Transcript Η Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ
Ενότητα 6: Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων.
Καθηγήτρια Γεωργά Σταυρούλα
Τμήμα Φυσικής
Άδειες Χρήσης
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
χρήσης Creative Commons.
• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης
αναφέρεται ρητώς.
2
Χρηματοδότηση
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια
του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.
• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο
Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση
του εκπαιδευτικού υλικού.
• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού
Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και
συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό
Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
3
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ
Πηγή: flickr
Πηγή: pixabay
Πηγή: wikimedia
Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ
•Γενικά σε μια σειρά Ν μετρήσεων
προσπαθούμε να
βρούμε τις παραμέτρους μιας πρότυπης σχέσης
,
η οποία θεωρούμε ότι περιγράφει τις πειραματικές μας
μετρήσεις! Η διαδικασία αυτή γίνεται με τη Μέθοδο των
Ελαχίστων Τετραγώνων (ΜΕΤ).
•Βασικές προϋποθέσεις για την εφαρμογή της ΜΕΤ είναι:
Το σφάλμα της ανεξάρτητης μεταβλητής είναι αμελητέο.
Όλα τα
βαρύνονται με το ίδιο τυχαίο σφάλμα, το οποίο
ακολουθεί την κανονική κατανομή Gauss.
•Οι παράμετροι προσδιορίζονται με ελαχιστοποίηση του
αθροίσματος των τετραγώνων των αποκλίσεων:
ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ
Η γνωστότερη περίπτωση εφαρμογής της μεθόδου είναι
η περίπτωση όπου η σχέση που συνδέει τα
και
είναι
γραμμική, δηλ.
Είναι φανερό ότι σε διάγραμμα όπου έχουν τοποθετηθεί
τα πειραματικά ζεύγη τιμών
, μπορούν να
χαραχθούν “άπειρες” ευθείες οι οποίες να διέρχονται
ανάμεσα από τα πειραματικά σημεία.
Με τη ΜΕΤ υπολογίζονται οι σταθερές
και
για τη χάραξη της βέλτιστης-άριστης ευθείας, δηλ. της
ευθείας για την οποία το άθροισμα:
γίνεται ελάχιστο!
ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ
Εξίσωση ευθείας: y=Ax+B
Ζητάω το:
Δηλαδή:
ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ
Τελικά, από τους υπολογισμούς προκύπτει:
και:
ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ
Ο υπολογισμός των σφαλμάτων δίνει:
και
ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ
Εφαρμογή:
Μετρήθηκε η περίοδος Τ ενός απλού μαθηματικού
εκκρεμούς, για 8 διαφορετικά μήκη. Με εφαρμογή
της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων (ΜΕΤ) να
υπολογισθεί η τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας.
Επειδή:
Για την εφαρμογή της ΜΕΤ έχω:
ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ
Εφαρμογή (συνέχεια)
xi
yi
xi2
xiyi
yi-Αxi -Β
(yi-Αxi –Β)2
L (m)
T2 (s2)
L2 (m2)
L T2 (ms2)
s2
x10-4 s4
0.262
1.10
0.0688
0.2882
+0.0264
6.970
0.303
1.17
0.0918
0.3545
-0.0663
43.962
0.428
1.80
0.1832
0.7704
+0.0677
45.833
0.513
1.98
0.2632
1.0055
-0.1096
120.121
0.650
2.72
0.4225
1.7680
+0.1068
114.082
0.734
2.89
0.5388
2.1213
-0.0585
31.922
0.802
3.35
0.6432
2.6867
+0.1337
178.756
0.927
3.61
0.8593
3.3465
-0.1023
104.652
Σxi =
4.619m
Σyi=
18.80s2
Σxi2=
3.0706m2
(Σxi)2=21.3352m2
Σxiyi=
12.3411ms2
Σ(yi-Αxi -Β)2=
646.278 x10-4s4
ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ
Συμβολίζω με Δ τον κοινό παρανομαστή των σχέσεων
που δίνουν τις τιμές των Α, Β και των σφαλμάτων
τους δΑ και δΒ:
Αντικαθιστώντας, προκύπτει:
ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ
Οπότε για τις τιμές των Α και Β έχουμε:
ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ
Δηλαδή:
Για να υπολογίσουμε τα σφάλματα, υπολογίζουμε
αρχικά την ποσότητα :
ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ
Οπότε:
ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ
Άρα τελικά:
ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ
ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ
 Για την πραγματοποίηση του διαγράμματος, αφού
επιλέξω κατάλληλα τους άξονες, τοποθετώ τα πειραματικά
σημεία (μπλε σταυροί στο διάγραμμα που ακολουθεί).
Όπως προέκυψε από τους υπολογισμούς ισχύει:
Οπότε για τη χάραξη της βέλτιστης ευθείας αρκεί για δύο
τιμές και
να υπολογίσω τις αντίστοιχες τιμές του .
Τοποθετώ τα δυο ζεύγη τιμών στο διάγραμμα (πράσινοι
αστερίσκοι στο διάγραμμα που ακολουθεί) και χαράζω τη βέλτιστη
ευθεία, η οποία είναι η ευθεία που ενώνει αυτά τα δύο
σημεία (κόκκινη ευθεία).
ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ
2=1.6s2
Για
L
=0.4m
προκύπτει
Τ
1
1
Αφού Τ2=4.0L προκύπτει ότι
Για L2=0.9m προκύπτει Τ12=3.6s2
4,0
*
3,5
T
2
2
(s )
3,0
2,5
2,0
*
1,5
1,0
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
L (m)
0,7
0,8
0,9
1,0
Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων
Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από τις σημειώσεις:
• 1) Σ.Σακκόπουλου: "Ανάλυση Πειραματικών Δεδομένων-Θεωρία
Σφαλμάτων" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα 2008.
• 2) Σ. Σακκόπουλου: "Εργαστήριο Φυσικής Ι" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα
2008.
εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά. Οι ιστότοποι προέλευσης ήταν
ενεργοί κατά την 13η Ιουνίου 2015 οπότε και καταχωρήθηκαν οι
παραπομπές.
Σημείωμα Αναφοράς
Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Σταυρούλα Γεωργά.
«Εργαστήριο Φυσικής. Ενότητα 6». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015.
Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:
https://eclass.upatras.gr/courses /PHY1952/
Σημείωμα Αδειοδότησης
Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη
Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα
αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό
και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων
Τρίτων».
[1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:
•που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το
διανομέα του έργου και αδειοδόχο
•που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο
έργο
•που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ.
διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο
Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για
εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.
Διατήρηση Σημειωμάτων
Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να
συμπεριλαμβάνει:
 το Σημείωμα Αναφοράς
 το Σημείωμα Αδειοδότησης
 τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων
 το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ’ όσον υπάρχει).
Τέλος Ενότητας