα ψηφιακό φίλτρο χρησιμοποιεί επεξεργαστές για να εκτελέσει
αριθμητικούς υπολογισμούς επάνω στα δειγματοληπτουμενα σημεία
του σήματος. Ο επεξεργαστής μπορεί να είναι ένα PC η ένα ειδικό
chip για ψηφιακή επεξεργασία σήματος.
Πλεονεκτηματα:
•Τα Ψ.Φ είναι προγραμματιζόμενα,
•Σχεδιάζονται εύκολα, και υλοποιούνται σε Η/Υ η workstations.
•Είναι ευσταθή (Σε σχέση με τον χρόνο και την θερμοκρασία).
•Τα Ψ.Φ επεξεργάζονται χαμηλές συχνότητες με μεγάλη ακρίβεια
ΨΗΦΙΑΚΑ ΦΙΛΤΡΑ -ΟΡΙΣΜΟΙ
Βασικές πράξεις επι των ψηφιακών φίλτρων:
 1. Φίλτρο Ενίσχυσης ισο με την μονάδα:
 2. Φίλτρο σταθεράς ενίσχυσης
 3. Φίλτρο μοναδιαίας καθυστέρησης
 4. Φίλτρο διαφοράς Δυο-Ορων
 5. Φίλτρο μέσης τιμής Δυο-Ορων
y(n) = x(n)
y(n) = Kx(n)
y(n) = x(n-1)
y(n) = x(n)-x(n-1)
y(n) = 0.5(x(n)+x(n-1))
 6. Φίλτρο Μέσης τιμής τριών-Ορων
 (3-point moving average filter)


•
•
y(n) = 1/3[x(n)+x(n-1)+x(n-2)]
7. Φίλτρο κεντρικής διαφοράς. ilter y(n) = 1/2[ x(n) – x(n-2)]
Σημειωση:
Τάξη η βαθμός ενός Ψ.Φ είναι ο αριθμός των προηγούμενων
εισόδων που χρησιμοποιούνται για να υπολογίσουν την τρέχουσα
έξοδο.
Συντελεστές ενός Ψ.Φ είναι οι αριθμοί που συσχετίζονται με κάθε
ένα όρο x(n), x(n-1),.. Etc
ΨΗΦΙΑΚΑ ΦΙΛΤΡΑ – ΕΙΣΑΓΩΓΗ
 Στην ψηφιακή επεξεργασία ενός σήματος υπάρχουν δυο
βασικοί τύποι συστημάτων:
 Ψηφιακά Φίλτρα: Πραγματοποιούν φιλτράρισμα στο
χρονικό πεδίο.
 Αναλυτές φάσματος: Παρουσιάζουν το σήμα στο πεδίο
των συχνοτήτων .
 Θα εξεταστούν αλγόριθμοι σχεδιασμού φίλτρων FIR and
IIR .
 Δηλαδή φίλτρα τυπων:
 lowpass, highpass, bandpass and bandstop filters.
ΨΗΦΙΑΚΑ ΦΙΛΤΡΑ- ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ
 Ο σχεδιασμός Ψ.Φ περικλείει τρία βήματα:
 Προδιαγραφές: Προκαθορίζονται από την εφαρμογή του Ψ.Φ
 Παραδοχές –Προσεγγίσεις Μόλις τεθούν οι προδιαγραφές
χρησιμοποιούνται μαθηματικά με τα οποία προσεγγίζουμε τις
προδιαγραφές.
 Εφαρμογή: Tο αποτέλεσμα του ανωτέρω βήματος είναι η
δημιουργία μιας εξίσωσης διαφορών, η δημιουργία της
Συνάρτησης μεταφοράς του φιλτρου Η(z) η μια Κρουστική
απόκριση h(n).
 Και τέλος η δημιουργία του φίλτρου σε chip η σε H/Y.
ΨΗΦΙΑΚΑ ΦΙΛΤΡΑ- ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ Ι
Προδιαγραφές Φίλτρου:
 Οι Προδιαγραφές που απαιτούνται στον σχεδιασμό του
Ψ.Φ στο πεδίο των συχνοτήτων είναι οι: Το επιθυμητό
Εύρος και η απόκριση φάσεως του φίλτρου.
 Στην περίπτωση του FIR φίλτρου έχουμε την
δυνατότητα γραμμικής μεταβολής της φάσεως.
 Στην περίπτωση των IRR φίλτρων μια γραμμική
μεταβολή της φάσεως στα φίλτρα διέλευσης ζώνης
(Περιοχών) συχνοτήτων δεν επιτυγχάνεται.
ΨΗΦΙΑΚΑ ΦΙΛΤΡΑ- ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ
Προδιαγραφες Ευρους - Κερδους:
 Απόλυτες προδιαγραφές
 Oι Απαιτήσεις δινονται για την συνάρτηση της
απόκρισης εύρους |H(ejw)|.
 Ειδικά για τα FIR φίλτρα.
 Σχετικές προδιαγραφές για FIR και ΙΙR
 Οι απαιτήσεις δίνονται σε decibels (dB), συμφωνα με
τον τύπο:
| H (e jw ) |
dB scale  20log10
jw
| H (e ) |max
0
ΨΗΦΙΑΚΑ ΦΙΛΤΡΑ- ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ
Προδιαγραφές Εύρους - Κέρδους:
 Απόλυτες προδιαγραφές
 Περιοχή [0,wp] και ονομάζεται
περιοχή διέλευσης, και and
delta p είναι η κυμάτωση η η
ανοχή που επιθυμούμε στην
περιοχή της διέλευσης.
 Περιοχή [ws,pi] ονομάζεται
περιοχή αποκοπής και delta s
είναι η κυμάτωση
 Περιοχή [wp, ws] ονομάζεται
μεταβατική περιοχή και δεν
υπάρχουν περιορισμοί στο
εύρος της απόκρισης .
ΨΗΦΙΑΚΑ ΦΙΛΤΡΑ- ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ
Σχετικές Προδιαγραφές (DB) :
dB scale  20 log10
H ( )
H ( ) max
0
 p   20 log10 (1   p )
 s   20 log10 ( s )
1  1
R p  20 log10
0
1  1
As  20 log10
2
0
1  1
for passband
for stopband
ΨΗΦΙΑΚΑ ΦΙΛΤΡΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ FIR
Τα φίλτρα που έχουν πεπερασμένη κρουστική απόκριση ονομάζονται FIR
(Finite Impulse Response).
Η γενική εξίσωση διαφορών για ένα Ψ.Φ. τύπου FIR ειναι:
Οπου:
• y(n) η έξοδος του φίλτρου στην διακριτή χρονική στιγμή n.
• bk
συντελεστές του φίλτρου
• x(nk) Είσοδος του φίλτρου με καθυστέρηση k δείγματα.
•M
Αριθμός λήψεων (taps) στο FIR φίλτρο.
Σημείωση: Η έξοδος του FIR φίλτρου εξαρτάται μόνον από τις Μ προηγούμενες τιμές εισόδου. Για
αυτό το λόγο το φίλτρο είναι πεπερασμένο.
1. Από μία γραμμή καθυστέρησης (delay line) για ολίσθηση των δεδομένων x(n)
2. Ένα αθροιστή για την άθροιση όλων των γινομένων της εξόδου y(n)
3. Έναν τουλάχιστο πολλαπλασιαστή για τον υπολογισμό των σταθερών του φίλτρου με τα
καθυστερημένα σήματα εισόδου b(k)
Η δομή ενός FIR φίλτρου αποτελείται :
ΒΑΣΙΚΑ ΔΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Ψ.Φ
 ΒΑΣΙΚΑ ΔΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Ψ.Φ
 Αθροιστής
+
x1(n)
x1(n)+x2(n)
x2(n)
 Πολλαπλασιαστής
 Καθυστέρηση
x(n)
x(n)
a
z-1
a x(n)
x(n-1)
FIR ΦΙΛΤΡΑ
 Σύμφωνα με το σχήμα η δομή ενός FIR φίλτρου αποτελείται από μία γραμμή
καθυστέρησης (delay line) όπου ολισθαίνουν τα δείγματα του σήματος εισόδου
x(n), και από τους πολλαπλασιαστές b(k).
Για μοναδιαία κρουστική
απόκριση δ(n)
M
y[n]   hk x[n  k ]
k 0
M
y[n]   hk x[n  k ]
k 0
Η καθυστέρηση του φίλτρου υπολογίζεται ως εξής:
Delay = (½ x Taps)/Sampling rate.
Π.χ , φίλτρο 300 λήψεων με δειγματοληψία 48KHz έχει καθυστέρηση 3.125 ms [(0.5 x 300)/48 = 3.125 milli-seconds].
ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ Ψ.Φ
 Δυο τεχνικές σχεδιασμού Ψ.Φ FIR
Η τεχνική του παραθύρου και
Η τεχνική της Ισο-Κυμάτωσης ( Equiripple).
A. Παράθυρα : Η τεχνική αυτή χρησιμοποιεί συναρτήσεις
συχνότητας που ονομάζονται ΄Παραθυρα’
Τύποι παραθύρων:
Ορθογώνιο
Bartlett
Hanning
Hamming
Blackman
Kaiser
1, 0  n  N
0,  ύ
Ν η τάξη του φίλτρου
 ώ w(n)  
Bartlett
Hanning
Hamming
Blackman
 2n / N , 0  n  N / 2

w(n)  2  2n / N , N / 2  n  N
 0,
 ύ

0.5  0.5cos(2 n / N ), 0  n  N
w(n)  
0,  ύ

0.54  0.46 cos(2 n / N ), 0  n  N
w(n)  
0,  ύ

0.42  0.5cos(2 n / N )  0.08cos(4 n / N ), 0  n  N
w(n)  
0,  ύ

ΨΗΦΙΑΚΑ ΦΙΛΤΡΑ MATLAB
 MATLAB ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ fdatool
 MATLAB ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ sptool
 Εξαγωγή συντελεστών του φίλτρου
 M files στo web-site
 Help fir1
 Help filter
ΨΗΦΙΑΚΑ ΦΙΛΤΡΑ
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ: ΟΡΙΣΜΟΙ
RC Low Pass Filter with Cutoff 200Hz
Low Pass Filter
plot(w,abs(b))
title('Low Pass Filter')
xlabel('Frequency')
ylabel('Magnitude')
0.9
0.8
0.7
Magnitude
R=1000;
C=0.00001/2;
w=0:0.01:5000;
a=sqrt(1+(w*R*C).^2);
b=1./a;
1
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
500
1000
1500
2000 2500 3000
Frequency
3500
4000
4500
5000
RC High Pass Filter with Cutoff 200Hz
High Pass Filter
plot(w,abs(b))
title('High Pass Filter')
xlabel('Frequency')
ylabel('Magnitude')
1
0.8
Magnitude
R=1000;
C=0.00001/2;
w=0:0.01:5000;
a=sqrt(1+(w*R*C).^2);
b=(w*R*C)./a;
0.6
0.4
0.2
0
0
500
1000
1500
2000 2500 3000
Frequency
3500
4000
4500
5000
Comparison of Low Pass & High Pass
b=(w*R*C)./a;
subplot(212)
plot(w,abs(b))
title('High Pass Filter')
xlabel('Frequency')
ylabel('Magnitude')
ylim([0 1.1])
Low Pass Filter
Magnitude
1
0.5
0
0
500
1000
1500
2000 2500 3000
Frequency
High Pass Filter
3500
4000
4500
5000
0
500
1000
1500
2000 2500 3000
Frequency
3500
4000
4500
5000
1
Magnitude
R=1000;
C=0.00001/2;
1/(R*C)
w=0:0.01:5000;
a=sqrt(1+(w*R*C).^2);
b=1./a;
subplot(211)
plot(w,abs(b))
title('Low Pass Filter')
xlabel('Frequency')
ylabel('Magnitude')
0.5
0
Digital Filters and its types
IIR Filters
 Phase
 difficult to control,
no particular
 Stability
FIR Filters
 linear phase always
possible
 techniques available
 always stable,
 Order
can be unstable,
 less
 more
 History
 derived from analog
 no analog history
filters
FIR Low Pass Filter with Cutoff 1200Hz
Low Pass Filter
0
-50
-100
0
500
1000
1500
2000
2500
Frequency (Hz)
3000
3500
4000
0
500
1000
1500
2000
2500
Frequency (Hz)
3000
3500
4000
0
Phase (degrees)
fs=8000; % sampling
frequency
n=50; % order of the filter
w=1200/ (fs/2);
b=fir1(n,w,'low'); % Zeros of
the filter
freqz(b,1,128,8000
figure(2)
Magnitude (dB)
50
-500
-1000
-1500
-2000
1.4
1.2
1
0.8
0.6
[h,w]=freqz(b,1,128,8000);
plot(w,abs(h));
0.4
0.2
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
FIR High Pass Filter with Cutoff 1200Hz
0
-50
-100
-150
0
500
1000
1500
2000
2500
Frequency (Hz)
3000
3500
4000
0
500
1000
1500
2000
2500
Frequency (Hz)
3000
3500
4000
3500
4000
2000
Phase (degrees)
fs=8000;
n=50;
w=1200/ (fs/2);
b=fir1(n,w,'high');
freqz(b,1,128,8000);
figure(2)
[h,w]=freqz(b,1,128,8000)
plot(w,abs(h));
Magnitude (dB)
50
0
-2000
-4000
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
FIR Band Pass Filter with Pass Band
1200--1800Hz
fs=8000;
n=40;
Magnitude (dB)
0
-50
-100
0
500
1000
1500
2000
2500
Frequency (Hz)
3000
3500
4000
0
500
1000
1500
2000
2500
Frequency (Hz)
3000
3500
4000
b=fir1(n,[1200/4000
1800/4000],'bandpass');
freqz(b,1,128,8000)
Phase (degrees)
500
0
-500
-1000
-1500
1.2
1
figure(2)
[h,w]=freqz(b,1,128,8000);
plot(w,abs(h));
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
Butterworth IIR Low Pass Filter
[b,a]=butter(n,w);
% finding zeros and poles for filter
0
-200
-400
-600
0
500
1000
1500
2000
2500
Frequency (Hz)
3000
3500
4000
0
500
1000
1500
2000
2500
Frequency (Hz)
3000
3500
4000
0
Phase (degrees)
fs=8000;
[n,w]=buttord(1200/4000,1500/400
0,1,50);
% finding the order of the filter
Magnitude (dB)
200
-500
-1000
-1500
-2000
1.4
figure(1)
freqz(b,a,512,8000);
figure(2)
[h,q] = freqz(b,a,512,8000);
plot(q,abs(h));
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
Summary
 Filters and their basic Types
 Analog Filters
 MATLAB implementation of RC Low Pass and High Pass
Filters
 Digital Filters and their types
 MATLAB implementation of FIR Low Pass, High Pass and
Band Pass Filter
 MATLAB implementation of Butterworth IIR Low Pass
Filter