Transcript Automatic Control Systems

ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
ΚΕΣ 01 – Αυτόματος Έλεγχος
Ανάλυση Συστημάτων Αυτομάτου
Ελέγχου:
Γεωμετρικός Τόπος Ριζών
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Ορισμός Γ.Τ.Ρ
Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ
Προσδιορισμός Ριζών
Επίδραση Εισαγωγής Πόλων
Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών
Παραδείγματα
Βιβλιογραφία Ενότητας
◊
Παρασκευόπουλος [2004]: Κεφάλαιο 7
◊
Παρασκευόπουλος [2005]: Εφαρμογές, Κεφάλαιο 7
◊
DiStefano [1995]: Chapters 13
◊
Tewari [2005]: Chapter 2: Section 2.9
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Ορισμός Γ.Τ.Ρ
Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ
Προσδιορισμός Ριζών
Επίδραση Εισαγωγής Πόλων
Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών
Παραδείγματα
Εισαγωγή
◊
Ένα από τα βασικά ζητήματα της σχεδίασης Σ.Α.Ε είναι η τοποθέτηση των
πόλων του συστήματος σε νέες επιθυμητές θέσεις.
◊
Η γενική διάταξη που χρησιμοποιείται για το σκοπό αυτό φαίνεται στο
επόμενο σχήμα
◊
Η συνάρτηση F(s), η οποία συνήθως ονομάζεται ελεγκτής ανατροφοδότησης,
χρησιμοποιείται για την εισαγωγή νέων πόλων και μηδενικών στο σύστημα
◊
Η σταθερά ενίσχυσης Κ (η οποία συνήθως ονομάζεται αντισταθμιστής)
χρησιμοποιείται για την μετατόπιση των υφιστάμενων πόλων του συστήματος σε
νέες θέσεις καθώς και για τη ρύθμιση του σφάλματος στη μόνιμη κατάσταση.
◊
Σε αρκετές περιπτώσεις η εισαγωγή μοναδιαίας ανάδρασης (F(s)=1) και ο
αντισταθμιστής K είναι αρκετή για τη δημιουργία της επιθυμητής
συμπεριφοράς του συστήματος.
◊
Η μελέτη της μεταβολής της θέσεως των πόλων του κλειστού συστήματος καθώς
μεταβάλλεται το Κ είναι το αντικείμενο του Γεωμετρικού Τόπου Ριζών
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
Εισαγωγή
Ορισμός Γ.Τ.Ρ
Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ
Προσδιορισμός Ριζών
Επίδραση Εισαγωγής Πόλων
Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών
Παραδείγματα







◊
Παράδειγμα
Το αριστερό διάγραμμα μας δίνει τη θέση των πόλων του κλειστού
συστήματος του σχήματος ως μεταβολή της τιμής του Κ.
◊
Με μπλε χρώμα είναι η κίνηση του ενός πόλου και με πράσινο η κίνηση του δεύτερου
πόλου
Root Locus
2.5
2
1.5
System: h
Gain: 4.8
Pole: -2.4 + 1.02i
Damping: 0.92
Overshoot (%): 0.0614
Frequency (rad/sec): 2.6
Root Locus
2.5
2
1.5
0.5
1
0.5
0
Imaginary Axis
Imaginary Axis
1
-0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-6
System: h
Gain: 5.07
Pole: -2.53 - 0.8i
Damping: 0.953
Overshoot (%): 0.0048
Frequency (rad/sec): 2.65
-1
-1.5
-2
-2.5
-6
-5
-4
-3
-2
-1
Real Axis
0
1
2
3
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Ορισμός Γ.Τ.Ρ
Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ
Προσδιορισμός Ριζών
Επίδραση Εισαγωγής Πόλων
Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών
Παραδείγματα
Ορισμός Γεωμετρικού Τόπου
Ριζών
◊
Έστω το κλειστό σύστημα του σχήματος:
◊
Ως γνωστό το κλειστό σύστημα έχει συνάρτηση μεταφοράς: H ( s) 
και η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος είναι:
1  K G( s) F ( s)  0
ή
K G( s )
1  K G( s ) F ( s )
K G ( s ) F ( s )  1
η οποία μπορεί να γραφεί και ως
K G( s ) F ( s )  1
◊
argK G( s) F ( s)  (2  1) ,
  0,  1,2,...
Έστω ότι η συνάρτηση μεταφοράς βρόχου ΚG(s)F(s) είναι ρητή συνάρτηση
και έχει τη μορφή:
( s  z1 )( s  z2 )...( s  zm )
K G( s) F ( s)  K j
s ( s  p1 )( s  p2 )...( s  pk )
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Ορισμός Γ.Τ.Ρ
Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ
Προσδιορισμός Ριζών
Επίδραση Εισαγωγής Πόλων
Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών
Παραδείγματα
◊
Ορισμός Γεωμετρικού Τόπου
Ριζών (ΙΙ)
Η χαρακτηριστική εξίσωση τότε παίρνει τη μορφή:
m
 (s  z )
i
KG( s) F ( s)  1  K
i 1
n
 (s  p )
,
 K 
i
i 1
argK G( s) F ( s)  (2  1) ,
  0,  1,2,...
( 2   1) ,


args  zi   args  pi   
 2  ,
i 1
i 1

m

n

0
0
Ο Γεωμετρικός Τόπος Ριζών (Γ.Τ.Ρ) του κλειστού συστήματος H ( s) 
K G( s )
1  K G( s ) F ( s )
είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων s που ικανοποιούν τη χαρακτηριστική
εξίσωση του συστήματος (δηλαδή τις δύο παραπάνω εξισώσεις) για Κ(0,∞)
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Ορισμός Γ.Τ.Ρ
Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ
Προσδιορισμός Ριζών
Επίδραση Εισαγωγής Πόλων
Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών
Παραδείγματα
Θεωρήματα Γεωμετρικού
Τόπου Ριζών
Θεώρημα 1:
◊
Τα σημεία του Γ.Τ.Ρ για Κ=0 είναι οι πόλοι της G(s)F(s). Τα σημεία αυτά ονομάζονται
σημεία εκκίνησης του Γ.Τ.Ρ
Root Locus
System: h
Gain: 0
Pole: 0 + 1.41i
Damping: 0
Overshoot (%): 100
Frequency (rad/sec): 1.41
2.5
2
1.5
Root Locus
2.5
1
Imaginary Axis
2
1.5
1
Imaginary Axis
0.5
0.5
0
System: h
Gain: 0
Pole: 0 - 1.41i
Damping: 0
Overshoot (%): 100
Frequency (rad/sec): 1.41
-0.5
0
-1
-0.5
-1.5
-1
-1.5
-2
-2
-2.5
-6
-5
-4
-3
-2
-1
Real Axis
0
1
2
3
-2.5
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Ορισμός Γ.Τ.Ρ
Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ
Προσδιορισμός Ριζών
Επίδραση Εισαγωγής Πόλων
Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών
Παραδείγματα
Θεωρήματα Γεωμετρικού
Τόπου Ριζών (II)
Θεώρημα 2:
◊
Τα σημεία του Γ.Τ.Ρ για Κ->∞ είναι τα μηδενικά της G(s)F(s). Τα σημεία αυτά
ονομάζονται σημεία λήξης του Γ.Τ.Ρ. Όταν ο αριθμός m των μηδενικών της G(s)F(s)
είναι μικρότερος από τον αριθμό των πόλων n υπάρχουν n-m σημεία λήξης που
αντιστοιχούν στο άπειρο (∞)
Root Locus
2.5
2
1.5
Root Locus
1
2.5
Imaginary Axis
2
1.5
1
Imaginary Axis
0.5
0
0.5
System: h
Gain: 7.45
Pole: -5.83
Damping: 1
Overshoot (%): 0
Frequency (rad/sec): 5.83
System: h
Gain: Inf
Pole: -1
Damping: 1
Overshoot (%): 0
Frequency (rad/sec): 1
0
-0.5
-1
-0.5
-1.5
-1
-2
-1.5
-2
-2.5
-6
-2.5
-6
-5
-4
-3
-2
-1
Real Axis
0
1
2
3
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Ορισμός Γ.Τ.Ρ
Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ
Προσδιορισμός Ριζών
Επίδραση Εισαγωγής Πόλων
Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών
Παραδείγματα
Θεωρήματα Γεωμετρικού
Τόπου Ριζών (IIΙ)
Θεώρημα 3:
◊
Ο αριθμός των διακεκριμένων κλάδων (τόπων) είναι ίσος με max(n,m) όπου m και n
είναι ο αριθμός των μηδενικών και πόλων της G(s)F(s).
Root Locus
6
System: h
Gain: 28.6
Pole: 0.45 + 5.59i
Damping: -0.0803
Overshoot (%): 129
Frequency (rad/sec): 5.6
4
Root Locus
6
2
Imaginary Axis
4
Imaginary Axis
2
0
System: h
Gain: 47.4
Pole: -0.943
Damping: 1
Overshoot (%): 0
Frequency (rad/sec): 0.943
0
-2
System: h
Gain: 30
Pole: 0.45 - 5.71i
Damping: -0.0786
Overshoot (%): 128
Frequency (rad/sec): 5.73
-2
-4
-4
-6
-1
-0.5
0
Real Axis
0.5
-6
-1
-0.5
0
Real Axis
0.5
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Ορισμός Γ.Τ.Ρ
Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ
Προσδιορισμός Ριζών
Επίδραση Εισαγωγής Πόλων
Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών
Παραδείγματα
Θεωρήματα Γεωμετρικού
Τόπου Ριζών (IV)
Θεώρημα 4:
◊
Ο Γ.Τ.Ρ για K  ( ,) είναι συμμετρικός ως προς τον άξονα των πραγματικών
αριθμών (Re(s))
Άσκηση:
Να βρεθεί με τη βοήθεια του διαγράμματος του Γ.Τ.Ρ η ελάχιστη τιμή του K για την οποία
το κλειστό σύστημα του σχήματος είναι ευσταθές.
Root Locus
1.5
1
Imaginary Axis
0.5
0
System: h
Gain: 0.504
Pole: -0.00832
Damping: 1
Overshoot (%): 0
Frequency (rad/sec): 0.00832
-0.5
-1
-1.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
Real Axis
-1
-0.5
0
0.5
1
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Ορισμός Γ.Τ.Ρ
Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ
Προσδιορισμός Ριζών
Επίδραση Εισαγωγής Πόλων
Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών
Παραδείγματα
Θεωρήματα Γεωμετρικού
Τόπου Ριζών (V)
Θεώρημα 5:
◊
Για μεγάλες τιμές του s o Γ.Τ.Ρ για
που έχουν γωνίες:
 
(2  1)
,
nm
K  0 πλησιάζει ασυμπτωτικά τις ευθείες γραμμές
  0,1,..., n  m  1
όπου n είναι ο αριθμός των πόλων και m ο αριθμός των μηδενικών της G(s)F(s)
Root Locus
Root Locus
2.5
4
2
3
1.5
2
Imaginary Axis
Imaginary Axis
1
0.5
0
-0.5
1
0
-1
-1
-2
-1.5
-3
-2
-2.5
-3
-2.5
-2
-1.5
Real Axis
-1
-0.5
0
0.5
-4
-2
-1.5
-1
-0.5
Real Axis
0
0.5
1
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Ορισμός Γ.Τ.Ρ
Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ
Προσδιορισμός Ριζών
Επίδραση Εισαγωγής Πόλων
Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών
Παραδείγματα
Θεωρήματα Γεωμετρικού
Τόπου Ριζών (VΙ)
Θεώρημα 6:
Οι |n-m| ασύμπτωτες του Γ.Τ.Ρ τέμνονται στον άξονα των πραγματικών αριθμών και
n
m
συγκεκριμένα στο σημείο:
 p  z
i
1  
i 1
i
i 1
nm
Root Locus
2.5
2
1.5
1
Imaginary Axis
◊
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Real Axis
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Ορισμός Γ.Τ.Ρ
Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ
Προσδιορισμός Ριζών
Επίδραση Εισαγωγής Πόλων
Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών
Παραδείγματα
Θεωρήματα Γεωμετρικού
Τόπου Ριζών (VΙΙ)
Θεώρημα 7:
Ένα τμήμα του άξονα των πραγματικών αριθμών μπορεί να ανήκει στο Γ.Τ.Ρ αν ο
αριθμός των πόλων ή μηδενικών της G(s)F(s) που βρίσκονται στα δεξιά του
τμήματος είναι περιττός
Root Locus
1.5
1
0.5
Imaginary Axis
◊
0
-0.5
-1
-1.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Real Axis
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Ορισμός Γ.Τ.Ρ
Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ
Προσδιορισμός Ριζών
Επίδραση Εισαγωγής Πόλων
Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών
Παραδείγματα
Θεωρήματα Γεωμετρικού
Τόπου Ριζών (VΙΙΙ)
Θεώρημα 8:
Οι ρίζες τις εξίσωσης d
εξίσωσης:
G( s ) F ( s )
 0 οι οποίες είναι και ρίζες της χαρακτηριστικής
ds
KG( s ) F ( s )  1  0
για κάποια τιμή του Κ, αποτελούν σημεία θλάσης του Γ.Τ.Ρ
Root Locus
2.5
2
1.5
1
0.5
Imaginary Axis
◊
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-6
-5
-4
-3
-2
-1
Real Axis
0
1
2
3
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Ορισμός Γ.Τ.Ρ
Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ
Προσδιορισμός Ριζών
Επίδραση Εισαγωγής Πόλων
Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών
Παραδείγματα
Θεωρήματα Γεωμετρικού
Τόπου Ριζών (ΙX)
Θεώρημα 9:
◊
Η γωνία που σχηματίζει ο Γ.Τ.Ρ στους πόλους της G(s)F(s) (γωνία εκκίνησης) δίνεται
από τη σχέση:
 ( pq )   
m
argp
i 1
n
q
 argpq  pi 
 zi 
i 1
i q
όπου θ(pq) η γωνία που σχηματίζει ο Γ.Τ.Ρ στο πόλο pq και pi, zi είναι οι πόλοι και τα
μηδενικά της G(s)F(s) αντίστοιχα.
◊
Η γωνία που σχηματίζει ο Γ.Τ.Ρ στα μηδενικά της G(s)F(s) (γωνία άφιξης) δίνεται από
τη σχέση:
 ( zq )  
m
argz
i 1
i q
n
q
 argzq  pi 
 zi 
i 1
όπου θ(zq) η γωνία που σχηματίζει ο Γ.Τ.Ρ στο μηδενικό zq
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Ορισμός Γ.Τ.Ρ
Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ
Προσδιορισμός Ριζών
Επίδραση Εισαγωγής Πόλων
Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών
Παραδείγματα
Γωνίες άφιξης και γωνίες
εκκίνησης
Root Locus
Root Locus
1.5
2
1.5
1
1
0.5
Imaginary Axis
Imaginary Axis
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
Real Axis
-1
-0.5
0
0.5
1
-2
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Real Axis
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Ορισμός Γ.Τ.Ρ
Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ
Προσδιορισμός Ριζών
Επίδραση Εισαγωγής Πόλων
Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών
Παραδείγματα
Παράδειγμα
◊
Root Locus
1
Για το κλειστό σύστημα του
σχήματος να υπολογίσετε τις
γωνίες εκκίνησης και άφιξης του
0.8
Γ.Τ.Ρ
0.6
◊
Επαληθεύστε τις απαντήσεις με τη
βοήθεια του διαγράμματος του
0.4
Γ.Τ.Ρ που δίνεται στο διπλανό
Imaginary Axis
0.2
σχήμα (γωνίες εκκίνησης = π, 0, π,
γωνίες άφιξης = 109ο, -109ο)
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Real Axis
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Ορισμός Γ.Τ.Ρ
Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ
Προσδιορισμός Ριζών
Επίδραση Εισαγωγής Πόλων
Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών
Παραδείγματα
Παράδειγμα (ΙΙ)
Root Locus
◊
2
Για το κλειστό σύστημα του
σχήματος να υπολογίσετε τις
γωνίες εκκίνησης και άφιξης του
1.5
Γ.Τ.Ρ
1
◊
Επαληθεύστε τις απαντήσεις με τη
βοήθεια του διαγράμματος του
Imaginary Axis
0.5
Γ.Τ.Ρ που δίνεται στο διπλανό
σχήμα (γωνίες εκκίνησης = π, -30,
0
30, γωνίες άφιξης = 45, -45)
-0.5
-1
-1.5
-2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Real Axis
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Ορισμός Γ.Τ.Ρ
Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ
Προσδιορισμός Ριζών
Επίδραση Εισαγωγής Πόλων
Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών
Παραδείγματα
Παράδειγμα (ΙΙΙ)
Root Locus
◊
1.5
Για το κλειστό σύστημα του
σχήματος να υπολογίσετε τις
System: h
Gain: 4.54
Pole: -0.102 + 1.23i
Damping: 0.083
Overshoot (%): 77
Frequency (rad/sec): 1.23
1
Imaginary Axis
0.5
0
γωνίες εκκίνησης και άφιξης του
Γ.Τ.Ρ (γωνίες εκκίνησης = π, 30, 30, γωνίες άφιξης = -45, 45)
System: h
Gain: 2.85
Pole: -0.904
Damping: 1
Overshoot (%): 0
Frequency (rad/sec): 0.904
◊
Με τη βοήθεια του Γ.Τ.Ρ να
υπολογίσετε μια κατάλληλη τιμή για
το K ώστε το σύστημα να είναι
ευσταθές (Λύση: Κ>3).
-0.5
-1
-1.5
-1
System: h
Gain: 4.54
Pole: -0.102 - 1.23i
Damping: 0.083
Overshoot (%): 77
Frequency (rad/sec): 1.23
-0.5
0
0.5
1
1.5
Real Axis
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Ορισμός Γ.Τ.Ρ
Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ
Προσδιορισμός Ριζών
Επίδραση Εισαγωγής Πόλων
Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών
Παραδείγματα
◊
Προσδιορισμός ριζών με τη
βοήθεια του Γ.Τ.Ρ
Η κατασκευή του Γ.Τ.Ρ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση των ριζών
ενός πολυωνύμου ανώτερης τάξης p(s):
◊
Βρίσκουμε μια μορφή 1+KG(s)F(s) για την οποία το χαρακτηριστικό πολυώνυμο να
του κλειστού συστήματος να είναι ίσο με το p(s) για κάποια τιμή του Κ.
◊
Υπολογίζουμε από το Γ.Τ.Ρ τις θέσεις των πόλων του κλειστού συστήματος για τη
συγκεκριμένη τιμή του Κ.
◊
Παράδειγμα:
◊
◊
Να βρεθούν οι ρίζες του πολυωνύμου p( s)  s 3  4s 2  3s  2 με τη βοήθεια του Γ.Τ.Ρ
Λύση:
KG( s) F ( s) 
K
έχει χαρακτηριστικό πολυώνυμο
s ( s  1)( s  3)
◊
Το κλειστό σύστημα με
το p(s) για Κ=2.
◊
Σχηματίζουμε το Γ.Τ.Ρ για το παραπάνω κλειστό σύστημα και βρίσκουμε τις θέσεις
των πόλων για Κ=2 (βλέπε σχήμα επόμενης διαφάνειας)
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Ορισμός Γ.Τ.Ρ
Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ
Προσδιορισμός Ριζών
Επίδραση Εισαγωγής Πόλων
Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών
Παραδείγματα
Προσδιορισμός ριζών με τη
βοήθεια του Γ.Τ.Ρ (ΙΙ)
Root Locus
◊
6
Από το διάγραμμα του
Γ.Τ.Ρ του σχήματος
προκύπτει ότι οι ρίζες
του p( s)  s 3  4s 2  3s  2
4
Imaginary Axis
2
System: h
Gain: 2
Pole: -0.363 + 0.691i
Damping: 0.465
Overshoot (%): 19.2
Frequency (rad/sec): 0.78
System: h
Gain: 2.05
Pole: -3.28
Damping: 1
Overshoot (%): 0
Frequency (rad/sec): 3.28
0
◊
είναι (προσεγγιστικά) οι
p1 = -3.29,
p2=-0.363+0.691,
p3=-0.363-0.691,
System: h
Gain: 1.99
Pole: -0.363 - 0.689i
Damping: 0.466
Overshoot (%): 19.1
Frequency (rad/sec): 0.779
-2
-4
-6
-10
-8
-6
-4
-2
Real Axis
0
2
4
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Ορισμός Γ.Τ.Ρ
Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ
Προσδιορισμός Ριζών
Επίδραση Εισαγωγής Πόλων
Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών
Παραδείγματα
◊
Επίδραση εισαγωγής πόλων
στο κλειστό σύστημα
Η απλούστερη μορφή ενός κλειστού συστήματος περιλαμβάνει μοναδιαία
ανατροφοδότηση και τον αντισταθμιστή K όπως φαίνεται στο σχήμα:
Πολλές φορές η παραπάνω μορφή δεν είναι αρκετή για να προσδώσει στο
κλειστό σύστημα την επιθυμητή συμπεριφορά και χρησιμοποιείται η
συνάρτηση ανατροφοδότησης F(s) για την εισαγωγή επιπλέον πόλων ή
μηδενικών στο σύστημα.
Στη συνέχεια εξετάζουμε την επίδραση εισαγωγής πόλων στο κλειστό
σύστημα.
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Ορισμός Γ.Τ.Ρ
Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ
Προσδιορισμός Ριζών
Επίδραση Εισαγωγής Πόλων
Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών
Παραδείγματα
◊
Επίδραση εισαγωγής πόλων
στο κλειστό σύστημα (ΙΙ)
Στα παρακάτω σχήματα φαίνονται οι Γ.Τ.Ρ των αντίστοιχων κλειστών
συστημάτων:
Root Locus
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
Imaginary Axis
Imaginary Axis
Root Locus
1
0
System: h
Gain: 1.12
Pole: 0.236
Damping: -1
Overshoot (%): 0
Frequency (rad/sec): 0.236
-0.2
0
-0.2
-0.4
-0.4
-0.6
-0.6
-0.8
-0.8
-1
-2
-1.5
-1
-0.5
0
Real Axis
0.5
1
System: h
Gain: 1.5
Pole: 0.457 + 2.99e-008i
Damping: -1
Overshoot (%): Inf
Frequency (rad/sec): 0.457
1.5
2
-1
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Real Axis
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Ορισμός Γ.Τ.Ρ
Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ
Προσδιορισμός Ριζών
Επίδραση Εισαγωγής Πόλων
Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών
Παραδείγματα
◊
Επίδραση εισαγωγής πόλων
στο κλειστό σύστημα (ΙΙΙ)
Από τα προηγούμενα και επόμενα σχήματα προκύπτει ότι η εισαγωγή πόλων
στο κλειστό σύστημα απλά μετακινεί το Γ.Τ.Ρ προς τα δεξιά και καθιστά το
σύστημα λιγότερο ευσταθές.
Root Locus
Root Locus
1.5
1
0.8
1
0.6
0.4
0.5
Imaginary Axis
Imaginary Axis
0.2
0
System: h
Gain: 1.12
Pole: 0.236
Damping: -1
Overshoot (%): 0
Frequency (rad/sec): 0.236
-0.2
0
System: h
Gain: 0.0681
Pole: 1.29
Damping: -1
Overshoot (%): 0
Frequency (rad/sec): 1.29
-0.5
-0.4
-0.6
-1
-0.8
-1
-2
-1.5
-1
-0.5
0
Real Axis
0.5
1
1.5
2
-1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
Real Axis
0.5
1
1.5
2
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
Εισαγωγή
Ορισμός Γ.Τ.Ρ
Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ
Προσδιορισμός Ριζών
Επίδραση Εισαγωγής Πόλων
Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών
Παραδείγματα
◊
Επίδραση εισαγωγής
μηδενικών
Σε γενικές γραμμές η εισαγωγή μηδενικών στο κλειστό σύστημα μετακινεί το
Γ.Τ.Ρ προς τα αριστερά καθιστώντας το σύστημα περισσότερο ευσταθές όπως
φαίνεται από τα επόμενα παραδείγματα.
Imaginary Axis
Root Locus
Root Locus
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
Imaginary Axis







0
-1
0
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-5
-3
-4
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
Real Axis
0
0.5
1
1.5
2
-5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
Real Axis
0
0.5
1
1.5
2
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
Εισαγωγή
Ορισμός Γ.Τ.Ρ
Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ
Προσδιορισμός Ριζών
Επίδραση Εισαγωγής Πόλων
Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών
Παραδείγματα
Επίδραση εισαγωγής
μηδενικών (ΙΙ)
Root Locus
Root Locus
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
Imaginary Axis
Imaginary Axis







0
-1
0
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
Real Axis
0
0.5
1
1.5
2
-5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Real Axis
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
Εισαγωγή
Ορισμός Γ.Τ.Ρ
Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ
Προσδιορισμός Ριζών
Επίδραση Εισαγωγής Πόλων
Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών
Παραδείγματα
Επίδραση εισαγωγής
μηδενικών (ΙΙΙ)
Root Locus
◊
1.5
Από το διάγραμμα του
Γ.Τ.Ρ του σχήματος
System: h
Gain: 3.73
Pole: -0.000388 + 1.32i
Damping: 0.000295
Overshoot (%): 99.9
Frequency (rad/sec): 1.32
1
παρατηρούμε ότι με την
εισαγωγή δύο συζυγών
μηδενικών στο κλειστό
σύστημα επιτυγχάνουμε
0.5
ευστάθεια (για Κ>4)
Imaginary Axis







0
-0.5
-1
-1.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Real Axis
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
Εισαγωγή
Ορισμός Γ.Τ.Ρ
Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ
Προσδιορισμός Ριζών
Επίδραση Εισαγωγής Πόλων
Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών
Παραδείγματα
Παράδειγμα Ι
◊
Να κατασκευάσετε το Γ.Τ.Ρ για το κλειστό
σύστημα του σχήματος και να προσδιορίσετε το
διάστημα διακύμανσης του K ώστε το σύστημα
να είναι ευσταθές.
Root Locus
2000
System: h
Gain: 4e+006
Pole: -0.362 + 1.73e+003i
Damping: 0.000209
Overshoot (%): 99.9
Frequency (rad/sec): 1.73e+003
1500
1000
500
Imaginary Axis







0
-500
-1000
-1500
-2000
-2000
-1500
-1000
-500
Real Axis
0
500
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
Εισαγωγή
Ορισμός Γ.Τ.Ρ
Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ
Προσδιορισμός Ριζών
Επίδραση Εισαγωγής Πόλων
Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών
Παραδείγματα
◊
Παράδειγμα ΙI
Για το κλειστό Σ.Α.Ε του σχήματος να κατασκευάσετε το Γ.Τ.Ρ και να
προσδιορίσετε το διάστημα διακύμανσης του K ώστε το σύστημα να είναι
ευσταθές (Απ. 0.5<Κ<2)
Root Locus
1.5
System: h
Gain: 0.509
Pole: -0.00791 + 1.22i
Damping: 0.00649
Overshoot (%): 98
Frequency (rad/sec): 1.22
1
0.5
Imaginary Axis







0
System: h
Gain: 1.99
Pole: -0.00246
Damping: 1
Overshoot (%): 0
Frequency (rad/sec): 0.00246
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
Real Axis
0
0.2
0.4
0.6
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis