Transcript Θεωρία Συναρτησιακού της πυκνότητας

Υπολογιστική Φυσική Συμπυκνωμένης Ύλης :
Υπολογισμοί DFT
Η μέθοδος LMTO
Γαλάτουλας Φοίβος
Υπεύθυνος:Λ.Τσέτσερης
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών
Ε.Μ.Π
Σεμινάριο Φυσικής 2011-2012
1
Περιεχόμενα

H μέθοδος LMTO

Εφαρμογές
–
Υπολογισμοί σε γνωστά υλικά – Έλεγχος θεωρίας

Μελέτη συμπεριφοράς υλικών υπό πίεση
2
Θεωρία Συναρτησιακού της
Πυκνότητας (DFT)
Κβαντομηχανικό Πρόβλημα πολλών σωμάτων αλληλεπιδρώντων ηλεκτονίων στα στερεά
Προβολή σε Μονοσωματιδιακό σύστημα αναφοράς
μελέτη της πυκνότητας
Εξίσωση Kohn-Sham:
'
1 ρ(⃗r ) ρ(⃗r )
'
E=T o [ ρ ]+∫ V ext ρ(⃗r )d ⃗r + ∫
d
r
⃗
d
⃗
r
+E xc [ ρ ]
'
2
∣⃗r − ⃗r ∣
Συναρτησοειδες ενεργειας
Ab initio υπολογισμοί
Όρος ενέργειας αλληλεπιδράσεων
3
Θεωρημα Βloch

Πως λύνεται η διαφορική σε περιοδικά πλέγματα;
Wigner seitz κυψελίδες
Επίπεδο κύμα διαμορφωμένο από μια
Περιοδική συνάρτηση
Αναζητούμε u(k) συνεχείς και διαφορίσιμες στα όρια
Των κυψελίδων
Δευτεροτάξια εξ.Schrodinger
4
Τροποι επιλυσης της εξισωσης
δυναμικου
Θεωρώ τα ηλεκτρόνια
Σχετικιστικά σωματίδια;
Μορφή του
δυναμικού
Μη Σχετικιστικά
Ημι-σχετικιστικά
Πλήρως Σχετικιστικά
[
]
1 2
− ∇ +V (r ) ϕ ki =εik ϕ ik
2
Συναρτήσεις Βάσης
Επίπεδα κύματα
Ατομικά τροχιακά
Γκαουσιανές
Αριθμητικές
Σπιν;
Σπιν πολωμένα
Σπιν μη-πολωμένα
(Μη)Αυτοσυνεπές
ΜΤ
Πλήρες δυναμικό
ψευδοδυναμικό
Μοναδιαία κυψελίδα
Σύμπλεγμα
5
Muffin-tin γεωμετρία
Διαμέριση Χώρου
Σφαίρες
Σφαιρικά κύματα
Αριθμητικές Λύσεις
Δυναμικό Coulomb
Σφαιρικής συμμετρίας
Ενδιάμεσος χώρος
Λύση
Γρ.συνδυασμός
Επίπεδα κύματα
Ακτινική συνιστώσα
Συναρτήσεις Bessel
Πυκνότητα φορτίου
δυναμικό
Αργή μεταβολή
Πλεγματικά σημεία
6
Ποια βάση θα επιλέξω για τους
αυτοσυνεπείς υπολογσιμούς;
7
Μερικά μαθηματικά της LMTO

Secular equation
Φθάνουμε στην ανάγκη επίλυσης ενός προβλήματος ιδιοτιμών πίνακα
Χαμιλτονιανη εκφρασμενη στη βαση των κυματοσυναρτησεων
Που αποτελειται απο συνδυασμο σφαρικού κυματος εντος, συναρτησεις bessel εκτος
Αν τη διαγωνοποιησουμε-βρισκουμε ιδιοενεργειες για ορισμενο κυματανυσμα k
8
LMTO :υπέρ και κατά
Υπολογίζει για όλα τα ηλεκτρόνια της κυψελίδας
Μέθοδος ελάχιστης βάσης (Χαμιλτονιανή-Τροχιακά)
όχι μεγάλη ακρίβεια για ανοικτές δομές
Μειωμένη ακρίβεια υπολογισμό δυνάμεων
9
πακέτο ΤΒ-LMTO-ASA
Πανω απο 30.000 γραμμες κωδικα fortran
πακετων γραμμικης αλγεβρας
Κώδικας dft
Max Planck Institut Stuttgart
1η εκδοση 1987
Απαραίτητη πρόσβαση
Σε βάση κρυσταλλογραφικών δεδομένων
π.χ http://www.cryst.ehu.es/
Version 47 was last
updated August 2000.
10
Έλεγχος της θεωρίας και
του κώδικα
11
Πυρίτιο
Δομή διαμαντιου Fd-3m
Ζ=14
1s2 2s2 2p6 3s2 3p2
ηλεκτρόνια σθένους δημιουργούν τροχιακά γραμμικό συνδυασμό των 2s και
2p. δημιουργούν τετράεδρα, σχηματίζοντας ομοιοπολικούς δεσμούς και
ελαχιστοποιόντας έτσι την ενέργειά τους.
τα μοναδιαία διανύσματα στην περίπτωση του πυριτίου
σχηματίζουν ένα κυβικά εδρωκεντρωμένο πλέγμα (FCC)
θα μελετήσουμε την ακρίβεια της DFT στην
πρόβλεψη της πλεγματικής σταθεράς του πυριτίου
12
13
14
Έλεγχος ακρίβειας μεθόδου
Lattice parameter(Angstroms)
Πράγματι παρουσιάζει ελάχιστο για την πειραματική τιμή 5.43
15
Ηλεκτρονικές Ιδιότητες
16
Τι είδους πληροφορία παίρνουμε;
Χάσμα
Σημεία ζώνης Brillouin
Πυκνότητα καταστάσεων
πυριτίου
Μικρότερο χάσμα
Από πειραματικό
17
αριθμό των ηλεκτρονιακών καταστάσεων ανά μονάδα ενέργειας
Μελέτη συμπεριφορας υλικών
υπό πίεση
Μεταβάλοντας τον όγκο της κυψελίδας ενός υλικού
Συμπεριφορά υπό πίεση
Μετασχηματισμοί φάσεων-μεταξύ κρυσταλλικών δομών
Πιθανή πρόβλεψη νέων δομών
18
Κρυσταλλικοί μετασχηματισμοί ημιαγωγών
τύπου IV υπό πίεση
Δομή
C/a
Διαμάντι
1.44
β-Sn
0.55
Ορίζεται από δύο πλεγματικές σταθερές (c, a) και είναι χαμηλότερης
συμμετρίας
Σταθερότητα νέες προσεγγιστικές μέθοδοι
a, ορίζεi τετραγωνικής συμμετρίας c, τον κάθετοσε αυτό άξονα
Το πυρίτιο, υπό υδροστατική πίεση, μεταπίπτει από την ημιαγώγιμη δομή
διαμαντιού, στην μεταλλική φάση β-Sn, με μια μετάβαση πρώτης τάξης σε
πίεση 11.7 GPa
19
Ενέργεια με c/a
Ελάχιστο cd περιοχής
Οι χαμηλότερες ενεργειακά καταστάσεις πυριτίου, για τους διάφορους
λόγους της δομής β-Sn. Η ενέργεια στον κάθετο άξονα μετράται σε eV
ανά άτομο, από την θεμελιώδη κατάσταση του διαμαντιού
20
Ελάχιστα ενέργειας
Ισοϋψείς της ενέργειας για το πυρίτιο στην δομή β-Sn. Στον
οριζόντιο άξονα είναι ο λόγος c/a της δομής, ενώ στον κάθετο ο λόγος του
όγκου της κυψελίδας προς τον αντίστοιχο της δομής του διαμαντιού. Η
ενέργειαμετράται σε eV ανά άτομο, και οι ισοϋψείς που φαίνονται είναι ανά 0.2
eV. διαμαντι αναπαριστάται από την κυψελίδα β-Sn, λόγου c/a = 2.
21
Φάσεις του Σιδήρου σε πιέσεις
γηίνου υπεδάφους
22
Yποθέσεις για φάσεις του MgSiO3 στο στρώμα D “ της
Γης
MgSiO3 μετασχηματίζεται από περοβσκίτης σε διαστρωματωμένο
CaIrO3. Ιδιότητες όπως η ελαστικότητα του στρώματος και η
σταθερότητα του αποδίδονται σε αυτή τη φάση του υλικού
23
Ευχαριστώ
24
Βιβλιογραφία



Electronic Structure: Basic Theory and Practical Methods, by Richard M.
Martin, Cambridge, Cambridge University Press, 2004,
Atomic and electronic structure of solids / Efthimios Kaxiras.Cambridge
University Press, 2004,
The TB-LMTO-ASA program. R. Tank, O. Jepsen, A. Burkhardt, and O. K.
Andersen.
Υπολογιστική Μελέτη Υλικών με την Θεωρία του Συναρτησιοειδούς της
Πυκνότητας,Τσατσούλης Θεόδωρος,ΕΜΠ
From APW to LAPW to (L)APW+lo Karlheinz Schwarz Vienna University
of Technology
High-pressure phases of group-IV, III–V, and II–VI compounds A. Mujica
Angel Rubio (Published 7 July 2003)
Theoretical and experimental evidence for a post-perovskite phase of MgSiO3 in
Earth’s D 00 layer Artem R. Oganov1 & Shigeaki Ono2
Phase transition in MgSiO3 perovskite in the earth’s lower mantle Taku
Tsuchiya *, Jun Tsuchiya, Koichiro Umemoto, Renata M. Wentzcovitch
First-principles theory of iron up to earth-core pressures: Structural,
vibrational,and elastic properties Per Soderlind and John A. Moriarty
25