Transcript Η ΒΕΛΟΝΑ ΤΟΥ BUFFON… ΤΑ ΜΥΡΜΗΓΚΙΑ... ΚΑΙ ΤΟ Π !!!

Μαθητές του Λυκείου Λινόπετρας
Ανδρέου Μαρίνα - Νικολάου Ειρήνη –
Οδυσσέως Νίκος - Παλάζης Κυριάκος –
Χαραλάμπους Νεκταρία – Χ’’Παναγή Στέλλα –
Χριστοδούλου Χρυστάλλα
Καθηγήτρια Μαθηματικών
Δημητρίου Τέρψα
• Μπορεί να υπολογιστεί ο αριθμός π μέχρι κάποια δεκαδικά ψηφία
χρησιμοποιώντας
οδοντογλυφίδες
και ένα
ριγέ τραπεζομάντιλο;
• Με ποιο τρόπο τα μυρμήγκια μπορούν να μετρούν το εμβαδόν
μικρών ρωγμών στο έδαφος, όπου θα μπορούσαν να
εγκαταστήσουν τη μυρμηγκοφωλιά τους;
• Τα πιο πάνω ερωτήματα, αν και φαινομενικά ασύνδετα,
βασίζονται στην ίδια μαθηματική αρχή:
Το πρόβλημα της βελόνας του Buffon.
1.1. Η βελόνα του Βuffon
• Η βελόνα του Βuffon είναι από
τα παλαιοτέρα προβλήματα
στον τομέα της γεωμετρικής
πιθανότητας.
• Διατυπώθηκε αρχικά το 1733
από τον Γάλλο φυσιογνώστη
και μαθηματικό George-Louis
Lecrerc de Buffon (1707-1788)
και παρουσιάστηκε με λύση
από τον ίδιο το 1777.
Το πρόβλημα περιλαμβάνει:
 την ρίψη μιας βελόνας μήκους ℓ
σε μια επιφάνεια με ισοδιάστατες
παράλληλες ευθείες με απόσταση d
 και τον υπολογισμό της πιθανότητας
η βελόνα να τέμνει
μια από τις παράλληλες γραμμές.
• Για ℓ < d, τότε
2
P=
(1)
πd
• Αν ρίξουμε κ οδοντογλυφίδες και έχουμε λ επιτυχίες, τότε
η πιθανότητα δίνεται από τον τύπο:
P=
λ (2)
κ
• Εξισώνοντας τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει η εξίσωση:
  2 (3)
d
Προσπάθειες μαθηματικών για υπολογισμό του π
Ερευνητής
Μήκος Βελόνας Ρίψεις Επιτυχίες Τιμή του π
Wolf (1856)
0,8
5000
2,532
3,15955
De Morgan
1
600
382
3,14136
Smith (1855)
0,6
3204
1218
3,15665
Fox
0,75
1030
489
3,1494
Lazzarini (1901)
0,83
3408
1808
3,12902
Reina
0,5419
2520
859
3,17947
Gridgeman
0,7857
2
1
3,1428

ℓ =1, d=1
1.2. Η απλούστερη περίπτωση
Απόσταση στην
κοντινότερη ευθεία (D)
Απόσταση μεταξύ
ευθειών = ℓ

½ ημθ
Μήκος
βελόνας = 1
Μεταβλητές:
1) Γωνία θ (0 ≤ θ ≤ π)
2) Απόσταση D του μέσου της βελόνας από την
d
πιο κοντινή γραμμή, με D 
2
1
▪ Η βελόνα θα τέμνει τη γραμμή αν D  
2
Ποια η πιθανότητα να κτυπήσει τη γραμμή;
• Η πιθανότητα μιας επιτυχίας ισούται με τον λόγο
Εσκιασμένο / Εορθογωνίου
f(x) = ½ ημθ
Απόσταση
κέντρου
βελόνας κοντινότερης
ευθείας
Ε σκιασμένο =
Πιθανές τιμές του θ

π
0
1
ημθ dθ =
2
π
 1

- 2 συνθ  = 1
0
1
Ε ορθογωνίου = π
2
έ
2
P   
  0, 6366197...
 ί 
1.3. Οι άλλες περιπτώσεις
• Για ℓ ≤ d
P( , d ) 

 d
d
2
2
0

4

 /2
 d
2 d 0
 /2
2

  0
d
2

d
• Για ℓ ≥ d
(1)
 

1 
2 
 
P( , d ) 
2
d  
d
 d    


 
2
2

1  0   0
d



2 
d
1  1 

2  





όπου συνφ0 = d/ℓ
• Πέντε ανεξάρτητες σειρές ρίψεων μιας βελόνας με ℓ = d/3.
2
π
• Εκτιμητής για το π: var  πˆ    1 π 1  5,63
n 2
n

με διακύμανση
•
πˆ  2rn
N
r = ℓ /d, n: αριθμός ρίψεων,
Ν: αριθμός τεμνόμενων γραμμών.
2.1 Η προσομοίωση του πιο πάνω
προβλήματος με Η.Υ.
http://www.angelfire.com/wa/hurben/buff.html
http://www.math.csusb.edu/faculty/stanton/m262/buffon/buffon.html
3.1. Τα μυρμήγκια που ξέρουν το θεώρημα
του Buffon !!!
Nigel Franks
Βιολόγος
Eamonn Mallon
Βιολόγος
Leptothorax Albipennis
Κοινά
σημεία
Φερομόνη
Εκτιμώμενο εμβαδόν οποιασδήποτε επίπεδης επιφάνειας
2
MN
E

Όπου Μ, Ν : συνολικά μήκη των δύο τεθλασμένων γραμμών
Κ : αριθμός κοινών σημείων διαδρομών
3.2. Μαθηματικά και ζωή
Τα μαθηματικά είναι πιο ενδιαφέροντα και δραματικά από ότι
συνήθως οι περισσότεροι άνθρωποι νομίζουν. Βρίσκονται
πλησιέστερα στην ζωντάνια και ενεργητικότητα της ίδιας της
φύσης, αποτελώντας αναπόσπαστο κομμάτι της, παρά σε μία
αποστεωμένη αυστηρότητα με την οποία συχνά συγχέονται.
Η Φύση έχει ένα μοναδικό και ανεξήγητο τρόπο
να χρησιμοποιεί Μαθηματικά.
3.3. Η Φύση στη διδακτική των Μαθηματικών
Η φύση με την ομορφιά και την ζωντάνια της θα μπορούσε να δώσει
πολλά παραδείγματα για τη διδασκαλία πολλών μαθηματικών
εννοιών, με τρόπο ιδιαίτερα ελκυστικό.
Στην Μαργαρίτα Μπέλα
(Bellis perenis), υπάρχουν
21 έλικες προς την μία
κατεύθυνση και 34 προς
την άλλη.
Στα κουκουνάρια
υπάρχουν 8 έλικεςπρος
την μία κατεύθυνση και
13 προς την άλλη.
Ηλιοτρόπιο
Μπρόκολο
Romanesque
Κυψέλες
Τυχαίο
Λουλούδι
«Όλα τα αποτελέσματα στη φύση δεν είναι παρά οι
μαθηματικές συνέπειες λίγων αναλλοίωτων νόμων»
P.S. Laplace
«Ο Θεός Γεωμετρεί» για άλλη μια φορά μπροστά στα έκπληκτα
μάτια του ανθρώπου, που το πολύ που μπορεί να κάνει είναι να
ανακαλύψει αυτές τις κρυμμένες αρμονίες του Σύμπαντος.
Τελικά, μάλλον τα φυτά ξέρουν καλά μαθηματικά και όπως
φαίνεται η Φύση ολόκληρη υπακούει σε μαθηματικές
αρμονίες…
«Χωρίς μουσική, η ζωή θα ήταν λάθος»
έγραφε ο Νίτσε
Χωρίς Μαθηματικά;
«Δεν θα είχαμε νιώσει την ηδονή της ανακάλυψης του
πολυδιάστατου και πανέμορφου κόσμου που μας περιβάλλει»
Αθανάσιος Φωκάς
Ελευθεροτυπία Αθηνών