Transcript Κωνικές τομές σε μορφή POWER POINT

www.enallax.com/exams/ckat/konikes/conics.ppt
[email protected]
ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ
ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΟΥΝ ΩΣ ΤΟΜΕΣ ΟΡΘΟΥ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΚΩΝΟΥ
ΜΕ ΕΠΙΠΕΔΑ ΠΟΥ ΔΕΝ ΔΙΕΡΧΟΝΤΑΙ ΑΠΌ ΤΗΝ ΚΟΡΥΦΗ ΤΟΥ
2
ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ
ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΟΥΝ ΩΣ ΤΟΜΕΣ ΟΡΘΟΥ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΚΩΝΟΥ
ΜΕ ΕΠΙΠΕΔΑ ΠΟΥ ΔΕΝ ΔΙΕΡΧΟΝΤΑΙ ΑΠΌ ΤΗΝ ΚΟΡΥΦΗ ΤΟΥ
Α) Κύκλος
Το επίπεδο είναι
κάθετο στον άξονα
Β) Παραβολή
Το επίπεδο είναι //
με μια γενέτειρα.
Γ) Έλλειψη
Το επίπεδο δεν είναι
Παράλληλο με καμία
γενέτειρα .
Δ) Υπερβολή
Το επίπεδο είναι //
με δυο γενέτειρες
3
Παραβολή

Ο Γ.Τ. του σημείου του επιπέδου το
οποίο κινείται έτσι ώστε οι αποστάσεις του
από σταθερό σημείο Ε και από σταθερή
ευθεία (δ) να είναι ίσες.
Το σημείο Ε λέγεται εστία της παραβολής
 Η σταθερή ευθεία (δ) λέγεται διευθετούσα.

ΠΑΡΑΒΟΛΗ
y2=4αx
Εστία το σημείο Ε(α,0)
Διευθετούσα η ευθεία χ+α=0
 Κορυφή το σημείο (0,0)
 Άξονας της παραβολής
είναι ο άξονας χ΄χ
 Χορδή είναι το τμήμα που
συνδέει 2 σημεία της
παραβολής
Latus rectum Η χορδή ΓΔ που
είναι κάθετη στον άξονα και
περνά από την εστία
Παραβολή στη ζωή μας
Εξίσωση παραβολής
με κορυφή (0,0)
•Εξίσωση
•Εστία
•Διευθετούσα
•x2=4αy
•(0,α)
•Y+α=0
•y2=4αx
•(α,0)
•Χ+α=0
•Μορφή
Για να βρούμε την εστία
της παραβολής :
4α είναι ο συντελεστής του χ ή y.
Παράδειγμα:
x2=24y
4α=24
α=6
Ε(0,6)
(Η εστία είναι στον κάθετο
άξονα)
Παραδείγματα Παραβολής
Παράδειγμα 1
y = 4x2
x2 =
(1 /
4)y
4α = 1/4
α = 1/16
Εστία
Ε(0, 1/16)
Διευθετούσα
Y = - 1/16
Παράδειγμα 2
Να βρείτε την εστία και την διευθετούσα
x =
-3y2
y2= (-1/3)x
4α =
α =
-1/
-1/
3
12
εστία
(-1/12, 0)
Διευθετούσα
x = 1/12
Εξίσωση παραβολής
Παραδ.1
Εστία Ε (-4,0)
Εξίσωση:
y2 =4αx
y2 = 4(-4)x
y2 = -16x
α = -4
Εξίσωση παραβολής
Παρ. 2
Να βρείτε την εξ. παραβολής με
διευθετούσα y = 6
Εξίσωση :
x2 =4αy
x2 = 4(-6)y
x2 = -24y
α = -6
Εξίσωση παραβολής
Παραδ.3
Να βρείτε την εξίσωση παραβολής
με διευθετούσα x = -1
y2 = 4x
Εξίσωση παραβολής
Παραδ 4
Να βρείτε την εξίσωση παραβολής
με εστία Ε (0,3)
x2 = 12y
Αρχή
Παραμετρικές εξισώσεις
παραβολής
 y  4x
 x  4y
x  t 

y  2t 
x  2t 
2
y  t 
2
2
2
Θέση ευθείας ως προς παραβολή
2

y  4 x

Ax  By    0 
H ευθεία δεν έχει κανένα κοινό σημείο Δ<0
H ευθεία εφάπτεται της παραβολής Δ=0
H ευθεία τέμνει την παραβολή Δ>0
Η ευθεία τέμνει την παραβολή σε ένα σημείο
ευθεία είναι // με άξονα συμμετρίας
.
H
Η θέση του σημείου Α(x1,y1) ως
προς την παραβολή
y2=4αx
1)  (x1, y1) ί έ ό
 ή  y12  4x1  0
2)  (x1, y1) ί ά
 ή  y12  4x1  0
3) (x1, y1) ί έ ό 
 ή  y12  4x1  0
Κύκλος
Ο Γ.Τ του σημείου Τ(χ,y) του
επιπέδου το οποίο κινείται έτσι
ώστε να απέχει σταθερή απόσταση R
από ένα σταθερό σημείο Κ.
Εξίσωση κύκλου με κέντρο
(0,0) και ακτίνα R
x  y R
2
2
2
Εξίσωση κύκλου με κέντρο Κ(α,β)
και ακτίνα R
 x      y  
2
2
R
2
Εξίσωση κύκλου με κέντρο
Κ(-g, -f)
x  y  2gx  2fy  c  0  g  f  c  0
2
2
R 
2
g  f c
2
2
2
Κύκλος
Παράδειγμα 1
Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με κέντρο
(0,0) και περνά από το σημείο (4,5) .
Υπολογίζουμε την ακτίνα με το τύπο :
(x1  x2 )  (y1  y2 )  R  (4  0)  (5  0)  R
2
2
2
2
16  25  R 
41  R
2
2
x  y  41
Παράδειγμα.2
Να βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας y=2x+2
και του κύκλου με εξ. X2+y2=25
x 2  y 2  25
2
2
x  (2x  2)  25
2
2
x  4x  8x  4  25
2
5x  8x  4  25
2
5x  8x  21  0
y  2x  2
(5x  7)( x  3)  0
(5x  7)  0 (x  3)  0
7
x
5
x  3
Και μετά ?
Παραδ. 2
Για να βρω τις τετμημένες:
2
2
x  y  25
7
x
5
y  2x  2
x  3
Αντικαθιστώ
το x.
Παράδειγμα 2
2
2
x  y  25
7
A x  
5
7
y  2( )  2 
5
24
y
5
7 24
 , 
5 5 
y  2x  2
 x  3 
y  2(3)  2 
y  4
3,4
 Θέση
ευθείας κύκλου
H ευθεία τέμνει τον Κύκλο Δ>0 d<R
H ευθεία εφάπτεται στον Κύκλο Δ= 0 d= R
Κανένα κοινό σημείο Δ<0 d >R
y  x  


2
2
x  y  2 gx  2 fy  c  0 
d
x1  y1  
2  2
Μήκος εφαπτόμενου τμήματος
()  x  y  2 gx1  2 fy1  c
2
1
2
1
Θέση σημείου Τ(x1 ,y1)ως προς κύκλο
   έ ό  ύ    ()  0
   πάνω σ ύ    ()  0
   μεσα  ύ    ()  0
ό   (T)  x1  y1  2gx1  2fy1  c
2
2
 ύί  ύ
Ριζικός άξονας

Ριζικός άξονας δυο κύκλων είναι ο γ.τ
(γεωμετρικός τόπος) των σημείων των όποιων οι
δυνάμεις (ως προς τους κύκλους ) είναι ίσες .
1 : x 2  y 2  2 g1 x  2 f1 y  c1  0 

 2 : x  y  2 g 2 x  2 f 2 y  c2  0 
2
2
Εξίσωση ριζικού αξονα
2( g1  g2 ) x  2( f1  f 2 ) y  c1  c2  0
Παραμετρικές Εξισώσεις κύκλου
 ί  ύ ( x   )  ( y   )  R
2
2
2
x    R 

y    R   έ  . ύ

0    2

Εξίσωση εφαπτομένης
 ί την εξ. έ  ύ x 2  y 2  25  ί
  -3,4 
x 2  y2  25  2x 
2ydy
0
dx
dy x



dx y
3
()   . :y  y1  (x  x 1 ) 
4
3
y  4  (x  3)  3x  4y  25  0
4
Εφαπτόμενες κύκλου από σημείο εκτός αυτού
 ί  έ  ύ x2  y2  9  ά
ί (3,5)
 όέύ  έ:
d
Ax1  By1  
R
01  01  
3

 3 2 1  
A B
 1
 1
y     
(2)
  5  3      (5  3 )
(3,5)

 (1), (2)  9( 2  1)  (5  3 ) 2 )  9 2  9  9 2  30  25
2
2
 30  16   
2
2
2
(1)
8
15
8
51
  (2)  
15
15
51
  : y  158 x  15
 15 y  8 x  51  0
   
H   .  . ί : x  3
Αρχή
Έλλειψη
Παραδείγματα Έλλειψης
Ορισμός

Έλλειψη είναι ο Γ.Τ τόπος του σημείου του
επιπέδου που κινείται έτσι ώστε οι
αποστάσεις του από δύο σταθερά σημεία Ε,
Ε’ του επιπέδου να έχουν σταθερό
άθροισμα
Τα σημεία Ε, Ε’ είναι οι εστίες της έλλειψης
Έλλειψη
Οι εστίες είναι στο οριζόντιο
άξονα α>β
2
2
x
y
 2 1
2


Εστίες
Ε’(-γ,0) & Ε(γ,0)
Κέντρο (0,0) 2
Κορυφές
(0,β)& (0,-β)
2
Κορυφές
(-a,0) & (a,0)
x
y
 1
2 
2
a
b
Έλλειψη
Οι εστίες είναι στον κάθετο
άξονα β>α
2
2
x
y
 2 1
2


Εστίες
(0,-γ) & (0,γ)
Κέντρο
(0,0)
κορυφές
(α, 0)& (-α,0)
2
2
x
y
κορυφές


1
2
2
(0,-β) & (0, β)
a 
Έλλειψη




Η εστιακή απόσταση είναι : (ΕΕ’)= 2γ
Για να βρούμε τις εστίες :
γ2 = a2 - β2 με α > β ή
γ2 = β2 - α2 με β>a


    ή      


Εκκεντρότητα

Διευθετούσες




x  ,x       ή y  ,y  




Παραμετρικές εξ.της έλλειψης
2
2
x
y
 2 1
2


έ ώ :
x  
y  
Παραδείγματα
2
2
x
y

1
169 25
  a b
2
2
2
a 13
  5
ί :
έ :
(13,0),(13,0)
(0,5),(0, 5)
   144
   12 
(12,0),  '(12,0)
  169  24
2
2
Na βρείτε την εξίσωση και τις εστίες της έλλειψης
με κορυφές (5,0) ,(5,0) ,(0,-3) ,(0,3).
  a b
2
  25  9
2
a  5
2
a  25
  3
2
  16    4
2
ί  (4,0),(4,0)
 9
2
2
2
2
x
y

1
25
9
Να βρείτε τις κορυφές και τις
εστίες της έλλειψης:
2
2
49x  64y  3136
49x 2
64 y 2
3136


3136
3136
3136
x2
y2

1
64
49
έ :
(8,0),(8,0)
(0,7),(0, 7)
  a b
2
2
2
  64  49
2
  15    15
2
ί : ( 15,0),( 15,0)
Να βρείτε την εξίσωση των εφαπτόμενων της έλλειψης x2 y2
 1
που άγονται από το σημείο Α(3,3) .
9
5

x2 y2
  1 x2 y (2xx7 )2
 1  ...
9 5
  9 3
9
5
y  x   
5x 2  9(2x 2  2x  2 )  45
   0
ά ά :  2  5  92  0
  (3  3)2  5  9 2  0
  (9  18  92 )  5  92  0
  9  18 92  5  92  0

(3,3)
2
9

  3  3      3  3
y  x   
2
7
2x 7
   33     y  
9
3
9 3
Προσοχή!!!
Από το σημείο Α(3,3) άγεται και η
x = 3 ( η τιμή του λ δεν ορίζεται)
Δίδεται η έλλειψη
x2 y2
 1
2 2
και τυχαίο σημείο της Ρ. Η ΚΡ είναι
κάθετη στο άξονα οy και ΡΤ = ΚΡ. Αν Λ είναι το σημείο τομής της
ΟΡ και ΑΤ να βρείτε τον Γ Τ του σημείου
Λ.
x

)έ  ί  : (2,)
)  ί  ί ί
y
(x  )
(2  1)
 
)έ  ί . (
,
)
1   1  
) Εί  ί  :
y
y2 2x
)ί  ί ί  .  ί  : 2   1
 
Υπερβολή
Υπερβολή
Yπερβολή
Ορισμός : Υπερβολή είναι ο Γ.Τ. των σημείων του επιπέδου
που κινείται έτσι ώστε η απόλυτη τιμή της διαφοράς από
δυο σταθερά σημεία Ε, και Ε’ να είναι σταθερή .
Τα σημεία Ε,Ε’ είναι οι εστίες της υπερβολής
|(TE)  (TE')| 2
x2 y2
 2 1
2
 
έ :A( ,0), A'( ,0)
ί : E( ,0),E'( ,0)
 2  2  2

ύ : y   x

Ισοσκελής υπερβολή
2
xy=c
Κορυφές : Α1 (c,c)και Α 2 (c, c)
Εστίες : Ε1  (c 2,c 2) και
Ε2  (c 2, c 2)
Ασύμπτωτες :Οι άξονες
γ α 2

 2
α
α
Παραμετρικέςεξισώσεις :
Εκκεντρότητα: ε 
x  ct 
x  ct 


t

R

0
ή


c
c  t  R  0
y 
y 
t
t
Παράδειγμα

Η ισοσκελής υπερβολή
xy= 4 έχει:
Γραφική παράσταση
Κορυφές : Α1 (2,2)και Α2 (2, 2)
Εστίες : Ε1  (2 2,2 2) και
Ε2  (2 2, 2 2)
Παραμετρικέςεξισώσεις :
x  2t 

2  t  R  0
y 
t
 4
  4t , 
 t
Ισοσκελής υπερβολή

2
xy=c
Εξίσωση εφαπτομένης στο σημείο
 c
  ct , 
 t
dy
xy  c  y  x  0 
dx
c
dy
y
1
t
       2
dx
x
ct
t
E. : y  y1  (x  x1 ) 
2
c
1
y    2 (x  ct)  x  yt2  2ct
t
t
Ασκηση
Τα σημεία   4t , 4    4 , 4 
βρίσκονται στον ίδιο κλάδο της

 t

υπερβολής . Αν η ευθεία ΤΡ τέμνει τους άξονες στα σημεία Μ,Ν,
να αποδείξετε ότι ΜΡ = ΤΝ
4 4
4(t  p

1
 t
tp
  


4  4t 4(p  t) tp
4 1
ί : y   (X  4t)  ytp  4p  x  4t
t tp
4(p  t)
4(p  t)
έ  :  x  0  y 
 N(0,
)
tp
tp
έ M:  y  0  x  4(p  t)  M(4(p  t),0)
2
2
 4 4(p  t) 
 4p  4p  4 t 
16
(NT)  (4t)   
 16t2  
 16t2  2 (1)


tp 
tp
p
t


2
2
2
4
16
(MP)2  (4(p  t)  4p)2     16t2  2 (2)
p
p
 1,2  (MP)  (NT)
Γεωμετρικοί τόποι
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ
ΤΟΠΩΝ ΑΠΌ ΤΗΝ ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ
www.enallax.com
