Transcript A Περιγραφή Σημάτων Συνεχούς Χρόνου

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
 Περιγραφή Σημάτων Συνεχούς Χρόνου
 “Συνάρτηση δέλτα”
 Κατανομές
Περιγραφή Σημάτων Διακριτού Χρόνου
Η Ακολουθία Kronecker:
Περιγραφή Σημάτων Διακριτού Χρόνου
και η χρήση της στην αναπαράσταση των σημάτων διακριτού
χρόνου.
Περιγραφή Σημάτων Συνεχούς Χρόνου
Ποια είναι η Συνάρτηση που αποτελεί, στο συνεχή χρόνο, το ανάλογο
της Ακολουθίας Kronecker;
Ορισμός «Συνάρτησης» δέλτα από τον Dirac:
Περιγραφή Σημάτων Συνεχούς Χρόνου
Η «Συνάρτηση» δέλτα ως όριο ακολουθίας συναρτήσεων:
Είναι προφανές ότι  Δ ισχύει:
Μπορούμε να ορίσουμε την «Συνάρτηση» δέλτα ως ακολούθως:
Περιγραφή Σημάτων Συνεχούς Χρόνου
Η «Συνάρτηση» δέλτα ως όριο ακολουθίας συναρτήσεων:
 n (t )
sin(nt)
 n (t ) 
, n  1, 2,
t

 n ισχύει:

n ( ) d
1
n=3
n=2
n=1

t
Μπορούμε να ορίσουμε την «Συνάρτηση» δέλτα ως ακολούθως:  (t )  lim  n (t )
n
Περιγραφή Σημάτων Συνεχούς Χρόνου
Η «Συνάρτηση» δέλτα ως όριο ακολουθίας συναρτήσεων:
 n (t )
 n (t ) 
n

e
 n 2t 2
, n  1, 2, 
n=2

 n ισχύει:


n=3
n ( ) d
1
n=1
t
Μπορούμε να ορίσουμε την «Συνάρτηση» δέλτα ως ακολούθως:  (t )  lim  n (t )
n
Περιγραφή Σημάτων Συνεχούς Χρόνου
Γενικευμένες Συναρτήσεις ή Συναρτησοειδή.
Έστω  (t ) συνάρτηση που ανήκει σε μία κλάση την οποία θα ονομάζουμε κλάση
«συναρτήσεων δοκιμών». Αν το εσωτερικό γινόμενο:


 ( )   ,    (t ) (t )dt

συγκλίνει, η τ(t) είναι μία γενικευμένη συνάρτηση, ή συναρτησοειδές, στο χώρο των
«συναρτήσεων δοκιμών».
Συναρτησοειδή-Κατανομές.
•Συνέχεια
•Γραμμικότητα
Περιγραφή Σημάτων Συνεχούς Χρόνου
Θεωρία κατανομών του Schwartz.
O Schwartz θεώρησε ως «συναρτήσεις δοκιμών» όλες τις «απείρως ομαλές» συναρτήσεις και
οι οποίες μηδενίζονται έξω από ένα πεπερασμένο διάστημα.
|ab|

 ( x a )( x b) , x  (a, b)
 (t )  e

 0,  ά
 (t )
Το κλειστό διάστημα [α, b] ονομά-
ζεται περιοχή υποστήριξης (support)
της φ(t).
t
Περιγραφή Σημάτων Συνεχούς Χρόνου
Θεωρία κατανομών του Schwartz.
O Schwartz όρισε ότι μια δοκιμαστική συνάρτηση  (t ) ανήκει στο χώρο δοκιμών D αν:
1.
Oι κάθε τάξης παράγωγοι  (k ) (t ) υπάρχουν και είναι συνεχείς στο R.
2.
Υπάρχει T>0 :  (t )  0,  | t | T
Όρισε δε την κατανομή ως ακολούθως:


 ( )   ,    (t ) (t )dt

όπου τ(t) μια τοπικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση.
Περιγραφή Σημάτων Συνεχούς Χρόνου
Θεωρία κατανομών. Ολίσθηση Κατανομής
¥
t t (j ) =< t t ,j >= ò t (t -t0 )j (t ) dt = t (jt )
0
0
-¥
0
Περιγραφή Σημάτων Συνεχούς Χρόνου
Θεωρία κατανομών. Αλλαγή κλίμακας κατανομής
Αν
ˆ(t )   (at), a  R

ˆ( )  ˆ,  

όπου:


1
t
1
 (at) (t )dt 
 (t ) ( )dt 
 (ˆ)
|a|
a
|a|

t
ˆ
 (t )   ( )
a
τότε:

Περιγραφή Σημάτων Συνεχούς Χρόνου
Θεωρία κατανομών. Πολλαπλασιασμός Κατανομών
Αν  (t )
κατανομή και
 a,  
a (t ) μια συνάρτηση, τότε:




 ( (t )a(t )) (t )dt   (t )(a(t ) (t ))dt   , a 
Περιγραφή Σημάτων Συνεχούς Χρόνου
Θεωρία κατανομών. Παράγωγος κατανομής
Η παράγωγος μιας κατανομής είναι μια νέα κατανομή




 (1) ( )   (1) ,    (1) (t ) (t )dt    (t ) (1) (t )dt     ,  (1)   ( (1) )

Γενίκευση

Περιγραφή Σημάτων Συνεχούς Χρόνου
Θεωρία κατανομών. Παράγωγος κατανομής
Υπάρχει η παράγωγος μιας ασυνεχούς κατανομής;
 (t )
A
t 0 t 0
t0
t
Περιγραφή Σημάτων Συνεχούς Χρόνου
Θεωρία κατανομών. Παράγωγος κατανομής
Υπάρχει η παράγωγος μιας ασυνεχούς κατανομής;
 (t )
A
t0
t
Περιγραφή Σημάτων Συνεχούς Χρόνου
Θεωρία κατανομών. Συνέλιξη κατανομών
∞ ∞
<  1 * 2 ,  >= ∫∫ 1 (tˆ) 2 (tˆ - t )dtˆ (t )dt =
-∞ -∞
∞
∞
∫ (tˆ)[∫
1
-∞
-∞
2
(tˆ - t ) (t )dt]dtˆ
Περιγραφή Σημάτων Συνεχούς Χρόνου
Θεωρία κατανομών του Schwartz. Σύγκλιση
Η ακολουθία κατανομών
{ n (t )}1∞
συγκλίνει στην κατανομή
¥
¥
-¥
-¥
 (t )
αν
lim ò t n (t )j (t ) dt = ò t (t )j (t ) dt ,"j (t ) Î D
n ®¥
Περιγραφή Σημάτων Συνεχούς Χρόνου
Θεωρία κατανομών του Schwartz.

Μπορούμε να ορίσουμε την Κατανομή Dirac ως ακολούθως:
f (0) 
 f (t ) (t )dt

Ορισμός της δέλτα όχι μέσω των τιμών της
σε κάθε χρονική στιγμή, αλλά από το σύνολο
των βαθμωτών γινομένων της με «συναρτήσεις
δοκιμών».
Μαθηματική Περιγραφή Συστημάτων
•Ιδιότητες ΓΧΑ Συστημάτων Συνεχούς Χρόνου.
•Αιτιατότητα
•Απόκριση των ΓΧΑ Συστημάτων σε Μιγαδικά Εκθετικά Σήματα
•Συνεχούς Χρόνου Μετασχηματισμός Fourier
•Συνέλιξη και Συνεχούς Χρόνου Μετασχηματισμός Fourier
•Ευστάθεια ΒΙΒΟ
•Μετασχηματισμός -Laplace
Μαθηματική Περιγραφή Συστημάτων
Ιδιότητες ΓΧΑ Συστημάτων.
Αντιμεταθετική Ιδιότητα
Προσεταιριστική Ιδιότητα