Slide 1

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ
Ενότητα 2: Κατανομή Gauss
Καθηγήτρια Γεωργά Σταυρούλα
Τμήμα Φυσικής

Άδειες Χρήσης
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
χρήσης Creative Commons.
• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης
αναφέρεται ρητώς.

2

Χρηματοδότηση
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια
του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.
• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο
Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του
εκπαιδευτικού υλικού.
• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού
Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και
συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό
Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

Πηγή: flickr

Πηγή: pixabay

Πηγή: wikimedia

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
 Σύμφωνα με τη στατιστική κατανομή αν ένα
φαινόμενο είναι πράγματι τυχαίο, τότε η οριακή
κατανομή που θα προκύψει μετά από άπειρες
προσπάθειες θα είναι η κανονική κατανομή ή
κατανομή Gauss.
 Η κατανομή Gauss είναι η πιο κοινή κατανομή στην
θεωρία πιθανοτήτων:
Εάν επαναλάβουμε ένα πείραμα πολλές φορές
(…άπειρες…) τότε το αποτέλεσμα περιγράφεται από
τη συμμετρική καμπύλη (-κώδωνας-) Gauss.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N

R(KΩ

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

Ιστόγραμμα – Πολύγωνο συχνοτήτων
Μέτρηση της αντίστασης ενός αντιστάτη
Οι μετρήσεις κατανέμονται στο διάστημα μεταξύ
4,5 ΚΩ και 6,5 ΚΩ
Μέση τιμή :
Εύρος τιμών: 6,5 – 4,5 = 2 ΚΩ
Κλάσεις = κ = 1 +3,3log(Ν) = 5
Πλάτος κλάσης = 2/5 = 0,4 ΚΩ
ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Ιστόγραμμα –Πολύγωνο Συχνοτήτων

Πολύγωνο συχνοτήτων

ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Κατανομή Gauss ή Κανονική κατανομή

R(KΩ)
5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

(KΩ)
0,28
0,94
0,47
-0,31
-0,51
0,37
-0,33
0,04
0,24
-0,49
0,14
-0,97
0,07
0,23
-0,06
0,26
0,12
0,05
-0,17
-0,29

Συμμετρική καμπύλη γύρω από το 0 σημαίνει ότι η
μέτρηση υπόκειται σε τυχαία σφάλματα. Απόκλιση
της συμμετρίας γύρω από το 0 σημαίνει είτε ότι η
μέτρηση ήταν κακή είτε ότι υπεισέρχoνται συστηματικά
σφάλματα.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-σ…..+σ), είναι ίση
με 68%

σ = 0,47

2σ

-2σ

2σ

• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-2σ…..+2σ), είναι
ίση με 95%

• Το 2σ ονομάζεται: Εύρος
ημίσειας τιμής (FWHM)

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Το εύρος των διαστημάτων σε ένα
ιστόγραμμα πρέπει να μην είναι: ούτε
πολύ μεγάλο [διότι τότε μεγάλο πλήθος
των μετρήσεων θα περιλαμβάνεται σε
ένα μόνο διάστημα!],
ούτε πολύ μικρό [διότι τότε θα
υπάρχουν διαστήματα τα οποία δεν θα
περιέχουν καμία μέτρηση!],
με αποτέλεσμα το ιστόγραμμα να μη
δίνει σωστές πληροφορίες….

σ = 0,161

2σ

-2σ

2σ

Αυξάνοντας το συνολικό πλήθος
των
μετρήσεων, έχουμε τη
δυνατότητα να επιλέγουμε όλο και
μικρότερα διαστήματα για την
κατασκευή του ιστογράμματος!

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Η κατανομή Gauss ή κανονική κατανομή δίδεται από
τη σχέση:

Το σ καθορίζει το εύρος της κατανομής και
λαμβάνεται ως μέτρο του σφάλματος, Χ είναι η
κεντρική τιμή.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Για n μετρήσεις
του ίδιου μεγέθους, τα σ
και Χ προσδιορίζονται από τις σχέσεις:

Το σx ονομάζεται τυπική απόκλιση της σειράς των
μετρήσεων – Εξαρτάται από την ποιότητα και όχι από
το πλήθος n των μετρήσεων!

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ

• Ορίζουμε επίσης την τυπική απόκλιση της μέσης τιμής
των μετρήσεων – Εξαρτάται από το πλήθος n των
μετρήσεων:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
Άρα σε μια σειρά n μετρήσεων:
• Η πιο αξιόπιστη τιμή είναι η μέση τιμή:
• Κάθε μέτρηση

παρουσιάζει απόκλιση από τη

μέση τιμή:
•Η σειρά των n μετρήσεων χαρακτηρίζεται από
την τυπική απόκλιση:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
•Η τυπική απόκλιση της μέσης τιμής είναι ίση με:

και το τελικό αποτέλεσμα θα εκφράζεται από την:
•Το σχετικό σφάλμα (ή η % απόκλιση) της μέσης
τιμής, προσδιορίζεται από τη σχέση:

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων
Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από τις σημειώσεις:
• 1) Σ.Σακκόπουλου: "Ανάλυση Πειραματικών Δεδομένων-Θεωρία
Σφαλμάτων" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα 2008.
• 2) Σ. Σακκόπουλου: "Εργαστήριο Φυσικής Ι" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα
2008.
εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά. Οι ιστότοποι προέλευσης ήταν
ενεργοί κατά την 13η Ιουνίου 2015 οπότε και καταχωρήθηκαν οι
παραπομπές.

Σημείωμα Αναφοράς
Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Σταυρούλα Γεωργά.
«Εργαστήριο Φυσικής. Ενότητα 2». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015.
Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:
https://eclass.upatras.gr/courses /PHY1952/

Σημείωμα Αδειοδότησης
Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη
Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα
αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό
και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων
Τρίτων».

[1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:
•που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το
διανομέα του έργου και αδειοδόχο
•που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο
έργο
•που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ.
διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο
Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για
εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Διατήρηση Σημειωμάτων
Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να
συμπεριλαμβάνει:
 το Σημείωμα Αναφοράς
 το Σημείωμα Αδειοδότησης
 τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων
 το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ’ όσον υπάρχει).

Τέλος Ενότητας


Slide 2

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ
Ενότητα 2: Κατανομή Gauss
Καθηγήτρια Γεωργά Σταυρούλα
Τμήμα Φυσικής

Άδειες Χρήσης
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
χρήσης Creative Commons.
• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης
αναφέρεται ρητώς.

2

Χρηματοδότηση
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια
του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.
• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο
Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του
εκπαιδευτικού υλικού.
• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού
Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και
συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό
Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

Πηγή: flickr

Πηγή: pixabay

Πηγή: wikimedia

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
 Σύμφωνα με τη στατιστική κατανομή αν ένα
φαινόμενο είναι πράγματι τυχαίο, τότε η οριακή
κατανομή που θα προκύψει μετά από άπειρες
προσπάθειες θα είναι η κανονική κατανομή ή
κατανομή Gauss.
 Η κατανομή Gauss είναι η πιο κοινή κατανομή στην
θεωρία πιθανοτήτων:
Εάν επαναλάβουμε ένα πείραμα πολλές φορές
(…άπειρες…) τότε το αποτέλεσμα περιγράφεται από
τη συμμετρική καμπύλη (-κώδωνας-) Gauss.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N

R(KΩ

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

Ιστόγραμμα – Πολύγωνο συχνοτήτων
Μέτρηση της αντίστασης ενός αντιστάτη
Οι μετρήσεις κατανέμονται στο διάστημα μεταξύ
4,5 ΚΩ και 6,5 ΚΩ
Μέση τιμή :
Εύρος τιμών: 6,5 – 4,5 = 2 ΚΩ
Κλάσεις = κ = 1 +3,3log(Ν) = 5
Πλάτος κλάσης = 2/5 = 0,4 ΚΩ
ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Ιστόγραμμα –Πολύγωνο Συχνοτήτων

Πολύγωνο συχνοτήτων

ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Κατανομή Gauss ή Κανονική κατανομή

R(KΩ)
5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

(KΩ)
0,28
0,94
0,47
-0,31
-0,51
0,37
-0,33
0,04
0,24
-0,49
0,14
-0,97
0,07
0,23
-0,06
0,26
0,12
0,05
-0,17
-0,29

Συμμετρική καμπύλη γύρω από το 0 σημαίνει ότι η
μέτρηση υπόκειται σε τυχαία σφάλματα. Απόκλιση
της συμμετρίας γύρω από το 0 σημαίνει είτε ότι η
μέτρηση ήταν κακή είτε ότι υπεισέρχoνται συστηματικά
σφάλματα.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-σ…..+σ), είναι ίση
με 68%

σ = 0,47

2σ

-2σ

2σ

• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-2σ…..+2σ), είναι
ίση με 95%

• Το 2σ ονομάζεται: Εύρος
ημίσειας τιμής (FWHM)

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Το εύρος των διαστημάτων σε ένα
ιστόγραμμα πρέπει να μην είναι: ούτε
πολύ μεγάλο [διότι τότε μεγάλο πλήθος
των μετρήσεων θα περιλαμβάνεται σε
ένα μόνο διάστημα!],
ούτε πολύ μικρό [διότι τότε θα
υπάρχουν διαστήματα τα οποία δεν θα
περιέχουν καμία μέτρηση!],
με αποτέλεσμα το ιστόγραμμα να μη
δίνει σωστές πληροφορίες….

σ = 0,161

2σ

-2σ

2σ

Αυξάνοντας το συνολικό πλήθος
των
μετρήσεων, έχουμε τη
δυνατότητα να επιλέγουμε όλο και
μικρότερα διαστήματα για την
κατασκευή του ιστογράμματος!

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Η κατανομή Gauss ή κανονική κατανομή δίδεται από
τη σχέση:

Το σ καθορίζει το εύρος της κατανομής και
λαμβάνεται ως μέτρο του σφάλματος, Χ είναι η
κεντρική τιμή.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Για n μετρήσεις
του ίδιου μεγέθους, τα σ
και Χ προσδιορίζονται από τις σχέσεις:

Το σx ονομάζεται τυπική απόκλιση της σειράς των
μετρήσεων – Εξαρτάται από την ποιότητα και όχι από
το πλήθος n των μετρήσεων!

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ

• Ορίζουμε επίσης την τυπική απόκλιση της μέσης τιμής
των μετρήσεων – Εξαρτάται από το πλήθος n των
μετρήσεων:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
Άρα σε μια σειρά n μετρήσεων:
• Η πιο αξιόπιστη τιμή είναι η μέση τιμή:
• Κάθε μέτρηση

παρουσιάζει απόκλιση από τη

μέση τιμή:
•Η σειρά των n μετρήσεων χαρακτηρίζεται από
την τυπική απόκλιση:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
•Η τυπική απόκλιση της μέσης τιμής είναι ίση με:

και το τελικό αποτέλεσμα θα εκφράζεται από την:
•Το σχετικό σφάλμα (ή η % απόκλιση) της μέσης
τιμής, προσδιορίζεται από τη σχέση:

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων
Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από τις σημειώσεις:
• 1) Σ.Σακκόπουλου: "Ανάλυση Πειραματικών Δεδομένων-Θεωρία
Σφαλμάτων" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα 2008.
• 2) Σ. Σακκόπουλου: "Εργαστήριο Φυσικής Ι" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα
2008.
εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά. Οι ιστότοποι προέλευσης ήταν
ενεργοί κατά την 13η Ιουνίου 2015 οπότε και καταχωρήθηκαν οι
παραπομπές.

Σημείωμα Αναφοράς
Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Σταυρούλα Γεωργά.
«Εργαστήριο Φυσικής. Ενότητα 2». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015.
Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:
https://eclass.upatras.gr/courses /PHY1952/

Σημείωμα Αδειοδότησης
Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη
Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα
αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό
και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων
Τρίτων».

[1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:
•που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το
διανομέα του έργου και αδειοδόχο
•που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο
έργο
•που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ.
διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο
Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για
εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Διατήρηση Σημειωμάτων
Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να
συμπεριλαμβάνει:
 το Σημείωμα Αναφοράς
 το Σημείωμα Αδειοδότησης
 τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων
 το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ’ όσον υπάρχει).

Τέλος Ενότητας


Slide 3

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ
Ενότητα 2: Κατανομή Gauss
Καθηγήτρια Γεωργά Σταυρούλα
Τμήμα Φυσικής

Άδειες Χρήσης
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
χρήσης Creative Commons.
• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης
αναφέρεται ρητώς.

2

Χρηματοδότηση
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια
του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.
• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο
Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του
εκπαιδευτικού υλικού.
• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού
Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και
συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό
Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

Πηγή: flickr

Πηγή: pixabay

Πηγή: wikimedia

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
 Σύμφωνα με τη στατιστική κατανομή αν ένα
φαινόμενο είναι πράγματι τυχαίο, τότε η οριακή
κατανομή που θα προκύψει μετά από άπειρες
προσπάθειες θα είναι η κανονική κατανομή ή
κατανομή Gauss.
 Η κατανομή Gauss είναι η πιο κοινή κατανομή στην
θεωρία πιθανοτήτων:
Εάν επαναλάβουμε ένα πείραμα πολλές φορές
(…άπειρες…) τότε το αποτέλεσμα περιγράφεται από
τη συμμετρική καμπύλη (-κώδωνας-) Gauss.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N

R(KΩ

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

Ιστόγραμμα – Πολύγωνο συχνοτήτων
Μέτρηση της αντίστασης ενός αντιστάτη
Οι μετρήσεις κατανέμονται στο διάστημα μεταξύ
4,5 ΚΩ και 6,5 ΚΩ
Μέση τιμή :
Εύρος τιμών: 6,5 – 4,5 = 2 ΚΩ
Κλάσεις = κ = 1 +3,3log(Ν) = 5
Πλάτος κλάσης = 2/5 = 0,4 ΚΩ
ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Ιστόγραμμα –Πολύγωνο Συχνοτήτων

Πολύγωνο συχνοτήτων

ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Κατανομή Gauss ή Κανονική κατανομή

R(KΩ)
5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

(KΩ)
0,28
0,94
0,47
-0,31
-0,51
0,37
-0,33
0,04
0,24
-0,49
0,14
-0,97
0,07
0,23
-0,06
0,26
0,12
0,05
-0,17
-0,29

Συμμετρική καμπύλη γύρω από το 0 σημαίνει ότι η
μέτρηση υπόκειται σε τυχαία σφάλματα. Απόκλιση
της συμμετρίας γύρω από το 0 σημαίνει είτε ότι η
μέτρηση ήταν κακή είτε ότι υπεισέρχoνται συστηματικά
σφάλματα.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-σ…..+σ), είναι ίση
με 68%

σ = 0,47

2σ

-2σ

2σ

• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-2σ…..+2σ), είναι
ίση με 95%

• Το 2σ ονομάζεται: Εύρος
ημίσειας τιμής (FWHM)

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Το εύρος των διαστημάτων σε ένα
ιστόγραμμα πρέπει να μην είναι: ούτε
πολύ μεγάλο [διότι τότε μεγάλο πλήθος
των μετρήσεων θα περιλαμβάνεται σε
ένα μόνο διάστημα!],
ούτε πολύ μικρό [διότι τότε θα
υπάρχουν διαστήματα τα οποία δεν θα
περιέχουν καμία μέτρηση!],
με αποτέλεσμα το ιστόγραμμα να μη
δίνει σωστές πληροφορίες….

σ = 0,161

2σ

-2σ

2σ

Αυξάνοντας το συνολικό πλήθος
των
μετρήσεων, έχουμε τη
δυνατότητα να επιλέγουμε όλο και
μικρότερα διαστήματα για την
κατασκευή του ιστογράμματος!

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Η κατανομή Gauss ή κανονική κατανομή δίδεται από
τη σχέση:

Το σ καθορίζει το εύρος της κατανομής και
λαμβάνεται ως μέτρο του σφάλματος, Χ είναι η
κεντρική τιμή.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Για n μετρήσεις
του ίδιου μεγέθους, τα σ
και Χ προσδιορίζονται από τις σχέσεις:

Το σx ονομάζεται τυπική απόκλιση της σειράς των
μετρήσεων – Εξαρτάται από την ποιότητα και όχι από
το πλήθος n των μετρήσεων!

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ

• Ορίζουμε επίσης την τυπική απόκλιση της μέσης τιμής
των μετρήσεων – Εξαρτάται από το πλήθος n των
μετρήσεων:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
Άρα σε μια σειρά n μετρήσεων:
• Η πιο αξιόπιστη τιμή είναι η μέση τιμή:
• Κάθε μέτρηση

παρουσιάζει απόκλιση από τη

μέση τιμή:
•Η σειρά των n μετρήσεων χαρακτηρίζεται από
την τυπική απόκλιση:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
•Η τυπική απόκλιση της μέσης τιμής είναι ίση με:

και το τελικό αποτέλεσμα θα εκφράζεται από την:
•Το σχετικό σφάλμα (ή η % απόκλιση) της μέσης
τιμής, προσδιορίζεται από τη σχέση:

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων
Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από τις σημειώσεις:
• 1) Σ.Σακκόπουλου: "Ανάλυση Πειραματικών Δεδομένων-Θεωρία
Σφαλμάτων" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα 2008.
• 2) Σ. Σακκόπουλου: "Εργαστήριο Φυσικής Ι" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα
2008.
εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά. Οι ιστότοποι προέλευσης ήταν
ενεργοί κατά την 13η Ιουνίου 2015 οπότε και καταχωρήθηκαν οι
παραπομπές.

Σημείωμα Αναφοράς
Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Σταυρούλα Γεωργά.
«Εργαστήριο Φυσικής. Ενότητα 2». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015.
Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:
https://eclass.upatras.gr/courses /PHY1952/

Σημείωμα Αδειοδότησης
Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη
Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα
αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό
και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων
Τρίτων».

[1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:
•που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το
διανομέα του έργου και αδειοδόχο
•που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο
έργο
•που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ.
διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο
Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για
εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Διατήρηση Σημειωμάτων
Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να
συμπεριλαμβάνει:
 το Σημείωμα Αναφοράς
 το Σημείωμα Αδειοδότησης
 τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων
 το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ’ όσον υπάρχει).

Τέλος Ενότητας


Slide 4

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ
Ενότητα 2: Κατανομή Gauss
Καθηγήτρια Γεωργά Σταυρούλα
Τμήμα Φυσικής

Άδειες Χρήσης
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
χρήσης Creative Commons.
• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης
αναφέρεται ρητώς.

2

Χρηματοδότηση
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια
του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.
• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο
Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του
εκπαιδευτικού υλικού.
• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού
Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και
συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό
Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

Πηγή: flickr

Πηγή: pixabay

Πηγή: wikimedia

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
 Σύμφωνα με τη στατιστική κατανομή αν ένα
φαινόμενο είναι πράγματι τυχαίο, τότε η οριακή
κατανομή που θα προκύψει μετά από άπειρες
προσπάθειες θα είναι η κανονική κατανομή ή
κατανομή Gauss.
 Η κατανομή Gauss είναι η πιο κοινή κατανομή στην
θεωρία πιθανοτήτων:
Εάν επαναλάβουμε ένα πείραμα πολλές φορές
(…άπειρες…) τότε το αποτέλεσμα περιγράφεται από
τη συμμετρική καμπύλη (-κώδωνας-) Gauss.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N

R(KΩ

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

Ιστόγραμμα – Πολύγωνο συχνοτήτων
Μέτρηση της αντίστασης ενός αντιστάτη
Οι μετρήσεις κατανέμονται στο διάστημα μεταξύ
4,5 ΚΩ και 6,5 ΚΩ
Μέση τιμή :
Εύρος τιμών: 6,5 – 4,5 = 2 ΚΩ
Κλάσεις = κ = 1 +3,3log(Ν) = 5
Πλάτος κλάσης = 2/5 = 0,4 ΚΩ
ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Ιστόγραμμα –Πολύγωνο Συχνοτήτων

Πολύγωνο συχνοτήτων

ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Κατανομή Gauss ή Κανονική κατανομή

R(KΩ)
5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

(KΩ)
0,28
0,94
0,47
-0,31
-0,51
0,37
-0,33
0,04
0,24
-0,49
0,14
-0,97
0,07
0,23
-0,06
0,26
0,12
0,05
-0,17
-0,29

Συμμετρική καμπύλη γύρω από το 0 σημαίνει ότι η
μέτρηση υπόκειται σε τυχαία σφάλματα. Απόκλιση
της συμμετρίας γύρω από το 0 σημαίνει είτε ότι η
μέτρηση ήταν κακή είτε ότι υπεισέρχoνται συστηματικά
σφάλματα.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-σ…..+σ), είναι ίση
με 68%

σ = 0,47

2σ

-2σ

2σ

• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-2σ…..+2σ), είναι
ίση με 95%

• Το 2σ ονομάζεται: Εύρος
ημίσειας τιμής (FWHM)

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Το εύρος των διαστημάτων σε ένα
ιστόγραμμα πρέπει να μην είναι: ούτε
πολύ μεγάλο [διότι τότε μεγάλο πλήθος
των μετρήσεων θα περιλαμβάνεται σε
ένα μόνο διάστημα!],
ούτε πολύ μικρό [διότι τότε θα
υπάρχουν διαστήματα τα οποία δεν θα
περιέχουν καμία μέτρηση!],
με αποτέλεσμα το ιστόγραμμα να μη
δίνει σωστές πληροφορίες….

σ = 0,161

2σ

-2σ

2σ

Αυξάνοντας το συνολικό πλήθος
των
μετρήσεων, έχουμε τη
δυνατότητα να επιλέγουμε όλο και
μικρότερα διαστήματα για την
κατασκευή του ιστογράμματος!

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Η κατανομή Gauss ή κανονική κατανομή δίδεται από
τη σχέση:

Το σ καθορίζει το εύρος της κατανομής και
λαμβάνεται ως μέτρο του σφάλματος, Χ είναι η
κεντρική τιμή.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Για n μετρήσεις
του ίδιου μεγέθους, τα σ
και Χ προσδιορίζονται από τις σχέσεις:

Το σx ονομάζεται τυπική απόκλιση της σειράς των
μετρήσεων – Εξαρτάται από την ποιότητα και όχι από
το πλήθος n των μετρήσεων!

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ

• Ορίζουμε επίσης την τυπική απόκλιση της μέσης τιμής
των μετρήσεων – Εξαρτάται από το πλήθος n των
μετρήσεων:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
Άρα σε μια σειρά n μετρήσεων:
• Η πιο αξιόπιστη τιμή είναι η μέση τιμή:
• Κάθε μέτρηση

παρουσιάζει απόκλιση από τη

μέση τιμή:
•Η σειρά των n μετρήσεων χαρακτηρίζεται από
την τυπική απόκλιση:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
•Η τυπική απόκλιση της μέσης τιμής είναι ίση με:

και το τελικό αποτέλεσμα θα εκφράζεται από την:
•Το σχετικό σφάλμα (ή η % απόκλιση) της μέσης
τιμής, προσδιορίζεται από τη σχέση:

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων
Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από τις σημειώσεις:
• 1) Σ.Σακκόπουλου: "Ανάλυση Πειραματικών Δεδομένων-Θεωρία
Σφαλμάτων" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα 2008.
• 2) Σ. Σακκόπουλου: "Εργαστήριο Φυσικής Ι" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα
2008.
εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά. Οι ιστότοποι προέλευσης ήταν
ενεργοί κατά την 13η Ιουνίου 2015 οπότε και καταχωρήθηκαν οι
παραπομπές.

Σημείωμα Αναφοράς
Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Σταυρούλα Γεωργά.
«Εργαστήριο Φυσικής. Ενότητα 2». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015.
Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:
https://eclass.upatras.gr/courses /PHY1952/

Σημείωμα Αδειοδότησης
Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη
Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα
αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό
και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων
Τρίτων».

[1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:
•που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το
διανομέα του έργου και αδειοδόχο
•που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο
έργο
•που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ.
διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο
Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για
εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Διατήρηση Σημειωμάτων
Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να
συμπεριλαμβάνει:
 το Σημείωμα Αναφοράς
 το Σημείωμα Αδειοδότησης
 τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων
 το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ’ όσον υπάρχει).

Τέλος Ενότητας


Slide 5

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ
Ενότητα 2: Κατανομή Gauss
Καθηγήτρια Γεωργά Σταυρούλα
Τμήμα Φυσικής

Άδειες Χρήσης
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
χρήσης Creative Commons.
• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης
αναφέρεται ρητώς.

2

Χρηματοδότηση
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια
του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.
• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο
Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του
εκπαιδευτικού υλικού.
• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού
Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και
συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό
Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

Πηγή: flickr

Πηγή: pixabay

Πηγή: wikimedia

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
 Σύμφωνα με τη στατιστική κατανομή αν ένα
φαινόμενο είναι πράγματι τυχαίο, τότε η οριακή
κατανομή που θα προκύψει μετά από άπειρες
προσπάθειες θα είναι η κανονική κατανομή ή
κατανομή Gauss.
 Η κατανομή Gauss είναι η πιο κοινή κατανομή στην
θεωρία πιθανοτήτων:
Εάν επαναλάβουμε ένα πείραμα πολλές φορές
(…άπειρες…) τότε το αποτέλεσμα περιγράφεται από
τη συμμετρική καμπύλη (-κώδωνας-) Gauss.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N

R(KΩ

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

Ιστόγραμμα – Πολύγωνο συχνοτήτων
Μέτρηση της αντίστασης ενός αντιστάτη
Οι μετρήσεις κατανέμονται στο διάστημα μεταξύ
4,5 ΚΩ και 6,5 ΚΩ
Μέση τιμή :
Εύρος τιμών: 6,5 – 4,5 = 2 ΚΩ
Κλάσεις = κ = 1 +3,3log(Ν) = 5
Πλάτος κλάσης = 2/5 = 0,4 ΚΩ
ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Ιστόγραμμα –Πολύγωνο Συχνοτήτων

Πολύγωνο συχνοτήτων

ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Κατανομή Gauss ή Κανονική κατανομή

R(KΩ)
5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

(KΩ)
0,28
0,94
0,47
-0,31
-0,51
0,37
-0,33
0,04
0,24
-0,49
0,14
-0,97
0,07
0,23
-0,06
0,26
0,12
0,05
-0,17
-0,29

Συμμετρική καμπύλη γύρω από το 0 σημαίνει ότι η
μέτρηση υπόκειται σε τυχαία σφάλματα. Απόκλιση
της συμμετρίας γύρω από το 0 σημαίνει είτε ότι η
μέτρηση ήταν κακή είτε ότι υπεισέρχoνται συστηματικά
σφάλματα.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-σ…..+σ), είναι ίση
με 68%

σ = 0,47

2σ

-2σ

2σ

• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-2σ…..+2σ), είναι
ίση με 95%

• Το 2σ ονομάζεται: Εύρος
ημίσειας τιμής (FWHM)

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Το εύρος των διαστημάτων σε ένα
ιστόγραμμα πρέπει να μην είναι: ούτε
πολύ μεγάλο [διότι τότε μεγάλο πλήθος
των μετρήσεων θα περιλαμβάνεται σε
ένα μόνο διάστημα!],
ούτε πολύ μικρό [διότι τότε θα
υπάρχουν διαστήματα τα οποία δεν θα
περιέχουν καμία μέτρηση!],
με αποτέλεσμα το ιστόγραμμα να μη
δίνει σωστές πληροφορίες….

σ = 0,161

2σ

-2σ

2σ

Αυξάνοντας το συνολικό πλήθος
των
μετρήσεων, έχουμε τη
δυνατότητα να επιλέγουμε όλο και
μικρότερα διαστήματα για την
κατασκευή του ιστογράμματος!

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Η κατανομή Gauss ή κανονική κατανομή δίδεται από
τη σχέση:

Το σ καθορίζει το εύρος της κατανομής και
λαμβάνεται ως μέτρο του σφάλματος, Χ είναι η
κεντρική τιμή.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Για n μετρήσεις
του ίδιου μεγέθους, τα σ
και Χ προσδιορίζονται από τις σχέσεις:

Το σx ονομάζεται τυπική απόκλιση της σειράς των
μετρήσεων – Εξαρτάται από την ποιότητα και όχι από
το πλήθος n των μετρήσεων!

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ

• Ορίζουμε επίσης την τυπική απόκλιση της μέσης τιμής
των μετρήσεων – Εξαρτάται από το πλήθος n των
μετρήσεων:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
Άρα σε μια σειρά n μετρήσεων:
• Η πιο αξιόπιστη τιμή είναι η μέση τιμή:
• Κάθε μέτρηση

παρουσιάζει απόκλιση από τη

μέση τιμή:
•Η σειρά των n μετρήσεων χαρακτηρίζεται από
την τυπική απόκλιση:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
•Η τυπική απόκλιση της μέσης τιμής είναι ίση με:

και το τελικό αποτέλεσμα θα εκφράζεται από την:
•Το σχετικό σφάλμα (ή η % απόκλιση) της μέσης
τιμής, προσδιορίζεται από τη σχέση:

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων
Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από τις σημειώσεις:
• 1) Σ.Σακκόπουλου: "Ανάλυση Πειραματικών Δεδομένων-Θεωρία
Σφαλμάτων" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα 2008.
• 2) Σ. Σακκόπουλου: "Εργαστήριο Φυσικής Ι" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα
2008.
εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά. Οι ιστότοποι προέλευσης ήταν
ενεργοί κατά την 13η Ιουνίου 2015 οπότε και καταχωρήθηκαν οι
παραπομπές.

Σημείωμα Αναφοράς
Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Σταυρούλα Γεωργά.
«Εργαστήριο Φυσικής. Ενότητα 2». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015.
Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:
https://eclass.upatras.gr/courses /PHY1952/

Σημείωμα Αδειοδότησης
Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη
Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα
αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό
και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων
Τρίτων».

[1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:
•που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το
διανομέα του έργου και αδειοδόχο
•που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο
έργο
•που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ.
διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο
Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για
εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Διατήρηση Σημειωμάτων
Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να
συμπεριλαμβάνει:
 το Σημείωμα Αναφοράς
 το Σημείωμα Αδειοδότησης
 τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων
 το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ’ όσον υπάρχει).

Τέλος Ενότητας


Slide 6

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ
Ενότητα 2: Κατανομή Gauss
Καθηγήτρια Γεωργά Σταυρούλα
Τμήμα Φυσικής

Άδειες Χρήσης
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
χρήσης Creative Commons.
• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης
αναφέρεται ρητώς.

2

Χρηματοδότηση
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια
του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.
• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο
Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του
εκπαιδευτικού υλικού.
• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού
Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και
συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό
Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

Πηγή: flickr

Πηγή: pixabay

Πηγή: wikimedia

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
 Σύμφωνα με τη στατιστική κατανομή αν ένα
φαινόμενο είναι πράγματι τυχαίο, τότε η οριακή
κατανομή που θα προκύψει μετά από άπειρες
προσπάθειες θα είναι η κανονική κατανομή ή
κατανομή Gauss.
 Η κατανομή Gauss είναι η πιο κοινή κατανομή στην
θεωρία πιθανοτήτων:
Εάν επαναλάβουμε ένα πείραμα πολλές φορές
(…άπειρες…) τότε το αποτέλεσμα περιγράφεται από
τη συμμετρική καμπύλη (-κώδωνας-) Gauss.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N

R(KΩ

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

Ιστόγραμμα – Πολύγωνο συχνοτήτων
Μέτρηση της αντίστασης ενός αντιστάτη
Οι μετρήσεις κατανέμονται στο διάστημα μεταξύ
4,5 ΚΩ και 6,5 ΚΩ
Μέση τιμή :
Εύρος τιμών: 6,5 – 4,5 = 2 ΚΩ
Κλάσεις = κ = 1 +3,3log(Ν) = 5
Πλάτος κλάσης = 2/5 = 0,4 ΚΩ
ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Ιστόγραμμα –Πολύγωνο Συχνοτήτων

Πολύγωνο συχνοτήτων

ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Κατανομή Gauss ή Κανονική κατανομή

R(KΩ)
5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

(KΩ)
0,28
0,94
0,47
-0,31
-0,51
0,37
-0,33
0,04
0,24
-0,49
0,14
-0,97
0,07
0,23
-0,06
0,26
0,12
0,05
-0,17
-0,29

Συμμετρική καμπύλη γύρω από το 0 σημαίνει ότι η
μέτρηση υπόκειται σε τυχαία σφάλματα. Απόκλιση
της συμμετρίας γύρω από το 0 σημαίνει είτε ότι η
μέτρηση ήταν κακή είτε ότι υπεισέρχoνται συστηματικά
σφάλματα.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-σ…..+σ), είναι ίση
με 68%

σ = 0,47

2σ

-2σ

2σ

• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-2σ…..+2σ), είναι
ίση με 95%

• Το 2σ ονομάζεται: Εύρος
ημίσειας τιμής (FWHM)

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Το εύρος των διαστημάτων σε ένα
ιστόγραμμα πρέπει να μην είναι: ούτε
πολύ μεγάλο [διότι τότε μεγάλο πλήθος
των μετρήσεων θα περιλαμβάνεται σε
ένα μόνο διάστημα!],
ούτε πολύ μικρό [διότι τότε θα
υπάρχουν διαστήματα τα οποία δεν θα
περιέχουν καμία μέτρηση!],
με αποτέλεσμα το ιστόγραμμα να μη
δίνει σωστές πληροφορίες….

σ = 0,161

2σ

-2σ

2σ

Αυξάνοντας το συνολικό πλήθος
των
μετρήσεων, έχουμε τη
δυνατότητα να επιλέγουμε όλο και
μικρότερα διαστήματα για την
κατασκευή του ιστογράμματος!

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Η κατανομή Gauss ή κανονική κατανομή δίδεται από
τη σχέση:

Το σ καθορίζει το εύρος της κατανομής και
λαμβάνεται ως μέτρο του σφάλματος, Χ είναι η
κεντρική τιμή.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Για n μετρήσεις
του ίδιου μεγέθους, τα σ
και Χ προσδιορίζονται από τις σχέσεις:

Το σx ονομάζεται τυπική απόκλιση της σειράς των
μετρήσεων – Εξαρτάται από την ποιότητα και όχι από
το πλήθος n των μετρήσεων!

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ

• Ορίζουμε επίσης την τυπική απόκλιση της μέσης τιμής
των μετρήσεων – Εξαρτάται από το πλήθος n των
μετρήσεων:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
Άρα σε μια σειρά n μετρήσεων:
• Η πιο αξιόπιστη τιμή είναι η μέση τιμή:
• Κάθε μέτρηση

παρουσιάζει απόκλιση από τη

μέση τιμή:
•Η σειρά των n μετρήσεων χαρακτηρίζεται από
την τυπική απόκλιση:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
•Η τυπική απόκλιση της μέσης τιμής είναι ίση με:

και το τελικό αποτέλεσμα θα εκφράζεται από την:
•Το σχετικό σφάλμα (ή η % απόκλιση) της μέσης
τιμής, προσδιορίζεται από τη σχέση:

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων
Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από τις σημειώσεις:
• 1) Σ.Σακκόπουλου: "Ανάλυση Πειραματικών Δεδομένων-Θεωρία
Σφαλμάτων" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα 2008.
• 2) Σ. Σακκόπουλου: "Εργαστήριο Φυσικής Ι" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα
2008.
εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά. Οι ιστότοποι προέλευσης ήταν
ενεργοί κατά την 13η Ιουνίου 2015 οπότε και καταχωρήθηκαν οι
παραπομπές.

Σημείωμα Αναφοράς
Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Σταυρούλα Γεωργά.
«Εργαστήριο Φυσικής. Ενότητα 2». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015.
Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:
https://eclass.upatras.gr/courses /PHY1952/

Σημείωμα Αδειοδότησης
Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη
Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα
αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό
και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων
Τρίτων».

[1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:
•που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το
διανομέα του έργου και αδειοδόχο
•που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο
έργο
•που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ.
διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο
Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για
εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Διατήρηση Σημειωμάτων
Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να
συμπεριλαμβάνει:
 το Σημείωμα Αναφοράς
 το Σημείωμα Αδειοδότησης
 τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων
 το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ’ όσον υπάρχει).

Τέλος Ενότητας


Slide 7

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ
Ενότητα 2: Κατανομή Gauss
Καθηγήτρια Γεωργά Σταυρούλα
Τμήμα Φυσικής

Άδειες Χρήσης
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
χρήσης Creative Commons.
• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης
αναφέρεται ρητώς.

2

Χρηματοδότηση
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια
του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.
• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο
Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του
εκπαιδευτικού υλικού.
• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού
Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και
συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό
Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

Πηγή: flickr

Πηγή: pixabay

Πηγή: wikimedia

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
 Σύμφωνα με τη στατιστική κατανομή αν ένα
φαινόμενο είναι πράγματι τυχαίο, τότε η οριακή
κατανομή που θα προκύψει μετά από άπειρες
προσπάθειες θα είναι η κανονική κατανομή ή
κατανομή Gauss.
 Η κατανομή Gauss είναι η πιο κοινή κατανομή στην
θεωρία πιθανοτήτων:
Εάν επαναλάβουμε ένα πείραμα πολλές φορές
(…άπειρες…) τότε το αποτέλεσμα περιγράφεται από
τη συμμετρική καμπύλη (-κώδωνας-) Gauss.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N

R(KΩ

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

Ιστόγραμμα – Πολύγωνο συχνοτήτων
Μέτρηση της αντίστασης ενός αντιστάτη
Οι μετρήσεις κατανέμονται στο διάστημα μεταξύ
4,5 ΚΩ και 6,5 ΚΩ
Μέση τιμή :
Εύρος τιμών: 6,5 – 4,5 = 2 ΚΩ
Κλάσεις = κ = 1 +3,3log(Ν) = 5
Πλάτος κλάσης = 2/5 = 0,4 ΚΩ
ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Ιστόγραμμα –Πολύγωνο Συχνοτήτων

Πολύγωνο συχνοτήτων

ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Κατανομή Gauss ή Κανονική κατανομή

R(KΩ)
5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

(KΩ)
0,28
0,94
0,47
-0,31
-0,51
0,37
-0,33
0,04
0,24
-0,49
0,14
-0,97
0,07
0,23
-0,06
0,26
0,12
0,05
-0,17
-0,29

Συμμετρική καμπύλη γύρω από το 0 σημαίνει ότι η
μέτρηση υπόκειται σε τυχαία σφάλματα. Απόκλιση
της συμμετρίας γύρω από το 0 σημαίνει είτε ότι η
μέτρηση ήταν κακή είτε ότι υπεισέρχoνται συστηματικά
σφάλματα.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-σ…..+σ), είναι ίση
με 68%

σ = 0,47

2σ

-2σ

2σ

• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-2σ…..+2σ), είναι
ίση με 95%

• Το 2σ ονομάζεται: Εύρος
ημίσειας τιμής (FWHM)

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Το εύρος των διαστημάτων σε ένα
ιστόγραμμα πρέπει να μην είναι: ούτε
πολύ μεγάλο [διότι τότε μεγάλο πλήθος
των μετρήσεων θα περιλαμβάνεται σε
ένα μόνο διάστημα!],
ούτε πολύ μικρό [διότι τότε θα
υπάρχουν διαστήματα τα οποία δεν θα
περιέχουν καμία μέτρηση!],
με αποτέλεσμα το ιστόγραμμα να μη
δίνει σωστές πληροφορίες….

σ = 0,161

2σ

-2σ

2σ

Αυξάνοντας το συνολικό πλήθος
των
μετρήσεων, έχουμε τη
δυνατότητα να επιλέγουμε όλο και
μικρότερα διαστήματα για την
κατασκευή του ιστογράμματος!

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Η κατανομή Gauss ή κανονική κατανομή δίδεται από
τη σχέση:

Το σ καθορίζει το εύρος της κατανομής και
λαμβάνεται ως μέτρο του σφάλματος, Χ είναι η
κεντρική τιμή.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Για n μετρήσεις
του ίδιου μεγέθους, τα σ
και Χ προσδιορίζονται από τις σχέσεις:

Το σx ονομάζεται τυπική απόκλιση της σειράς των
μετρήσεων – Εξαρτάται από την ποιότητα και όχι από
το πλήθος n των μετρήσεων!

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ

• Ορίζουμε επίσης την τυπική απόκλιση της μέσης τιμής
των μετρήσεων – Εξαρτάται από το πλήθος n των
μετρήσεων:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
Άρα σε μια σειρά n μετρήσεων:
• Η πιο αξιόπιστη τιμή είναι η μέση τιμή:
• Κάθε μέτρηση

παρουσιάζει απόκλιση από τη

μέση τιμή:
•Η σειρά των n μετρήσεων χαρακτηρίζεται από
την τυπική απόκλιση:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
•Η τυπική απόκλιση της μέσης τιμής είναι ίση με:

και το τελικό αποτέλεσμα θα εκφράζεται από την:
•Το σχετικό σφάλμα (ή η % απόκλιση) της μέσης
τιμής, προσδιορίζεται από τη σχέση:

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων
Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από τις σημειώσεις:
• 1) Σ.Σακκόπουλου: "Ανάλυση Πειραματικών Δεδομένων-Θεωρία
Σφαλμάτων" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα 2008.
• 2) Σ. Σακκόπουλου: "Εργαστήριο Φυσικής Ι" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα
2008.
εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά. Οι ιστότοποι προέλευσης ήταν
ενεργοί κατά την 13η Ιουνίου 2015 οπότε και καταχωρήθηκαν οι
παραπομπές.

Σημείωμα Αναφοράς
Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Σταυρούλα Γεωργά.
«Εργαστήριο Φυσικής. Ενότητα 2». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015.
Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:
https://eclass.upatras.gr/courses /PHY1952/

Σημείωμα Αδειοδότησης
Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη
Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα
αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό
και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων
Τρίτων».

[1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:
•που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το
διανομέα του έργου και αδειοδόχο
•που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο
έργο
•που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ.
διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο
Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για
εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Διατήρηση Σημειωμάτων
Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να
συμπεριλαμβάνει:
 το Σημείωμα Αναφοράς
 το Σημείωμα Αδειοδότησης
 τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων
 το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ’ όσον υπάρχει).

Τέλος Ενότητας


Slide 8

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ
Ενότητα 2: Κατανομή Gauss
Καθηγήτρια Γεωργά Σταυρούλα
Τμήμα Φυσικής

Άδειες Χρήσης
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
χρήσης Creative Commons.
• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης
αναφέρεται ρητώς.

2

Χρηματοδότηση
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια
του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.
• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο
Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του
εκπαιδευτικού υλικού.
• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού
Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και
συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό
Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

Πηγή: flickr

Πηγή: pixabay

Πηγή: wikimedia

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
 Σύμφωνα με τη στατιστική κατανομή αν ένα
φαινόμενο είναι πράγματι τυχαίο, τότε η οριακή
κατανομή που θα προκύψει μετά από άπειρες
προσπάθειες θα είναι η κανονική κατανομή ή
κατανομή Gauss.
 Η κατανομή Gauss είναι η πιο κοινή κατανομή στην
θεωρία πιθανοτήτων:
Εάν επαναλάβουμε ένα πείραμα πολλές φορές
(…άπειρες…) τότε το αποτέλεσμα περιγράφεται από
τη συμμετρική καμπύλη (-κώδωνας-) Gauss.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N

R(KΩ

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

Ιστόγραμμα – Πολύγωνο συχνοτήτων
Μέτρηση της αντίστασης ενός αντιστάτη
Οι μετρήσεις κατανέμονται στο διάστημα μεταξύ
4,5 ΚΩ και 6,5 ΚΩ
Μέση τιμή :
Εύρος τιμών: 6,5 – 4,5 = 2 ΚΩ
Κλάσεις = κ = 1 +3,3log(Ν) = 5
Πλάτος κλάσης = 2/5 = 0,4 ΚΩ
ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Ιστόγραμμα –Πολύγωνο Συχνοτήτων

Πολύγωνο συχνοτήτων

ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Κατανομή Gauss ή Κανονική κατανομή

R(KΩ)
5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

(KΩ)
0,28
0,94
0,47
-0,31
-0,51
0,37
-0,33
0,04
0,24
-0,49
0,14
-0,97
0,07
0,23
-0,06
0,26
0,12
0,05
-0,17
-0,29

Συμμετρική καμπύλη γύρω από το 0 σημαίνει ότι η
μέτρηση υπόκειται σε τυχαία σφάλματα. Απόκλιση
της συμμετρίας γύρω από το 0 σημαίνει είτε ότι η
μέτρηση ήταν κακή είτε ότι υπεισέρχoνται συστηματικά
σφάλματα.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-σ…..+σ), είναι ίση
με 68%

σ = 0,47

2σ

-2σ

2σ

• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-2σ…..+2σ), είναι
ίση με 95%

• Το 2σ ονομάζεται: Εύρος
ημίσειας τιμής (FWHM)

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Το εύρος των διαστημάτων σε ένα
ιστόγραμμα πρέπει να μην είναι: ούτε
πολύ μεγάλο [διότι τότε μεγάλο πλήθος
των μετρήσεων θα περιλαμβάνεται σε
ένα μόνο διάστημα!],
ούτε πολύ μικρό [διότι τότε θα
υπάρχουν διαστήματα τα οποία δεν θα
περιέχουν καμία μέτρηση!],
με αποτέλεσμα το ιστόγραμμα να μη
δίνει σωστές πληροφορίες….

σ = 0,161

2σ

-2σ

2σ

Αυξάνοντας το συνολικό πλήθος
των
μετρήσεων, έχουμε τη
δυνατότητα να επιλέγουμε όλο και
μικρότερα διαστήματα για την
κατασκευή του ιστογράμματος!

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Η κατανομή Gauss ή κανονική κατανομή δίδεται από
τη σχέση:

Το σ καθορίζει το εύρος της κατανομής και
λαμβάνεται ως μέτρο του σφάλματος, Χ είναι η
κεντρική τιμή.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Για n μετρήσεις
του ίδιου μεγέθους, τα σ
και Χ προσδιορίζονται από τις σχέσεις:

Το σx ονομάζεται τυπική απόκλιση της σειράς των
μετρήσεων – Εξαρτάται από την ποιότητα και όχι από
το πλήθος n των μετρήσεων!

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ

• Ορίζουμε επίσης την τυπική απόκλιση της μέσης τιμής
των μετρήσεων – Εξαρτάται από το πλήθος n των
μετρήσεων:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
Άρα σε μια σειρά n μετρήσεων:
• Η πιο αξιόπιστη τιμή είναι η μέση τιμή:
• Κάθε μέτρηση

παρουσιάζει απόκλιση από τη

μέση τιμή:
•Η σειρά των n μετρήσεων χαρακτηρίζεται από
την τυπική απόκλιση:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
•Η τυπική απόκλιση της μέσης τιμής είναι ίση με:

και το τελικό αποτέλεσμα θα εκφράζεται από την:
•Το σχετικό σφάλμα (ή η % απόκλιση) της μέσης
τιμής, προσδιορίζεται από τη σχέση:

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων
Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από τις σημειώσεις:
• 1) Σ.Σακκόπουλου: "Ανάλυση Πειραματικών Δεδομένων-Θεωρία
Σφαλμάτων" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα 2008.
• 2) Σ. Σακκόπουλου: "Εργαστήριο Φυσικής Ι" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα
2008.
εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά. Οι ιστότοποι προέλευσης ήταν
ενεργοί κατά την 13η Ιουνίου 2015 οπότε και καταχωρήθηκαν οι
παραπομπές.

Σημείωμα Αναφοράς
Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Σταυρούλα Γεωργά.
«Εργαστήριο Φυσικής. Ενότητα 2». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015.
Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:
https://eclass.upatras.gr/courses /PHY1952/

Σημείωμα Αδειοδότησης
Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη
Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα
αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό
και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων
Τρίτων».

[1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:
•που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το
διανομέα του έργου και αδειοδόχο
•που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο
έργο
•που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ.
διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο
Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για
εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Διατήρηση Σημειωμάτων
Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να
συμπεριλαμβάνει:
 το Σημείωμα Αναφοράς
 το Σημείωμα Αδειοδότησης
 τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων
 το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ’ όσον υπάρχει).

Τέλος Ενότητας


Slide 9

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ
Ενότητα 2: Κατανομή Gauss
Καθηγήτρια Γεωργά Σταυρούλα
Τμήμα Φυσικής

Άδειες Χρήσης
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
χρήσης Creative Commons.
• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης
αναφέρεται ρητώς.

2

Χρηματοδότηση
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια
του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.
• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο
Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του
εκπαιδευτικού υλικού.
• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού
Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και
συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό
Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

Πηγή: flickr

Πηγή: pixabay

Πηγή: wikimedia

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
 Σύμφωνα με τη στατιστική κατανομή αν ένα
φαινόμενο είναι πράγματι τυχαίο, τότε η οριακή
κατανομή που θα προκύψει μετά από άπειρες
προσπάθειες θα είναι η κανονική κατανομή ή
κατανομή Gauss.
 Η κατανομή Gauss είναι η πιο κοινή κατανομή στην
θεωρία πιθανοτήτων:
Εάν επαναλάβουμε ένα πείραμα πολλές φορές
(…άπειρες…) τότε το αποτέλεσμα περιγράφεται από
τη συμμετρική καμπύλη (-κώδωνας-) Gauss.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N

R(KΩ

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

Ιστόγραμμα – Πολύγωνο συχνοτήτων
Μέτρηση της αντίστασης ενός αντιστάτη
Οι μετρήσεις κατανέμονται στο διάστημα μεταξύ
4,5 ΚΩ και 6,5 ΚΩ
Μέση τιμή :
Εύρος τιμών: 6,5 – 4,5 = 2 ΚΩ
Κλάσεις = κ = 1 +3,3log(Ν) = 5
Πλάτος κλάσης = 2/5 = 0,4 ΚΩ
ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Ιστόγραμμα –Πολύγωνο Συχνοτήτων

Πολύγωνο συχνοτήτων

ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Κατανομή Gauss ή Κανονική κατανομή

R(KΩ)
5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

(KΩ)
0,28
0,94
0,47
-0,31
-0,51
0,37
-0,33
0,04
0,24
-0,49
0,14
-0,97
0,07
0,23
-0,06
0,26
0,12
0,05
-0,17
-0,29

Συμμετρική καμπύλη γύρω από το 0 σημαίνει ότι η
μέτρηση υπόκειται σε τυχαία σφάλματα. Απόκλιση
της συμμετρίας γύρω από το 0 σημαίνει είτε ότι η
μέτρηση ήταν κακή είτε ότι υπεισέρχoνται συστηματικά
σφάλματα.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-σ…..+σ), είναι ίση
με 68%

σ = 0,47

2σ

-2σ

2σ

• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-2σ…..+2σ), είναι
ίση με 95%

• Το 2σ ονομάζεται: Εύρος
ημίσειας τιμής (FWHM)

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Το εύρος των διαστημάτων σε ένα
ιστόγραμμα πρέπει να μην είναι: ούτε
πολύ μεγάλο [διότι τότε μεγάλο πλήθος
των μετρήσεων θα περιλαμβάνεται σε
ένα μόνο διάστημα!],
ούτε πολύ μικρό [διότι τότε θα
υπάρχουν διαστήματα τα οποία δεν θα
περιέχουν καμία μέτρηση!],
με αποτέλεσμα το ιστόγραμμα να μη
δίνει σωστές πληροφορίες….

σ = 0,161

2σ

-2σ

2σ

Αυξάνοντας το συνολικό πλήθος
των
μετρήσεων, έχουμε τη
δυνατότητα να επιλέγουμε όλο και
μικρότερα διαστήματα για την
κατασκευή του ιστογράμματος!

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Η κατανομή Gauss ή κανονική κατανομή δίδεται από
τη σχέση:

Το σ καθορίζει το εύρος της κατανομής και
λαμβάνεται ως μέτρο του σφάλματος, Χ είναι η
κεντρική τιμή.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Για n μετρήσεις
του ίδιου μεγέθους, τα σ
και Χ προσδιορίζονται από τις σχέσεις:

Το σx ονομάζεται τυπική απόκλιση της σειράς των
μετρήσεων – Εξαρτάται από την ποιότητα και όχι από
το πλήθος n των μετρήσεων!

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ

• Ορίζουμε επίσης την τυπική απόκλιση της μέσης τιμής
των μετρήσεων – Εξαρτάται από το πλήθος n των
μετρήσεων:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
Άρα σε μια σειρά n μετρήσεων:
• Η πιο αξιόπιστη τιμή είναι η μέση τιμή:
• Κάθε μέτρηση

παρουσιάζει απόκλιση από τη

μέση τιμή:
•Η σειρά των n μετρήσεων χαρακτηρίζεται από
την τυπική απόκλιση:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
•Η τυπική απόκλιση της μέσης τιμής είναι ίση με:

και το τελικό αποτέλεσμα θα εκφράζεται από την:
•Το σχετικό σφάλμα (ή η % απόκλιση) της μέσης
τιμής, προσδιορίζεται από τη σχέση:

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων
Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από τις σημειώσεις:
• 1) Σ.Σακκόπουλου: "Ανάλυση Πειραματικών Δεδομένων-Θεωρία
Σφαλμάτων" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα 2008.
• 2) Σ. Σακκόπουλου: "Εργαστήριο Φυσικής Ι" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα
2008.
εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά. Οι ιστότοποι προέλευσης ήταν
ενεργοί κατά την 13η Ιουνίου 2015 οπότε και καταχωρήθηκαν οι
παραπομπές.

Σημείωμα Αναφοράς
Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Σταυρούλα Γεωργά.
«Εργαστήριο Φυσικής. Ενότητα 2». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015.
Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:
https://eclass.upatras.gr/courses /PHY1952/

Σημείωμα Αδειοδότησης
Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη
Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα
αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό
και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων
Τρίτων».

[1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:
•που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το
διανομέα του έργου και αδειοδόχο
•που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο
έργο
•που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ.
διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο
Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για
εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Διατήρηση Σημειωμάτων
Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να
συμπεριλαμβάνει:
 το Σημείωμα Αναφοράς
 το Σημείωμα Αδειοδότησης
 τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων
 το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ’ όσον υπάρχει).

Τέλος Ενότητας


Slide 10

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ
Ενότητα 2: Κατανομή Gauss
Καθηγήτρια Γεωργά Σταυρούλα
Τμήμα Φυσικής

Άδειες Χρήσης
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
χρήσης Creative Commons.
• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης
αναφέρεται ρητώς.

2

Χρηματοδότηση
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια
του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.
• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο
Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του
εκπαιδευτικού υλικού.
• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού
Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και
συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό
Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

Πηγή: flickr

Πηγή: pixabay

Πηγή: wikimedia

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
 Σύμφωνα με τη στατιστική κατανομή αν ένα
φαινόμενο είναι πράγματι τυχαίο, τότε η οριακή
κατανομή που θα προκύψει μετά από άπειρες
προσπάθειες θα είναι η κανονική κατανομή ή
κατανομή Gauss.
 Η κατανομή Gauss είναι η πιο κοινή κατανομή στην
θεωρία πιθανοτήτων:
Εάν επαναλάβουμε ένα πείραμα πολλές φορές
(…άπειρες…) τότε το αποτέλεσμα περιγράφεται από
τη συμμετρική καμπύλη (-κώδωνας-) Gauss.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N

R(KΩ

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

Ιστόγραμμα – Πολύγωνο συχνοτήτων
Μέτρηση της αντίστασης ενός αντιστάτη
Οι μετρήσεις κατανέμονται στο διάστημα μεταξύ
4,5 ΚΩ και 6,5 ΚΩ
Μέση τιμή :
Εύρος τιμών: 6,5 – 4,5 = 2 ΚΩ
Κλάσεις = κ = 1 +3,3log(Ν) = 5
Πλάτος κλάσης = 2/5 = 0,4 ΚΩ
ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Ιστόγραμμα –Πολύγωνο Συχνοτήτων

Πολύγωνο συχνοτήτων

ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Κατανομή Gauss ή Κανονική κατανομή

R(KΩ)
5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

(KΩ)
0,28
0,94
0,47
-0,31
-0,51
0,37
-0,33
0,04
0,24
-0,49
0,14
-0,97
0,07
0,23
-0,06
0,26
0,12
0,05
-0,17
-0,29

Συμμετρική καμπύλη γύρω από το 0 σημαίνει ότι η
μέτρηση υπόκειται σε τυχαία σφάλματα. Απόκλιση
της συμμετρίας γύρω από το 0 σημαίνει είτε ότι η
μέτρηση ήταν κακή είτε ότι υπεισέρχoνται συστηματικά
σφάλματα.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-σ…..+σ), είναι ίση
με 68%

σ = 0,47

2σ

-2σ

2σ

• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-2σ…..+2σ), είναι
ίση με 95%

• Το 2σ ονομάζεται: Εύρος
ημίσειας τιμής (FWHM)

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Το εύρος των διαστημάτων σε ένα
ιστόγραμμα πρέπει να μην είναι: ούτε
πολύ μεγάλο [διότι τότε μεγάλο πλήθος
των μετρήσεων θα περιλαμβάνεται σε
ένα μόνο διάστημα!],
ούτε πολύ μικρό [διότι τότε θα
υπάρχουν διαστήματα τα οποία δεν θα
περιέχουν καμία μέτρηση!],
με αποτέλεσμα το ιστόγραμμα να μη
δίνει σωστές πληροφορίες….

σ = 0,161

2σ

-2σ

2σ

Αυξάνοντας το συνολικό πλήθος
των
μετρήσεων, έχουμε τη
δυνατότητα να επιλέγουμε όλο και
μικρότερα διαστήματα για την
κατασκευή του ιστογράμματος!

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Η κατανομή Gauss ή κανονική κατανομή δίδεται από
τη σχέση:

Το σ καθορίζει το εύρος της κατανομής και
λαμβάνεται ως μέτρο του σφάλματος, Χ είναι η
κεντρική τιμή.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Για n μετρήσεις
του ίδιου μεγέθους, τα σ
και Χ προσδιορίζονται από τις σχέσεις:

Το σx ονομάζεται τυπική απόκλιση της σειράς των
μετρήσεων – Εξαρτάται από την ποιότητα και όχι από
το πλήθος n των μετρήσεων!

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ

• Ορίζουμε επίσης την τυπική απόκλιση της μέσης τιμής
των μετρήσεων – Εξαρτάται από το πλήθος n των
μετρήσεων:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
Άρα σε μια σειρά n μετρήσεων:
• Η πιο αξιόπιστη τιμή είναι η μέση τιμή:
• Κάθε μέτρηση

παρουσιάζει απόκλιση από τη

μέση τιμή:
•Η σειρά των n μετρήσεων χαρακτηρίζεται από
την τυπική απόκλιση:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
•Η τυπική απόκλιση της μέσης τιμής είναι ίση με:

και το τελικό αποτέλεσμα θα εκφράζεται από την:
•Το σχετικό σφάλμα (ή η % απόκλιση) της μέσης
τιμής, προσδιορίζεται από τη σχέση:

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων
Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από τις σημειώσεις:
• 1) Σ.Σακκόπουλου: "Ανάλυση Πειραματικών Δεδομένων-Θεωρία
Σφαλμάτων" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα 2008.
• 2) Σ. Σακκόπουλου: "Εργαστήριο Φυσικής Ι" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα
2008.
εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά. Οι ιστότοποι προέλευσης ήταν
ενεργοί κατά την 13η Ιουνίου 2015 οπότε και καταχωρήθηκαν οι
παραπομπές.

Σημείωμα Αναφοράς
Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Σταυρούλα Γεωργά.
«Εργαστήριο Φυσικής. Ενότητα 2». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015.
Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:
https://eclass.upatras.gr/courses /PHY1952/

Σημείωμα Αδειοδότησης
Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη
Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα
αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό
και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων
Τρίτων».

[1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:
•που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το
διανομέα του έργου και αδειοδόχο
•που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο
έργο
•που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ.
διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο
Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για
εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Διατήρηση Σημειωμάτων
Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να
συμπεριλαμβάνει:
 το Σημείωμα Αναφοράς
 το Σημείωμα Αδειοδότησης
 τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων
 το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ’ όσον υπάρχει).

Τέλος Ενότητας


Slide 11

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ
Ενότητα 2: Κατανομή Gauss
Καθηγήτρια Γεωργά Σταυρούλα
Τμήμα Φυσικής

Άδειες Χρήσης
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
χρήσης Creative Commons.
• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης
αναφέρεται ρητώς.

2

Χρηματοδότηση
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια
του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.
• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο
Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του
εκπαιδευτικού υλικού.
• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού
Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και
συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό
Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

Πηγή: flickr

Πηγή: pixabay

Πηγή: wikimedia

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
 Σύμφωνα με τη στατιστική κατανομή αν ένα
φαινόμενο είναι πράγματι τυχαίο, τότε η οριακή
κατανομή που θα προκύψει μετά από άπειρες
προσπάθειες θα είναι η κανονική κατανομή ή
κατανομή Gauss.
 Η κατανομή Gauss είναι η πιο κοινή κατανομή στην
θεωρία πιθανοτήτων:
Εάν επαναλάβουμε ένα πείραμα πολλές φορές
(…άπειρες…) τότε το αποτέλεσμα περιγράφεται από
τη συμμετρική καμπύλη (-κώδωνας-) Gauss.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N

R(KΩ

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

Ιστόγραμμα – Πολύγωνο συχνοτήτων
Μέτρηση της αντίστασης ενός αντιστάτη
Οι μετρήσεις κατανέμονται στο διάστημα μεταξύ
4,5 ΚΩ και 6,5 ΚΩ
Μέση τιμή :
Εύρος τιμών: 6,5 – 4,5 = 2 ΚΩ
Κλάσεις = κ = 1 +3,3log(Ν) = 5
Πλάτος κλάσης = 2/5 = 0,4 ΚΩ
ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Ιστόγραμμα –Πολύγωνο Συχνοτήτων

Πολύγωνο συχνοτήτων

ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Κατανομή Gauss ή Κανονική κατανομή

R(KΩ)
5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

(KΩ)
0,28
0,94
0,47
-0,31
-0,51
0,37
-0,33
0,04
0,24
-0,49
0,14
-0,97
0,07
0,23
-0,06
0,26
0,12
0,05
-0,17
-0,29

Συμμετρική καμπύλη γύρω από το 0 σημαίνει ότι η
μέτρηση υπόκειται σε τυχαία σφάλματα. Απόκλιση
της συμμετρίας γύρω από το 0 σημαίνει είτε ότι η
μέτρηση ήταν κακή είτε ότι υπεισέρχoνται συστηματικά
σφάλματα.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-σ…..+σ), είναι ίση
με 68%

σ = 0,47

2σ

-2σ

2σ

• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-2σ…..+2σ), είναι
ίση με 95%

• Το 2σ ονομάζεται: Εύρος
ημίσειας τιμής (FWHM)

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Το εύρος των διαστημάτων σε ένα
ιστόγραμμα πρέπει να μην είναι: ούτε
πολύ μεγάλο [διότι τότε μεγάλο πλήθος
των μετρήσεων θα περιλαμβάνεται σε
ένα μόνο διάστημα!],
ούτε πολύ μικρό [διότι τότε θα
υπάρχουν διαστήματα τα οποία δεν θα
περιέχουν καμία μέτρηση!],
με αποτέλεσμα το ιστόγραμμα να μη
δίνει σωστές πληροφορίες….

σ = 0,161

2σ

-2σ

2σ

Αυξάνοντας το συνολικό πλήθος
των
μετρήσεων, έχουμε τη
δυνατότητα να επιλέγουμε όλο και
μικρότερα διαστήματα για την
κατασκευή του ιστογράμματος!

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Η κατανομή Gauss ή κανονική κατανομή δίδεται από
τη σχέση:

Το σ καθορίζει το εύρος της κατανομής και
λαμβάνεται ως μέτρο του σφάλματος, Χ είναι η
κεντρική τιμή.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Για n μετρήσεις
του ίδιου μεγέθους, τα σ
και Χ προσδιορίζονται από τις σχέσεις:

Το σx ονομάζεται τυπική απόκλιση της σειράς των
μετρήσεων – Εξαρτάται από την ποιότητα και όχι από
το πλήθος n των μετρήσεων!

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ

• Ορίζουμε επίσης την τυπική απόκλιση της μέσης τιμής
των μετρήσεων – Εξαρτάται από το πλήθος n των
μετρήσεων:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
Άρα σε μια σειρά n μετρήσεων:
• Η πιο αξιόπιστη τιμή είναι η μέση τιμή:
• Κάθε μέτρηση

παρουσιάζει απόκλιση από τη

μέση τιμή:
•Η σειρά των n μετρήσεων χαρακτηρίζεται από
την τυπική απόκλιση:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
•Η τυπική απόκλιση της μέσης τιμής είναι ίση με:

και το τελικό αποτέλεσμα θα εκφράζεται από την:
•Το σχετικό σφάλμα (ή η % απόκλιση) της μέσης
τιμής, προσδιορίζεται από τη σχέση:

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων
Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από τις σημειώσεις:
• 1) Σ.Σακκόπουλου: "Ανάλυση Πειραματικών Δεδομένων-Θεωρία
Σφαλμάτων" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα 2008.
• 2) Σ. Σακκόπουλου: "Εργαστήριο Φυσικής Ι" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα
2008.
εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά. Οι ιστότοποι προέλευσης ήταν
ενεργοί κατά την 13η Ιουνίου 2015 οπότε και καταχωρήθηκαν οι
παραπομπές.

Σημείωμα Αναφοράς
Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Σταυρούλα Γεωργά.
«Εργαστήριο Φυσικής. Ενότητα 2». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015.
Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:
https://eclass.upatras.gr/courses /PHY1952/

Σημείωμα Αδειοδότησης
Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη
Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα
αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό
και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων
Τρίτων».

[1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:
•που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το
διανομέα του έργου και αδειοδόχο
•που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο
έργο
•που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ.
διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο
Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για
εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Διατήρηση Σημειωμάτων
Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να
συμπεριλαμβάνει:
 το Σημείωμα Αναφοράς
 το Σημείωμα Αδειοδότησης
 τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων
 το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ’ όσον υπάρχει).

Τέλος Ενότητας


Slide 12

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ
Ενότητα 2: Κατανομή Gauss
Καθηγήτρια Γεωργά Σταυρούλα
Τμήμα Φυσικής

Άδειες Χρήσης
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
χρήσης Creative Commons.
• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης
αναφέρεται ρητώς.

2

Χρηματοδότηση
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια
του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.
• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο
Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του
εκπαιδευτικού υλικού.
• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού
Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και
συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό
Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

Πηγή: flickr

Πηγή: pixabay

Πηγή: wikimedia

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
 Σύμφωνα με τη στατιστική κατανομή αν ένα
φαινόμενο είναι πράγματι τυχαίο, τότε η οριακή
κατανομή που θα προκύψει μετά από άπειρες
προσπάθειες θα είναι η κανονική κατανομή ή
κατανομή Gauss.
 Η κατανομή Gauss είναι η πιο κοινή κατανομή στην
θεωρία πιθανοτήτων:
Εάν επαναλάβουμε ένα πείραμα πολλές φορές
(…άπειρες…) τότε το αποτέλεσμα περιγράφεται από
τη συμμετρική καμπύλη (-κώδωνας-) Gauss.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N

R(KΩ

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

Ιστόγραμμα – Πολύγωνο συχνοτήτων
Μέτρηση της αντίστασης ενός αντιστάτη
Οι μετρήσεις κατανέμονται στο διάστημα μεταξύ
4,5 ΚΩ και 6,5 ΚΩ
Μέση τιμή :
Εύρος τιμών: 6,5 – 4,5 = 2 ΚΩ
Κλάσεις = κ = 1 +3,3log(Ν) = 5
Πλάτος κλάσης = 2/5 = 0,4 ΚΩ
ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Ιστόγραμμα –Πολύγωνο Συχνοτήτων

Πολύγωνο συχνοτήτων

ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Κατανομή Gauss ή Κανονική κατανομή

R(KΩ)
5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

(KΩ)
0,28
0,94
0,47
-0,31
-0,51
0,37
-0,33
0,04
0,24
-0,49
0,14
-0,97
0,07
0,23
-0,06
0,26
0,12
0,05
-0,17
-0,29

Συμμετρική καμπύλη γύρω από το 0 σημαίνει ότι η
μέτρηση υπόκειται σε τυχαία σφάλματα. Απόκλιση
της συμμετρίας γύρω από το 0 σημαίνει είτε ότι η
μέτρηση ήταν κακή είτε ότι υπεισέρχoνται συστηματικά
σφάλματα.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-σ…..+σ), είναι ίση
με 68%

σ = 0,47

2σ

-2σ

2σ

• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-2σ…..+2σ), είναι
ίση με 95%

• Το 2σ ονομάζεται: Εύρος
ημίσειας τιμής (FWHM)

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Το εύρος των διαστημάτων σε ένα
ιστόγραμμα πρέπει να μην είναι: ούτε
πολύ μεγάλο [διότι τότε μεγάλο πλήθος
των μετρήσεων θα περιλαμβάνεται σε
ένα μόνο διάστημα!],
ούτε πολύ μικρό [διότι τότε θα
υπάρχουν διαστήματα τα οποία δεν θα
περιέχουν καμία μέτρηση!],
με αποτέλεσμα το ιστόγραμμα να μη
δίνει σωστές πληροφορίες….

σ = 0,161

2σ

-2σ

2σ

Αυξάνοντας το συνολικό πλήθος
των
μετρήσεων, έχουμε τη
δυνατότητα να επιλέγουμε όλο και
μικρότερα διαστήματα για την
κατασκευή του ιστογράμματος!

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Η κατανομή Gauss ή κανονική κατανομή δίδεται από
τη σχέση:

Το σ καθορίζει το εύρος της κατανομής και
λαμβάνεται ως μέτρο του σφάλματος, Χ είναι η
κεντρική τιμή.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Για n μετρήσεις
του ίδιου μεγέθους, τα σ
και Χ προσδιορίζονται από τις σχέσεις:

Το σx ονομάζεται τυπική απόκλιση της σειράς των
μετρήσεων – Εξαρτάται από την ποιότητα και όχι από
το πλήθος n των μετρήσεων!

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ

• Ορίζουμε επίσης την τυπική απόκλιση της μέσης τιμής
των μετρήσεων – Εξαρτάται από το πλήθος n των
μετρήσεων:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
Άρα σε μια σειρά n μετρήσεων:
• Η πιο αξιόπιστη τιμή είναι η μέση τιμή:
• Κάθε μέτρηση

παρουσιάζει απόκλιση από τη

μέση τιμή:
•Η σειρά των n μετρήσεων χαρακτηρίζεται από
την τυπική απόκλιση:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
•Η τυπική απόκλιση της μέσης τιμής είναι ίση με:

και το τελικό αποτέλεσμα θα εκφράζεται από την:
•Το σχετικό σφάλμα (ή η % απόκλιση) της μέσης
τιμής, προσδιορίζεται από τη σχέση:

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων
Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από τις σημειώσεις:
• 1) Σ.Σακκόπουλου: "Ανάλυση Πειραματικών Δεδομένων-Θεωρία
Σφαλμάτων" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα 2008.
• 2) Σ. Σακκόπουλου: "Εργαστήριο Φυσικής Ι" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα
2008.
εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά. Οι ιστότοποι προέλευσης ήταν
ενεργοί κατά την 13η Ιουνίου 2015 οπότε και καταχωρήθηκαν οι
παραπομπές.

Σημείωμα Αναφοράς
Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Σταυρούλα Γεωργά.
«Εργαστήριο Φυσικής. Ενότητα 2». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015.
Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:
https://eclass.upatras.gr/courses /PHY1952/

Σημείωμα Αδειοδότησης
Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη
Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα
αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό
και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων
Τρίτων».

[1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:
•που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το
διανομέα του έργου και αδειοδόχο
•που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο
έργο
•που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ.
διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο
Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για
εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Διατήρηση Σημειωμάτων
Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να
συμπεριλαμβάνει:
 το Σημείωμα Αναφοράς
 το Σημείωμα Αδειοδότησης
 τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων
 το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ’ όσον υπάρχει).

Τέλος Ενότητας


Slide 13

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ
Ενότητα 2: Κατανομή Gauss
Καθηγήτρια Γεωργά Σταυρούλα
Τμήμα Φυσικής

Άδειες Χρήσης
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
χρήσης Creative Commons.
• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης
αναφέρεται ρητώς.

2

Χρηματοδότηση
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια
του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.
• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο
Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του
εκπαιδευτικού υλικού.
• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού
Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και
συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό
Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

Πηγή: flickr

Πηγή: pixabay

Πηγή: wikimedia

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
 Σύμφωνα με τη στατιστική κατανομή αν ένα
φαινόμενο είναι πράγματι τυχαίο, τότε η οριακή
κατανομή που θα προκύψει μετά από άπειρες
προσπάθειες θα είναι η κανονική κατανομή ή
κατανομή Gauss.
 Η κατανομή Gauss είναι η πιο κοινή κατανομή στην
θεωρία πιθανοτήτων:
Εάν επαναλάβουμε ένα πείραμα πολλές φορές
(…άπειρες…) τότε το αποτέλεσμα περιγράφεται από
τη συμμετρική καμπύλη (-κώδωνας-) Gauss.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N

R(KΩ

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

Ιστόγραμμα – Πολύγωνο συχνοτήτων
Μέτρηση της αντίστασης ενός αντιστάτη
Οι μετρήσεις κατανέμονται στο διάστημα μεταξύ
4,5 ΚΩ και 6,5 ΚΩ
Μέση τιμή :
Εύρος τιμών: 6,5 – 4,5 = 2 ΚΩ
Κλάσεις = κ = 1 +3,3log(Ν) = 5
Πλάτος κλάσης = 2/5 = 0,4 ΚΩ
ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Ιστόγραμμα –Πολύγωνο Συχνοτήτων

Πολύγωνο συχνοτήτων

ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Κατανομή Gauss ή Κανονική κατανομή

R(KΩ)
5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

(KΩ)
0,28
0,94
0,47
-0,31
-0,51
0,37
-0,33
0,04
0,24
-0,49
0,14
-0,97
0,07
0,23
-0,06
0,26
0,12
0,05
-0,17
-0,29

Συμμετρική καμπύλη γύρω από το 0 σημαίνει ότι η
μέτρηση υπόκειται σε τυχαία σφάλματα. Απόκλιση
της συμμετρίας γύρω από το 0 σημαίνει είτε ότι η
μέτρηση ήταν κακή είτε ότι υπεισέρχoνται συστηματικά
σφάλματα.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-σ…..+σ), είναι ίση
με 68%

σ = 0,47

2σ

-2σ

2σ

• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-2σ…..+2σ), είναι
ίση με 95%

• Το 2σ ονομάζεται: Εύρος
ημίσειας τιμής (FWHM)

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Το εύρος των διαστημάτων σε ένα
ιστόγραμμα πρέπει να μην είναι: ούτε
πολύ μεγάλο [διότι τότε μεγάλο πλήθος
των μετρήσεων θα περιλαμβάνεται σε
ένα μόνο διάστημα!],
ούτε πολύ μικρό [διότι τότε θα
υπάρχουν διαστήματα τα οποία δεν θα
περιέχουν καμία μέτρηση!],
με αποτέλεσμα το ιστόγραμμα να μη
δίνει σωστές πληροφορίες….

σ = 0,161

2σ

-2σ

2σ

Αυξάνοντας το συνολικό πλήθος
των
μετρήσεων, έχουμε τη
δυνατότητα να επιλέγουμε όλο και
μικρότερα διαστήματα για την
κατασκευή του ιστογράμματος!

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Η κατανομή Gauss ή κανονική κατανομή δίδεται από
τη σχέση:

Το σ καθορίζει το εύρος της κατανομής και
λαμβάνεται ως μέτρο του σφάλματος, Χ είναι η
κεντρική τιμή.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Για n μετρήσεις
του ίδιου μεγέθους, τα σ
και Χ προσδιορίζονται από τις σχέσεις:

Το σx ονομάζεται τυπική απόκλιση της σειράς των
μετρήσεων – Εξαρτάται από την ποιότητα και όχι από
το πλήθος n των μετρήσεων!

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ

• Ορίζουμε επίσης την τυπική απόκλιση της μέσης τιμής
των μετρήσεων – Εξαρτάται από το πλήθος n των
μετρήσεων:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
Άρα σε μια σειρά n μετρήσεων:
• Η πιο αξιόπιστη τιμή είναι η μέση τιμή:
• Κάθε μέτρηση

παρουσιάζει απόκλιση από τη

μέση τιμή:
•Η σειρά των n μετρήσεων χαρακτηρίζεται από
την τυπική απόκλιση:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
•Η τυπική απόκλιση της μέσης τιμής είναι ίση με:

και το τελικό αποτέλεσμα θα εκφράζεται από την:
•Το σχετικό σφάλμα (ή η % απόκλιση) της μέσης
τιμής, προσδιορίζεται από τη σχέση:

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων
Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από τις σημειώσεις:
• 1) Σ.Σακκόπουλου: "Ανάλυση Πειραματικών Δεδομένων-Θεωρία
Σφαλμάτων" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα 2008.
• 2) Σ. Σακκόπουλου: "Εργαστήριο Φυσικής Ι" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα
2008.
εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά. Οι ιστότοποι προέλευσης ήταν
ενεργοί κατά την 13η Ιουνίου 2015 οπότε και καταχωρήθηκαν οι
παραπομπές.

Σημείωμα Αναφοράς
Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Σταυρούλα Γεωργά.
«Εργαστήριο Φυσικής. Ενότητα 2». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015.
Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:
https://eclass.upatras.gr/courses /PHY1952/

Σημείωμα Αδειοδότησης
Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη
Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα
αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό
και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων
Τρίτων».

[1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:
•που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το
διανομέα του έργου και αδειοδόχο
•που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο
έργο
•που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ.
διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο
Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για
εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Διατήρηση Σημειωμάτων
Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να
συμπεριλαμβάνει:
 το Σημείωμα Αναφοράς
 το Σημείωμα Αδειοδότησης
 τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων
 το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ’ όσον υπάρχει).

Τέλος Ενότητας


Slide 14

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ
Ενότητα 2: Κατανομή Gauss
Καθηγήτρια Γεωργά Σταυρούλα
Τμήμα Φυσικής

Άδειες Χρήσης
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
χρήσης Creative Commons.
• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης
αναφέρεται ρητώς.

2

Χρηματοδότηση
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια
του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.
• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο
Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του
εκπαιδευτικού υλικού.
• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού
Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και
συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό
Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

Πηγή: flickr

Πηγή: pixabay

Πηγή: wikimedia

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
 Σύμφωνα με τη στατιστική κατανομή αν ένα
φαινόμενο είναι πράγματι τυχαίο, τότε η οριακή
κατανομή που θα προκύψει μετά από άπειρες
προσπάθειες θα είναι η κανονική κατανομή ή
κατανομή Gauss.
 Η κατανομή Gauss είναι η πιο κοινή κατανομή στην
θεωρία πιθανοτήτων:
Εάν επαναλάβουμε ένα πείραμα πολλές φορές
(…άπειρες…) τότε το αποτέλεσμα περιγράφεται από
τη συμμετρική καμπύλη (-κώδωνας-) Gauss.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N

R(KΩ

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

Ιστόγραμμα – Πολύγωνο συχνοτήτων
Μέτρηση της αντίστασης ενός αντιστάτη
Οι μετρήσεις κατανέμονται στο διάστημα μεταξύ
4,5 ΚΩ και 6,5 ΚΩ
Μέση τιμή :
Εύρος τιμών: 6,5 – 4,5 = 2 ΚΩ
Κλάσεις = κ = 1 +3,3log(Ν) = 5
Πλάτος κλάσης = 2/5 = 0,4 ΚΩ
ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Ιστόγραμμα –Πολύγωνο Συχνοτήτων

Πολύγωνο συχνοτήτων

ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Κατανομή Gauss ή Κανονική κατανομή

R(KΩ)
5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

(KΩ)
0,28
0,94
0,47
-0,31
-0,51
0,37
-0,33
0,04
0,24
-0,49
0,14
-0,97
0,07
0,23
-0,06
0,26
0,12
0,05
-0,17
-0,29

Συμμετρική καμπύλη γύρω από το 0 σημαίνει ότι η
μέτρηση υπόκειται σε τυχαία σφάλματα. Απόκλιση
της συμμετρίας γύρω από το 0 σημαίνει είτε ότι η
μέτρηση ήταν κακή είτε ότι υπεισέρχoνται συστηματικά
σφάλματα.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-σ…..+σ), είναι ίση
με 68%

σ = 0,47

2σ

-2σ

2σ

• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-2σ…..+2σ), είναι
ίση με 95%

• Το 2σ ονομάζεται: Εύρος
ημίσειας τιμής (FWHM)

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Το εύρος των διαστημάτων σε ένα
ιστόγραμμα πρέπει να μην είναι: ούτε
πολύ μεγάλο [διότι τότε μεγάλο πλήθος
των μετρήσεων θα περιλαμβάνεται σε
ένα μόνο διάστημα!],
ούτε πολύ μικρό [διότι τότε θα
υπάρχουν διαστήματα τα οποία δεν θα
περιέχουν καμία μέτρηση!],
με αποτέλεσμα το ιστόγραμμα να μη
δίνει σωστές πληροφορίες….

σ = 0,161

2σ

-2σ

2σ

Αυξάνοντας το συνολικό πλήθος
των
μετρήσεων, έχουμε τη
δυνατότητα να επιλέγουμε όλο και
μικρότερα διαστήματα για την
κατασκευή του ιστογράμματος!

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Η κατανομή Gauss ή κανονική κατανομή δίδεται από
τη σχέση:

Το σ καθορίζει το εύρος της κατανομής και
λαμβάνεται ως μέτρο του σφάλματος, Χ είναι η
κεντρική τιμή.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Για n μετρήσεις
του ίδιου μεγέθους, τα σ
και Χ προσδιορίζονται από τις σχέσεις:

Το σx ονομάζεται τυπική απόκλιση της σειράς των
μετρήσεων – Εξαρτάται από την ποιότητα και όχι από
το πλήθος n των μετρήσεων!

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ

• Ορίζουμε επίσης την τυπική απόκλιση της μέσης τιμής
των μετρήσεων – Εξαρτάται από το πλήθος n των
μετρήσεων:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
Άρα σε μια σειρά n μετρήσεων:
• Η πιο αξιόπιστη τιμή είναι η μέση τιμή:
• Κάθε μέτρηση

παρουσιάζει απόκλιση από τη

μέση τιμή:
•Η σειρά των n μετρήσεων χαρακτηρίζεται από
την τυπική απόκλιση:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
•Η τυπική απόκλιση της μέσης τιμής είναι ίση με:

και το τελικό αποτέλεσμα θα εκφράζεται από την:
•Το σχετικό σφάλμα (ή η % απόκλιση) της μέσης
τιμής, προσδιορίζεται από τη σχέση:

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων
Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από τις σημειώσεις:
• 1) Σ.Σακκόπουλου: "Ανάλυση Πειραματικών Δεδομένων-Θεωρία
Σφαλμάτων" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα 2008.
• 2) Σ. Σακκόπουλου: "Εργαστήριο Φυσικής Ι" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα
2008.
εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά. Οι ιστότοποι προέλευσης ήταν
ενεργοί κατά την 13η Ιουνίου 2015 οπότε και καταχωρήθηκαν οι
παραπομπές.

Σημείωμα Αναφοράς
Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Σταυρούλα Γεωργά.
«Εργαστήριο Φυσικής. Ενότητα 2». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015.
Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:
https://eclass.upatras.gr/courses /PHY1952/

Σημείωμα Αδειοδότησης
Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη
Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα
αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό
και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων
Τρίτων».

[1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:
•που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το
διανομέα του έργου και αδειοδόχο
•που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο
έργο
•που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ.
διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο
Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για
εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Διατήρηση Σημειωμάτων
Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να
συμπεριλαμβάνει:
 το Σημείωμα Αναφοράς
 το Σημείωμα Αδειοδότησης
 τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων
 το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ’ όσον υπάρχει).

Τέλος Ενότητας


Slide 15

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ
Ενότητα 2: Κατανομή Gauss
Καθηγήτρια Γεωργά Σταυρούλα
Τμήμα Φυσικής

Άδειες Χρήσης
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
χρήσης Creative Commons.
• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης
αναφέρεται ρητώς.

2

Χρηματοδότηση
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια
του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.
• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο
Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του
εκπαιδευτικού υλικού.
• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού
Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και
συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό
Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

Πηγή: flickr

Πηγή: pixabay

Πηγή: wikimedia

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
 Σύμφωνα με τη στατιστική κατανομή αν ένα
φαινόμενο είναι πράγματι τυχαίο, τότε η οριακή
κατανομή που θα προκύψει μετά από άπειρες
προσπάθειες θα είναι η κανονική κατανομή ή
κατανομή Gauss.
 Η κατανομή Gauss είναι η πιο κοινή κατανομή στην
θεωρία πιθανοτήτων:
Εάν επαναλάβουμε ένα πείραμα πολλές φορές
(…άπειρες…) τότε το αποτέλεσμα περιγράφεται από
τη συμμετρική καμπύλη (-κώδωνας-) Gauss.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N

R(KΩ

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

Ιστόγραμμα – Πολύγωνο συχνοτήτων
Μέτρηση της αντίστασης ενός αντιστάτη
Οι μετρήσεις κατανέμονται στο διάστημα μεταξύ
4,5 ΚΩ και 6,5 ΚΩ
Μέση τιμή :
Εύρος τιμών: 6,5 – 4,5 = 2 ΚΩ
Κλάσεις = κ = 1 +3,3log(Ν) = 5
Πλάτος κλάσης = 2/5 = 0,4 ΚΩ
ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Ιστόγραμμα –Πολύγωνο Συχνοτήτων

Πολύγωνο συχνοτήτων

ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Κατανομή Gauss ή Κανονική κατανομή

R(KΩ)
5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

(KΩ)
0,28
0,94
0,47
-0,31
-0,51
0,37
-0,33
0,04
0,24
-0,49
0,14
-0,97
0,07
0,23
-0,06
0,26
0,12
0,05
-0,17
-0,29

Συμμετρική καμπύλη γύρω από το 0 σημαίνει ότι η
μέτρηση υπόκειται σε τυχαία σφάλματα. Απόκλιση
της συμμετρίας γύρω από το 0 σημαίνει είτε ότι η
μέτρηση ήταν κακή είτε ότι υπεισέρχoνται συστηματικά
σφάλματα.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-σ…..+σ), είναι ίση
με 68%

σ = 0,47

2σ

-2σ

2σ

• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-2σ…..+2σ), είναι
ίση με 95%

• Το 2σ ονομάζεται: Εύρος
ημίσειας τιμής (FWHM)

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Το εύρος των διαστημάτων σε ένα
ιστόγραμμα πρέπει να μην είναι: ούτε
πολύ μεγάλο [διότι τότε μεγάλο πλήθος
των μετρήσεων θα περιλαμβάνεται σε
ένα μόνο διάστημα!],
ούτε πολύ μικρό [διότι τότε θα
υπάρχουν διαστήματα τα οποία δεν θα
περιέχουν καμία μέτρηση!],
με αποτέλεσμα το ιστόγραμμα να μη
δίνει σωστές πληροφορίες….

σ = 0,161

2σ

-2σ

2σ

Αυξάνοντας το συνολικό πλήθος
των
μετρήσεων, έχουμε τη
δυνατότητα να επιλέγουμε όλο και
μικρότερα διαστήματα για την
κατασκευή του ιστογράμματος!

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Η κατανομή Gauss ή κανονική κατανομή δίδεται από
τη σχέση:

Το σ καθορίζει το εύρος της κατανομής και
λαμβάνεται ως μέτρο του σφάλματος, Χ είναι η
κεντρική τιμή.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Για n μετρήσεις
του ίδιου μεγέθους, τα σ
και Χ προσδιορίζονται από τις σχέσεις:

Το σx ονομάζεται τυπική απόκλιση της σειράς των
μετρήσεων – Εξαρτάται από την ποιότητα και όχι από
το πλήθος n των μετρήσεων!

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ

• Ορίζουμε επίσης την τυπική απόκλιση της μέσης τιμής
των μετρήσεων – Εξαρτάται από το πλήθος n των
μετρήσεων:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
Άρα σε μια σειρά n μετρήσεων:
• Η πιο αξιόπιστη τιμή είναι η μέση τιμή:
• Κάθε μέτρηση

παρουσιάζει απόκλιση από τη

μέση τιμή:
•Η σειρά των n μετρήσεων χαρακτηρίζεται από
την τυπική απόκλιση:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
•Η τυπική απόκλιση της μέσης τιμής είναι ίση με:

και το τελικό αποτέλεσμα θα εκφράζεται από την:
•Το σχετικό σφάλμα (ή η % απόκλιση) της μέσης
τιμής, προσδιορίζεται από τη σχέση:

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων
Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από τις σημειώσεις:
• 1) Σ.Σακκόπουλου: "Ανάλυση Πειραματικών Δεδομένων-Θεωρία
Σφαλμάτων" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα 2008.
• 2) Σ. Σακκόπουλου: "Εργαστήριο Φυσικής Ι" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα
2008.
εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά. Οι ιστότοποι προέλευσης ήταν
ενεργοί κατά την 13η Ιουνίου 2015 οπότε και καταχωρήθηκαν οι
παραπομπές.

Σημείωμα Αναφοράς
Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Σταυρούλα Γεωργά.
«Εργαστήριο Φυσικής. Ενότητα 2». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015.
Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:
https://eclass.upatras.gr/courses /PHY1952/

Σημείωμα Αδειοδότησης
Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη
Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα
αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό
και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων
Τρίτων».

[1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:
•που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το
διανομέα του έργου και αδειοδόχο
•που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο
έργο
•που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ.
διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο
Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για
εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Διατήρηση Σημειωμάτων
Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να
συμπεριλαμβάνει:
 το Σημείωμα Αναφοράς
 το Σημείωμα Αδειοδότησης
 τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων
 το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ’ όσον υπάρχει).

Τέλος Ενότητας


Slide 16

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ
Ενότητα 2: Κατανομή Gauss
Καθηγήτρια Γεωργά Σταυρούλα
Τμήμα Φυσικής

Άδειες Χρήσης
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
χρήσης Creative Commons.
• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης
αναφέρεται ρητώς.

2

Χρηματοδότηση
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια
του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.
• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο
Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του
εκπαιδευτικού υλικού.
• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού
Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και
συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό
Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

Πηγή: flickr

Πηγή: pixabay

Πηγή: wikimedia

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
 Σύμφωνα με τη στατιστική κατανομή αν ένα
φαινόμενο είναι πράγματι τυχαίο, τότε η οριακή
κατανομή που θα προκύψει μετά από άπειρες
προσπάθειες θα είναι η κανονική κατανομή ή
κατανομή Gauss.
 Η κατανομή Gauss είναι η πιο κοινή κατανομή στην
θεωρία πιθανοτήτων:
Εάν επαναλάβουμε ένα πείραμα πολλές φορές
(…άπειρες…) τότε το αποτέλεσμα περιγράφεται από
τη συμμετρική καμπύλη (-κώδωνας-) Gauss.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N

R(KΩ

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

Ιστόγραμμα – Πολύγωνο συχνοτήτων
Μέτρηση της αντίστασης ενός αντιστάτη
Οι μετρήσεις κατανέμονται στο διάστημα μεταξύ
4,5 ΚΩ και 6,5 ΚΩ
Μέση τιμή :
Εύρος τιμών: 6,5 – 4,5 = 2 ΚΩ
Κλάσεις = κ = 1 +3,3log(Ν) = 5
Πλάτος κλάσης = 2/5 = 0,4 ΚΩ
ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Ιστόγραμμα –Πολύγωνο Συχνοτήτων

Πολύγωνο συχνοτήτων

ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Κατανομή Gauss ή Κανονική κατανομή

R(KΩ)
5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

(KΩ)
0,28
0,94
0,47
-0,31
-0,51
0,37
-0,33
0,04
0,24
-0,49
0,14
-0,97
0,07
0,23
-0,06
0,26
0,12
0,05
-0,17
-0,29

Συμμετρική καμπύλη γύρω από το 0 σημαίνει ότι η
μέτρηση υπόκειται σε τυχαία σφάλματα. Απόκλιση
της συμμετρίας γύρω από το 0 σημαίνει είτε ότι η
μέτρηση ήταν κακή είτε ότι υπεισέρχoνται συστηματικά
σφάλματα.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-σ…..+σ), είναι ίση
με 68%

σ = 0,47

2σ

-2σ

2σ

• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-2σ…..+2σ), είναι
ίση με 95%

• Το 2σ ονομάζεται: Εύρος
ημίσειας τιμής (FWHM)

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Το εύρος των διαστημάτων σε ένα
ιστόγραμμα πρέπει να μην είναι: ούτε
πολύ μεγάλο [διότι τότε μεγάλο πλήθος
των μετρήσεων θα περιλαμβάνεται σε
ένα μόνο διάστημα!],
ούτε πολύ μικρό [διότι τότε θα
υπάρχουν διαστήματα τα οποία δεν θα
περιέχουν καμία μέτρηση!],
με αποτέλεσμα το ιστόγραμμα να μη
δίνει σωστές πληροφορίες….

σ = 0,161

2σ

-2σ

2σ

Αυξάνοντας το συνολικό πλήθος
των
μετρήσεων, έχουμε τη
δυνατότητα να επιλέγουμε όλο και
μικρότερα διαστήματα για την
κατασκευή του ιστογράμματος!

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Η κατανομή Gauss ή κανονική κατανομή δίδεται από
τη σχέση:

Το σ καθορίζει το εύρος της κατανομής και
λαμβάνεται ως μέτρο του σφάλματος, Χ είναι η
κεντρική τιμή.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Για n μετρήσεις
του ίδιου μεγέθους, τα σ
και Χ προσδιορίζονται από τις σχέσεις:

Το σx ονομάζεται τυπική απόκλιση της σειράς των
μετρήσεων – Εξαρτάται από την ποιότητα και όχι από
το πλήθος n των μετρήσεων!

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ

• Ορίζουμε επίσης την τυπική απόκλιση της μέσης τιμής
των μετρήσεων – Εξαρτάται από το πλήθος n των
μετρήσεων:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
Άρα σε μια σειρά n μετρήσεων:
• Η πιο αξιόπιστη τιμή είναι η μέση τιμή:
• Κάθε μέτρηση

παρουσιάζει απόκλιση από τη

μέση τιμή:
•Η σειρά των n μετρήσεων χαρακτηρίζεται από
την τυπική απόκλιση:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
•Η τυπική απόκλιση της μέσης τιμής είναι ίση με:

και το τελικό αποτέλεσμα θα εκφράζεται από την:
•Το σχετικό σφάλμα (ή η % απόκλιση) της μέσης
τιμής, προσδιορίζεται από τη σχέση:

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων
Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από τις σημειώσεις:
• 1) Σ.Σακκόπουλου: "Ανάλυση Πειραματικών Δεδομένων-Θεωρία
Σφαλμάτων" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα 2008.
• 2) Σ. Σακκόπουλου: "Εργαστήριο Φυσικής Ι" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα
2008.
εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά. Οι ιστότοποι προέλευσης ήταν
ενεργοί κατά την 13η Ιουνίου 2015 οπότε και καταχωρήθηκαν οι
παραπομπές.

Σημείωμα Αναφοράς
Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Σταυρούλα Γεωργά.
«Εργαστήριο Φυσικής. Ενότητα 2». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015.
Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:
https://eclass.upatras.gr/courses /PHY1952/

Σημείωμα Αδειοδότησης
Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη
Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα
αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό
και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων
Τρίτων».

[1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:
•που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το
διανομέα του έργου και αδειοδόχο
•που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο
έργο
•που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ.
διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο
Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για
εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Διατήρηση Σημειωμάτων
Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να
συμπεριλαμβάνει:
 το Σημείωμα Αναφοράς
 το Σημείωμα Αδειοδότησης
 τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων
 το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ’ όσον υπάρχει).

Τέλος Ενότητας


Slide 17

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ
Ενότητα 2: Κατανομή Gauss
Καθηγήτρια Γεωργά Σταυρούλα
Τμήμα Φυσικής

Άδειες Χρήσης
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
χρήσης Creative Commons.
• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης
αναφέρεται ρητώς.

2

Χρηματοδότηση
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια
του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.
• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο
Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του
εκπαιδευτικού υλικού.
• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού
Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και
συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό
Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

Πηγή: flickr

Πηγή: pixabay

Πηγή: wikimedia

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
 Σύμφωνα με τη στατιστική κατανομή αν ένα
φαινόμενο είναι πράγματι τυχαίο, τότε η οριακή
κατανομή που θα προκύψει μετά από άπειρες
προσπάθειες θα είναι η κανονική κατανομή ή
κατανομή Gauss.
 Η κατανομή Gauss είναι η πιο κοινή κατανομή στην
θεωρία πιθανοτήτων:
Εάν επαναλάβουμε ένα πείραμα πολλές φορές
(…άπειρες…) τότε το αποτέλεσμα περιγράφεται από
τη συμμετρική καμπύλη (-κώδωνας-) Gauss.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N

R(KΩ

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

Ιστόγραμμα – Πολύγωνο συχνοτήτων
Μέτρηση της αντίστασης ενός αντιστάτη
Οι μετρήσεις κατανέμονται στο διάστημα μεταξύ
4,5 ΚΩ και 6,5 ΚΩ
Μέση τιμή :
Εύρος τιμών: 6,5 – 4,5 = 2 ΚΩ
Κλάσεις = κ = 1 +3,3log(Ν) = 5
Πλάτος κλάσης = 2/5 = 0,4 ΚΩ
ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Ιστόγραμμα –Πολύγωνο Συχνοτήτων

Πολύγωνο συχνοτήτων

ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Κατανομή Gauss ή Κανονική κατανομή

R(KΩ)
5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

(KΩ)
0,28
0,94
0,47
-0,31
-0,51
0,37
-0,33
0,04
0,24
-0,49
0,14
-0,97
0,07
0,23
-0,06
0,26
0,12
0,05
-0,17
-0,29

Συμμετρική καμπύλη γύρω από το 0 σημαίνει ότι η
μέτρηση υπόκειται σε τυχαία σφάλματα. Απόκλιση
της συμμετρίας γύρω από το 0 σημαίνει είτε ότι η
μέτρηση ήταν κακή είτε ότι υπεισέρχoνται συστηματικά
σφάλματα.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-σ…..+σ), είναι ίση
με 68%

σ = 0,47

2σ

-2σ

2σ

• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-2σ…..+2σ), είναι
ίση με 95%

• Το 2σ ονομάζεται: Εύρος
ημίσειας τιμής (FWHM)

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Το εύρος των διαστημάτων σε ένα
ιστόγραμμα πρέπει να μην είναι: ούτε
πολύ μεγάλο [διότι τότε μεγάλο πλήθος
των μετρήσεων θα περιλαμβάνεται σε
ένα μόνο διάστημα!],
ούτε πολύ μικρό [διότι τότε θα
υπάρχουν διαστήματα τα οποία δεν θα
περιέχουν καμία μέτρηση!],
με αποτέλεσμα το ιστόγραμμα να μη
δίνει σωστές πληροφορίες….

σ = 0,161

2σ

-2σ

2σ

Αυξάνοντας το συνολικό πλήθος
των
μετρήσεων, έχουμε τη
δυνατότητα να επιλέγουμε όλο και
μικρότερα διαστήματα για την
κατασκευή του ιστογράμματος!

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Η κατανομή Gauss ή κανονική κατανομή δίδεται από
τη σχέση:

Το σ καθορίζει το εύρος της κατανομής και
λαμβάνεται ως μέτρο του σφάλματος, Χ είναι η
κεντρική τιμή.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Για n μετρήσεις
του ίδιου μεγέθους, τα σ
και Χ προσδιορίζονται από τις σχέσεις:

Το σx ονομάζεται τυπική απόκλιση της σειράς των
μετρήσεων – Εξαρτάται από την ποιότητα και όχι από
το πλήθος n των μετρήσεων!

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ

• Ορίζουμε επίσης την τυπική απόκλιση της μέσης τιμής
των μετρήσεων – Εξαρτάται από το πλήθος n των
μετρήσεων:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
Άρα σε μια σειρά n μετρήσεων:
• Η πιο αξιόπιστη τιμή είναι η μέση τιμή:
• Κάθε μέτρηση

παρουσιάζει απόκλιση από τη

μέση τιμή:
•Η σειρά των n μετρήσεων χαρακτηρίζεται από
την τυπική απόκλιση:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
•Η τυπική απόκλιση της μέσης τιμής είναι ίση με:

και το τελικό αποτέλεσμα θα εκφράζεται από την:
•Το σχετικό σφάλμα (ή η % απόκλιση) της μέσης
τιμής, προσδιορίζεται από τη σχέση:

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων
Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από τις σημειώσεις:
• 1) Σ.Σακκόπουλου: "Ανάλυση Πειραματικών Δεδομένων-Θεωρία
Σφαλμάτων" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα 2008.
• 2) Σ. Σακκόπουλου: "Εργαστήριο Φυσικής Ι" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα
2008.
εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά. Οι ιστότοποι προέλευσης ήταν
ενεργοί κατά την 13η Ιουνίου 2015 οπότε και καταχωρήθηκαν οι
παραπομπές.

Σημείωμα Αναφοράς
Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Σταυρούλα Γεωργά.
«Εργαστήριο Φυσικής. Ενότητα 2». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015.
Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:
https://eclass.upatras.gr/courses /PHY1952/

Σημείωμα Αδειοδότησης
Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη
Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα
αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό
και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων
Τρίτων».

[1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:
•που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το
διανομέα του έργου και αδειοδόχο
•που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο
έργο
•που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ.
διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο
Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για
εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Διατήρηση Σημειωμάτων
Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να
συμπεριλαμβάνει:
 το Σημείωμα Αναφοράς
 το Σημείωμα Αδειοδότησης
 τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων
 το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ’ όσον υπάρχει).

Τέλος Ενότητας


Slide 18

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ
Ενότητα 2: Κατανομή Gauss
Καθηγήτρια Γεωργά Σταυρούλα
Τμήμα Φυσικής

Άδειες Χρήσης
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
χρήσης Creative Commons.
• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης
αναφέρεται ρητώς.

2

Χρηματοδότηση
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια
του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.
• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο
Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του
εκπαιδευτικού υλικού.
• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού
Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και
συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό
Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

Πηγή: flickr

Πηγή: pixabay

Πηγή: wikimedia

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
 Σύμφωνα με τη στατιστική κατανομή αν ένα
φαινόμενο είναι πράγματι τυχαίο, τότε η οριακή
κατανομή που θα προκύψει μετά από άπειρες
προσπάθειες θα είναι η κανονική κατανομή ή
κατανομή Gauss.
 Η κατανομή Gauss είναι η πιο κοινή κατανομή στην
θεωρία πιθανοτήτων:
Εάν επαναλάβουμε ένα πείραμα πολλές φορές
(…άπειρες…) τότε το αποτέλεσμα περιγράφεται από
τη συμμετρική καμπύλη (-κώδωνας-) Gauss.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N

R(KΩ

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

Ιστόγραμμα – Πολύγωνο συχνοτήτων
Μέτρηση της αντίστασης ενός αντιστάτη
Οι μετρήσεις κατανέμονται στο διάστημα μεταξύ
4,5 ΚΩ και 6,5 ΚΩ
Μέση τιμή :
Εύρος τιμών: 6,5 – 4,5 = 2 ΚΩ
Κλάσεις = κ = 1 +3,3log(Ν) = 5
Πλάτος κλάσης = 2/5 = 0,4 ΚΩ
ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Ιστόγραμμα –Πολύγωνο Συχνοτήτων

Πολύγωνο συχνοτήτων

ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Κατανομή Gauss ή Κανονική κατανομή

R(KΩ)
5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

(KΩ)
0,28
0,94
0,47
-0,31
-0,51
0,37
-0,33
0,04
0,24
-0,49
0,14
-0,97
0,07
0,23
-0,06
0,26
0,12
0,05
-0,17
-0,29

Συμμετρική καμπύλη γύρω από το 0 σημαίνει ότι η
μέτρηση υπόκειται σε τυχαία σφάλματα. Απόκλιση
της συμμετρίας γύρω από το 0 σημαίνει είτε ότι η
μέτρηση ήταν κακή είτε ότι υπεισέρχoνται συστηματικά
σφάλματα.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-σ…..+σ), είναι ίση
με 68%

σ = 0,47

2σ

-2σ

2σ

• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-2σ…..+2σ), είναι
ίση με 95%

• Το 2σ ονομάζεται: Εύρος
ημίσειας τιμής (FWHM)

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Το εύρος των διαστημάτων σε ένα
ιστόγραμμα πρέπει να μην είναι: ούτε
πολύ μεγάλο [διότι τότε μεγάλο πλήθος
των μετρήσεων θα περιλαμβάνεται σε
ένα μόνο διάστημα!],
ούτε πολύ μικρό [διότι τότε θα
υπάρχουν διαστήματα τα οποία δεν θα
περιέχουν καμία μέτρηση!],
με αποτέλεσμα το ιστόγραμμα να μη
δίνει σωστές πληροφορίες….

σ = 0,161

2σ

-2σ

2σ

Αυξάνοντας το συνολικό πλήθος
των
μετρήσεων, έχουμε τη
δυνατότητα να επιλέγουμε όλο και
μικρότερα διαστήματα για την
κατασκευή του ιστογράμματος!

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Η κατανομή Gauss ή κανονική κατανομή δίδεται από
τη σχέση:

Το σ καθορίζει το εύρος της κατανομής και
λαμβάνεται ως μέτρο του σφάλματος, Χ είναι η
κεντρική τιμή.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Για n μετρήσεις
του ίδιου μεγέθους, τα σ
και Χ προσδιορίζονται από τις σχέσεις:

Το σx ονομάζεται τυπική απόκλιση της σειράς των
μετρήσεων – Εξαρτάται από την ποιότητα και όχι από
το πλήθος n των μετρήσεων!

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ

• Ορίζουμε επίσης την τυπική απόκλιση της μέσης τιμής
των μετρήσεων – Εξαρτάται από το πλήθος n των
μετρήσεων:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
Άρα σε μια σειρά n μετρήσεων:
• Η πιο αξιόπιστη τιμή είναι η μέση τιμή:
• Κάθε μέτρηση

παρουσιάζει απόκλιση από τη

μέση τιμή:
•Η σειρά των n μετρήσεων χαρακτηρίζεται από
την τυπική απόκλιση:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
•Η τυπική απόκλιση της μέσης τιμής είναι ίση με:

και το τελικό αποτέλεσμα θα εκφράζεται από την:
•Το σχετικό σφάλμα (ή η % απόκλιση) της μέσης
τιμής, προσδιορίζεται από τη σχέση:

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων
Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από τις σημειώσεις:
• 1) Σ.Σακκόπουλου: "Ανάλυση Πειραματικών Δεδομένων-Θεωρία
Σφαλμάτων" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα 2008.
• 2) Σ. Σακκόπουλου: "Εργαστήριο Φυσικής Ι" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα
2008.
εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά. Οι ιστότοποι προέλευσης ήταν
ενεργοί κατά την 13η Ιουνίου 2015 οπότε και καταχωρήθηκαν οι
παραπομπές.

Σημείωμα Αναφοράς
Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Σταυρούλα Γεωργά.
«Εργαστήριο Φυσικής. Ενότητα 2». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015.
Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:
https://eclass.upatras.gr/courses /PHY1952/

Σημείωμα Αδειοδότησης
Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη
Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα
αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό
και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων
Τρίτων».

[1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:
•που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το
διανομέα του έργου και αδειοδόχο
•που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο
έργο
•που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ.
διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο
Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για
εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Διατήρηση Σημειωμάτων
Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να
συμπεριλαμβάνει:
 το Σημείωμα Αναφοράς
 το Σημείωμα Αδειοδότησης
 τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων
 το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ’ όσον υπάρχει).

Τέλος Ενότητας


Slide 19

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ
Ενότητα 2: Κατανομή Gauss
Καθηγήτρια Γεωργά Σταυρούλα
Τμήμα Φυσικής

Άδειες Χρήσης
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
χρήσης Creative Commons.
• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης
αναφέρεται ρητώς.

2

Χρηματοδότηση
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια
του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.
• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο
Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του
εκπαιδευτικού υλικού.
• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού
Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και
συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό
Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

Πηγή: flickr

Πηγή: pixabay

Πηγή: wikimedia

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
 Σύμφωνα με τη στατιστική κατανομή αν ένα
φαινόμενο είναι πράγματι τυχαίο, τότε η οριακή
κατανομή που θα προκύψει μετά από άπειρες
προσπάθειες θα είναι η κανονική κατανομή ή
κατανομή Gauss.
 Η κατανομή Gauss είναι η πιο κοινή κατανομή στην
θεωρία πιθανοτήτων:
Εάν επαναλάβουμε ένα πείραμα πολλές φορές
(…άπειρες…) τότε το αποτέλεσμα περιγράφεται από
τη συμμετρική καμπύλη (-κώδωνας-) Gauss.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N

R(KΩ

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

Ιστόγραμμα – Πολύγωνο συχνοτήτων
Μέτρηση της αντίστασης ενός αντιστάτη
Οι μετρήσεις κατανέμονται στο διάστημα μεταξύ
4,5 ΚΩ και 6,5 ΚΩ
Μέση τιμή :
Εύρος τιμών: 6,5 – 4,5 = 2 ΚΩ
Κλάσεις = κ = 1 +3,3log(Ν) = 5
Πλάτος κλάσης = 2/5 = 0,4 ΚΩ
ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Ιστόγραμμα –Πολύγωνο Συχνοτήτων

Πολύγωνο συχνοτήτων

ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Αντίσταση (ΚΩ)
ν
4,5 – 4,9
1
4,9 – 5,3
5
5,3 – 5,7
7
5,7 – 6,1
6
6,1 – 6,5
1

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Κατανομή Gauss ή Κανονική κατανομή

R(KΩ)
5,75
6,41
5,94
5,16
4,96
5,84
5,14
5,51
5,71
4,98
5,61
4,50
5,54
5,70
5,41
5,73
5,59
5,52
5,30
5,18

(KΩ)
0,28
0,94
0,47
-0,31
-0,51
0,37
-0,33
0,04
0,24
-0,49
0,14
-0,97
0,07
0,23
-0,06
0,26
0,12
0,05
-0,17
-0,29

Συμμετρική καμπύλη γύρω από το 0 σημαίνει ότι η
μέτρηση υπόκειται σε τυχαία σφάλματα. Απόκλιση
της συμμετρίας γύρω από το 0 σημαίνει είτε ότι η
μέτρηση ήταν κακή είτε ότι υπεισέρχoνται συστηματικά
σφάλματα.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-σ…..+σ), είναι ίση
με 68%

σ = 0,47

2σ

-2σ

2σ

• Η πιθανότητα ώστε μια νέα
μέτρηση x να βρίσκεται στο
διάστημα (-2σ…..+2σ), είναι
ίση με 95%

• Το 2σ ονομάζεται: Εύρος
ημίσειας τιμής (FWHM)

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Το εύρος των διαστημάτων σε ένα
ιστόγραμμα πρέπει να μην είναι: ούτε
πολύ μεγάλο [διότι τότε μεγάλο πλήθος
των μετρήσεων θα περιλαμβάνεται σε
ένα μόνο διάστημα!],
ούτε πολύ μικρό [διότι τότε θα
υπάρχουν διαστήματα τα οποία δεν θα
περιέχουν καμία μέτρηση!],
με αποτέλεσμα το ιστόγραμμα να μη
δίνει σωστές πληροφορίες….

σ = 0,161

2σ

-2σ

2σ

Αυξάνοντας το συνολικό πλήθος
των
μετρήσεων, έχουμε τη
δυνατότητα να επιλέγουμε όλο και
μικρότερα διαστήματα για την
κατασκευή του ιστογράμματος!

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Η κατανομή Gauss ή κανονική κατανομή δίδεται από
τη σχέση:

Το σ καθορίζει το εύρος της κατανομής και
λαμβάνεται ως μέτρο του σφάλματος, Χ είναι η
κεντρική τιμή.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ GAUSS
Για n μετρήσεις
του ίδιου μεγέθους, τα σ
και Χ προσδιορίζονται από τις σχέσεις:

Το σx ονομάζεται τυπική απόκλιση της σειράς των
μετρήσεων – Εξαρτάται από την ποιότητα και όχι από
το πλήθος n των μετρήσεων!

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ

• Ορίζουμε επίσης την τυπική απόκλιση της μέσης τιμής
των μετρήσεων – Εξαρτάται από το πλήθος n των
μετρήσεων:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
Άρα σε μια σειρά n μετρήσεων:
• Η πιο αξιόπιστη τιμή είναι η μέση τιμή:
• Κάθε μέτρηση

παρουσιάζει απόκλιση από τη

μέση τιμή:
•Η σειρά των n μετρήσεων χαρακτηρίζεται από
την τυπική απόκλιση:

ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
•Η τυπική απόκλιση της μέσης τιμής είναι ίση με:

και το τελικό αποτέλεσμα θα εκφράζεται από την:
•Το σχετικό σφάλμα (ή η % απόκλιση) της μέσης
τιμής, προσδιορίζεται από τη σχέση:

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων
Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται από τις σημειώσεις:
• 1) Σ.Σακκόπουλου: "Ανάλυση Πειραματικών Δεδομένων-Θεωρία
Σφαλμάτων" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα 2008.
• 2) Σ. Σακκόπουλου: "Εργαστήριο Φυσικής Ι" Παν/κές Παραδόσεις, Πάτρα
2008.
εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά. Οι ιστότοποι προέλευσης ήταν
ενεργοί κατά την 13η Ιουνίου 2015 οπότε και καταχωρήθηκαν οι
παραπομπές.

Σημείωμα Αναφοράς
Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Σταυρούλα Γεωργά.
«Εργαστήριο Φυσικής. Ενότητα 2». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015.
Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:
https://eclass.upatras.gr/courses /PHY1952/

Σημείωμα Αδειοδότησης
Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη
Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα
αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό
και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων
Τρίτων».

[1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:
•που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το
διανομέα του έργου και αδειοδόχο
•που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο
έργο
•που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ.
διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο
Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για
εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Διατήρηση Σημειωμάτων
Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να
συμπεριλαμβάνει:
 το Σημείωμα Αναφοράς
 το Σημείωμα Αδειοδότησης
 τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων
 το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ’ όσον υπάρχει).

Τέλος Ενότητας