Transcript Φυλλάδιο ασκήσεων 6

Μαθηµατικά 1
Πρώτο ΄Ετος Τµήµατος Αρχιτεκτόνων Μηχανικών
Φυλλάδιο 6
΄Ασκηση 1.
Να αποδειχθεί ότι η γενική λύση της ∆.Ε. x = arctan y0 είναι y(x) = ln | sec x| + C.
΄Ασκηση 2.
Να λυθεί η ∆.Ε. θ (1 + ρ 2 )dθ + ρ(1 + θ 2 )dρ = 0.
(Απ. (ρ 2 + 1)(θ 2 + 1) = C)
΄Ασκηση 3.
Να λυθεί η (1 + ex )yy0
= ex όταν
(Απ. y2
y(1) = 1.
e
x
2
= ln
(e + 1) )
(e + 1)2
΄Ασκηση 4.
Να ϐρεθούν οι τιµές των οριζουσών
1 −1
2
−2 1
2
3 5 −1 , D3 =
D1 = 2 −3 −1 , D2 =
2
4
3
−3 2
1
1
2 0
1
2 −1 1
2
6
3 0 −2
−1
2 0
2
(Απ. |D1 | = 31, |D2 | = 28, |D3 | = −5)
΄Ασκηση 5.
Να υπολογισθεί η τιµή της ορίζουσας
1 2
4
D = 3 5 −2
1 6
2
αφού τη µετατρέψετε σε άνω τριγωνική ορίζουσα.
(Απ. |D| = 58)
΄Ασκηση 6.
Να υπολογισθεί η τιµή της n × n ορίζουσας όταν τα στοιχεία της ai j είναι πραγµατικοί
αριθµοί και δίνονται από τη σχέση
ai j =
n+1
1
όταν i = j
όταν i =
6 j
(Απ. |D| = 2nn )
2
΄Ασκηση 7.
Αν a3 + b3 = 1 να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα


a b 0
A= 0 a b 
b 0 a

a2 −ab
b2
(Απ. A−1 =  b2
a2 −ab )
−ab
b2
a2

΄Ασκηση 8.
Να λυθεί το γραµµικό σύστηµα
x − 2y + 3z = 2
2x − 3z = 3
x+y+z = 6
µε τρεις τρόπους (ορίζουσες, Gauss, πίνακες).
(Απ. x = 3, y = 2, z = 1)
΄Ασκηση 9.
Να λυθούν τα γραµµικά συστήµατα :
2x − y + 3z = 2
x + 3y − z = −3 ,
3x + y + 3z = 5
x − 2y + z = 1
2x − 2y − z = 0
−x + y + 3z = 2
(Απ. x = −19, y = 11, z = 17, x = 3/5, y = 1/5, z = 4/5)