Transcript Παρουσίαση

Ειδικά θέματα υπολογισμού
και πολυπλοκότητας
Θέμα : Προσεγγιστικοί αλγόριθμοι
Γαζη Ιωαννα
ΑΜ:3900
Προβλήματα βελτιστοποίησης
Μ.Sipser:
 Συλλογή δυνατών λύσεων και μας ζητείται να
βρούμε μεταξύ αυτών μια βέλτιστη λύση


Αν ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης είναι ΝPhard τότε δεν υπάρχει αλγόριθμος
πολυωνυμικού χρονου για την ευρεση
βέλτιστης λύσης εκτός κι αν P=NP
Προσέγγιση βέλτιστης λύσης
Προβλήματα βελτιστοποίησης
Παπαδημητρίου:
 Για κάθε NP πλήρες πρόβλημα
βελτιστοποίησης Α θα πρέπει να ορίσουμε το
μικρότερο ε-σφάλμα- για το οποίο υπάρχει
ένας πολυωνυμικου χρόνου ε –
προσεγγιστικός αλγόριθμος με κάτω όριο
μεταξύ του μηδέν και του ένα.

Όταν P=NP τότε για όλα τα προβλήματα
βελτιστοποίησης έχουν προσεγγ. κατώφλι ισο
με μηδέν.
Προσεγγιστικά Προβλήματα

Κομβικό κάλυμμα
Βελτιστοποίηση: ελάχιστο κομβικό κάλυμμα
Αλγόριθμος : έξοδος ένα κομβικό κάλυμμα με μέγεθος το πολύ διπλάσιο
του ελαχίστου
Α=«για είσοδο G ακατευθυντο γράφημα
1.Επαναλαμβανοται τα στάδια έως ότου κάθε ακμή στο γράφημα να
άπτεται σε κάποια σημασμένη ακμή
2.Βρισκουμε ακμή που δεν άπτεται σε καμία σημασμενη ακμή
3.Σημαινουμε την ακμή
4.Αποδιδουμε ως έξοδο όλους τους κόμβους που αποτελούν άκρα
σημασμενων ακμών»
Προσεγγιστικά Προβλήματα
θεώρημα :
Ο προσεγγιστικός αλγόριθμος Α έχει
πολυωνυμικο χρονο εκτέλεσης και
παράγει ένα κομβικό κάλυμμα το πολύ
διπλάσιο του ελαχίστου δυνατού
Προσεγγιστικά Προβλήματα

Τομή
Βελτιστοποίηση: Μέγιστη τομή
Τεχνική: Τοπικά βέλτιστα
αλγόριθμος: έξοδος μια τομή με μέγεθος τουλάχιστον το ½ του μεγίστου
δυνατού
Β=« Για είσοδο G ακατευθυντο γράφημα
1.Θετουμε S=0 ,T=V
2.Εάν η μετακίνηση οποιουδήποτε κόμβου από το S στο T και από το T
στο S αυξάνει το μέγεθος της τομής τότε εκτελούμε αυτή την
μετακίνηση και κάνουμε το βήμα 2 αλλιώς το βήμα 3
3.Δινουμε ως έξοδο την τρέχουσα τομή και τερματίζει»
Προσεγγιστικά Προβλήματα

Θεώρημα:
Ο προσεγγιστικός αλγόριθμος Β έχει
πολυωνυμικο χρόνο εκτέλεσης και είναι
2-βελτιστος για το πρόβλημα μέγιστη
τομή , η λύση έχει μέγεθος τουλάχιστον
το ½ του μεγίστου (δηλαδή η έξοδος
είναι οι μισές ακμές του βέλτιστου )
Προσεγγιστικά Προβλήματα
Μaximum SAT
Προσεγγιστικός αλγόριθμος βελτιστοποίησης:kMAXGeneralizedSAT
Θεωρημα: Το προσεγγιστικο κατω οριο του κMAXGSAT είναι το πολύ 1-2-κ.
 Traveling Salesman Problem
Αν υπάρχει προσεγγιστικός αλγόριθμος για οποιοδήποτε
ε<1 τότε σημαίνει P=NP και ο προσεγγιστικός
αλγόριθμος είναι ανώφελος.
Θεώρημα: αν δεν ισχύει P=NP τότε το προσεγγιστικό
κατώφλι είναι 1.

Προσεγγιστικά Προβλήματα
Knapsack
Η προσεγγιστικοτητα δεν έχει όρια .
Θεώρημα :Το προσεγγιστικό του
κατώφλι είναι μηδέν . Διότι για
οποιοδήποτε ε>0 υπάρχει ένας
πολυωνυμικος ε-προσεγγιστικός
αλγόριθμος για knapsack .

Προσεγγιστικά Προβλήματα

Ορισμός : ένα πολυωνυμικου χρόνου
προσεγγιστικό σύστημα για ένα
πρόβλημα βελτιστοποίησης Α είναι ένας
αλγόριθμος για το οποίο για κάθε ε>0
και ένα στιγμιότυπο x του Α επιστρέφει
μια λύση με ένα σχετικό λάθος το πολύ
ε, σε χρόνο φραγμένο από ένα
πολυωνυμο του |x|.
Προσεγγιστικά Προβλήματα
Maximum Independent Set
To προσεγγιστικό κατώφλι του είναι είτε μηδέν είτε ένα
Λήμμα: Το G έχει ένα ανεξάρτητο σύνολο μεγέθους k αν
και μόνο αν το G2 έχει ένα ανεξάρτητο σύνολο
μεγέθους k2
Θεώρημα : Αν υπάρχει ένας ε-προσεγγιστικός
αλγόριθμος για το Ιndepe.Set για οποιοδήποτε ε<1
τότε υπάρχει και ένα πολυωνυμικου χρόνου
προσεγγιστικό σύστημα .
 K-degree independent set (όπου k είναι ο βαθμός
κάθε κόμβου)
όταν k<4 τότε το πρόβλημα μας είναι NP-complete
και υπάρχει προσεγγιστικός αλγόριθμος.

Προσεγγίσεις

Για ελαχιστοποίηση :
Ένας προσεγγιστικός αλγόριθμος για
κάποιο πρόβλημα ελαχιστοποίησης
λέγεται κ βέλτιστος εάν το μέγεθος της
λύσης που επιστρέφει είναι το πολύ κπλαίσιο του ελαχίστου
Προσεγγίσεις

Για μεγιστοποίηση :
Ένας προσεγγιστικός αλγόριθμος για
κάποιο πρόβλημα μεγιστοποίησης
λέγεται κ βέλτιστος εάν το μέγεθος της
λύσης που επιστρέφει είναι τουλάχιστον
το 1/κ του μεγίστου
Προσεγγιστικοτητα και
Πολυπλοκότητα
NP complete προβλήματα
βελτιστοποίησης υπάρχει πολυωνυμικου
χρόνου προσεγγιστικό σύστημα ??
Δύσκολο στο να απαντηθεί .
Ιδέα: θα μαζέψουμε αρκετά προβλήματα
από αναγωγές τα οποία θα είναι όλα
complete για μια κλάση
πολυπλοκότητας.
Προσεγγιστικοτητα και
Πολυπλοκότητα
L-reductions
Α,Β προσεγγιστικά προβλήματα . Μια L αναγωγή από
το Α στο Β είναι ένα ζεύγος συναρτήσεων R,S και τα
δυο υπολογίσιμα σε λογαριθμικό χώρο εφόσον:
a)αν το x είναι στιγμιότυπο του Α με βέλτιστο κόστος
OPT(x) τότε R(x) είναι στιγμιότυπο του B με βέλτιστο
κόστος που ικανοποιεί την σχέση OPT(x) ≤ α*OPT(x)
με α>0
b) αν s είναι εφικτή λύση του R(x) τότε το S(s) είναι
εφικτή λύση του x τέτοια ώστε
|OPT(x) –c(S(s))| ≤ β*|OPT(R(x))-c(s)| όπου το β>0 και
το c υποδηλώνει το κόστος και των δυο
στιγμιοτυπων.

L-reductions
H L reduction είναι μια αληθινή αναγωγή .
Αν τo s είναι η βέλτιστη λύση του R(x) τότε όντως το
S(s) κάνει την βέλτιστη λύση του x.
Παράδειγμα:
Η αναγωγή από το independent Set στο Node cover
δεν είναι L-αναγωγή διότι στην βέλτιστη μορφή τους
τα προβλήματα αυτά μπορεί να έχουν άνισα μεγέθη.
Λύση??
περιορισμός των προβλημάτων στο να έχουμε
μέγιστο βαθμό k .
L-reductions
Οι συγκεκριμένες αναγωγές έχουν και αυτές
τις συνθετικές ιδιότητες των κλασσικών
αναγωγών.
Έτσι προκύπτουν οι εξής προτάσεις:
Πρόταση 1:
Αν (R,S) είναι η L-αναγωγή του Α στο Β και
(R’,S’) είναι η L-αναγωγή του Β στο C τότε η
σύνθεση τους (R*R’,S*S’) είναι η L-αναγωγή
από το Α στο C.

L-reductions
Πρόταση 2:
Αν υπάρχει L-αναγωγή (R,S) από το Α στο Β με α και
β σταθερές και υπάρχει πολυωνυμικου χρόνου επροσεγγιστικός αλγόριθμος για το Β τότε υπάρχει
ένας πολυωνυμικου χρόνου αβε/(1-ε) προσεγγιστικός
αλγόριθμος για το Α .
Επίσης προκύπτει το εξής πόρισμα :
Αν υπάρχει L-αναγωγή από το Α στο Β και υπάρχει
πολυωνυμικου χρόνου προσεγγιστικό σύστημα για το
Β τότε υπάρχει πολυωνυμικου χρόνου προσεγγιστικό
σύστημα και για το Α .
Class MAXSNP
Fagin’s Theorem: όλες οι ιδιότητες των
γράφων στο NP μπορούν να εκφραστούν σε
υπαρξιακή λογική δεύτερης τάξης.
 Το StrictNP είναι ένα υποσύνολο του NP, το
οποίο αποτελείται από όλες τις ιδιότητες
εκφρασμένες ως εξής:
ЭS για κάθε x1..xk φ(S,G,x1,..xk) όπου το φ είναι
ποσοτικοποιητης πρώτης τάξης.

Class MAXSNP

Επιτυγχάνουμε αυτήν την κλάση
τροποποιώντας την προηγούμενη SNP
έκφραση.
Δηλαδή δεν απαιτείται το φ να ισχύει για όλες
τις κ-πλάσιεις τιμές αλλά επιδιώκει S τέτοιο
ώστε το φ να ισχύει για όσο το δυνατόν
περισσότερες κ- πλασιες τιμές γίνεται.
Γενικοποιουμε θεωρώντας την είσοδο G μια
συλλογή G1..Gm σχέσεις αυθαίρετων
ορισμάτων.
Class MAXSNP
MAXSNP0 είναι η κλάση των προβλημάτων Α
τα οποία ορίζονται ως εξής :
maxs|{(x1,..,xk)Vk:φ(G1,…,Gk,S,x1,…xk)}|

MAXSNP είναι η κλάση όλων των
προβλημάτων βελτιστοποίησης που είναι Lαναγώγιμα σε ένα πρόβλημα του MAXSNP0
Class MAXSNP
Το MAX2SAT ανήκει στην MAXSNP:
Έχουμε για είσοδο τρεις σχέσεις G0,G1,G2.
To Gi περιέχει όλες τις προτάσεις με i αρνητικά
λεξιγραμματα
δηλαδή υπάρχει G0(x,y) ανν (xvy) είναι πρόταση της
αναπαριστώμενης έκφρασης,G1(x,y) ανν (~xvy) είναι πρόταση ,
G2(x,y) ανν (~xv~y) είναι πρόταση
Eτσι εκφράζουμε το πρόβλημα μας ως εξής
maxS V|{(x,y):φ(G0,G1,G2,S,x,y)}|

Class MAXSNP
•
•
•
•
Ομοίως και το MAX3SAT απλά
χρησιμοποιούμε είσοδο με 4 σχέσεις
MAX-CUT ανήκει στο MAXSNP0 και
συνεπώς στο ΜAXSNP
k-degree Independent Set  MAXSNP
K-degree Node Cover  MAXSNP γιατί
L- ανάγεται στο k-degree Independent
Set
Class MAXSNP
Θεώρημα :
Έστω Α ένα πρόβλημα του MAXSNP0.
Υποθέτουμε ότι το Α είναι της μορφής
maxs|{(x1,..,xk):φ}|. Τότε το Α έχει ένα 1-2-κφ προσεγγιστικό αλγόριθμο όπου το κφ
υποδηλώνει τον αριθμό των ατομικών
εκφράσεων στο φ που αφορουν το S.
MAXSNP completeness
Ένα πρόβλημα σε MAXSNP είναι
complete αν όλα τα προβλήματα στο
MAXSNP L-ανάγονται σε αυτό.
Πρόταση:
Αν ένα MAXSNP complete πρόβλημα
έχει ένα πολυωνυμικου χρόνου
προσεγγιστικό σύστημα τότε όλα τα
προβλήματα στο MAXSNP έχουν ένα.

MAXSNP completeness
Θεώρημα:
ΜΑΧ3SAT είναι MAXSNP-complete
Αποδεικτική ιδέα: από την στιγμή που οποιοδήποτε
πρόβλημα στο MAXSNP εξορισμού μπορεί να αναχθει
σε ένα πρόβλημα στο MAXSNP0 αρκεί ν.δ.ο. όλα τα
προβλήματα στο MAXSNP0 μπορούν να αναχθουν στο
MAX3SAT
Το Α πρόβλημα μπορεί να αναχθει στο MAXGSAT απλά
θα πρέπει να τροποποιήσουμε τις boolean εκφράσεις
που μπορούν να παραχθουν έ.ω. να αποκτήσουμε
ένα στιγμιότυπο του MAX3SAT.
Amplifiers & Expanders



Ψάχνουμε μια L αναγωγή από το MAX3SAT
στο 3 – occurrence MAX3SAT
Η χρήση του cycle of implications δεν μας
βοηθαει και ψάχνουμε έναν τρόπο να το
γενικεύσουμε μέσω ενός «ενισχυτή» που θα
μας βοηθήσει να κάνουμε αυτή την αναγωγή.
(πχ ένας κατευθυνόμενος γράφος)
Αν υποθέσουμε ότι ο ενισχυτής υπάρχει τότε
έχουμε μια απόδειξη ότι το 3 – occurrence
MAX3SAT είναι MAXSΝP complete
Amplifiers & Expanders

Ορισμός : θέτουμε ένα πεπερασμένο σύνολο Χ και
ένα κατευθυνόμενο γράφο G=(V,E) όπου ΧV .
Υποθέτουμε |V|≤ c*|X| και όλοι οι κόμβοι στο G
έχουν in_degree=1 & out_degree=2 ή αντιστρόφως
εκτός των κόμβων στο Χ που έχουν
in_degree=out_degree=1.
Και ισχύει ότι |E| ≤ 2c|X|.
Λέμε ότι ο G είναι ένας ενισχυτής για το Χ αν
υπάρχουν ακμές εισερχόμενες και εξερχόμενες στο S
( SV) οι οποίες δεν είναι λιγότερες από τον αριθμό
των Χ κόμβων στο S . To S περιέχει s ≤ |X|/2
κόμβους.
Amplifiers & Expanders
Αποδεικνύεται ότι ο ενισχυτής μπορεί να
κατασκευαστεί από έναν δ-επεκτατη.
Ορισμός: έστω δ>0. Ένας δ-επεκτάτης για το
Χ είναι ένας γράφος G (X,E) όπου |E|≤c’|X|
με την ακόλουθη ιδιότητα : για κάθε
υποσύνολο S του X μεγέθους s |ES x (V-S)|
δ|S|
Λημμα:για n 2 όλα τα sets του Χ μεγέθους n
έχουν έναν δ-επεκτατη για κάποιο δ>0.
Amplifiers & Expanders
Ακόμα και με αυτόν τον τρόπο δεν γίνεται η L
αναγωγή από το MAX3SAT στο 3OCCURRENCE MAX3SAT
γιατί ??
ακόμα και να ξέρουμε ότι οι ενισχυτές
υπάρχουν για όλα τα n και η κατασκευή τους
είναι δυνατή δεν έχουμε περιγράψει έναν
αλγόριθμο που να κατασκευάζει έναν
ενισχυτή σε logn χώρο.
Στο χώρο nlogn γίνεται.
Amplifiers & Expanders
Λήμμα: Υπάρχει ένας αλγόριθμος οποίος
δοθέντος του n σε μοναδιαία μορφή
κατασκευάζει σε logn χώρο έναν
ενισχυτή για ένα σύνολο μεγέθους n.
Θεώρημα: 3-occurrence MAX3SAT είναι
MAXSNP complete !!!!!
Amplifiers & Expanders
4-degree independent set
 4-degree node cover
 5-occurrence MAX2SAT
 MAX NAESAT
 MAX-CUT
όλα τα παραπάνω ανήκουν στην κλάση
MAXSNP complete βάση του
προηγούμενου θεωρήματος.

Προσεγγιστικοί αλγόριθμοι

ευχαριστώ!! 