Transcript b - ε.κ.ε.φ.ε. δημοκριτος

ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
ΚΕΣ 01 – Αυτόματος Έλεγχος
Σχεδίαση Σ.Α.Ε:
Μορφές Αντισταθμιστών και
Κλασικές Μέθοδοι Σχεδίασης
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Βιβλιογραφία Ενότητας
◊
Παρασκευόπουλος [2004]: Κεφάλαιο 9: Ενότητες 9.1-9.9
◊
Παρασκευόπουλος [2005]: Εφαρμογές, Κεφάλαιο 9:
Ενότητες 9.1-9.4
◊
DiStefano [1995]: Chapter 6: Section 6.3,
Chapter 10: Sections 10.4 - 10.6
Chapter 16: Sections 16.1 - 16.5
◊
Tewari [2005]: Chapters 5: Section 5.1
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
◊
Εισαγωγή
Το πρόβλημα της σχεδίασης Σ.Α.Ε διατυπώνεται ως εξής:
Δίνεται το υπό έλεγχο σύστημα Σ και η επιθυμητή συμπεριφορά του (έξοδος)
y(t) η οποία καθορίζεται με ένα σύνολο προδιαγραφών. Ζητείται να βρεθεί
κατάλληλος αντισταθμιστής ή ελεγκτής Α ώστε το σύνθετο σύστημα (δηλαδή
ο συνδυασμός του αρχικού συστήματος και του αντισταθμιστή ή ελεγκτή) να
έχει ως έξοδο την προδιαγραφείσα έξοδο y(t).
◊
Παρόλο που είναι δυνατό να σχεδιαστούν ανοικτά συστήματα αυτομάτου
ελέγχου το συνηθέστερο είναι η σχεδίαση κλειστών συστημάτων. Σε αυτή την
περίπτωση ο αντισταθμιστής μπορεί να ευρίσκεται στον ευθύ κλάδο (cascade
compensator) ή στον κλάδο ανατροφοδότησης (feedback compensator)
◊
Υπάρχουν δυο διαφορετικές φιλοσοφίες σχεδίασης
◊
Σχεδίαση με κλασικές μεθόδους (Bode, Nyquist, Nichols, Γ.Τ.Ρ), οι οποίες είναι κατά
κύριο λόγο γραφικές και εμπειρικές
◊
Σχεδίαση με σύγχρονες μεθόδους, οι οποίες στηρίζονται στην περιγραφή με εξισώσεις
κατάστασης (μετατόπιση ιδιοτιμών, αποσύζευξη εισόδων-εξόδοων)
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Διάταξη αντισταθμιστών
Αντισταθμιστής στον ευθύ κλάδο:
Σχεδίαση ανοικτού Σ.Α.Ε
Αντισταθμιστής στον κλάδο ανατροφοδότησης:
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Προδιαγραφές Σχεδίασης
Σ.Α.Ε
◊
Μια από τις βασικότερες προδιαγραφές σχεδίασης που τίθενται είναι η
μετατροπή ενός ασταθούς συστήματος σε ευσταθές. Άλλες προδιαγραφές
μπορούν να τεθούν εφόσον έχει εξασφαλιστεί η ευστάθεια του συστήματος.
◊
Τέτοιες προδιαγραφές μπορούν να τεθούν στο πεδίο του χρόνου και
αφορούν:
◊
Σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση (eμον(t)=διαφορά επιθυμητής εξόδου από πραγματική
έξοδο όταν το t->∞)
◊
Μέγιστη υπερύψωση (overshoot)
◊
Χρόνος ανύψωσης Tr - Είναι ο χρόνος που χρειάζεται η έξοδος y(t) για να φτάσει από
το 10% στο 90% της τελικής της τιμής
◊
Συνήθεις προδιαγραφές στο πεδίο της συχνότητας είναι:
◊
Περιθώριο κέρδους Gm (Gain Margin), είναι το πλάτος |Η(ω)| της απόκρισης
συχνότητας όταν η φάση Α(ω) είναι ίση με -180ο (-π)
◊
Περιθώριο φάσης ΦPM (Phase Margin)
◊
Το εύρος ζώνης BW
◊
Η τιμή συντονισμού Μp
◊
Η συχνότητα συντονισμού ωp
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Παράδειγμα προδιαγραφών
σχεδίασης
◊
Σε πολλές περιπτώσεις οι προδιαγραφές σχεδίασης είναι αντικρουόμενες και
αυτή είναι η δυσκολία σχεδίασης.
◊
Παράδειγμα:
◊
Για το σύστημα του σχήματος να σχεδιαστεί αντισταθμιστής ώστε:
◊
Το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση eμον(t), όταν η είσοδος είναι η συνάρτηση
ράμπας ω(t) = 2*t, t≥0, να είναι μικρότερo από 0.1 m/sec.
◊
Το εύρος ζώνης του συστήματος (συχνότητα -3 db) να είναι μεγαλύτερο από 3
rad/sec (ΒW 3 rad/sec)
◊
Το περιθώριο φάσης να είναι ΦPM =45ο±5ο
◊
Όπως φαίνεται από το διάγραμμα Bode του τρέχοντος συστήματος το εύρος ζώνης
είναι περίπου 2 rad/sec και το περιθώριο φάσης είναι 38ο είναι.
◊
Επίσης δεν ικανοποιείται η προδιαγραφή για το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση
δεδομένου ότι
2
2
( s )
s
E ( s) 

1  G( s) F ( s) 1  G( s) F ( s)
e (t )  lime(t )  limsE(s)  2
t 
s0
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Παράδειγμα προδιαγραφών
σχεδίασης (II)
Bode Diagram
10
100
actual output
desired output
50
Magnitude (dB)
8
6
System: h
Frequency (rad/sec): 1.54
Magnitude (dB): -0.0624
0
-50
4
-150
-90
2
-135
Phase (deg)
y(t)
-100
0
System: h
Frequency (rad/sec): 1.54
Phase (deg): -142
-180
-225
-2
0
0.5
1
1.5
2
3
2.5
t - time in secs
3.5
4
4.5
5
-270
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Ελεγκτές PID
◊
Για διευκόλυνση της διαδικασίας σχεδίασης στις περισσότερες περιπτώσεις
χρησιμοποιούνται ειδικές δομές για τους αντισταθμιστές και αυτό που
αναζητείται είναι η εύρεση των τιμών των παραμέτρων τους ώστε να
ικανοποιούνται οι προδιαγραφές σχεδίασης
◊
Οι ελεγκτές PID (Proportional – Integrator – Differentiator) έχουν τη μορφή:
G c ( s)  KP 
KI
 KD s
s
και το ζητούμενο είναι η εύρεση των παραμέτρων KP, KI, KD, με βάση τις
προδιαγραφές σχεδίασης.
◊
Σημειώνεται ότι:
◊
Σε αρκετές περιπτώσεις οι προδιαγραφές μπορούν να ικανοποιηθούν χωρίς να
χρειάζονται όλοι οι όροι του PID ελεγκτή (π.χ. Με χρήση μόνο του αναλογικού όρου,
ή του αναλογικού όρου και του όρου διαφόρισης κοκ.)
◊
Σε περιπτώσεις που δεν ικανοποιούνται οι προδιαγραφές με χρήση όλων των όρων
του PID ελεγκτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί και δεύτερος ελεγκτής σε σειρά με τον
πρώτο
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
◊
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές
PID
Η σχεδίαση με ελεγκτές PID εξετάζεται σε 4 στάδια:
◊
◊
◊
Έλεγχος ικανοποίησης των προδιαγραφών με χρήση μόνο του αναλογικού όρου
G c ( s)  KP
Έλεγχος ικανοποίησης των προδιαγραφών με χρήση μόνο του αναλογικού όρου και
του όρου διαφόρισης
G c ( s)  KP  KD s
Έλεγχος ικανοποίησης των προδιαγραφών με χρήση μόνο του αναλογικού όρου και
του όρου ολοκλήρωσης
G c ( s )  KP 
◊
KI
s
Έλεγχος ικανοποίησης των προδιαγραφών με χρήση όλων των όρων του ελεγκτή
G c ( s)  KP 
◊
KI
 KD s
s
Στη συνέχεια θα εξετάσουμε αναλυτικά τις τέσσερις προηγούμενες
περιπτώσεις
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
◊
Σχεδίαση με αναλογικό ελεγκτή
Στη σχεδίαση με αναλογικό ελεγκτή G c ( s )  K P το μόνο που μπορούμε να
ρυθμίσουμε είναι το κέρδος του κλειστού συστήματος.
◊
Αυξάνοντας το KP μειώνουμε το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση αλλά μειώνουμε την
ευστάθεια του συστήματος.
◊
Η μέθοδος του Γ.Τ.Ρ είναι ένας καλός τρόπος προσδιορισμού της κατάλληλης τιμής
του KP ώστε να ικανοποιούνται οι προδιαγραφές του συστήματος εφόσον αυτό είναι
εφικτό.
◊
Στο σχήμα φαίνεται μια ηλεκτρονική διάταξη για υλοποίηση αναλογικού
ελεγκτή.
◊
Οι τιμές των στοιχείων Rf1, Rf2, R1,R2 χρησιμοποιούνται για τον καθορισμό του KP
◊
Για αρνητικές τιμές του ΚP μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως έξοδος η απόκριση του
πρώτου Τελεστικού Ενισχυτή
U ( s ) R f 1R f 2

 KP
( s)
R1R2
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Σχεδίαση με αναλογικό ελεγκτή
(II)
Bode diagram - Kp = 1
100
Magnitude (dB)
50
System: h
Frequency (rad/sec): 3.5
Magnitude (dB): -18.2
0
System: h
Frequency (rad/sec): 0.904
Magnitude (dB): -0.042
-50
-100
Phase (deg)
-150
-90
-135
◊
Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι
αυξάνοντας KP μειώνουμε το σφάλμα
στη μόνιμη κατάσταση
◊
Από το διάγραμμα Bode βλέπουμε ότι για
KP=1 έχουμε περιθώριο κέρδους Gm =
18.2 db και περιθώριο φάσης ΦPM= 57o
System: h
Frequency (rad/sec): 0.907
Phase (deg): -123
-180
System: h
Frequency (rad/sec): 3.48
Phase (deg): -180
-225
-270
-2
10
-1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
2
10
3
◊
10
Για KP=5 (βλέπε διάγραμμα Bode της
επόμενης ΄διαφάνειας) έχουμε
περιθώριο κέρδους GM = 4.18 db και
περιθώριο φάσης ΦPM= 12o.Επομένως
έχουμε μείωση της ευρωστίας του
συστήματος
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Σχεδίαση με αναλογικό ελεγκτή
(IIΙ)
Bode diagram - Kp = 5
◊
100
System: h
Frequency (rad/sec): 3.48
Magnitude (dB): -4.18
Magnitude (dB)
50
Παράδειγμα:
◊
0
System: h
Frequency (rad/sec): 2.7
Magnitude (dB): 0.0178
-50
Για το σύστημα του σχήματος να
σχεδιαστεί αναλογικός αντισταθμιστής
ώστε:
◊
Το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση
eμον(t), όταν η είσοδος είναι η
συνάρτηση ράμπας ω(t) = 2t, t≥0,
να είναι μικρότερo από 0.5 m/sec.
◊
Το εύρος ζώνης του συστήματος
(συχνότητα -3 db) να είναι
μεγαλύτερο από 3 rad/sec (ΒW 3
rad/sec)
◊
Το περιθώριο φάσης να είναι ΦPM
=45ο±5ο
-100
Phase (deg)
-150
-90
-135
-180
System: h
Frequency (rad/sec): 2.71
Phase (deg): -168
-225
System: h
Frequency (rad/sec): 3.49
Phase (deg): -180
-270
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Σχεδίαση με αναλογικό ελεγκτή
(IV)
◊
Bode diagram - Kp = 4
System: h
Frequency (rad/sec): 2.37
Magnitude (dB): 0.0953
50
Magnitude (dB)
Λύση:
◊
100
0
System: h
Frequency (rad/sec): 2.88
Magnitude (dB): -2.93
-50
-150
-90
-135
-180
-225
Άρα για
e (t )  0.5
χρειάζεται KP=4.
◊
Για KP=4 το διάγραμμα Bode
του συστήματος μας δίνει
περιθώριο φάσης ΦPM= 18o και
εύρος ζώνης ≈2.88 rad/sec.
◊
Αμφότερα δεν ικανοποιούν τις
προδιαγραφές που έχουν τεθεί
άρα ο αναλογικός ελεγκτής
δεν μπορεί να μας δώσει λύση
στο πρόβλημα σχεδίασης που
έχει τεθεί
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
-270
-2
-1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
2
10
V
2

KP KP
◊
System: h
Frequency (rad/sec): 2.38
Phase (deg): -162
10
Το κλειστό σύστημα είναι του
σχήματος είναι τάξης j=1, άρα
για είσοδο ω(t) = Vt =2t το
σφάλμα είναι:
e (t ) 
-100
Phase (deg)







3
10
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
◊
Σχεδίαση με ελεγκτή PD
Στη σχεδίαση με PD ελεγκτή η συνάρτηση μεταφοράς του ελεγκτή είναι
G c ( s)  KP  KD s  KD (
KP
 s)
KD
μπορούμε να ρυθμίσουμε το κέρδος του κλειστού συστήματος αλλά και να
προσθέσουμε ένα μηδενικό στη θέση s=-KP/KD.
◊
Η εισαγωγή μηδενικού κάνει το σύστημα περισσότερο ευσταθές. Εντούτοις με
δεδομένο ότι το μηδενικό δεν εισάγεται στο s=0 το κλειστό σύστημα διατηρεί τον
τύπο του
◊
Η αύξηση της παραμέτρου KD τείνει να μειώσει την υπερύψωση (overshoot) ενώ με
τη ρύθμιση του κέρδους KP μπορούμε να μειώσουμε το σφάλμα στη μόνιμη
κατάσταση
◊
Στο σχήμα φαίνεται μια ηλεκτρονική διάταξη για υλοποίηση PD ελεγκτή.
◊
Οι τιμές των στοιχείων Rf1, Rf2, R1,R2 χρησιμοποιούνται για τον καθορισμό του KP και
οι τιμές των Rf1, Rf2, R1,C2 για τον καθορισμό του ΚD.

U ( s)  R f 1 R f 2 R f 1
 

R f 2C2 s   K P  K D s
( s )  R1 R2
R1

© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Σχεδίαση με ελεγκτή PD (ΙΙ)
Step Response
4
Kp = 3, Kd =1
Kp = 4, Kd = 1
Kp = 5, Kd =1
3.5
3
Amplitude
2.5
2
◊
Δεδομένης της αναλογικής παραμέτρου
KP το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση
δίνεται και πάλι από το διπλανό πίνακα.
◊
Από το διπλανό διάγραμμα προκύπτει ότι
η αύξηση του συντελεστή ΚP (με σταθερό
ΚD) οδηγεί σε αύξηση της ταχύτητας
απόκρισης αλλά ταυτόχρονα και της
υπερύψωσης.
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Time (sec)
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Σχεδίαση με ελεγκτή PD (ΙΙΙ)
◊
Step Response
4
Από το διπλανό διάγραμμα προκύπτει ότι
η αύξηση του συντελεστή ΚD (με σταθερό
ΚP) οδηγεί σε αύξηση της υπερύψωσης
και σε ελαφρά μείωση του χρόνου
αποκατάστασης
Kp = 1, Kd = 1
Kp = 1, Kd = 2
Kp = 1, Kd = 3
3.5
3
Amplitude
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
2
4
6
8
10
12
Time (sec)
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Σχεδίαση με ελεγκτή PD (ΙV)
Bode diagram - Kp = 1, Kd=3
20
40
Magnitude (dB)
60
0
System: h
Frequency (rad/sec): 1.38
Magnitude (dB): -0.0962
-20
-40
-60
0
-20
-40
-60
-100
-45
-80
-45
-90
System: h
Frequency (rad/sec): 1.37
Phase (deg): -83.4
-135
-180
-1
0
10
10
1
10
Frequency (rad/sec)
◊
2
10
3
10
System: h
Frequency (rad/sec): 4.42
Magnitude (dB): -0.0443
20
-80
Phase (deg)
Phase (deg)
Magnitude (dB)
Bode diagram - Kp = 1, Kd=1
40
-90
System: h
Frequency (rad/sec): 4.42
Phase (deg): -106
-135
-180
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
Από τα παραπάνω διαγράμματα Bode προκύπτει ότι η αύξηση του συντελεστή ΚD (με
σταθερό ΚP) οδηγεί σε μείωση της ευρωστίας του συστήματος (περιθώριο φάσης)
αλλά ταυτόχρονα αύξηση του εύρους ζώνης (ΚD=1 =>BW≈1.4, ΦPM=96.6o, ΚD=4
=>BW≈4.4, ΦPM=74o )
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Σχεδίαση με ελεγκτή PD (V)
Bode diagram - Kp = 3, Kd=1
Bode diagram - Kp = 5, Kd=1
40
40
System: h
Frequency (rad/sec): 2.32
Magnitude (dB): -0.0188
Magnitude (dB)
0
-20
0
-20
-40
-40
-60
-90
-60
-90
System: h
Frequency (rad/sec): 2.31
Phase (deg): -123
-135
-180
-1
0
10
1
10
10
Frequency (rad/sec)
◊
System: h
Frequency (rad/sec): 2.94
Magnitude (dB): -0.0406
20
Phase (deg)
Phase (deg)
Magnitude (dB)
20
2
10
-135
System: h
Frequency (rad/sec): 2.94
Phase (deg): -141
-180
-1
10
0
1
10
10
2
10
Frequency (rad/sec)
Από τα παραπάνω διαγράμματα Bode προκύπτει ότι η αύξηση του συντελεστή ΚP (με
σταθερό ΚD) οδηγεί σε μείωση της ευρωστίας του συστήματος (περιθώριο φάσης)
αλλά ταυτόχρονα αύξηση του εύρους ζώνης και μείωση του σφάλματος στη μόνιμη
κατάσταση (ΚP=3 =>BW≈2.32, ΦPM=57o, ΚP=5 =>BW≈2.94, ΦPM=39o )
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
◊
Σχεδίαση με ελεγκτή PD (VΙ)
Παράδειγμα:
◊
◊
Για το σύστημα του σχήματος να σχεδιαστεί ελεγκτής PD ώστε:
◊
Το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση eμον(t), όταν η είσοδος είναι η συνάρτηση
ράμπας ω(t) = 2t, t≥0, να είναι μικρότερo από 0.5 m/sec.
◊
Το εύρος ζώνης του συστήματος (συχνότητα -3 db) να είναι μεγαλύτερο από 4
rad/sec (ΒW 4 rad/sec)
◊
Το περιθώριο φάσης να είναι ΦPM =45ο±5ο
Λύση
◊
Το κλειστό σύστημα και μετά την εισαγωγή του μηδενικού είναι τάξης j=1, άρα για
είσοδο ω(t) = Vt =2t το σφάλμα είναι:
e (t ) 
V
2

KP KP
Άρα για
e (t )  0.5 χρειάζεται KP≥4.
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Σχεδίαση με ελεγκτή PD (VΙΙ)
Bode diagram - Kp = 4, Kd=1
Bode diagram - Kp = 4, Kd=1
40
40
System: h
Frequency (rad/sec): 2.63
Magnitude (dB): 0.0797
20
Magnitude (dB)
Magnitude (dB)
20
0
-20
-40
0
-20
-40
-60
-90
-60
-90
Phase (deg)
Phase (deg)
System: h
Frequency (rad/sec): 3.32
Magnitude (dB): -3.03
-135
System: h
Frequency (rad/sec): 2.63
Phase (deg): -133
-135
-180
-1
10
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
2
10
-180
-1
10
0
1
10
10
2
10
Frequency (rad/sec)
◊
Για KP=4, KD=1 το διάγραμμα Bode του συστήματος μας δίνει περιθώριο φάσης ΦPM=
47o και εύρος ζώνης ≈3.32 rad/sec.
◊
Άρα για να πληρούνται οι προδιαγραφές χρειαζόμαστε αύξηση του εύρους ζώνης.
Μπορούμε να το πετύχουμε αυτό αυξάνοντας είτε το ΚP είτε το ΚD.
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Σχεδίαση με ελεγκτή PD (VΙIΙ)
Bode diagram - Kp = 5, Kd=1.25
40
Bode diagram - Kp = 5, Kd=1.25
40
30
System: h
Frequency (rad/sec): 3.04
Magnitude (dB): 0.0955
10
20
Magnitude (dB)
Magnitude (dB)
20
0
-10
-20
-30
-40
System: h
Frequency (rad/sec): 3.82
Magnitude (dB): -3
0
-20
-40
-50
-60
-90
Phase (deg)
Phase (deg)
-60
-90
-135
System: h
Frequency (rad/sec): 3.04
Phase (deg): -136
-180
-1
10
1
0
10
10
Frequency (rad/sec)
2
10
-135
-180
-1
10
0
1
10
10
2
10
Frequency (rad/sec)
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
◊
Σχεδίαση με ελεγκτή PD (IX)
Όπως ήδη αναφέρθηκε ο σχεδιασμός Σ.Α.Ε με γραφικές μεθόδους βασίζεται σε
ευριστικούς κανόνες και χρειάζεται αρκετές δοκιμές με διάφορες παραμέτρους.
Στη συνέχεια δίνουμε μια διαδικασία η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη
σχεδίαση PD ελεγκτών:
1.
Υπολογίζουμε το KP ώστε να ικανοποιείται το κριτήριο σφάλματος στη μόνιμη
κατάσταση
2.
Κατασκευάζουμε το διάγραμμα Bode για το κλειστό σύστημα (συνάρτηση G(s)F(s))
στο οποίο έχει εφαρμοστεί η ενίσχυση KP ώστε(δηλαδή για τη συνάρτηση KPG(s)F(s))
3.
Από το ανωτέρω διάγραμμα Bode υπολογίζουμε το περιθώριο φάσης ΦPM και τη
συχνότητα ω1 στην οποία έχουμε κέρδος ίσο με 0.
1.
Αν θέλουμε να αυξήσουμε το ΦPM κατά > 45ο και το εύρος ζώνης ταυτόχρονα
KP
επιλέγουμε
KD 
2.
1
Αν θέλουμε να αυξήσουμε το ΦPM κατά < 45ο χωρίς σημαντική αύξηση του
εύρους ζώνης ταυτόχρονα επιλέγουμε
KP
KD 
3.
1
Και στις δύο πιο πάνω περιπτώσεις για να έχουμε τα ζητούμενα αποτελέσματα το
ΚD δεν μπορεί να είναι πολύ μικρότερο ή πολύ μεγαλύτερο από το K P
1
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Σχεδίαση με ελεγκτή PD (X)
◊
Bode diagram - Kp = 4
100
System: h
Frequency (rad/sec): 2.4
Magnitude (dB): -0.0838
50
Magnitude (dB)
Στο προηγούμενο παράδειγμα
είχαμε βρει KP = 4 ώστε να
ικανοποιείται το κριτήριο
σφάλματος στη μόνιμη κατάσταση.
0
◊
-50
-100
Phase (deg)
-150
-90
-135
-180
System: h
Frequency (rad/sec): 2.4
Phase (deg): -162
KD 
-225
◊
-270
-2
10
-1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
Κατασκευάζοντας το διάγραμμα
Bode της KPG(s)H(s) βρίσκουμε
ω1=2.4 και την ΦPM =18ο.
Επομένως χρειαζόμαστε μια αύξηση
του ΦPM κατά 27ο. Άρα πρέπει να
επιλέξουμε.
2
10
3
10
KP
1

4
 1.67
2.4
Επιλέγοντας KD=1.15 έχουμε το
ζητούμενο ΦPM =50ο και ελαφρά
αύξηση του εύρους ζώνης (βλέπε
επόμενη διαφάνεια)
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Σχεδίαση με ελεγκτή PD (XΙ)
Bode diagram - Kp = 4, Kd =1.15
Bode diagram - Kp = 4, Kd =1.15
40
40
System: h
Frequency (rad/sec): 2.73
Magnitude (dB): 0.0302
Magnitude (dB)
20
0
-20
-20
-40
-60
-90
-60
-90
-135
System: h
Frequency (rad/sec): 2.74
Phase (deg): -130
System: h
Frequency (rad/sec): 3.45
Magnitude (dB): -2.97
0
-40
Phase (deg)
Phase (deg)
Magnitude (dB)
20
-135
-180
-180
1
0
-1
10
10
10
Frequency (rad/sec)
◊
2
10
-1
10
0
1
10
10
2
10
Frequency (rad/sec)
Για μεγαλύτερη αύξηση του εύρους ζώνης χρειάζεται να αυξήσουμε το KD το οποίο
βέβαια αυξάνει και το περιθώριο φάσης αλλά και την υπερύψωση της χρονικής
απόκρισης του συστήματος (βλέπε επόμενη διαφάνεια).
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Σχεδίαση με ελεγκτή PD (XΙΙ)
Step Response
Bode diagram - Kp = 4, Kd =1.65
3.5
40
System: h
Frequency (rad/sec): 3.14
Magnitude (dB): -0.0765
20
Magnitude (dB)
Kp=4, Kd=1.15
Kp=4. Kd=1.35
Kp=4, Kd=1.55
3
0
2.5
-20
Amplitude
-40
-60
-90
2
Phase (deg)
1.5
1
System: h
Frequency (rad/sec): 3.14
Phase (deg): -123
-135
0.5
-180
-1
10
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
2
10
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Time (sec)
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
◊
Σχεδίαση με ελεγκτή PΙ
Στη σχεδίαση με PΙ ελεγκτή η συνάρτηση μεταφοράς του ελεγκτή είναι
K 

s I 
K
KP 
 K s  KI 
G c ( s)  KP  I   P
  KP 
 s 
s
s






μπορούμε να ρυθμίσουμε το κέρδος του κλειστού συστήματος, να
προσθέσουμε ένα μηδενικό στη θέση s=-KΙ/KP και ένα πόλο στο s=0
◊
Η εισαγωγή μηδενικού κάνει το σύστημα περισσότερο ευσταθές.
◊
Mε δεδομένο ότι εισάγεται ένας πόλος στο s=0 το κλειστό σύστημα αυξάνει τον τύπο
του κατά 1 βελτιώνοντας σημαντικά τις επιδόσεις του στα σφάλματα μόνιμης
κατάστασης αλλά μειώνοντας την ευρωστία του. Σε πολλές περιπτώσεις κλειστό
σύστημα καθίσταται ασταθές
◊
Στο σχήμα φαίνεται μια ηλεκτρονική διάταξη για υλοποίηση PΙ ελεγκτή.
◊
Οι τιμές των στοιχείων Rf1, Rf2, R1,R2 χρησιμοποιούνται για τον καθορισμό του KP και
οι τιμές των Rf1, R1, R2, C2 για τον καθορισμό του ΚΙ.
Rf1 
U ( s)  R f 1 R f 2
K
  K P  I
 

( s )  R1 R2
R1R2C2 s 
s
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Σχεδίαση με ελεγκτή PΙ (ΙΙ)
Step Response
6
Kp=4, Ki=1
Kp=4, Ki=3
Kp=4, Ki=2.5
5
4
Amplitude
3
◊
Το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση
ρυθμίζεται από την παράμετρο ΚΙ και
δίνεται από τον παραπάνω πίνακα
(σημειώνεται ότι η εισαγωγή πόλου στο
s=0 αυξάνει τον τύπο του συστήματος) .
◊
Από το διπλανό διάγραμμα προκύπτει ότι
η αύξηση του συντελεστή ΚΙ (με σταθερό
ΚP) οδηγεί σε αύξηση της υπερύψωσης,
του χρόνου αποκατάστασης και είναι
δυνατό να οδηγεί σε αστάθεια.
2
1
0
-1
-2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Time (sec)
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Σχεδίαση με ελεγκτή PΙ (ΙΙΙ)
Step Response
◊
6
Από το διπλανό διάγραμμα
προκύπτει ότι η αύξηση του
συντελεστή ΚP (με σταθερό ΚΙ)
οδηγεί σε αύξηση της
υπερύψωσης, αύξηση της
ταχύτητας απόκρισης και είναι
δυνατό να οδηγήσει σε αστάθεια.
Kp=2, Ki=2
Kp=3, Ki=2
Kp=5, Ki=2
5
4
Amplitude







3
2
1
0
-1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Time (sec)
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Σχεδίαση με ελεγκτή PΙ (ΙV)
Bode diagram - Kp = 3, Ki =2
50
100
Magnitude (dB)
150
0
System: h
Frequency (rad/sec): 2.73
Magnitude (dB): -0.0581
-50
0
-50
-100
-150
-135
-150
-135
-180
System: h
Frequency (rad/sec): 2.73
Phase (deg): -177
-225
System: h
Frequency (rad/sec): 2.08
Magnitude (dB): -0.083
50
-100
Phase (deg)
Phase (deg)
Magnitude (dB)
Bode diagram - Kp = 5, Ki =2
100
-180
System: h
Frequency (rad/sec): 2.08
Phase (deg): -173
-225
-270
-270
-2
-1
10
10
0
10
Frequency (rad/sec)
◊
1
10
2
10
3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
Από τα παραπάνω διαγράμματα Bode προκύπτει ότι η αύξηση του συντελεστή ΚP (με
σταθερό ΚI) οδηγεί σε μείωση της ευρωστίας του συστήματος (περιθώριο φάσης)
αλλά ταυτόχρονα αύξηση του εύρους ζώνης (ΚP=3 =>BW≈2.08, ΦPM=7o, ΚP=5
=>BW≈2.73, ΦPM=3o )
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Σχεδίαση με ελεγκτή PΙ (V)
Bode diagram - Kp = 3, Ki =2
Bode diagram - Kp = 3, Ki =1
150
100
Magnitude (dB)
Magnitude (dB)
100
System: h
Frequency (rad/sec): 2.02
Magnitude (dB): -0.0156
50
0
-50
-100
0
-50
-100
-150
-135
-150
-135
System: h
Frequency (rad/sec): 2.02
Phase (deg): -163
-180
Phase (deg)
Phase (deg)
System: h
Frequency (rad/sec): 2.08
Magnitude (dB): -0.083
50
-225
-180
System: h
Frequency (rad/sec): 2.08
Phase (deg): -173
-225
-270
-2
10
-1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
2
10
3
-270
10 -2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
Frequency (rad/sec)
◊
3
10
Από τα παραπάνω διαγράμματα Bode προκύπτει ότι η αύξηση του συντελεστή ΚI (με
σταθερό ΚP) οδηγεί σε μείωση της ευρωστίας του συστήματος (περιθώριο φάσης)
αλλά ταυτόχρονα μικρή αύξηση του εύρους ζώνης (ΚI=1 =>BW≈2.02, ΦPM=17o, ΚI
=2 =>BW≈2.08, ΦPM=7o )
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
◊
Σχεδίαση με ελεγκτή PΙ (VΙ)
Παράδειγμα:
◊
◊
Για το σύστημα του σχήματος να σχεδιαστεί ελεγκτής PI ώστε:
◊
Το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση eμον(t), όταν η είσοδος είναι η συνάρτηση
επιτάχυνσης ω(t) = 0.5t2, t≥0, να είναι μικρότερo από 0.5 m/s2.
◊
Το εύρος ζώνης του συστήματος (συχνότητα -3 db) να είναι μεγαλύτερο από 2.6
rad/sec (ΒW=2 rad/sec)
◊
Το περιθώριο φάσης να είναι ΦPM >5ο
Λύση
◊
Το κλειστό σύστημα και μετά την εισαγωγή του πόλου στο s=0 είναι τάξης j=2, άρα
για είσοδο ω(t) = 0.5At2 = 0.5t2 το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση είναι:
e (t ) 
A
1

KI K I
Άρα για
e (t )  0.5 χρειάζεται KΙ>2. Έστω KΙ=2.1
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Σχεδίαση με ελεγκτή PΙ (VΙΙ)
Bode diagram - Kp = 5, Ki =2.1
Bode diagram - Kp = 5, Ki =2.1
100
100
System: h
Frequency (rad/sec): 2.71
Magnitude (dB): 0.0948
Magnitude (dB)
0
-50
0
-50
-100
-100
-150
-135
-150
-135
-180
System: h
Frequency (rad/sec): 2.7
Phase (deg): -177
-225
-270
-2
10
-1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
System: h
Frequency (rad/sec): 3.26
Magnitude (dB): -3.02
50
Phase (deg)
Phase (deg)
Magnitude (dB)
50
2
10
3
10
-180
-225
-270
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
◊
Για KP=5, KΙ=2.1 το διάγραμμα Bode του συστήματος μας δίνει περιθώριο φάσης
ΦPM= 3o και εύρος ζώνης ≈3.26 rad/sec.
◊
Άρα για να πληρούνται οι προδιαγραφές χρειαζόμαστε αύξηση του περιθωρίου φάσης
με ενδεχόμενη μείωση του εύρους ζώνης. Μπορούμε να το πετύχουμε αυτό
μειώνοντας είτε το ΚP.
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Σχεδίαση με ελεγκτή PΙ (VΙΙΙ)
Bode diagram - Kp = 4, Ki =2.1
Bode Diagram
100
100
System: h
Frequency (rad/sec): 2.41
Magnitude (dB): 0.0132
0
-50
0
-50
-100
-100
-150
-135
-180
Phase (deg)
-150
-135
Phase (deg)
System: h
Frequency (rad/sec): 2.92
Magnitude (dB): -3.01
50
Magnitude (dB)
Magnitude (dB)
50
System: h
Frequency (rad/sec): 2.4
Phase (deg): -174
-225
-180
-225
-270
-270
-2
10
-1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
◊
2
10
3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
Για KP=4, KΙ=2.1 το διάγραμμα Bode του συστήματος μας δίνει περιθώριο φάσης
ΦPM= 6o και εύρος ζώνης ≈2.92 rad/sec. Επομένως πληρούνται όλες οι προδιαγραφές
σχεδίασης.
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
◊
Σχεδίαση με ελεγκτή PΙ (IX)
Στη συνέχεια δίνουμε μια ευρυστική διαδικασία η οποία μπορεί να
χρησιμοποιηθεί για τη σχεδίαση PΙ ελεγκτών:
1.
Υπολογίζουμε το KΙ ώστε να ικανοποιείται το κριτήριο σφάλματος στη μόνιμη
κατάσταση
2.
Κατασκευάζουμε το διάγραμμα Bode για το κλειστό σύστημα (συνάρτηση G(s)F(s))
στο οποίο έχει εισαχθεί ο πόλος στο μηδέν και έχει εφαρμοστεί η ενίσχυση KΙ
(δηλαδή για τη συνάρτηση K I
)
s
3.
G( s ) F ( s )
Από το ανωτέρω διάγραμμα Bode υπολογίζουμε το περιθώριο φάσης ΦPM και τη
συχνότητα ω1 στην οποία έχουμε κέρδος ίσο με 0.
KP 
KI
1.
Αν θέλουμε να αυξήσουμε το ΦPM κατά > 40ο επιλέγουμε
2.
Αν θέλουμε να αυξήσουμε το ΦPM κατά < 40ο χωρίς σημαντική ταυτόχρονη
αύξηση του εύρους ζώνης επιλέγουμε
KI
KP 
3.
1
1
Και στις δύο πιο πάνω περιπτώσεις για να έχουμε τα ζητούμενα αποτελέσματα το
ΚP δεν μπορεί να είναι πολύ μικρότερο ή πολύ μεγαλύτερο από το K I
1
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Σχεδίαση με ελεγκτή PI (X)
◊
Bode Diagram
150
Magnitude (dB)
100
Στο προηγούμενο παράδειγμα
είχαμε βρει KI = 2.1 ώστε να
ικανοποιείται το κριτήριο
σφάλματος στη μόνιμη κατάσταση.
System: h
Frequency (rad/sec): 1.31
Magnitude (dB): -0.0465
50
0
◊
-50
-100
Κατασκευάζοντας το διάγραμμα
Bode της
KI
-150
s
Phase (deg)
-200
-180
◊
-225
System: h
Frequency (rad/sec): 1.31
Phase (deg): -226
-270
βρίσκουμε ω1=1.31 και ΦPM =-46ο.
Επομένως χρειαζόμαστε μια αύξηση
του ΦPM κατά 51ο. Άρα πρέπει να
επιλέξουμε.
KP 
-315
-360
-2
10
-1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
2
10
3
10
◊
G( s ) F ( s )
KI
1

2.1
 1.6
1.31
Επιλέγοντας KP=3 έχουμε το
ζητούμενο ΦPM =6ο. (δυστυχώς δεν
ικανοποιείται η προδιαγραφή του
του εύρους ζώνης, άρα χρειάζεται
μεγαλύτερο ΚP - βλέπε επόμενη
διαφάνεια)
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Σχεδίαση με ελεγκτή PI (XI)
Bode diagram - Kp = 3.5, Ki =2.1
Bode diagram - Kp = 3, Ki =2.1
100
150
50
System: h
Frequency (rad/sec): 2.08
Magnitude (dB): -0.0775
50
Magnitude (dB)
Magnitude (dB)
100
0
-50
-100
0
System: h
Frequency (rad/sec): 2.72
Magnitude (dB): -2.95
-50
-100
-150
-135
-150
-135
-180
System: h
Frequency (rad/sec): 2.07
Phase (deg): -174
Phase (deg)
Phase (deg)
System: h
Frequency (rad/sec): 2.24
Magnitude (dB): 0.0556
-225
-180
System: h
Frequency (rad/sec): 2.24
Phase (deg): -174
-225
-270
-2
10
-1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
2
10
3
10
-270
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
◊
Σχεδίαση με ελεγκτή PΙD
Στη σχεδίαση με PΙD ελεγκτή η συνάρτηση μεταφοράς του ελεγκτή είναι
 KD s 2  KPs  KI
KI
G c ( s)  KP 
 KD s  
s
s





μπορούμε να ρυθμίσουμε το κέρδος του κλειστού συστήματος, να
προσθέσουμε δύο μηδενικά στις θέσεις:
z1 ,2 
 KP 
 KP 2  4 KD KI
2 KD
 KP


2 KD
 KP 2  4 KD KI
2 KD
και ένα πόλο στο s=0
◊
Η εισαγωγή μηδενικών κάνει το σύστημα περισσότερο ευσταθές.
◊
Η εισαγωγή πόλου στο s=0 αυξάνει τον τύπο του κλειστού συστήματος κατά 1
βελτιώνοντας τις επιδόσεις του στα σφάλματα μόνιμης κατάστασης αλλά μειώνει την
ευρωστία του.
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
◊
Σχεδίαση με ελεγκτή PΙD (ΙΙ)
Στο σχήμα φαίνεται μια ηλεκτρονική διάταξη για υλοποίηση PΙ ελεγκτή.
◊
Οι τιμές των στοιχείων Rf1, Rf2, R1,R2 χρησιμοποιούνται για τον καθορισμό του KP και
οι τιμές των Rf1, R1, R2, C2 για τον καθορισμό του ΚΙ.
Rf1 
U ( s)  R f 1 R f 2 R f 1



R f 2C2 s 

( s)  R1 R2
R1
R1R2C f 2 s 
◊
Το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση
ρυθμίζεται από την παράμετρο ΚΙ και
δίνεται από τον διπλανό πίνακα
(σημειώνεται ότι η εισαγωγή πόλου στο
s=0 αυξάνει τον τύπο του συστήματος) .
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
◊
Σχεδίαση με ελεγκτή PΙD (III)
Στη συνέχεια δίνουμε μια ευρυστική διαδικασία η οποία μπορεί να
χρησιμοποιηθεί για τη σχεδίαση PΙD ελεγκτών:
1.
Υπολογίζουμε το KΙ ώστε να ικανοποιείται το κριτήριο σφάλματος στη μόνιμη
κατάσταση
2.
Κατασκευάζουμε το διάγραμμα Bode για το κλειστό σύστημα (συνάρτηση G(s)F(s))
στο οποίο έχει εισαχθεί ο πόλος στο μηδέν και έχει εφαρμοστεί η ενίσχυση KΙ
(δηλαδή για τη συνάρτηση K I
)
s
3.
G( s ) F ( s )
Από το ανωτέρω διάγραμμα Bode υπολογίζουμε το περιθώριο φάσης ΦPM και τη
συχνότητα ω1 στην οποία έχουμε κέρδος ίσο με 0.
1.
Αν θέλουμε να αυξήσουμε το ΦPM κατά > 90ο και ταυτόχρονη αύξηση του εύρους
ζώνης επιλέγουμε
KI
KD 
2.
KP  2 KD KI
Αν θέλουμε να αυξήσουμε το ΦPM κατά < 90ο επιλέγουμε
KD 
3.
1
KI
1
KP  2 KD KI
Και στις δύο πιο πάνω περιπτώσεις για να έχουμε τα ζητούμενα αποτελέσματα το
ΚD δεν μπορεί να είναι πολύ μικρότερο ή πολύ μεγαλύτερο από το K I
1
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
◊
Σχεδίαση με ελεγκτή PΙD (ΙV)
Παράδειγμα:
◊
◊
Για το σύστημα του σχήματος να σχεδιαστεί ελεγκτής PID ώστε:
◊
Το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση eμον(t), όταν η είσοδος είναι η συνάρτηση
επιτάχυνσης ω(t) = 0.5t2, t≥0, να είναι μικρότερo από 0.2 m/s2.
◊
Το εύρος ζώνης του συστήματος (συχνότητα -3 db) να είναι μεγαλύτερο από 4
rad/sec (ΒW=2 rad/sec)
◊
Το περιθώριο φάσης να είναι ΦPM >45ο
Λύση
◊
Το κλειστό σύστημα και μετά την εισαγωγή του πόλου στο s=0 είναι τάξης j=2, άρα
για είσοδο ω(t) = 0.5At2 = 0.5t2 το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση είναι:
e (t ) 
A
1

KI K I
Άρα για
e (t )  0.2 χρειάζεται KΙ>5. Έστω KΙ=5.1
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Σχεδίαση με ελεγκτή PID (V)
◊
Bode diagram - Kp = 0, kd=0, Ki =5.1
150
Βρήκαμε KI = 5.1 ώστε να
ικανοποιείται το κριτήριο σφάλματος
στη μόνιμη κατάσταση.
100
System: h
Frequency (rad/sec): 1.88
Magnitude (dB): 0.0523
Magnitude (dB)
50
◊
0
I
-50
s
-100
◊
-150
-200
-180
-225
Phase (deg)
Κατασκευάζοντας το διάγραμμα Bode
της
K
βρίσκουμε ω1=1.88 και ΦPM =-61ο.
Επομένως χρειαζόμαστε μια αύξηση
του ΦPM κατά 106ο. Άρα πρέπει να
επιλέξουμε.
KD 
System: h
Frequency (rad/sec): 1.88
Phase (deg): -241
-270
◊
-315
◊
-360
-2
10
-1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
2
10
3
10
G( s ) F ( s )
KI
1

5.1
 2.71
1.88
Έστω ότι επιλέγουμε KD=3 τότε,
KP  2 KD KI  7.82
Επιλέγοντας Κp =7 έχουμε το
ζητούμενο ΦPM =47ο και ταυτόχρονη
ικανοποίηση της προδιαγραφής του
εύρους ζώνης, ΒW > 4 (βλέπε
επόμενη διαφάνεια)
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Σχεδίαση με ελεγκτή PID (VI)
Bode diagram - Kp = 7, kd=3, Ki =5.1
Bode diagram - Kp = 7, kd=3, Ki =5.1
150
150
Magnitude (dB)
50
System: h
Frequency (rad/sec): 4.57
Magnitude (dB): 0.0409
100
50
0
0
-50
-120
-50
-120
Phase (deg)
Phase (deg)
Magnitude (dB)
100
System: h
Frequency (rad/sec): 4.59
Phase (deg): -133
-150
System: h
Frequency (rad/sec): 5.91
Magnitude (dB): -3.06
-150
-180
-180
-2
10
-1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
1
10
2
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
Frequency (rad/sec)
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
◊
Μορφές Αντισταθμιστών
Οι αντισταθμιστές είναι συνήθως παθητικά δίκτυα (RC) τα οποία
χρησιμοποιούνται για να προσδώσουν στο υπό έλεγχο σύστημα κάποια
επιθυμητά χαρακτηριστικά όπως:
◊
Αύξηση περιθωρίου φάσης
◊
Αύξηση εύρους ζώνης.
◊
Μείωση σφάλματος στη μόνιμη κατάσταση
◊
Μεγαλύτερη ταχύτητα απόκρισης
◊
Στη σύγχρονη μορφή τους κατασκευάζονται και αυτά με χρήση Τελεστικών
Ενισχυτών όποτε η χρήση τους έχει περιοριστεί δεδομένου ότι οι ελεγκτές PID
παρουσιάζουν μεγαλύτερη ευελιξία όσον αφορά το σχεδιασμό συστημάτων.
◊
Διακρίνουμε τρεις κατηγορίες αντισταθμιστών:
◊
◊
Δίκτυα προήγησης φάσης
◊
Δίκτυα καθυστέρησης φάσης
◊
Δίκτυα προήγησης-καθυστέρησης
Ανάλογα με τις προδιαγραφές της σχεδίασης μπορεί να επιλεγεί η κατάλληλη
κατηγορία
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
◊
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με
Αντισταθμιστές
Τα δίκτυα προήγησης και τα δίκτυα καθυστέρησης εισάγουν στο σύστημα ένα
πόλο και ένα μηδενικό και ρυθμίζουν το κέρδος.
◊
Ανάλογα με τις προδιαγραφές σχεδίασης καθορίζονται οι θέσεις του πόλου και του
μηδενικού
◊
Στα δίκτυα προήγησης φάσης ο πόλος βρίσκεται πάντοτε αριστερότερα του
μηδενικού με αποτέλεσμα η έξοδος να ‘προηγείται’ χρονικά της εισόδου.
◊
Στα δίκτυα καθυστέρησης φάσης ο πόλος βρίσκεται πάντοτε δεξιότερα του μηδενικού
με αποτέλεσμα η έξοδος να ‘καθυστερεί’ χρονικά σε σχέση με την είσοδο.
◊
Τα δίκτυα προήγησης-καθυστέρησης εισάγουν στο σύστημα δύο πόλους και
δύο μηδενικά και ρυθμίζουν το κέρδος.
◊
◊
Στη πραγματικότητα αποτελούνται από ένα δίκτυο καθυστέρησης και ένα δίκτυο
προήγησης φάσης σε διαδοχή.
Η σχεδίαση με δίκτυα προήγησης, καθυστέρησης και προήγησηςκαθυστέρησης γίνεται με ευρυστικό τρόπο και είναι μια διαδικασία δοκιμήςλάθους
◊
Τα διαγράμματα Bode είναι ο βασικός άξονας της επαναληπικής διαδικασίας
σχεδίασης.
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
◊
Αντισταθμιστής προήγησης
φάσης
Η συνάρτηση μεταφοράς ενός αντισταθμιστή προήγησης φάσης δίνεται από
την επόμενη σχέση:
Gc ( s)  KC
sa
,
sb
ab
όπου Κc είναι η ενίσχυση που εφαρμόζεται στο υπό έλεγχο σύστημα και –a, -b
είναι οι θέσεις του μηδενικού και του πόλου που εισάγονται στο σύστημα.
◊
Οι παράμετροι Κc, a, b, προσδιορίζονται κατά τη διαδικασία σχεδίασης
ανάλογα με τις προδιαγραφές σχεδίασης.
◊
Στο επόμενο σχήμα φαίνεται μια ηλεκτρονική διάταξη η οποία υλοποιεί έναν
αντισταθμιστή προήγησης φάσης.

1
 s
U ( s ) R f 2C2 
R2C2

( s)
R1C1  s  1

R f 1C1







1
1

R2C 2 R f 1C1
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Αντισταθμιστής προήγησης
φάσης (II)
Bode Diagram
5
◊
Όπως φαίνεται από τα διάγραμμα
Bode του διπλανού σχήματος ο
αντισταθμιστής προήγησης φάσης
συμπεριφέρεται ως υψιπερατό
φίλτρο:
◊
Ανάλογα με το λόγο b/a εισάγεται
στο υπό έλεγχο σύστημα φάση φ
η οποία κυμαίνεται από 0<φ<90
αλλά ταυτόχρονα μειώνεται το
κέρδος στις χαμηλές συχνότητες
(μικρότερες από τη συχνότητα
ωa=a).
Magnitude (dB)
0
-5
-10
-15
-20
60
Phase (deg)
b/a=8
b/a=6
b/a=4
b/a=2
◊
Η μέγιστη φάση φmax εισάγεται
στη συχνότητα:
max  ab
◊
Η μέγιστη φάση φmax συνδέεται
με το λόγο b/a μέσω της σχέσης
30
0
-2
10
-1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
2
10
3
10
c
b 1  sinmax

a 1  sinmax
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Σχεδίαση με αντισταθμιστή
προήγησης φάσης
◊
Από το διπλανό πίνακα προκύπτει ότι το
σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση καθορίζεται
από τη σταθερά Kc και αυξάνεται όσο ο λόγος
c=b/a αυξάνεται.
◊
Δεδομένου ότι αύξηση του λόγου c=b/a
αυξάνει το περιθώριο φάσης και το εύρος
ζώνης γίνεται φανερό ότι το κόστος για αυτή
την αύξηση είναι η αύξηση του σφάλματος
στη μόνιμη κατάσταση.
◊
Ρύθμιση του Kc μας επιτρέπει να
αντισταθμίσουμε τη μείωση εξαιτίας του λόγου
c=b/a (ο οποίος επειδή ισχύει a<b είναι
πάντοτε μεγαλύτερος από 1 )
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
◊
Σχεδίαση με αντισταθμιστή
προήγησης φάσης (ΙΙ)
Στη συνέχεια δίνουμε μια ευρυστική διαδικασία η οποία μπορεί να
χρησιμοποιηθεί για τη σχεδίαση Σ.Α.Ε με δίκτυα προήγησης φάσης:
a
1.
Υπολογίζουμε το K p  Kc
ώστε να ικανοποιείται το κριτήριο σφάλματος στη μόνιμη
b
κατάσταση
2.
Κατασκευάζουμε το διάγραμμα Bode για το κλειστό σύστημα (συνάρτηση G(s)F(s))
στο οποίο έχει εφαρμοστεί η ενίσχυση K p , δηλαδή για τη συνάρτηση ΚpG(s)F(s))
3.
Από το ανωτέρω διάγραμμα Bode υπολογίζουμε το περιθώριο φάσης ΦPM και την
αύξηση Δφ που απαιτείται για να πληρείται η προδιαγραφή για το περιθώριο φάσης.
4.
5.
6.
Κατασκευάζουμε το διάγραμμα Bode για το κλειστό σύστημα log2   K pG( s ) F ( s)
Από το ανωτέρω διάγραμμα Bode υπολογίζουμε την αύξηση ΔΦPM που απαιτείται για
να πληρείται η προδιαγραφή για το περιθώριο φάσης, καθώς και τη συχνότητα ω1
στην οποία έχουμε κέρδος ίσο με 0.
Αν ΔΦPM >60ο το πρόβλημα δεν έχει λύση με αντισταθμιστή προήγηση φάσης, αλλιώς
επιλέγουμε
c
7.
b 1  sinPM 

a 1  sinPM 
a
1
c
b  ca
Kc  K p c
Αν δεν ικανοποιούνται οι προδιαγραφές που έχουν τεθεί για το περιθώριο φάσης και
b
το εύρος ζώνης αυξάνουμε το λόγο
και επαναλαμβάνουμε το βήμα 6.
c
a
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
◊
Σχεδίαση με αντισταθμιστή
προήγησης φάσης (ΙΙΙ)
Παράδειγμα:
◊
◊
Για το σύστημα του σχήματος να σχεδιαστεί αντισταθμιστής προήγησης φάσης ώστε:
◊
Το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση eμον(t), όταν η είσοδος είναι η συνάρτηση
ράμπας (ταχύτητας) ω(t) = t, t≥0, να είναι μικρότερo από 0.25 m/s.
◊
Το εύρος ζώνης του συστήματος (συχνότητα -3 db) να είναι μεγαλύτερο από 6
rad/sec (ΒW=6 rad/sec)
◊
Το περιθώριο φάσης να είναι ΦPM >40ο
Λύση
◊
Το κλειστό σύστημα και μετά την εισαγωγή αντισταθμιστή παραμένει τύπου j=1, άρα
για είσοδο ω(t) = Vt = t το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση είναι:
e (t ) 
V
KC
a
b

V
1

Kp Kp
Άρα για e
(t )  0.25 χρειάζεται Kp>4. Έστω Kp=4.1
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Σχεδίαση με αντισταθμιστή
προήγησης φάσης (ΙV)
Bode diagram of KpG(s)F(s), Kp=4.1
◊
Κατασκευάζοντας το διάγραμμα Bode
της KPG(s)F(s) βρίσκουμε ΦPM =17ο.
Επομένως χρειαζόμαστε μια αύξηση
του ΦPM κατά 23ο (Δφ=23ο)
◊
Κατασκευάζοντας το διάγραμμα Bode
της log2(Δφ)KPG(s)F(s) βρίσκουμε
(βλέπε επόμενη διαφάνεια)
100
Magnitude (dB)
50
System: h
Frequency (rad/sec): 2.43
Magnitude (dB): -0.08
0
-50
PM  59o 1  5.12 rad / sec
-100
-150
-90
◊
Αφού ΔΦPM =59ο <60ο μπορούμε να
σχεδιάσουμε το Σ.Α.Ε με δίκτυο
προήγησης φάσης.
◊
Επιλέγουμε
-135
Phase (deg)







System: h
Frequency (rad/sec): 2.43
Phase (deg): -163
-180
c
-225
-270
-2
10
-1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
2
10
3
10
b 1  sinPM 

 13
a 1  sinPM 
a
1
c

5.12
13
 1.42
K c  K p c  52
b  ca  18.4
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Σχεδίαση με αντισταθμιστή
προήγησης φάσης (V)
Bode Diagram
Bode diagram of log2(Df)KpG(s)F(s), Kp=4.1
50
100
Magnitude (dB)
Magnitude (dB)
System: h
Frequency (rad/sec): 5.12
Magnitude (dB): 0.0165
50
0
-50
0
System: h
Frequency (rad/sec): 4.32
Magnitude (dB): 0.0295
-50
System: h
Frequency (rad/sec): 5.54
Magnitude (dB): -2.99
-100
-150
-90
-150
-90
-135
-135
Phase (deg)
Phase (deg)
-100
-180
System: h
Frequency (rad/sec): 5.1
Phase (deg): -199
-225
System: h
Frequency (rad/sec): 4.31
Phase (deg): -132
-180
-225
-270
-270
-2
-1
10
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
2
10
3
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
◊
Κατασκευάζοντας το διάγραμμα Bode του αντισταθμισμένου συστήματος (διάγραμμα
δεξιά) βρίσκουμε ΦPM =48ο και BW=5.54 rad/sec. Επομένως για να πληρούνται οι
προδιαγραφές χρειαζόμαστε αύξηση του εύρους ζώνης.
◊
Αύξηση του εύρους ζώνης μπορεί να επιτευχθεί με αύξηση του λόγου b/a.
Μειώνοντας το a σε 1.1 έχουμε c ≈ 16.44 και Κc=67.42.
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Σχεδίαση με αντισταθμιστή
προήγησης φάσης (VI)
Bode diagram of regulated plant, Kc=16.44, a=1.1, b=18.4
Magnitude (dB)
50
◊
Κατασκευάζοντας το
διάγραμμα Bode του
αντισταθμισμένου
συστήματος (a=1.1,
b=18.4, Kc=67.42)
βρίσκουμε ΦPM =43ο
και BW=6.46 rad/sec.
Επομένως πληρούνται
αμφότερες οι
προδιαγραφές για το
περιθώριο φάσης και
το εύρος ζώνης.
0
System: h
Frequency (rad/sec): 5.09
Magnitude (dB): 0.0666
-50
System: h
Frequency (rad/sec): 6.46
Magnitude (dB): -3.05
-100
-150
-45
Phase (deg)
-90
-135
System: h
Frequency (rad/sec): 5.09
Phase (deg): -137
-180
-225
-270
-1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
2
10
3
10
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
◊
Αντισταθμιστής καθυστέρησης
φάσης
Η συνάρτηση μεταφοράς ενός αντισταθμιστή προήγησης φάσης δίνεται από
την επόμενη σχέση:
Gc ( s)  Kc
sa
,
sb
ab
όπου Κc είναι η ενίσχυση που εφαρμόζεται στο υπό έλεγχο σύστημα και –a, -b
είναι οι θέσεις του μηδενικού και του πόλου που εισάγονται στο σύστημα.
◊
Οι παράμετροι Κc, a, b, προσδιορίζονται κατά τη διαδικασία σχεδίασης
ανάλογα με τις προδιαγραφές σχεδίασης.
◊
Στο επόμενο σχήμα φαίνεται μια ηλεκτρονική διάταξη η οποία υλοποιεί έναν
αντισταθμιστή προήγησης φάσης.

1
 s
U ( s ) R f 2C2 
R2C2

( s)
R1C1  s  1

R f 1C1







1
1

R2C2 R f 1C1
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Αντισταθμιστής καθυστέρησης
φάσης (II)
Bode Diagram
20
◊
Όπως φαίνεται από τα διάγραμμα
Bode του διπλανού σχήματος ο
αντισταθμιστής καθυστέρησης φάσης
συμπεριφέρεται ως βαθυπερατό
φίλτρο:
◊
Ανάλογα με το λόγο a/b εισάγεται
στο υπό έλεγχο σύστημα
καθυστέρηση φάσης φ η οποία
κυμαίνεται από -90ο<φ<0.
Ταυτόχρονα αυξάνεται το κέρδος στις
χαμηλές συχνότητες (μικρότερες από
τη συχνότητα ωa=a).
◊
Η μεγαλύτερη καθυστέρηση φάσης
φmin εισάγεται στη συχνότητα:
Magnitude (dB)
15
10
5
0
-5
0
Phase (deg)







min  ab
-30
◊
Η φάση φmin συνδέεται με το λόγο
b/a μέσω της σχέσης
a/b=2
a/b=4
a/b=6
a/b=8
-60
-2
10
-1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
2
10
3
10
c
b 1  sinmin

a 1  sinmin
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Σχεδίαση με αντισταθμιστή
καθυστέρησης φάσης
◊
Αντισταθμιστές καθυστέρησης φάσης
χρησιμοποιούνται κυρίως για τη μείωση του
σφάλματος στη μόνιμη κατάσταση.
◊
Γενικά αντιστάθμιση με καθυστέρηση φάσης
οδηγεί σε:
◊
◊
Μείωση του σφάλματος στη μόνιμη
κατάσταση
◊
Μείωση του εύρους ζώνης
◊
Μείωση της ταχύτητας απόκρισης
◊
Με δεδομένο σφάλμα στη μόνιμη
κατάσταση αυξάνεται η σχετική ευστάθεια
(ευρωστία του συστήματος)
Από το διπλανό πίνακα προκύπτει ότι το
σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση καθορίζεται
από τη σταθερά Kc και μειώνεται όσο ο λόγος
c=b/a μειώνεται.
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
◊
Αντισταθμιστής καθυστέρησης προήγησης
Η συνάρτηση μεταφοράς ενός αντισταθμιστή καθυστέρησης - προήγησης
φάσης δίνεται από την επόμενη σχέση:
 s  a  s  bT 
Gc ( s)  Kc 

,
s

b
s

aT



a  b T  1
όπου Κc είναι η ενίσχυση που εφαρμόζεται στο υπό έλεγχο σύστημα και –a,
-bΤ είναι οι θέσεις των μηδενικών και –b, -aΤ είναι οι θέσεις των πόλων που
εισάγονται στο σύστημα.
◊
Οι παράμετροι Κc, a, b, Τ, προσδιορίζονται κατά τη διαδικασία σχεδίασης
ανάλογα με τις προδιαγραφές σχεδίασης.
◊
Στο επόμενο σχήμα φαίνεται μια ηλεκτρονική διάταξη η οποία υλοποιεί έναν
αντισταθμιστή καθυστέρησης - προήγησης φάσης.



1
1
 s
 s 

U ( s)
C1C2 
R1C1 
R2C2 



1
( s) C f 1C f 2  s  1
s




R
C
R
C
f
1
f
1
f
2
f
2



1
1
1
1



R2C2 R f 2C f 2 R f 1C f 1 R1C1
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Αντισταθμιστής καθυστέρησης –
προήγησης (II)
Lead-lag compensator - Bode diagram
5
◊
Αντισταθμιστές
καθυστέρησης – προήγησης
χρησιμοποιούνται όταν
χρειάζεται να σχεδιαστούν
συστήματα με ζωνοφρακτική
συμπεριφορά (βλέπε σχήμα).
◊
Συνήθως συνδυάζουν τα
πλεονεκτήματα των
αντισταθμιστών προήγησης
φάσης με αυτά των
αντισταθμιστών
καθυστέρησης φάσης, ενώ
επηρεάζονται σχετικά λίγο
από τα μειονεκτήματα τους.
◊
Η σχεδίαση με αντισταθμιστές
καθυστέρησης – προήγησης
είναι μια δύσκολη και
ευρυστική διαδικασία.
Magnitude (dB)
0
-5
-10
-15
-20
-25
90
Phase (deg)
45
0
-45
-90
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
Frequency (rad/sec)
6
10
7
10
8
10
9
10
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
◊
Αντισταθμιστής προήγησης καθυστέρησης
Η συνάρτηση μεταφοράς ενός αντισταθμιστή καθυστέρησης - προήγησης
φάσης δίνεται από την επόμενη σχέση:
 s  a  s  bT 
Gc ( s)  Kc 

,
s

b
s

aT



b  a T  1
όπου Κc είναι η ενίσχυση που εφαρμόζεται στο υπό έλεγχο σύστημα και –a,
-bΤ είναι οι θέσεις των μηδενικών και –b, -aΤ είναι οι θέσεις των πόλων που
εισάγονται στο σύστημα.
◊
Οι παράμετροι Κc, a, b, Τ, προσδιορίζονται κατά τη διαδικασία σχεδίασης
ανάλογα με τις προδιαγραφές σχεδίασης.
◊
Στο επόμενο σχήμα φαίνεται μια ηλεκτρονική διάταξη η οποία υλοποιεί έναν
αντισταθμιστή καθυστέρησης - προήγησης φάσης.



1
1
 s
 s 

U ( s)
C1C2 
R1C1 
R2C2 



1
( s) C f 1C f 2  s  1
s




R
C
R
C
f
1
f
1
f
2
f
2



1
1
1
1



R1C1 R f 1C f 1 R f 2C f 2 R2C2
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος
Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Αντισταθμιστή προήγησηςκαθυστέρησης (ΙΙ)
Bode diagram of lead-lag compensator
20
◊
Αντισταθμιστές προήγησης –
καθυστέρησης
χρησιμοποιούνται όταν
χρειάζεται να σχεδιαστούν
συστήματα με ζωνοπερατή
συμπεριφορά (βλέπε σχήμα).
◊
Η σχεδίαση με αντισταθμιστές
προήγησης – καθυστέρησης
είναι αντίστοιχη με τη
διαδικασία σχεδίασης με
δίκτυα προήγησης φάσης.
◊
Εξαιτίας της παρουσίας του
καθυστερητή φάσης η
δυσκολία στην επιλογή του
λόγου b/a στον
αντισταθμιστή προήγησης
φάσης περιορίζεται.
18
Magnitude (dB)
16
14
12
10
8
6
4
2
0
90
45
Phase (deg)







0
-45
-90
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
Frequency (rad/sec)
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Σχεδίαση με αντισταθμιστή
προήγησης - καθυστέρησης
◊
Από το διπλανό πίνακα προκύπτει ότι το
σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση καθορίζεται
αποκλειστικά από τη σταθερά Kc, δεδομένου
ότι ισχύει: a bT

1
b aT
◊
δηλαδή η μείωση εξαιτίας του κέρδους του
κλειστού συστήματος εξαιτίας του λόγου
c=b/a (ο οποίος επειδή ισχύει a<b είναι
πάντοτε μεγαλύτερος από 1 ) αντισταθμίζεται
εξαιτίας του λόγου d=aΤ/(bT)
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
◊
Σχεδίαση με αντισταθμιστή
προήγησης - καθυστέρησης (ΙΙ)
Στη συνέχεια δίνουμε μια ευρυστική διαδικασία η οποία μπορεί να
χρησιμοποιηθεί για τη σχεδίαση Σ.Α.Ε με δίκτυα προήγησης φάσης:
1.
Υπολογίζουμε το Κc ώστε να ικανοποιείται το κριτήριο σφάλματος στη μόνιμη
κατάσταση
2.
Κατασκευάζουμε το διάγραμμα Bode για το κλειστό σύστημα (συνάρτηση G(s)F(s))
στο οποίο έχει εφαρμοστεί η ενίσχυση ΚKc,p δηλαδή για τη συνάρτηση ΚcG(s)F(s))
3.
Από το ανωτέρω διάγραμμα Bode υπολογίζουμε το περιθώριο φάσης ΦPM και την
αύξηση Δφ που απαιτείται για να πληρείται η προδιαγραφή για το περιθώριο φάσης.
4.
5.
6.
Κατασκευάζουμε το διάγραμμα Bode για το κλειστό σύστημα log2   K pG( s ) F ( s)
Από το ανωτέρω διάγραμμα Bode υπολογίζουμε το την αύξηση ΔΦPM που απαιτείται
για να πληρείται η προδιαγραφή για το περιθώριο φάσης, καθώς και τη συχνότητα ω1
στην οποία έχουμε κέρδος ίσο με 0.
Αν ΔΦPM >70ο το πρόβλημα δεν έχει λύση με αντισταθμιστή προήγηση –
καθυστέρησης φάσης, αλλιώς επιλέγουμε
c
7.
b 1  sinPM 

a 1  sinPM 
a
1
c
b  ca
T 5
Αν δεν ικανοποιούνται οι προδιαγραφές που έχουν τεθεί για το περιθώριο φάσης και
b
το εύρος ζώνης αυξάνουμε το λόγο
και επαναλαμβάνουμε το βήμα 6.
c
a
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
◊
Παραδείγματα
Παράδειγμα Ι:
◊
◊
Για το σύστημα του σχήματος να σχεδιαστεί αντισταθμιστής προήγησης καθυστέρησης φάσης ώστε:
◊
Το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση eμον(t), όταν η είσοδος είναι η συνάρτηση
ράμπας (ταχύτητας) ω(t) = t, t≥0, να είναι μικρότερo από 0.2 m/s.
◊
Το εύρος ζώνης του συστήματος (συχνότητα -3 db) να είναι μεγαλύτερο από 6
rad/sec (ΒW=6 rad/sec)
◊
Το περιθώριο φάσης να είναι ΦPM >40ο
Λύση
◊
Το κλειστό σύστημα και μετά την εισαγωγή αντισταθμιστή παραμένει τύπου j=1, άρα
για είσοδο ω(t) = Vt = t το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση είναι:
e (t ) 
V
1

KC KC
Άρα για
e (t )  0.2 χρειάζεται KC>5. Έστω KC=5.1
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Σχεδίαση με αντισταθμιστή
προήγησης - καθυστέρησης
Bode diagram of KcG(s)F(s)
100
Κατασκευάζοντας το διάγραμμα Bode
της KcG(s)F(s) βρίσκουμε ΦPM =11ο.
Επομένως χρειαζόμαστε μια αύξηση
του ΦPM κατά 29ο (Δφ=29ο)
◊
Κατασκευάζοντας το διάγραμμα Bode
της log2(Δφ)KcG(s)F(s) βρίσκουμε
(βλέπε επόμενη διαφάνεια)
System: h
Frequency (rad/sec): 2.74
Magnitude (dB): -0.0545
50
Magnitude (dB)
◊
0
-50
-100
PM  65o 1  5.78rad / sec
Phase (deg)
-150
-90
System: h
Frequency (rad/sec): 2.75
Phase (deg): -169
-135
◊
Αφού ΔΦPM =65 <75ο μπορούμε να
σχεδιάσουμε το Σ.Α.Ε με δίκτυο
προήγησης – αντιστάθμισης φάσης.
◊
Επιλέγουμε
-180
-225
c
-270
-2
10
-1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
2
10
3
10
b 1  sinPM 

 20
a 1  sinPM 
a
1
c
T 5

5.12
13
 1.28
b  ca  26
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος







Εισαγωγή
Προδιαγραφές Σχεδίασης Σ.Α.Ε
Ελεγκτές PID
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Ελεγκτές PID
Μορφές Αντισταθμιστών
Σχεδίαση Σ.Α.Ε με Αντισταθμιστές
Παραδείγματα
Σχεδίαση με αντισταθμιστή
προήγησης – καθυστέρησης (II)
Bode diagram of regulated plant, Kc=5.1, a=1.28, b=26, T=10
Bode diagram of log2(Df)KcG(s)F(s)
50
100
Magnitude (dB)
Magnitude (dB)
0
System: h
Frequency (rad/sec): 5.78
Magnitude (dB): 0.0446
50
0
-50
-100
System: h
-50
Frequency (rad/sec): 5.53
Magnitude (dB): -0.0803
-100
System: h
Frequency (rad/sec): 6.93
Magnitude (dB): -3.03
-150
-200
-250
-300
-45
-150
-90
-135
Phase (deg)
Phase (deg)
-90
-180
System: h
Frequency (rad/sec): 5.77
Phase (deg): -205
-225
-1
10
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
◊
2
10
System: h
-180
Frequency (rad/sec): 5.52
-225
Phase (deg): -140
-270
-315
-360
-270
-2
-135
3
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
Frequency (rad/sec)
Κατασκευάζοντας το διάγραμμα Bode του αντισταθμισμένου συστήματος (διάγραμμα
δεξιά) βρίσκουμε ΦPM =40ο και BW=6.93 rad/sec. Επομένως πληρούνται αμφότερες
οι προδιαγραφές για το εύρος ζώνης και το περιθώριο φάσης.
© 2006 Nicolas Tsapatsoulis