Transcript Φυλλάδιο ασκήσεων 5

Μαθηµατικά 1
Πρώτο ΄Ετος Τµήµατος Αρχιτεκτόνων Μηχανικών
Φυλλάδιο 5
΄Ασκηση 1.
Να αναλυθούν σε άθροισµα απλών κλασµάτων τα κλάσµατα :
1.
f (x)
x2 + 4x + 7
=
g(x) (x + 2)(x + 3)2
2.
f (x)
x5 + 1
= 2
g(x) (x − x + 1)3
3.
f (x)
x3 − 3x
=
g(x) (x + 1)2 (x2 + x + 2)
(Απ. A1 = 3, A2 = −2, A3 = −4)
(Απ. A1 = 1, B1 = 2, A2 = 1, B2 = −3, A3 = −1, B3 = 2)
1
1
(Απ. A1 = , A2 = 1, A3 = , B3 = −3)
2
2
΄Ασκηση 2.
Να υπολογισθούν τα ολοκληρώµατα :
Z
dx
1.
2
1 x − 2 (Απ. ln +C)
4
x + 2
x −4
Z
|x − 2|3/10
Z
x4 − x3 − x − 1
dx
x3 − x2
Z
x3 + x2 + x + 2
dx
x4 + 3x2 + 2
1
(Απ. arctan x + ln x2 + 2 +C)
2
Z
3.
3x + 5
x3 − x2 − x + 1
4.
5.
x+1
dx
3
x + x2 − 6x
+C)
|x|1/6 |x + 3|2/15
1 x + 1 4
(Απ. ln −
+C)
2
x−1
x−1
x x2 1
+C)
(Απ.
− + 2 ln 2 x
x − 1
2.
(Απ. ln
dx
΄Ασκηση 3.
Να υπολογισθεί το µήκος της καµπύλης y =
2 3/2
x αν 1 ≤ x ≤ 2.
3
(Απ.
2 3/2
3 − 23/2 )
3
΄Ασκηση 4.
Βρείτε την απόσταση που διανύει ένα σηµείο P(x, y), του οποίου η ϑέση κάθε χρονική
√
στιγµή δίνεται από τις σχέσεις x = sin2 t , y = cos2 t µε το t από t = 0 έως t = π/2. (Απ. 2)
2
΄Ασκηση 5.
Να ϐρεθεί το µήκος της καµπύλης y = ln(sin
√ x) όταν π/4 < x < π/2.
(Απ. − ln( 2 − 1) ' 0.881374 ή − ln tan π8 ' 0.881374)
΄Ασκηση 6.
Βρείτε τον όγκο του στερεού που προκύπτει όταν περιστρέψουµε την x2 +y2 = r2 µε x, y > 0,
γύρω από τον άξονα xx0 .
(Απ. 2πr3 /3)
΄Ασκηση 7.
Βρείτε τον όγκο του στερεού που δηµιουργείται όταν η περιοχή που περικλείεται από τις
√
y = x, y = 2 και x = 0, περιστραφεί γύρω από τον y−άξονα.
(Απ. 32π/5)
΄Ασκηση 8.
Βρείτε τον όγκο του στερεού που δηµιουργείται όταν η περιοχή Ρ κάτω από την y = x2 και
στο διάστηµα [0,2], περιστραφεί γύρω από τον x−άξονα.
(Απ. 32π/5)
΄Ασκηση 9.
Να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού που προκύπτει από περιστροφή, της παραβολής
y2 = 8x και της ευθείας x = 0, γύρω από τον άξονα y όταν το x ∈ [0, 2].
(Απ. 32π/5)
΄Ασκηση 10.
Να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού που προκύπτει από περιστροφή, της παραβολής
y2 = 8x και της ευθείας x = 2, γύρω από τον άξονα y.
(Απ. 128π/5)
΄Ασκηση 11.
Να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού που προκύπτει από περιστροφή, της παραβολής
y2 = 8x του άξονα x και της ευθείας x = 2, γύρω από τον άξονα x.
(Απ. 16π)
΄Ασκηση 12.
Βρείτε τον όγκο του στερεού από περιστροφή, που προκύπτει όταν ο τόπος που περιορίζεται
από τις y = −x2 − 3x + 6 και x + y − 3 = 0 περιστρέφεται γύρω από την ευθεία y = 0.
(Απ. 1792π/15)
3
΄Ασκηση 13.
Βρείτε τον όγκο των στερεών που προκύπτουν όταν η γραµµοσκιασµένη περιοχή περιστραφεί γύρω από τον άξονα όπως σηµειώνεται στα παρακάτω σχήµατα.
(Απ. 8π,
38π/15,
13π/6,
9π/2)
΄Ασκηση 14.
Βρείτε
√ το εµβαδόν της επιφάνειας του στερεού που προκύπτει όταν περιστρέψουµε την
y=
x
3 (3 − x) µε
0 ≤ x ≤ 3, γύρω από τον x−άξονα.
(Απ. 3π)
΄Ασκηση 15.
Υπολογίστε το εµβαδόν της επιφάνειας του στερεού που προκύπτει όταν περιστρέψουµε
2
την καµπύλη y = 1 − x4 µε 0 ≤ x ≤ 2, γύρω από τον y−άξονα.
(Απ.
√
2 − 1))
8π
3 (2
΄Ασκηση 16.
Βρείτε το εµβαδόν της επιφάνειας του στερεού που δηµιουργείται όταν η καµπύλη x2/3 +
2
y2/3 = a2/3 , a > 0, στο πρώτο τεταρτηµόριο, περιστραφεί γύρω από τον x−άξονα. (Απ. 6π
5 a )
4
΄Ασκηση 17.
Να λυθούν τα ολοκληρώµατα :
Z 1
dx
√
1. I1 =
x
0
2. I2 =
3. I3 =
Z 2
dx
0
x−2
Z ∞
dx
1
x
(Απ. 2)
(Απ. − ∞)
(Απ. ∞)
΄Ασκηση 18.
Να υπολογισθεί το εµβαδόν της περιοχής R του παρακάτω σχήµατος.
(Απ.
π
)
2
΄Ασκηση 19.
Να υπολογισθεί το εµβαδόν της περιοχής R του παρακάτω σχήµατος.
(Απ. 1)