Transcript Κεφάλαιο 2
ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜHΣΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Γ. ΦΟΥΝΤΟΥΚΙΔΗΣ ΔΡ. ΧΗΜΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Σχεδιασμός: Ιωάννα Κατσαβού Επιμέλεια: Δρ. Ευαγγελία Παντατοσάκη ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συσχετίζουμε: • μία ιδιότητα x με • μία ιδιότητα ψ χρησιμοποιώντας μία θεωρητική εξίσωση. Η θεωρητική εξίσωση μπορεί να είναι: Γραμμική, Παραβολική, Εκθετική κλπ. Στο παρόν πείραμα θα εξετασθεί η γραμμική συσχέτιση δύο μεταβλητών. Σκοπός της άσκησης: Η χάραξη της βέλτιστης ευθείας που διέρχεται από τα πειραματικά σημεία, με χρήση της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων. ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Θεωρητική εξίσωση της ευθείας: Ψi = α + b xi Αποτέμνουσα Κλίση της ευθείας • Αποτέμνουσα Σημείο τομής της ευθείας με τον άξονα yy’. • Κλίση Εφαπτόμενη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα xx’. ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Ορισμός: Ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των τετραγώνων των αποκλίσεων μεταξύ θεωρητικών και πειραματικών τιμών. Συνάρτηση F (a, b) ( )2 (a bx )2 min Ψi θεωρητική τιμή ψi πειραματική τιμή Ψi = α + b xi ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ a, b, r Αποτέμνουσα: Κλίση: xi 2 ψi xi xψ i i a ν xi 2 ( xi )2 ν xiψi xi ψi b ν xi 2 ( xi )2 Συντελεστής γραμμικής συσχέτισης: xi i x r [( xi x ) ( i 2 2 Αρνητική γραμμική συσχέτιση r<0, b<0 2 2 1/ 2 )] 1 r 1 Θετική γραμμική συσχέτιση r>0, b>0 ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ xiψi xi2 ψi2 . . . . . . Σ xi = Σψi = , Ψ= χ= Σ xi ψi = 1 2 x1 x2 ψi mV Ψ1 Ψ2 . . . . . . . . . . . . 8 10 x10 X 8 Σ xi ψ Ψ10 8 . Σ xi ψi . Σ xi 2 . Σ ψi 2 v Σ xi ΡΗ Σψi ν = 10 8 Σ xi 2 = (Σ xi)2= , Σ ψi 2= ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ 1. Ρυθμίζουμε το pΗμετρο αρχικά με ρυθμιστικό διάλυμα σταθερού pΗ = 7. 2. Κάνουμε δεύτερη ρύθμιση με την βοήθεια όξινου/βασικού ρυθμιστικού διαλύματος ορισμένου pΗ (π.χ. pΗ=4 ή pΗ=11), αναλόγως με την περιοχή στην οποία θα πραγματοποιηθεί η μέτρηση. 3. Ξεπλύνουμε το ηλεκτρόδιο του pΗμέτρου με απιονισμένο νερό, και το σκουπίζουμε με καθαρό απορροφητικό χαρτί. 4. Βυθίζουμε το ηλεκτρόδιο στο δοχείου που περιέχει το διάλυμα και καταγράφουμε την ένδειξη pH. Ακολούθως στρέφουμε τον επιλογέα στην ένδειξη mV και καταγράφουμε την αντίστοιχη ένδειξη. 5. Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία και για τα διαλύματα (ν = 10) και απενεργοποιούμε το pΗμετρο. 6. Τα ζεύγη τιμών (pΗ, mV) καταγράφονται σε πίνακα. ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ 1. Κατασκευάζεται διάγραμμα πειραματικά σημεία (xi, ψi). mV (ψ) ως προς pΗ (x), με 2. Υπολογίζονται τα α, b και r. 3. Σχεδιάζεται και η θεωρητική ευθεία: Δίνουμε δύο αυθαίρετες τιμές στο x (x1 και x2), κατά προτίμηση στα άκρα του πεδίου ορισμού της x (pΗ), και με τη βοήθεια της ευθείας των ελαχίστων τετραγώνων (Ψ=α+bx) υπολογίζουμε τις αντίστοιχες θεωρητικές τιμές (Ψ1,Ψ2) του Ψ (mV). 250 200 Ψ1 y = -51,705x + 373,164 r² = 0,923 150 100 mV 50 Ψ2 0 0 2 4 x1 6 -50 -100 pH x2 8 10 Σημειώνουμε τα σημεία (x1,Ψ1) και (x2,Ψ2) με διαφορετικό σύμβολο (π.χ. * ) και ενώνοντας τα δύο σημεία, χαράσσουμε την ευθεία των ελαχίστων τετραγώνων. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Εύρεση της σχέσης mV / ΡΗ σε ΡΗμετρο Το pΗμετρο βρίσκει την συγκέντρωση ιόντων υδρογόνου [Η+] και επομένως το pΗ, μετρώντας την ηλεκτρεγερτική δύναμη (Η.Ε.Δ.), δηλαδή το δυναμικό ηλεκτροχημικού στοιχείου, που περιλαμβάνει αντιδράσεις ιόντων υδρογόνου. Τα pΗμετρα αποτελούνται από δύο ηλεκτρόδια, το ένα μετρήσεως και το άλλο αναφοράς, καθώς και από ένα μιλιβολτόμετρο με μικροπροσέσορα που μετατρέπει τις μετρήσεις mV σε pΗ. ΑΚΡΙΒΕΙΑ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΥΠΙΚΟ ΣΦΑΛΜΑ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ: Sx ( i i) 2 i Var (a ) S2 [ i ] 2 i 2 i b xi. i 2 2 ΔΙΑΣΠΟΡΕΣ: ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ: 2 2 x Var (b) Sx 2 i 2 2 . . a t[a,(v2)][Var(a)]1/ 2