Transcript PPTX
Συμμετρίες και νόμοι διατήρησης Συμμετρία και Μετασχηματισμοί μετασχηματισμός «κατοπτρισμού» Οι δύο καταστάσεις του ιονισμένου μορίου του υδρογόνου Ας προσδιορίσουμε τα στοιχεία πίνακα του τελεστή «κατοπτρισμού» (στις καταστάσεις βάσης |1> και |2>, αναπαράσταση ) (Ι) Συμμετρία και Μετασχηματισμοί (ΙΙ) Έστω ότι την χρονική στιγμή t=0, το σύστημα του μορίου του ιονισμένου υδρογόνου βρισκόταν στην κατάσταση |1>. Αργότερα, την χρονική στιγμή t=15s, η κατάσταση του συστήματος θα περιγράφεται από το διάνυσμα κατάστασης U(t=15s,t=0)|1>. Επί παραδείγματι: Αντίστροφα, εάν το σύστημα βρίσκεται την χρονική στιγμή t=0 στην κατάσταση |2> και η φύση «σέβεται» την συμμετρία κατοπτρισμού, τότε: Η διατήρηση της συμμετρίας σε μετέπειτα χρόνους γενικεύεται σ΄ όλες τις περιπτώσεις που η «φυσική» του συστήματος μένει αναλλοίωτη σε μετασχηματισμούς όπως, στροφές γύρω από άξονα, μεταφορά στη θέση, κατοπτρισμούς, αμοιβαία μετάθεση των συστατικών του συστήματος (μποζόνια) κτλ Συμμετρία και Μετασχηματισμοί (ΙΙΙ) Έστω ο τελεστής Q ο οποίος αλλάζει την κατάσταση του συστήματος από |ψ> σε |ψ’>. Συγκεκριμένα, έστω ότι την χρονική στιγμή t=0, Το αρχικό σύστημα εξελίσσεται συναρτήσει του χρόνου, ως: Αλλά και μετά τον μετασχηματισμό Q, το σύστημα εξελίσσεται συναρτήσει του χρόνου, ως: ' 2 Uˆ Qˆ 1 Εάν η «φυσική» του συστήματος παραμένει αναλλοίωτη κατά τον μετασχηματισμό Q, θα μπορούσαμε να καταλήγαμε στην κατάσταση |ψ’2> αφήνοντας το σύστημα να εξελιχθεί χρονικά από την κατάσταση |ψ1> στην κατάσταση |ψ2> και μετά να εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό Q: '2 Qˆ Uˆ 1 Ο μετασχηματισμός που εκφράζεται από τον τελεστή Q αντιστοιχεί σε συμμετρία του συστήματος εάν: «δεν έχει σημασία πότε» θα εφαρμόσουμε αυτόν τον μετασχηματισμό Οι τελεστές αντιμετατίθενται Συμμετρίες και Νόμοι Διατήρησης Ένας μετασχηματισμός αφήνει αναλλοίωτο ένα σύστημα: «αναλλοίωτο» σημαίνει ότι οι πιθανότητες παραμένουν οι ίδιες. Επί παραδείγματι στο σύστημα του ιονισμένου μορίου του υδρογόνου ισχύει ότι την χρονική στιγμή t=0: i Pˆ I e I 1 i Pˆ II e II 1 Εάν ο μετασχηματισμός Q, κάποια χρονική στιγμή, αφήνει αναλλοίωτη τη «φυσική» του συστήματος τότε το σύστημα θα διατηρεί αυτή την ιδιότητα για πάντα (απλώς άλλαξε τη φάση) Ιδιοτιμές του Τελεστή Αντιστροφής- Ομοτιμία Ας γενικεύσουμε τον μετασχηματισμό κατοπτρισμού σε μετασχηματισμό αντιστροφής r r Pˆ r r Όταν ένα σύστημα είναι αναλλοίωτο σε μετασχηματισμούς i ' Pˆ e αντιστροφής ευρίσκεται σε καθορισμένη αντιστροφής: κατάσταση ομοτιμίας. Εάν το σύστημα είναι αναλλοίωτο σε μετασχηματισμούς Άρτιας ομοτιμίας όπως η στάσιμη κατάσταση |Ι> ( Pˆ Ι = + Ι ) ή περιττής ακόμα ομοτιμίας όπως άλλη στάσιμη κατάσταση (|ΙΙ>) του Ας αντιστρέψουμε μία φορά τοησύστημα: ιονισμένου μορίου του υδρογόνου, Pˆ ΙΙ = - ΙΙ δύο αντιστροφές μας φέρνουν στην αρχική θέση Προφανώς η δεύτερη αντιστροφή μας έφερε στην αρχική κατάσταση εάν… Οι καταστάσεις πόλωσης του φωτονίου • Πολωμένο φώς • Γραμμικά και κυκλικά πολωμένο φως • Καταστάσεις βάσης – καταστάσεις πόλωσης Πόλωση του Φωτός Ε Β Υ Γραμμικά Πολωμένο Φως Ε Y πόλωση W Ε Χ X πόλωση y y x x Ελλειπτική πόλωση: Οι συνιστώσες του Ε στον Χ και Υ άξονα έχουν διαφορά φάσης φο Γραμμική πόλωση στη διεύθυνση W (η Χ και η Υ συνιστώσα του Ε έχουν μηδενική διαφορά φάσης) Κυκλική πόλωση: Οι συνιστώσες του Ε στον Χ και Υ άξονα έχουν ίδιο πλάτος και διαφορά φάσης 90ο Πόλωση ενός Φωτονίου ΔέσμηΓραμμικά Πολωμένου Φωτός στη διεύθυνση Υ Χ ΔέσμηΓραμμικά Πολωμένου Φωτός στη διεύθυνση Χ Υ Φωτόνια στην κατάσταση πόλωσης y Φωτόνια στην κατάσταση πόλωσης x Αλλαγή Διεύθυνσης Πόλωσης Διεύθυνση Πόλωσης Χ’ Διεύθυνση Πόλωσης P x x' Ε=Εοcosθ Νόμος του Malus: Ι=Ιοcos2θ cos θ P . ή Εο 2 2 cos θ 2 RCL και LCL διανύσματα βάσης i t x e iπ/2 i t y e e iπ i t x e e iπ/2 i t y e e + R' 1 2 L' 1 2 x' i y' x' i y' Πολωμένο Φώς και Στροφορμή Μετασχηματισμοί και Νόμοι Διατήρησης (Ι) z φ Έστω ένα φυσικό σύστημα με διάνυσμα κατάστασης ψ ο ,του οποίου η «φυσική» παραμένει αναλλοίωτη σε στροφές γύρω από τον άξονα z Ας επαναλάβουμε την στροφή για ακόμα μία φορά Το ίδιο αποτέλεσμα πρέπει να έχουμε ένα εξ αρχής επιχειρούσαμε στροφή κατά 2φ i 2 Rˆ z (2 ) ψ ο e ψο Για οποιανδήποτε γωνία φ θα ισχύει ότι: Επειδή η φυσική του συστήματος παραμένει αναλλοίωτη σ΄ αυτές τις στροφές: Rˆ z ( ) ψ 'ο Rˆ z ( )Uˆ ( t , 0) ψ ο Uˆ ( t , 0) Rˆ z ( ) ψ ο e Uˆ ( t , 0) ψ ο e ψ 'ο Ο παράγων m είναι χαρακτηριστικό μέγεθος του συστήματος που παραμένει ανεξάρτητο του χρόνου. Αποτελεί σταθερά του φυσικού συστήματος. i m im Εν προκειμένω, αφορά στην διατήρηση της στροφορμής κατά τον άξονα περιστροφής Ζ Jz = m Πολωμένο Φως z φ y’ Όταν το RHC φως ειδωθεί από νέο σύστημα συντεταγμένων, στραμμένο κατά γωνία φ, γύρω από τον άξονα z (άξονα πόλωσης του spin του φωτονίου) τότε: R' R e iφ R e y χ χ’ im φ m 1 Η στροφή του συστήματος συντεταγμένων κατά γωνία φ γύρω από τον άξονα διάδοσης z αφήνει το φωτόνιο το ίδιο (αναλλοίωτη πόλωση RHC, αναλλοίωτη ενέργεια κ.τ.λ.) προσθέτοντας μόνο μία φάση mφ=1φ Το RHC πολωμένο φωτόνιο μεταφέρει m 1 στροφορμή, παράλληλη στον άξονα z Αντίστοιχα, η στροφή ενός LHC φωτονίου καταλήγει: L' L e iφ Το LHC πολωμένο φωτόνιο μεταφέρει m L e im φ m 1 1 στροφορμή, αντιπαράλληλη στον άξονα z Μία δέσμη Ν φωτονίων κυκλ. συχνότητας ω μεταφέρει ενέργεια: και στροφορμή: Jz = N = W ω W N Η κλασική εικόνα της πόλωσης y Δεξιόστροφα κυκλικά πολωμένο φως προσπίπτει σε πέτασμα x Υ z x r0 cos t y r0 sin t r t 0 Χ Οι δύο συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου μεταβάλλονται χρονικά με σταθερή διαφορά φάσης 90ο F x e cos t F y e sin t Τα ελεύθερα ηλεκτρόνια του πετάσματος εκτελούν αρμονική ταλάντωση σε δύο διευθύνσεις υπό την επίδραση του ηλεκτρικού πεδίου Η κλασική εικόνα της πόλωσης y Δεξιόστροφα κυκλικά πολωμένο φως προσπίπτει σε πέτασμα x z Υ t σε συμφωνία με την κβαντομηχανική πρόβλεψη r t 0 Z συνιστώσα της ροπής δύναμης ως προς κέντρο Χ x r0 cos t y r0 sin t Πόλωση-Παρατηρήσεις • Δέσμη LHC πολωμένου φωτός μεταφέρει την ίδια στροφορμή αλλά με το διάντσμα προσανατολισμένο αντιπαράλληλα του άξονα πρόσπτωσης της δέσμης • Το γραμμικά πολωμένο φώς δεν βρίσκεται σε κατάσταση καθορισμένης πόλωσης. Εάν φωτόνιο έχει 50% πιθανότητα να έχει RHC και 50% LHC πόλωση. Συνεπώς, σε ένα πείραμα που μετρούμε την στροφορμή δέσμης φωτός θα καταλήξουμε ότι η συνισταμένη μεταφερόμενη στροφορμή από τη δέσμη είναι μηδέν • Για να ορίσουμε πλήρως την κατάσταση στροφορμής (πόλωση) ενός συστήματος, με μάζα ηρεμίας Μ και με στροφορμή J=1, ως προς οποιονδήποτε άξονα z, χρειαζόμαστε τον κβαντικό αριθμό m να παίρνει μία από τις τιμές +1, 0, -1. Στην περίπτωση των φωτονίων, επειδή δεν υπάρχει σύστημα αναφοράς στο οποίο να ευρίσκονται ακίνητα, δεν «χρειάζεται» η κατάσταση m=0. Μόνο η διεύθυνση κίνησης μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως άξονας πόλωσης, και σ΄αυτόν τον άξονα το φωτόνιο έχει δύο καταστάσεις πόλωσης. Πολωμένο Φώς και Ομοτιμία Pˆ r r ˆ ˆ ˆ ˆ PL P r p P r P p L Pˆ p p L Pˆ r Pˆ L p r Pˆ p Pˆ = Pˆ = Η εξαΰλωση του positronium (ΙIΙ) • Το positronium έχει περιττή (αρνητική) ομοτιμία. • Η Ηλεκτρομαγνητική αλληλεπίδραση διατηρεί την ομοτιμία • Ποια είναι η τελική κατάσταση διάσπασης του positronium j=0 F = N R 1 R 2 - L 1L 2 Τ ελική Κ α τά σ τα σ η : Pˆ F = N Pˆ R 1 R 2 - Pˆ L 1 L 2 R 1R2 Τ ελική Κ α τά σ τα σ η : N L L 1 2 - R 1R 2 F L1 L 2 Η μία κατάσταση προκείπτει από τον μετασχηματισμό αντιστροφής Pˆ r = -r της άλλης Pˆ L1 L 2 R1 R 2 Pˆ R1 R 2 L1 L 2 Η τελική κατάσταση (|F>) περιέχει 50% RHC καταστάσεις και 50% LHC καταστάσεις ζευγών φωτονίων Η εξαΰλωση του positronium (ΙIΙ) F = N R 1 R 2 - L 1L 2 Η τελική κατάσταση (|F>) περιέχει 50% RHC καταστάσεις και 50% LHC καταστάσεις ζευγών φωτονίων •Κάθε ζεύγος φωτονίων βρίσκεται και στις δύο καταστάσεις, δηλαδή στην κατάσταση |F>. •Σ΄ ένα πείραμα υπάρχει 50% πιθανότητα να ανιχνευθούν και στους δύο ανιχνευτές RHC φωτόνια και 50% πιθανότητα να ανιχνευτούν LHC φωτόνια Η εξαΰλωση του positronium (ΙV) F = N R 1 R 2 - L 1L 2 Η τελική κατάσταση (|F>) περιέχει 50% RHC καταστάσεις και 50% LHC καταστάσεις ζευγών φωτονίων Ας υπολογίσουμε το πλάτος πιθανότητας = = Ν y1 y2 χ1 Ομοίως, βρίσκουμε ότι: χ2 Οι ανιχνευτές ανιχνεύουν ταυτόχρονα τα θυγατρικά φωτόνια εάν και μόνο εάν τα πολωσίμετρα τους είναι τοποθετημένα κάθετα μεταξύ τους.