Transcript Εξισώσεις Maxwell ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ

ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Κεφάλαιο 1ο
Γενικές Αρχές Λειτουργίας Κεραιών
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Εξισώσεις Maxwell
Ι. Νόμος του Gauss για το Ηλεκτρικό πεδίο
 D  dS  q
ή
 D  ρ
(1.1)
S
ΙΙ. Νόμος του Gauss για το Μαγνητικό Πεδίο
 B  dS  0
ή
 B 0
ή
  H  J 
(1.2)
S
III. Νόμος του Ampere
 H  dl  I 
C

t
 D  dS
D
S
t
(1.3)
ΙV. Νόμος της Επαγωγής
 E ' dl  
C

t
 B' dS
S
ή
  E  
B
t
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
(1.4)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Διανυσματικά και Βαθμωτά Δυναμικά
 Διανυσματικό Δυναμικό
(1.5)
B     A
 Βαθμωτό Δυναμικό
E 
 A
t
  Φ   E    Φ  
 A
(1.6)
t
 Κυματικές Εξισώσεις Διανυσματικού & Βαθμωτού Δυναμικού
2
2
 Φ   με
 Φ
t
2

ρ
ε
2
2
 Α   με
 Α
t
2
μJ
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
(1.7)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Διανυσματικά και Βαθμωτά Δυναμικά
ρ ( x  , y  , z  ,t 
d A ( x , y , z , t )
Φ ( x , y , z ,t ) 
x, y, z
1
4 πε
R
)d V 
c

(1.8)
R
V
R
J , ρ 
dV 
A ( x , y , z ,t ) 
x , y , z

Σ χήμα 1.1. Σ τοιχειώ δες
Δ υναμικό οφειλόμενο στην
J ( xΔ ,ιανυσματικό
y, z )
ρευματική κατανομή
που περιέχεται στον στοιχειώ δη
όγκο d V  .
μ
4π
J ( x  , y  , z  ,t 
R
c

)d V 
(1.9)
R
V
όπου c η ταχύτητα διάδοσης του ΗΜ πεδίου
στο χώρο:
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
c 1/
με
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Αρμονικά Χρονικά Μεταβαλλόμενα Πεδία
 Αρμονικά Χρονικά Μεταβαλλόμενο Πεδιακό Μέγεθος
Χ(x,y,z,t)=Xo(x,y,z)συν[ωt+θ(x,y,z)]=Re[Xo(x,y,z)
e
j( ωt  θ )
]=Re[Χ(x,y,z)
e
jω t
]
(1.10)
 Εξισώσεις Maxwell
 D  ρ ,  Β  0 ,   Ε   jω Β ,   Η  J  jω D
(1.11)
 Βαθμωτό και Διανυσματικό Δυναμικό
Β    A , E   Φ  j ω A
A( x , y , z ) 
μ
4π
 Συνθήκη Lorentz
 A   j ωμε Φ   j
 Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο
E   jω Α  j
ω
k
2
k

J ( x' , y ' , z ' ) e
V
2
ω
ΦΦ j
 jkR
R
ω 
A
2
k
 (  A ), B    A
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
dV '
(1.12)
(1.13)
(1.14)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Μακρινό Πεδίο Ακτινοβολίας
 Ο χώρος που περιβάλλει μια κεραία μπορεί να χωρισθεί σε ζώνες που αντανακλούν
την τροποποίηση των χαρακτηριστικών ακτινοβολίας του ΗΜ κύματος καθώς αυτό
απομακρύνεται από την κεραία.
 Ζώνη Κοντινού Πεδίου ή Επαγωγής, για αποστάσεις
R  0 ,62
D
3
λ
, όπου με D
δηλώνεται η μέγιστη διάσταση της κεραίας. Το ΗΜ πεδίο παρουσιάζει άεργη
συμπεριφορά δηλ. δεν ακτινοβολείται ΗΜ ενέργεια
 Ζώνη Κοντινού Πεδίου Ακτινοβολίας, για αποστάσεις
0 ,62
D
3
λ  R  2D
2
λ
.
Τα χαρακτηριστικά της ΗΜ ακτινοβολίας υπερισχύουν.
 Ζώνη Μακρινού Πεδίου, για αποστάσεις
R  2D
2
είναι ανεξάρτητες από την ακτινική συνιστώσα.
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
λ.
Οι εγκάρσιες συνιστώσες
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Μακρινό Πεδίο Ακτινοβολίας
 Οι
διαφορές
στις
ακτινικές
αποστάσεις R και r μπορούν να
θεωρηθούν αμελητέες σε ότι αφορά
το πλάτος του υπολογιζόμενου
μεγέθους δηλ. 1/R1/r.
z
θ1
Jd V 
R
(r , θ , φ 
r
θ 
P (r , θ , φ )

r
ψ
θ
O
 Οι πεδιακές συνιστώσες οι οποίες
εξασθενούν ταχύτερα του 1/r
θεωρούνται αμελητέες συγκριτικά με
αυτές που εξασθενούν ανάλογα του
1/r.
Σχήμα 1.2 Μακρινό Πεδίο Ακτινοβολίας Τυχαίας Κεραίας.
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Μακρινό Πεδίο Ακτινοβολίας
 Οι ευθείες που ενώνουν τις θέσεις
(r,θ,φ) των στοιχειωδών ρευματικών
κατανομών και το μακρινό σημείο
υπολογισμού Ρ(r,θ,φ) μπορούν να
θεωρηθούν παράλληλες μεταξύ τους και
επομένως θ1  θ
 Οι διαφορές μεταξύ των ακτινικών
αποστάσεων R και r, αν και αμελητέες
ως προς το πλάτος, υπολογίζονται με
μεγαλύτερη ακρίβεια σε ότι αφορά τη
τιμή της φάσης e-jkr.
z
θ1
Jd V 
R
(r , θ , φ 
r
θ 
P (r , θ , φ )

r
ψ
θ
O
Σχήμα 1.2 Μακρινό Πεδίο Ακτινοβολίας Τυχαίας Κεραίας.
R  r  r' συνψ
Η γενική σχέση ορισμού της γωνίας ψ είναι
η ακόλουθη:
συνψ=συνθσυνθ+ημθημθσυν(φ-φ)
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Διανυσματικό Δυναμικό στο Μακρινό Πεδίο
Ακτινοβολίας
A( x , y , z ) 
μ
4π

J ( x' , y ' , z ' ) e
R
V
 jkR
dV '

A( x , y , z ) 

z
μe
 jkr
4πr
μe
 jkr
4πr
 J ( r' ,θ ,φ'
 jkr
4πr
Ν ( θ ,φ )
rˆ N r ( θ ,φ )  θˆ N θ ( θ ,φ )  φˆ N φ ( θ ,φ )
Ν ( θ ,φ ) συμβολίζεται
(1.15)
το Διάνυσμα
R
(r , θ , φ 
θ 
μe
Ακτινοβολίας
Jd V 
r
dV ' 
V
όπου με
θ1
)e
jkr ' συνψ
P (r , θ , φ )
Ν ( θ ,φ )   J ( r ' ,θ ,φ' )e

V
r
ψ
θ
O
Σχήμα 1.2 Μακρινό Πεδίο Ακτινοβολίας Τυχαίας Κεραίας.
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
jkr ' συνψ
dV '
(1.16)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Μακρινό Πεδίο Ακτινοβολίας
 Ένταση Μαγνητικού Πεδίου
 Α θ  1 θˆ  1  Α r
 

(
Α
ημθ
)



( rA φ
H   Α
φ



μ
r
ημθ

θ

φ
μ
r
ημθ

φ

r
μ



1
1
rˆ
H θ ( r ,θ , φ )  
H φ ( r ,θ , φ ) 
1 
μr r
1 
μr r
( rΑφ ) 
( rΑθ )  
jk
4πr
jk
4πr
e
e
 jkr
 jkr

 r 
1 ˆ  
)  
( r  ) 
 r   r
  

N φ ( θ ,φ )
(1.17)
N θ ( θ ,φ )
(1.18)
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Μακρινό Πεδίο Ακτινοβολίας
 Ένταση Ηλεκτρικού Πεδίου
E
E θ ( r ,θ , φ )  
Ε φ ( r ,θ , φ ) 
όπου με ζ=
μ ε

1
j ωε r  r
1

j ωε r  r
1
j ωε
Η
( rΗ φ )  
( rΗ θ )  
j ωμ
4πr
j ωμ
4πr
e
e
 jkr
 jkr
N θ ( θ ,φ )  ζ Η φ
N φ ( θ ,φ )   ζ Η θ
συμβολίζεται η κυματική αντίσταση του χώρου
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
(1.17)
(1.18)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Μακρινό Πεδίο Ακτινοβολίας
Ε φ /ζ= -Η θ
Ηφ
φ
Ηθ
Ε /ζ
Η
Ε θ /ζ= -Η θ
θ
Σχήμα 1.3. Μακρινό Πεδίο Ακτινοβολίας Τυχαίας Κεραίας.
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Ακτινοβολούμενη Ισχύς
 Διάνυσμα Poynting (Ροή Ισχύος-Watt/m2)
S  EH
(1.19)
 Μέση Ροή Ισχύος
S av 
EH

(1. 20)
2
 Μέση Ακτινοβολούμενη Ισχύος


E

H

P av  Re 


2


(1. 21)
 Μέση Ακτινοβολούμενη Ισχύος στο Μακρινό Πεδίο
P av 


Η
2
ζ
1
2
φΗ

 
*
*
Re E θ θˆ  Ε φ φˆ  Η θ θˆ  Η φˆ
φ

φ
 ΗθΗ
*
θ
rˆ 
ζ
2
Η
2
Ε
rˆ 
  2rˆ Re E
θ

*

Η φ  ΕφΗ θ 
2
2ζ
rˆ 
ζk
2
2
2

Nθ
 Νφ
rˆ

2 2 
32 π r
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
(1. 22)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Ακτινοβολούμενη Ισχύς
 Ένταση Ακτινοβολίας (Watt/rad2)
2
U ( θ , φ )  r Pav 
ζk
2
2
2
ζ 
2
2

Nθ  Νφ

Nθ  Νφ


2 
2 
32 π 
8λ 
(1. 23)
Συνολικά Ακτινοβολούμενη Ισχύς (Watt)
π 2π
W ακ  
π 2π
 Pav dS    Pav r
0 0
0 0
π 2π
2
π 2π
d Ω    U ( θ , φ ) d Ω    U ( θ , φ ) ημθ d θ d φ
0 0
0 0
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
(1. 24)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Ακτινοβολούμενη Ισχύς
 Ένταση Ακτινοβολίας (Watt/rad2)
2
U ( θ , φ )  r Pav 
ζk
2
2
2
ζ 
2
2

Nθ  Νφ

Nθ  Νφ


2 
2 
32 π 
8λ 
(1. 23)
Συνολικά Ακτινοβολούμενη Ισχύς (Watt)
π 2π
W ακ  
π 2π
 Pav dS    Pav r
0 0
0 0
π 2π
2
π 2π
d Ω    U ( θ , φ ) d Ω    U ( θ , φ ) ημθ d θ d φ
0 0
(1. 24)
0 0
όπου το στοιχειώδες εμβαδό σφαιρικής επιφάνειας dS και η στερεά γωνία dΩ, που
του αντιστοιχεί είναι:
dS=r2ημθdθdφ=r2dΩ (m2)
dΩ=ημθdθdφ (sr)
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Εφαρμογή 1
 Έστω κεραία με Μέση Ακτινοβολούμενη Ισχύ, η οποία περιγράφεται από την
ακόλουθη σχέση:

ημθ
Pav  Po
rˆ
2
r

Συνοψίζοντας τα χαρακτηριστικά της κεραίας του παραδείγματος προκύπτει ότι η
ακτινοβολούμενη ισχύς:
• διαδίδεται ακτινικά.
• εξασθενεί με ρυθμό 1/r2 καθώς το κύμα οδεύει απομακρυνόμενο από την κεραία.
• είναι ομοιόμορφη για διευθύνσεις (θ=σταθερό, φ=μεταβλητό).
• είναι ανομοιόμορφη (ημθ) για διευθύνσεις (θ=μεταβλητό, φ=σταθερό)
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Εφαρμογή 1

Η Ένταση Ακτινοβολίας U(θ,φ) :
2
ημθ
2
U ( θ , φ )  r Pav  r  Po
2
r
 Po ημθ
 Ακτινοβολούμενη Ισχύς :
π 2π
W ακ  
π 2π
π 2π
 Pav dS    Pav r
0 0
2
ημθ d θ d φ  
0 0
 Po
π
I   ημ θ d θ  
0
0
r

1  συν 2 θ
0
dθ 
1
π
 dθ 
2
θ π0

1
4
1
π

συν 2 θ
20
 ημ θ  02 π
π
2
θdθdφ
2
2
 π Po
d ( 2θ ) 
2

 Po ημ
0 0
2
20
1
 r ημθ d θ d φ  
d φ  ημ θ d θ  Po  2 π 
2

2
π 2π
2
π
0
2
Po
0 0
2π
π

ημθ
1
π
 dθ 
20
π
2
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
1
2π

2 0
συν θ 
2
dθ 
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Εφαρμογή 2
 Ο ισοτροπικός ακτινοβολητής αποτελεί μια ιδεατή κεραία (ανέφικτη πρακτικά) που
ακτινοβολεί ομοιόμορφα στον χώρο. Επομένως, για τον ισοτροπικό ακτινοβολητή το
Διάνυσμα Poynting δεν θα εξαρτάται από τις μεταβλητές (θ,φ) παρά μόνο από την
ακτινική απόσταση r

i
Pav  Po ( r ) rˆ
 Ακτινοβολούμενη Ισχύς :
π 2π
W ακ  
π 2π
 Pav dS   
0 0
0 0
i 2
Po r ημθ
π
dθdφ 
i 2
Po r
2π
i
 ημθ d θ  d φ  Po r
0
2
π
  συνθ  ο  2 π  Po r  2  2 π  4 π r Po
0

W ακ
i
Pav  Po ( r ) rˆ 
rˆ
2
4πr
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
i
2
2
i
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Διάγραμμα Πεδίου
 Απόλυτο Διάγραμμα Πεδίου:
E 
Eθ
2
 Εφ
2

1
F ( θ ,φ )
r
 Ανηγμένο Διάγραμμα Πεδίου: |Ε|/Εmax
 Διάγραμμα Πρωτευόντων Επιπέδων
(β)
(α)
Σχήμα 1.4. Διάγραμμα Πεδίου (α) Τρισδιάστατο (β) Πρωτευόντων Επιπέδων
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Πόλωση Πεδίου
Έστω κύμα που οδεύει στον άξονα z, έχοντας δύο συνιστώσες Εx και Εy :
E x  E1 ημ ( ω t  kz ), E y  E 2 ημ ( ω t  kz  δ )
(1.25)
Το συνολικό στιγμιαίο διάνυσμα , δίνεται από την ακόλουθη σχέση
E  ˆx E 1 ημ ( ω t  kz )  ˆy E 2 ημ ( ω t  kz  δ )
(1.26)
Για z=0 οι παραπάνω εκφράσεις τροποποιούνται ως εξής:
E x  ημω t , E y  E 2 ημ ( ω t  δ )  Ε 2 ημ ( ω t )συνδ  συν ( ω t )ημδ

Απαλείφοντας τα ημωt και συνωt προκύπτει
ημω t 
Ex
2
, συνωt 
1-
Ex
(1.27)
2
E1
E1

Ex
E y  E2 
συνδ  ημδ
E1



x 
1
2 
E 
1 
το Ey γράφεται ως εξής
Ε
2
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
(1.28)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Πόλωση Πεδίου
Υψώνοντας την (1.28) στο τετράγωνο και αναδιατάσσοντας τους όρους της εξίσωσης
προκύπτει η ακόλουθη έκφραση
2
Ex
2

E1
2 E x E y συνδ
Ε1 Ε 2
2

Εy
2
2
2
 ημ δ  a Ε x  bE x E y  cE y  1
2
E2
Η εξίσωση (1.29) περιγράφει μια έλλειψη με κλίση, όπως φαίνεται και στο Σχήμα 1.6.
y
OA 
OΒ 
1 2
2
E1  E 2 
2 
1 2
2
E1  E 2 
2 

4
4
2 2
E1  E 2  2 E1 E 2 συν  2 δ 

Ey
E
Α

4
4
2 2
E1  E 2  2 E1 E 2 συν  2 δ 

Β
τ
Ex


1
1 2 Ε 1 Ε 2
τ  εφ 
συν δ 
2
Ε2 Ε2

2
 1

z
Σχήμα 1.6. Ελλειπτικά Πολωμένο Κύμα.
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
x
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Πόλωση Πεδίου
 Γραμμική Πόλωση (Ε1=0 ή Ε2=0 η δ=0, ±π)
 Κυκλική Πόλωση (Αριστερόστροφη ή Δεξιόστροφη όταν Ε1=Ε2 και δ= ±π/2 )
 Ελλειπτική Πόλωση (Αριστερόστροφη ή Δεξιόστροφη)
(α)
(β)
Σχήμα 1.7. (α) Γραμμική (β) Κυκλική και (γ) ελλειπτική πόλωση
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
(γ)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Συντελεστής Απωλειών Πόλωσης PLF
(Polarization Loss Factor)
Εάν η πόλωση μιας κεραίας εκπομπής και μιας κεραίας λήψης είναι

E T  E T ˆρ Τ

E R  E R ˆρ R
τότε ο Συντελεστής Απωλειών Πόλωσης PLF, αναπαριστά το λόγο της προς απόδοση
ισχύος, για ένα δεδομένο συνδυασμό πολώσεων, προς την ισχύ, που αποδίδεται εάν οι
πολώσεις είναι ταυτόσημες. Ο συντελεστής PLF αναπαρίσταται αλγεβρικά με τον
ακόλουθο τρόπο:
PLF  ˆρ Τ

ˆρ R
2
 συνψ p
2
ή PLF(dB)  20log( συνψ p )
όπου ψp είναι η γωνία μεταξύ των μοναδιαίων διανυσμάτων
ˆρ Τ
Είναι προφανές ότι το εύρος τιμών του συντελεστή PLF είναι
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
και
ˆρ R.
0  PLF  1 .
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Συντελεστής Απωλειών Πόλωσης
Γραμμικά Πολωμένων Κεραιών
Υπόθεση 1
Έστω δύο Γραμμικά Πολωμένες κεραίες εκπομπής και λήψης

E T  E T ( x , y , z ) ˆx

E R  E R ( x , y , z )( ˆx  ˆy )
Τα μοναδιαία διανύσματα που αναπαριστούν την πόλωση των πεδίων
ˆρ R  ( 1 /
ˆρ T  ˆx
2 )( ˆx  ˆy )
Ο συντελεστής PLF λαμβάνει την ακόλουθη τιμή:
PLF  ˆρ Τ
ή ισοδύναμα (σε dB):

ˆρ R
2
 ˆx

1
2
( ˆx  ˆy )
2

1
2
PLF ( dB )  10 log( PLF )  10 log( 1 / 2 )   3 dB
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Συντελεστής Απωλειών Πόλωσης
Γραμμικά Πολωμένων Κεραιών
Υπόθεση 2
Έστω δύο Γραμμικά Πολωμένες κεραίες εκπομπής και λήψης

E R  E R ( x , y , z ) xˆ

E T  E T ( x , y , z ) ˆx
Τα μοναδιαία διανύσματα που αναπαριστούν την πόλωση των πεδίων
ˆρ T  ˆx
ˆ R  xˆ
Ο συντελεστής PLF λαμβάνει την ακόλουθη τιμή:
PLF  ˆ   ˆ R
ή ισοδύναμα (σε dB):
2
 xˆ  xˆ
2
1
PLF ( dB )  10 log( PLF )  10 log( 1)  0 dB
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Συντελεστής Απωλειών Πόλωσης
Γραμμικά Πολωμένων Κεραιών
Υπόθεση 3
Έστω δύο Γραμμικά Πολωμένες κεραίες εκπομπής και λήψης

E R  E R ( x , y , z ) yˆ

E T  E T ( x , y , z ) ˆx
Τα μοναδιαία διανύσματα που αναπαριστούν την πόλωση των πεδίων
ˆ R  yˆ
ˆρ T  ˆx
Ο συντελεστής PLF λαμβάνει την ακόλουθη τιμή:
PLF  ˆ   ˆ R
ή ισοδύναμα (σε dB):
2
 xˆ  yˆ
2
0
PLF ( dB )  10 log( PLF )  10 log( 0 )   dB
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Συντελεστής Απωλειών Πόλωσης
Κυκλικά Πολωμένων Κεραιών
Υπόθεση 1
Έστω δύο Δεξιόστροφα Κυκλικά Πολωμένες κεραίες εκπομπής και λήψης

E R  E R ( r ,θ , φ )( θˆ  j φˆ )

ˆ )
E T  E T ( r , θ , φ )( θˆ  j φ
Τα μοναδιαία διανύσματα που αναπαριστούν την πόλωση των πεδίων
ˆρ T  ( θˆ  j φˆ ) /
ˆρ R  ( θˆ  j φˆ ) /
2
2
Ο συντελεστής PLF λαμβάνει την ακόλουθη τιμή:
PLF  ˆρ Τ
ή ισοδύναμα (σε dB):

ˆρ R
2

( θˆ  j φˆ ) ( θˆ  j φˆ )

2
2

2
1
11
2
4
PLF ( dB )  10 log( PLF )  10 log( 1)  0 dB
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
1
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Συντελεστής Απωλειών Πόλωσης
Κυκλικά Πολωμένων Κεραιών
Υπόθεση 2
Έστω μία Δεξιόστροφη Κυκλικά Πολωμένη κεραία εκπομπής και μια Αριστερόστροφα
Κυκλικά Πολωμένη κεραία λήψης

E R  E R ( r ,  ,  )( ˆ  j ˆ )

ˆ )
E T  E T ( r , θ , φ )( θˆ  j φ
Τα μοναδιαία διανύσματα που αναπαριστούν την πόλωση των πεδίων
ˆρ T  ( θˆ  j φˆ ) /
ˆ R  ( ˆ  j ˆ ) /
2
2
Ο συντελεστής PLF λαμβάνει την ακόλουθη τιμή:
PLF  ˆ   ˆ R
ή ισοδύναμα (σε dB):
2

( ˆ  j ˆ ) ( ˆ  j ˆ )

2
2

2
1
2
11  0
4
PLF ( dB )  10 log( PLF )  10 log( 0 )   dB
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Διάγραμμα Ακτινοβολίας Κεραιών
• Κύριος Λοβός (Major, Main),
• Δευτερεύοντες (Minor), Πλευρικοί
(Side), και Πίσω Λοβοί (back
lobes).
• Γωνίες μηδενισμού & Εύρος
λοβού.
• Οι γωνίες ημίσειας ισχύος & Εύρος
Δέσμης Ημίσειας Ισχύος (Half
Power Beamwidth).
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Κατευθυντικότητα Κεραιών
Η Κατευθυντικότητα d(θ,φ) μιας κεραίας ορίζεται ως ο λόγος της έντασης
ακτινοβολίας σε μια κατεύθυνση προς τη μέση ένταση ακτινοβολίας:
d ( θ ,φ ) 
U ( θ ,φ )
Uo
Η Κατευθυντικότητα συνηθίζεται να υπολογίζεται μόνο στην κατεύθυνση της
μέγιστης έντασης ακτινοβολίας, διότι αυτή η κατεύθυνση συγκεντρώνει το πρακτικό
ενδιαφέρον:
D  d ( θ , φ )max 
U ( θ , φ )max

Uo
P ( θ , φ )max
Po
ή
D 
P (  ,  ) max
W  / 4  r 2

4  r 2 P (  ,  ) max
W 
 P (  ,  ) max 
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
DW 
4 r 2
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Κατευθυντικότητα Κεραιών
Η Κατευθυντικότητα D δείχνει πόσες φορές περισσότερη ισχύ μεταδίδεται από την
υπό εξέταση κεραία σε σχέση με τον ισοτροπικό ακτινοβολητή ο οποίος ακτινοβολεί
την ίδια ισχύ Wακ
D  d (  ,  ) max 
U (  ,  ) max
Uo

P (  ,  ) max
Po

P (  ,  ) max
W  4  r 2
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Κατευθυντικότητα Κεραίας και
Ακτινοβολούμενη Ισχύς
Έστω κεραία με κατευθυντικότητα D=2,15 dB η οποία δεν παρουσιάζει απώλειες και
τροφοδοτείται με ισχύ ίση με (4π) Watt.
Η λογαριθμική έκφραση της κατευθυντικότητας D(db) συνδέεται με την έκφραση της σε
απόλυτα μεγέθη ως εξής:
D ( db )  10 log 10 D  D  10
D ( dB ) / 10
 10
0 ,215
 1 ,64
Επομένως η κεραία ακτινοβολεί 1,64 φορές περισσότερο από τον αντίστοιχο ισοτροπικό
ακτινοβολητή
P
W
D
D  max  Pmax  D  Po  ακτ
2
Po
( 4πr )
Συνεπώς σε απόσταση 1 Km και στην κατεύθυνση μέγιστης ακτινοβολίας της κεραίας το
διάνυσμα Poynting θα είναι ίσο με
Pmax 
4 π  1 ,64
4 π  10
6
 1 ,64  10
6
W /m
2
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Κέρδος Κεραίας
Το κέρδος g(θ,φ), για μια συγκεκριμένη κατεύθυνση ακτινοβολίας, δείχνει πόσες φορές
περισσότερη ισχύς ακτινοβολείται από την υπό εξέταση κεραία, σε σχέση με τον χωρίς
απώλειες ισοτροπικό ακτινοβολητή που τροφοδοτείται με την ίδια ισχύ Win. Συνήθως η
αναφορά στο Κέρδος σχετίζεται με την κατεύθυνση της μέγιστης ακτινοβολίας και αντί του
συμβολισμού g χρησιμοποιείται το G=g(θ,φ)max.
G 
P (  ,  ) max
W in / 4  r 2

4  r 2 P (  ,  ) max
W in
 P (  ,  ) max 
GW in
4 r 2
ή
G 
4  r 2 P (  ,  ) max
W in

4  r 2 P (  ,  ) max
W   W 

W 
4  r 2 P (  ,  ) max
W   W 
W 
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
 D
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Ισοδύναμο Κύκλωμα Κεραίας Εκπομπής
Εάν η κεραία είναι απομονωμένη, δηλ. είναι μακριά από έδαφος και άλλα αντικείμενα, που
γενικά μπορούν να λειτουργήσουν ως ακτινοβολητές, τότε η αντίσταση εισόδου ονομάζεται
Ιδία Σύνθετη Αντίσταση. Αυτή η σύνθετη αντίσταση έχει ένα πραγματικό μέρος που
μπορεί να διακριθεί σε δύο εν σειρά ωμικές αντιστάσεις: α) στην Αντίσταση Ακτινοβολίας,
που αντιστοιχεί στις «απώλειες» ακτινοβολίας και β) στην Αντίσταση Απωλειών που
αντιστοιχεί στις θερμικές απώλειες. Τέλος το φανταστικό μέρος της σχετίζεται με την
ηλεκτρομαγνητική ενέργεια, η οποία εγκλωβίζεται στην κεραία κάνοντας την τελευταία να
συμπεριφέρεται σαν πηνίο ή πυκνωτής.
ZL
Σ χήμ α 1 .9 . Γρ αμ μ ή μ ετα φο ρά ς μ ε κ ερ αία κ αι ισο δύναμ η εμ π έδηση
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Ισοδύναμο Κύκλωμα Κεραίας Λήψης
 Σύμφωνα με το θεώρημα της Αμοιβαιότητας η σύνθετη αντίσταση ΖA ταυτίζεται με την
Ιδία Σύνθετη Αντίσταση της κεραίας, η οποία την χαρακτηρίζει όταν λειτουργεί σαν
πομπός.
V
ZL
ZL
ZA
Σ χήμ α 1 .10 . Κ ερ αία Δ έκ της κ αι το ισο δύναμ ο Κ ύκ λω μ α
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Ιδία Σύνθετη Αντίσταση
 Για μια οποιαδήποτε κεραία, την οποία διαρρέει ρευματική κατανομή πυκνότητα


J
στο
όγκο V που αυτή καταλαμβάνει ή ισοδύναμα επιφανειακής πυκνότητα J s στην επιφάνεια
S που αυτή ορίζει, η Ιδία Σύνθετη Αντίσταση περιγράφεται από την ακόλουθη σχέση
Z 11  
1
I
2
 E J dV   E J s dS
V
S
 Όταν η κεραία λειτουργεί απομονωμένη από άλλες κεραίες η Ιδία Σύνθετη Αντίσταση
ταυτίζεται με την σύνθετη αντίσταση εισόδου της κεραίας.
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Αμοιβαία Σύνθετη Αντίσταση
 Η Αμοιβαία Σύνθετη Αντίσταση μεταξύ δύο κεραιών χαρακτηρίζει τη σύζευξή τους και
ορίζεται ως ο λόγος της ΗΕΔ που επάγεται σε μια κεραία, προς την ένταση του ρεύματος
που διαρρέει την κεραία η οποία επάγει την ΗΕΔ.
Z 21 
V 21
I1
z
 Σύμφωνα με το Θ. Αμοιβαιότητας αποδεικνύεται η
E z= E 21
και Ζ21.
I1
V
ισότητα των Αμοιβαίων Σύνθετων Αντιστάσεων Ζ12
V 21
Σ χήμ α 1 .13 . Κ ερ αίες σε σύζευξη
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Σύνθετη Αντίσταση Εισόδου Κεραίας
Όταν η κεραία βρίσκεται σε σύζευξη με άλλες κεραίες, τότε τροποποιείται η αντίσταση
εισόδου, λόγω της ύπαρξης των άλλων κεραιών (ή ισοδύναμα λόγω των αμοιβαίων
σύνθετων αντιστάσεων τους) ως εξής:
V
I
V
I
Z in  in  1  Z 11  Z 12 2  ... Z 1 N N
I in
I1
I1
I1
όπου Ιn είναι το ρεύμα της κεραίας n και Ζ1n είναι η αμοιβαία σύνθετη αντίσταση μεταξύ της
κεραίας 1 και της συζευγμένης κεραίας n.
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Μετάδοση Ισχύος στο δέκτη
Η ισχύς Wr η οποία αποδίδεται από την κεραία στο φορτίο ΖL=RL+jXL, είναι
Wr 
1
2
I2
2
RL
Το ρεύμα Ι2, σύμφωνα με το ισοδύναμο κύκλωμα Thevenin, δίνεται από τη σχέση
I2 
V2
Z oλ

V2
 R A  R L 2  ( X A  X L

)
2
V2
 R 22  R L  2  ( X 22  X L
)
2
όπου ΖΑ=RΑ+jXΑ=R22+jX22 είναι η Εσωτερική Σύνθετη Αντίσταση της γεννήτριας Thevenin.
V
ZL
ZL
ZA
H αποδιδόμενη ισχύς στο φορτίο της
κεραίας μεγιστοποιείται όταν το φορτίο
λαμβάνει την τιμή
της Συζυγούς
Προσαρμογής

X 22   X L  Z T  Z 22  Z L
Σ χήμ α 1 .10 . Κ ερ αία Δ έκ της κ αι το ισο δύναμ ο Κ ύκ λω μ α
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Ενεργός Επιφάνεια

Η αποδιδόμενη ισχύς Wr και κατ’ επέκταση η Ενεργός Επιφάνεια μεγιστοποιείται σε
συνθήκες συζυγούς προσαρμογής.

Ο υπολογισμός της μέγιστης Ενεργου Επιφάνειας Αem, δηλ. της Ενεργού Επιφάνειας σε
συνθήκες συζυγούς προσαρμογής, εκφράζεται συναρτήσει του μήκους κύματος λ και του
Κέρδους G
A em 

2
4
G
H επαγόμενη τάση V στους ακροδέκτες της κεραίας-δέκτη, εκφράζεται συναρτήσει
της ενεργής επιφάνειας Αem, του διανύσματος Poynting Pav και του πραγματικού
μέρους RA της ιδίας σύνθετης αντίστασης ΖA του δέκτη
V  8 R A Aem Pav
1/ 2
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Εξίσωση Friss
Κ ερ α ία Ε κ π ο μ π ή ς
Κ ερ α ία Λ ή ψ η ς
r
T
R
Π ομπός
Δ έκ τη ς
Εάν η κεραία-πομπός τροφοδοτείται με ισχύ Wt, χαρακτηρίζεται από κέρδος Gt και
ενεργό επιφάνεια Αem,t, ενώ η κεραία δέκτης με κέρδος Gr και ενεργό επιφάνεια Αem,r ,
δεν υπάρχουν απώλειες και ικανοποιούνται οι συνθήκες προσαρμογής πόλωσης και
συζυγούς προσαρμογής:
Wr  Wt
2GtG r
4r 
2
 Wt
Aem ,t Aem ,r
r 2 2
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Παράδειγμα: Λαμβανόμενη ισχύς στο Δέκτη
Δεδομένα
Έστω δέκτης, προσανατολισμένος για μέγιστη λήψη, με κέρδος Gr=π και τοποθετημένος σε
απόσταση 3 Km από πομπό, που εκπέμπει στα 150 ΜΗz. Σύμφωνα με το διάγραμμα
ακτινοβολίας του πομπού, στην κατεύθυνση που βρίσκεται ο δέκτης, η ένταση ακτινοβολίας
είναι U= 9 Watt/rad2.
Λύση
Σύμφωνα με τον ορισμό της έντασης ακτινοβολίας U, το διάνυσμα Poynting ή αλλιώς η ισχύς
ανά μονάδα επιφανείας στη θέση που βρίσκεται ο πομπός είναι
Pav 
U
r
2

9
2
3  10
6
 10
-6
Watt/m
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
2
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Παράδειγμα: Λαμβανόμενη ισχύς στο Δέκτη
Λύση
(Α) Συνθήκες Συζυγούς Προσαρμογής
Η αποδιδόμενη ισχύς στο δέκτη είναι
 λ2 G 
r 
W r  Aem ,r Pav  
P
 4 π  av


Το μήκος κύματος λ είναι ίσο με
λ
c
f
8

3  10 m / sec
6
150  10 Hz
 2m
Εφόσον Gr=π η ενεργός επιφάνεια έχει την τιμή
Aem ,r 
4π
4π
2
m  1m
2
Επομένως η ισχύς που αποδίδεται στο προσαρμοσμένο φορτίο είναι Wr=10-6Watt.
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Παράδειγμα: Λαμβανόμενη ισχύς στο Δέκτη
Λύση
(Β) Συνθήκες Μη Συζυγούς Προσαρμογής
Εάν η ιδία σύνθετη αντίσταση της κεραίας–δέκτη είναι ΖΑ=50+j40 Ω, ενώ το φορτίο που
«βλέπει» η κεραία είναι ΖL=30+j20 Ω, η συνθήκη της συζυγούς προσαρμογής καταρρίπτεται.
Σε αυτή την περίπτωση η αποδιδόμενη ισχύς στο φορτίο δίνεται από τη σχέση
Wr 
1
I
2
2
RL
όπου Ι το ρεύμα που διαρρέει το φορτίο και RL το πραγματικό μέρος του φορτίου.
Το ρεύμα Ι, σε συνθήκες μη (συζυγούς) προσαρμογής, θα δίνεται από τη σχέση
I
2

V
2
 R L  R A 2   X L  X A 2
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ/ΣΤΕΦ/ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ
Τομέας Τηλεπικοινωνιών
Παράδειγμα: Λαμβανόμενη ισχύς στο Δέκτη
Λύση
(Β) Συνθήκες Μη Συζυγούς Προσαρμογής
Συνδυάζοντας τις δύο προηγούμενες σχέσεις προκύπτει ότι
Wr 
1
RL
2  R  R 2   X  X 2
L
A
L
A
V
2
Η τάση στον δέκτη υπολογίζεται ως εξής:
V
2
 8 R A Aem ,r Pav  8  50  1  10
6
2
( Volts )  400  10
6
( Volts )
Αντικαθιστώντας, προκύπτει η αποδιδόμενη στο φορτίο ισχύς
Wr 
1
30
2 30  50  2   20  40  2
 400 10
6
Watts  0 ,6 10
ΚΕΡΑΙΕΣ (ΣΤ Εξάμηνο)
6
Watts
2