ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΕΛΕΓΚΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ 1.1 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου α) Συστήματα ελέγχου Διεργασίας β) Σύστημα Σερβομηχανισμού.
Download ReportTranscript ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΕΛΕΓΚΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ 1.1 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου α) Συστήματα ελέγχου Διεργασίας β) Σύστημα Σερβομηχανισμού.
ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΕΛΕΓΚΤΕΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ 2 1.1 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου α) Συστήματα ελέγχου Διεργασίας β) Σύστημα Σερβομηχανισμού 3 Σύστημα Ελέγχου Διεργασίας R(s) + - G(s) A(s) C(s) B(s) D(s) Σκοπός ενός συστήματος αυτόματου ελέγχου διεργασίας είναι να διατηρεί σταθερή την έξοδό του σε επίδραση διαταραχών (απορρίπτει τις διαταραχές που οφείλονται σε μεταβολές του φορτίου κλπ.) Η συνολική συνάρτηση μεταφοράς με αρνητική ανάδραση είναι: C ( s) G( s) R( s ) 1 G ( s ) D( s ) 4 Σύστημα Σερβομηχανισμού set point R(s) + - E(s) D(s) G(s) C(s) B(s) Το σερβοσύστημα αναγκάζει την έξοδο C(s) να παρακολουθεί πιστά την τιμή της εισόδου R(s) δηλαδή το σημείο αναφοράς (set point). Ο ελεγκτής ενεργοποιείται σύμφωνα με την ύπαρξη ή όχι σφάλματος: σφάλμα(e)= set point R(s) – B(s) μεταβλητή διεργασίας. C(s) G(s)D(s) Συνάρτηση μεταφοράς R (s) 1 G(s)D(s) κλειστού βρόγχου: 5 1.2 Σύστημα αυτόματου ελέγχου χωρίς αντιστάθμιση. Τα μοντέλα διεργασίας που βρίσκουν εφαρμογή στη βιομηχανία είναι δύο τύπων: α) 1ου βαθμού G(s)= Ke- t d s τs + 1 β) 2ου βαθμού Ke td s G ( s) (1s 1) ( 2 s 1) = Ke td s T 2 s 2 2 ρs 1 6 1oυ βαθμού Στις προσομοιώσεις ο όρος χρονικής καθυστέρησης αντικαθίστανται με: t s e t dS Η απόκριση των μοντέλων είναι: 1 d 2 td s 1 2 Step Response of Approximating Models Second order First order Y td 0 Time t 7 2oυ βαθμού Στις προσομοιώσεις ο όρος χρονικής καθυστέρησης αντικαθίστανται με: t 2 s2 6t s 12 e t d s d d t d 2 s2 6t d s 12 Απόκριση μοντέλου 2oυ βαθμού: Step Response of Process Apparent dead time td due to multiple minor lags Y New steady state value ΔΥ= Κ ΔΧ Old steady state value 0 Time 8 Το ΖΟΗ στις προσομοιώσεις του ψηφιακού ελέγχου αντικαθίσταται από τη σχέση: 1 e sT ΖΟΗ: G ZOH (s) s T T , 2 ,... sT sT (sT) 1 1 2 2 12 1.3 Προδιαγραφές καλής λειτουργίας και σχεδίασης ΣΑΕ Επιλογή hardware Σταθερή λειτουργία με επαρκές όριο σταθερότητας Επιτρεπτή μεταβατική απόκριση Προδιαγραφές περιοχής συχνότητας Απόρριψη διαταραχής Ευαισθησία σε μεταβολές των παραμέτρων Δείκτες απόδοσης 10 Διαδικασία σχεδίασης Μια προτεινόμενη μέθοδος σχεδίασης δίνεται ως ακολούθως: Προδιαγραφές καλής απόδοσης Εννοιολογικός σχεδιασμός Μαθηματική μοντελοποίηση Εγκυρότητα μοντέλου και αναγνώριση μοντέλων Ανάλυση του μαθηματικού μοντέλου Τροποποίηση και επαναλήψεις Κατασκευή και έλεγχος 11 1.4 Συστήματα με αρνητική απόκριση Στο σχήμα δίνεται η απόκριση συστήματος ελέγχου στάθμης υγρού συστήματος για βηματική είσοδο. 2 K2 s y(t) + Input f(s) Output K1 1s 1 _ Output (2) Overall response y(s) t 1 (1) Τα συστήματα με αρνητική απόκριση απαιτούν ιδιαίτερη προσοχή κατά τον έλεγχό τους. Για Κ2Τ1 < Κ1 η συνάρτηση μεταφοράς έχει θετικό μηδέν στο K2 s 0 (K 2T1 K 1) 12 Η χρονική απόκριση των δύο αντίθετων συστημάτων 1oυ βαθμού δίνεται στο παρακάτω σχήμα. Παρατηρούμε πως αρχικά η διεργασία 2 αντιδρά πιο γρήγορα από τη διεργασία 1 και προσεγγίζει υψηλότερη τιμή. Τελικά μόλις η διεργασία 1 προσεγγίσει την τελική της τιμή για Κ1 > Κ2 εξαναγκάζει την συνολική απόκριση του συστήματος να μεταφερθεί προς την αντίθετη κατεύθυνση. y(t) Process 1 Input f(s) K1 1s 1 Response of process 1 + Output Process 2 K2 2s 1 Output _ Overall response y(s) t Response of process 2 1.5 Αντιστάθμιση συστημάτων αυτομάτου ελέγχου Το πρώτο βήμα στο σχεδιασμό του ελεγκτή είναι η επιλογή του κατάλληλου αλγορίθμου ή δομής του ελεγκτή για βελτίωση της συμπεριφοράς ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου. Αυτό επιτυγχάνεται με την προσθήκη βαθμίδας αντιστάθμισης (ελεγκτής). 14 Ελεγκτές τύπου PID Η προσθήκη του όρου Ι στον ελεγκτή μηδενίζει το σφάλμα σταθερής καταστάσεως ess , ταυτόχρονα όμως μειώνεται σημαντικά η σχετική ευστάθεια του συστήματος. Ενώ αντίθετα, η προσθήκη του όρου διαφόρηση D αυξάνει την σχετική ευστάθεια του συστήματος. Αναλογία και ολοκλήρωση (PI) Αναλογία και διαφόριση (PD) Ελεγκτής τριών όρων (PID) 15 Αντικατάσταση πόλων (Pole cancellation) Με τη μέθοδο αυτή στόχος είναι: Αντικατάσταση των αργών πόλων με γρηγορότερους για να αυξηθεί η απόκριση του συστήματος. Αντικατάσταση του ευαίσθητου πόλου (dominant) με αργό πόλο για να αυξηθεί η ακρίβεια σταθερής κατάστασης του συστήματος. Αντικατάσταση ζεύγους μιγαδικών πόλων με διαφορετικό μιγαδικό ζεύγος για να τροποποιηθεί η μεταβατική απόκριση. Η μέθοδος αυτή είναι γνωστή σαν Deadbeat και χρησιμοποιείται είτε στο διάστημα της συχνότητας (διάγραμματα Bode ) είτε στο διάστημα του χρόνου (τόπος ριζών). 16 Μοντέλο εσωτερικής κατάστασης (State Space Model) Το σύστημα περιγράφεται από σύστημα εξισώσεων σε μορφή πινάκων. Αυτό επιτυγχάνεται με την αναγνώριση και ανάπτυξη σχέσεων μεταξύ των διαφόρων καταστάσεων ή μεταβλητών του μοντέλου. Επιλέγεται η τιμή κέρδους στον βρόγχο ανάδρασης για την μεταφορά των πόλων του συστήματος σε κάποια επιθυμητή θέση στο επίπεδο s ή z. Ελεγκτές εσωτερικής κατάστασης (State controllers) χρησιμοποιούνται για έλεγχο συστημάτων με πολλές μεταβλητές ή καταστάσεις (πολυμεταβλητά συστήματα). Αυτοί οι ελεγκτές δεν υπολογίζονται άμεσα διότι ίσως δεν είναι δυνατό να μετρηθούν όλες οι μεταβλητές εσωτερικής κατάστασης αλλά χρησιμοποιούνται σε συνδιασμό με εκτιμητές (Observers). Οι ελεγκτές του τύπου αυτού επιτρέπουν λεπτομερειακό έλεγχο της συμπεριφοράς του συστήματος. 17 Εκτιμητές (Observer model) Συχνά στα συστήματα ελέγχου, ορισμένες από τις μεταβλητές εσωτερικής κατάστασης δεν είναι δυνατόν να μετρηθούν. Ένας εκτιμητής (observer ή estimator) χρησιμοποιείται για την εκτίμηση των αγνώστων μεταβλητών με την βοήθεια των γνωστών μεταβλητών. Oι εκτιμώμενες μεταβλητές και το κατάλληλο κέρδος ανάδρασης μπορούν να χρησιμοποιηθούν στο πλήρη έλεγχο βρόγχου για να τοποθετήσουν τους πόλους σε επιθυμητή θέση. Επομένως εκτιμητές συνήθως χρησιμοποιούνται σε συνδυασμό με ελεγκτές εσωτερικής κατάστασης στις περιπτώσεις που ορισμένες μεταβλητές εσωτερικής κατάστασης είναι άγνωστες. 18 Βέλτιστος Έλεγχος Βέλτιστος Έλεγχος χρησιμοποιείται στις περιπτώσεις που απαιτείται ελαχιστοποίηση συγκεκριμένης απόδοσης ή κριτηρίου κόστους (χρόνος και ενέργεια). Χρησιμοποιώντας το συγκεκριμένο κριτήριο ή συνάρτηση, σχεδιάζεται κατάλληλος κανόνας ελέγχου που υλοποιείται με ελεγκτή που είναι γνωστός σαν τετραπλός γραμμικός ρυθμιστής LQR (Linear Quadratic Regulator). 19 Φίλτρα Κalman Το μοντέλο με παρατηρητή χρησιμοποιείται σε ένα σύστημα που υπάρχει επακριβής μέτρηση εσωτερικών μεταβλητών. Όμως, η παρουσία θορύβου ή αβεβαιότητας στα στοχαστικά συστήματα, κάνει δύσκολη την επακριβή μέτρηση. Το φίλτρο Kalman είναι ένα μοντέλο παρατηρητή που χρησιμοποιείται σε στοχαστικά συστήματα με θόρυβο. 20 Προσαρμοστικός Έλεγχος Ο προσαρμοστικός έλεγχος χρησιμοποιείται σε συστήματα με ελλιπή πληροφόρηση σχετικά με τις παραμέτρους της διεργασίας με αποτέλεσμα το μαθηματικό μοντέλο (συνάρτηση μεταφοράς) να είναι άγνωστο. Επίσης, χρησιμοποιείται σε συστήματα των οποίων οι παράμετροι της διεργασίας ή του μοντέλου μεταβάλλονται με την πάροδο του χρόνου, με αποτέλεσμα ο ελεγκτής να αδυνατεί να βελτιώσει το σύστημα. Ο προσαρμοστικός έλεγχος λειτουργεί σε πραγματικό χρόνο (real time) υπολογίζονται οι νέες τιμές του μοντέλου της διεργασίας και στη συνέχεια ξανασχεδιάζεται ο ελεγκτής για βέλτιστη απόδοση (Σύστημα βέλτιστου ελέγχου). 21 1.6 Αντισταθμιστής PID σε σύστημα 2oυ Βαθμού Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς ενός συστήματος 2oυ βαθμού: K1 G( s) s ( s a jb) ( s jb) Η αντίστοιχη ενός αντισταθμιστή (ελεγκτής τύπου PID) D(s) = Ki K 2 (s2 cs d) K 2 (s e )(s f ) Kp Kd s s s s Επομένως η συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού συστήματος γίνεται: K K ( s e) ( s f ) D( s ) G ( s ) 1 2 s 2 ( s a jb) ( s a jb) 22 Ο τόπος των ριζών της G(s), χωρίς τον ελεγκτή δίνεται στο πρώτο σχήμα ενώ στο δεύτερο ο τόπος των ριζών ανοιχτού συστήματος D(s) που περιλαμβάνει και τον PID ελεγκτή. Παρατηρούμε οτι στο δεύτερο σχήμα έχει βελτιωθεί η ευστάθεια του συστήματος αφού κανένας από τουςΣχήμα 1 πόλους δεν μετακινείται στο δεξιό μέρος. Επομένως η προσθήκη ενός PID σε ΣΑΕ πάντα βελτιώνει την συμπεριφορά του. Σχήμα 2 jω - α + jb σ - α - jb jω - α + jb -e -f σ - α - jb 1.7 Αναλογικός ελεγκτής PID O έλεγχος συστημάτων στη βιομηχανία τροφίμων και γενικά στη χημική βιομηχανία επιτυγχάνεται με τη χρήση αναλογικών και ψηφιακών PID ελεγκτών. Στο Σχήμα δίνεται το διάγραμμα συστήματος με PID έλεγχο. r(t) e(t) D(s) m(t) G(s) c(t) H(s) Η έξοδος c(t) είναι η ελεγχόμενη μεταβλητή, που παρακολουθείται από την μονάδα μετρήσεως και συγκρίνεται στον ελεγκτή PID με την είσοδο r(t) ή σήμα αναφοράς (setpoint). 24 Ο ελεγκτής PID είναι μια ειδική μορφή σερβομηχανισμού και έχει την μορφή 1t de D(s) Kp Ki / s Kds ή m(t ) Kc e e(t ) Td Ti 0 dt Όπου: Κc είναι το κέρδος αναλογίας του ελεγκτή (proportional) Ti είναι ο χρόνος ολοκλήρωσης ή επαναφοράς (reset) Τd είναι ο χρόνος διαφόρισης (rate) Κc/Ti είναι το κέρδος του ολοκληρωτή Κc/Td είναι το κέρδος της διαφόρησης. Συνηθίζεται να περιγράφεται το κέρδος στην αποκατάσταση στα συστήματα ελέγχου διεργασιών από την αναλογική ζώνη PB (proportional band) που δίνεται από τη σχέση: 100 PB % κέρδοςαποκατάστασης Η ταυτόχρονη αύξηση των δύο τιμών των κερδών ελλατώνει την ευστάθεια του συστήματος. Επομένως, για titd ( συνήθως titd ) η συνάρτηση μεταφοράς του ελεγκτή έχει τη μορφή: K M(s) 1 1 sΤ i 1 sΤ d D(s) K c 1 s Τ d E(s) sΤ i sΤ i Οι κατάλληλες τιμές των Κc , Τi , Τd υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τις γνωστές μεθόδους, διαγράμματα BODE, τόπος των ριζών κ.λ.π. Μέθοδος Zeigler-Nichols α) Γνωστό μοντέλο διεργασίας β) Άγνωστό μοντέλο διεργασίας 27 Γνωστό μοντέλο διεργασίας Οι παράμετροι των όρων ολοκλήρωσης και διαφόρησης τοποθετούνται στη χαμηλότερη δυνατή τιμή (δηλαδή τα Τi ,Τd0) και τo κέρδος Kc αυξάνεται σταδιακά μέχρι να παρατηρηθεί ταλάντωση σταθερού εύρους στην έξοδο. Το κέρδος σε αυτή τη περίπτωση αντιστοιχεί στο Κκρισ. ενώ η περίοδος είναι Το και στη συνέχεια από τις παρακάτω εξισώσεις υπολογίζονται οι παράμετροι του ελεγκτή PID. PID: PI: P: Kp = 0.6Kκρ. ή Ki = 2Kp/To Kd≥ 0.125KpTo Kp = 0.45Kκρ. Ki ≤ 1.2Kp/To Kp = 0.5Kκρ. Κc = 0.6Kκρ. Τi = 0.5To=To/2 Td = 0.125To=To/8 Κc = 0.45Kκρ. Ti = 0.83To=To/1.2 28 Constant amplitude oscillations Measured variable To Time Magnitude ratio Οι παράμετροι Κκρισ και Τ0 μπορούν επίσης να υπολογιστούν και από τα διαγράμματα BODE (απόκριση συχνότητας) του Σχήματος. Κρίσιμο κέρδος: Κκρ=1/Α A Phase angle Φ Κρίσιμη περίοδος: Τ0=2π/ωco Από το διάγραμμα φάσης υπολογίζεται η συχνότητα ωco και από την καμπύλη εύρους υπολογίζεται το Α που αντιστοιχεί στο ωco, καθώς και η Το. Υπολογίζονται Κκρ.= 1/Α και Το=2π/ωco. -180° ωco, crossover frequency Frequency, ω rad time Άγνωστο μοντέλο διεργασίας O υπολογισμός του μοντέλου της αγνώστου διεργασίας μπορεί να υπολογιστεί όταν είναι γνωστή η μεταβατική χρονική απόκριση της μεταβλητής εξόδου C(s) σε βηματική μεταβολή της εισόδου R(s). Response Τ1 Τ2 K x magnitude of input step Time 30 Εφαρμόζεται βηματική μεταβολή στην είσοδο της διεργασίας και ταυτόχρονα καταγράφεται η μεταβλητή στην έξοδο C. Από τις τιμές αυτές σχηματίζεται η χρονική καμπύλη απόκρισης στο διάστημα του χρόνου της αγνώστου διεργασίας. Αν η χρονική απόκριση ανοιχτού βρόγχου είναι γνωστή, τότε κατά προσέγγιση υπολογίζονται οι παράμετροι της αγνώστου συνάρτησης μεταφοράς. Συνήθως υποθέτουμε μοντέλο προσομοίωσης 1ου βαθμού με καθυστέρηση της μορφής: K sT G(s) 1 sT2 e 1 Οι τιμές των παραμέτρων Κ, Τ1, Τ2 της G(s) βρίσκονται από την καμπύλη που εικονίζεται στο προηγούμενο Σχήμα Οι μέσες τιμές των παραμέτρων του ελεγκτή PID υπολογίζονται αν είναι γνωστές οι Κ, Τ1, Τ2 της G(s). Τέλος με ρύθμιση γύρω από τις μέσες τιμές επιλέγονται οι τελικές τιμές για τον έλεγχο της μεταβλητής C . Επομένως με προσομοίωση μοντέλου 1ου βαθμού και για συνάρτηση μεταφοράς του PID 1 D(s) K c ( 1 Tds ) T1s υπολογίζονται οι παράμετροι του ελεγκτή PID από τις εξισώσεις του Zeigler - Nichols του πίνακα: Κc Ti Td 0.5T1 PID 1.2 ST1 2T1 PI 0 .9 ST1 1 ST1 2Τ1 P όπου S= K είναι η κλίση της καμπύλης απόκρισης T2 Μέθοδος Cohen - Coon Η προσομοίωση με μοντέλο 1ου βαθμού χρησιμοποιείται είτε η συνάρτηση μεταφοράς είναι άγνωστος είτε είναι γνωστή. 1 D(s) L(s) A/S Gβαλβ(s) G(s) y(s) H(s) Υποθέτουμε ένα κατ’ εκτίμηση μοντέλο προσομοίωσης πρώτου K e-t d s βαθμού με συνάρτηση μεταφοράς της μορφής G ( s) s 1 Οι παράμετροι του μοντέλου κέρδος (K), σταθερά απόκρισης (td) και σταθερά της διεργασίας (τ) υπολογίζονται με δύο τρόπους: 33 α) Από την καμπύλη χρονικής απόκρισης του Σχήματος η οποία ονομάζεται και καμπύλη εκτίμησης. Παρατηρούμε ότι οι δύο καμπύλες είναι σχεδόν όμοιες με μηδενικό σφάλμα αφού οι παράμετροι S, td και Κ έχουν τις ίδιες τιμές. Επομένως υπολογίζονται οι παράμετροι του μοντέλου προσομοίωσης B , όπου Β είναι η τελική τιμή της εξόδου στην K A αποκατάσταση και A το αντίστοιχο σήμα στην είσοδο που προκαλεί την μεταβολή Β. B C B τ = S = T t , όπου S είναι η κλίση της καμπύλης και td η σταθερά καθυστέρησης. y(m) Actual response Approximate response Slope = S t β) Εναλλακτικά, οι παράμετροι Κ, τ και td του μοντέλου μπορούν επίσης να υπολογιστούν και από την χρονική καμπύλη απόκρισης C του Σχήματος που σχηματίζεται από βηματική μεταβολή στην είσοδο Δm της βάνας (actuator) ή της διεργασίας. Στη συνέχεια, από την καμπύλη βηματικής απόκρισης της διεργασίας, υπολογίζονται οι παράμετροι του ελεγκτή C Final K value m 0.632ΔC 1.5(t0.63 t0.28 ) ΔC 1 t 1 . 5 ( t t0.63 ) 0.28ΔC d 0.28 3 Original t t value t Time d ss ss ss 0.28 0.632 Μέθοδος τροποποίησης (modified method) Στην περίπτωση αυτή μεταβάλλεται το κέρδος Kc μέχρι η έξοδος να έχει τη μορφή φθείνουσας ταλάντωσης με εύρος στη δεύτερη περίοδο ίση με το 1/4 του εύρους της πρώτης. Υπολογίζονται το κέρδος Α και η περίοδος Τ0. Από τις εξισώσεις υπολογίζονται οι παράμετροι: Κc = 1 /A, A Ti = To/1.5, Td = To/6 A/4 Time 36 Στον Πίνακα αναφέρονται συγκεντρωτικά οι εξισώσεις όλων των παραπάνω περιπτώσεων που χρησιμοποιούνται στον υπολογισμό των παραμέτρων των ελεγκτών P, PI, PID. Τύπος ελεγκτή ZieglerNichols Original Method Mέθοδος τροποποίησης Αναλογία (Proportional) Kc = 0.5Kκρ. Προσαρμόζεται το κέρδος για να έχουμε στη δεύτερη περίοδο το 1/4 του εύρους που αντιστοιχεί στη πρώτη περίοδο. Αναλογία και Ολοκλήρωση (Proportional & Integral) Kc =0.45Kκρ. Ti=To/1.2 (min) PID Proportional, Integral, derivative Κc = 0.6 Kκρ. Ti=To/2 (min) Td=To/8 (min) Cohen-Coon Method Προσαρμόζεται το κέρδος για να έχουμε στη δεύτερη περίοδο το 1/4 του εύρους που αντιστοιχεί στη πρώτη περίοδο. Ti =To(min) Προσαρμόζεται το κέρδος για να έχουμε στη δεύτερη περίοδο το 1/4 του εύρους που αντιστοιχεί στη πρώτη περίοδο. Ti =To /1.5 (min) Td = To /6 (min) Kc 1 1 ( 0.333 ) K a 1 K 0 .9 0.082 a Kc 3.33a 0.333a 2 Τi 1 2 .2 a Kc 1 K 1.35 a 0.270 2 .5 a 0 . 5 a 2 Τi 1 0 .6 a 0.37 Τd 1 0.2 1.8 Παραδείγματα Συντονισμού Ελεγκτή PID Παράδειγμα 1: 10 . Δίνονται η συνάρτηση μεταφοράς διεργασίας G(s) (5s 1)(2s 1) , η συνάρτηση μεταφοράς του επενεργητή G (s) 10. και m 10s 1 ανάδραση Gf(s)=1. Nα υπολογιστούν οι τιμές των παραμέτρων του ελεγκτή με τη μέθοδο Cohen-Coon. 38 Χρησιμοποιούμε την συνάρτηση μεταφοράς: y 1.0 G PRC Ke s t d ôs1 Response 0.75 Approximate response 0.5 0.25 0 td 25 50 t Οι παράμετροι του μοντέλου υπολογίζονται από τη χρονική καμπύλη απόκρισης του Σχήματος και βρίσκουμε: B 1.0 B 1.0 20 , t 2 . 5 , K = 1.0 S=0.05, B=1.0, S 0.05 d A 1.0 όπου Α είναι το σήμα εισόδου, Β η απόκριση στην έξοδο, S η κλίση της καμπύλης απόκρισης, και τ η σταθερά χρόνου του συστήματος. Επομένως : 1.0e 2.5 s G ( s) 20s 1 Από τις εξισώσεις Cohen-Coon του Πίνακα υπολογίζουμε τις παραμέτρους του ελεγκτή και για τις τρεις περιπτώσεις: P: PI: 1 K 1 Kc K Kc td 1 8.3 td 3 td 0 . 9 7.3 td 12 30 3t d / Τi td 6.6 9 20t d / PID: 1 4 td Kc 10.9 K t d 3 4 32 6t d / Τ i td 5.85 13 8t d / 4 Τ d td 0.89 11 2t d / Παράδειγμα 2: Για τα δεδομένα του προηγούμενου παραδείγματος να υπολογιστούν οι παράμετροι του PID με την μέθοδο ZieglerNichols. H συνολική συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόγχου είναι: 1 G=GfGpGm= 5s 1 2s 1 10s 1 Xρησιμοποιώντας μόνο αναλογία (Ρ) έχουμε: -180ο=tan-1(-5ωco)+tan-1(-2ωco)+tan-1(-10ωco), ωco=0.415 rad/min. Tο εύρος για ωco βρίσκεται από την εξίσωση: 1 1 1 log log A=0.08 logA=log 2 2 2 (5ù co ) 1 Κκρισ.=1/Α=1/0.08=12.6 2ù co 1 10ù co 1 Το=2π/ωco=15.14 min/cycle Επομένως έχουμε: Για Ρ: Για PI: Για PID: Κc=12.6/2=6.3 Kc=12.6/2=6.3 Ti=15.14/1.2=12.62 Kc=0.5*12.6=6.3 Ti=15.14/2=7.57 Td=15.14/8=1.89 Στο Σχήμα δίνονται οι καμπύλες απόκρισης κλειστού βρόγχου, με συντονισμό Ζ-Ν και C-C. C-C y y C-C Z-N (α) Μεταβολή του set point (β) Μεταβολή φορτίου t Z-N t ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΕ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 43 Απ’ευθείας Έλεγχος (DDC) Στο σύστημα αυτό, ο υπολογιστής επικοινωνεί απ’ευθείας με τη διεργασία και λαμβάνει τις μετρήσεις σύμφωνα με τη λογική ελέγχου, που έχει προγραμματιστεί και βρίσκεται στην μνήμη του και υπολογίζει τις ελεγχόμενες μεταβλητές. Οι αποφάσεις υλοποιούνται απ’ευθείας στην διεργασία από τον υπολογιστή με κατάλληλες προσαρμογές των στοιχείων ελέγχου (βαλβίδες, διακόπτες, αντλίες, αεροσυμπιεστές κ.τ.λ). Ο τρόπος αυτός του απ’ευθείας ελέγχου, δίνει το όνομα απ’ευθείας Υπολογιστικός Έλεγχος (Direct Digital Control) 44 Στοιχεία Υπολογιστικού Ελέγχου Απλού Βρόγχου. Set point Typewriter terminal Distubance d: Computer D/A converter Control program Hold element d: c: Electropneumatic c: converter Final control element Controller output c: _______ _______ Process c: Sampler d: A/D converter d: Transduser Measuring sensor d: dicrete – time signal c: continuous signal Υπολογιστικός Έλεγχος Δύο Ανεξάρτητων Βρόγχων Multiplexer Typewriter terminal Hold Computer d: D/A converter Hold d: d: E/P converter c: E/P converter c: Control program ______ ______ 1. Subprogram loop 1 ______ ______ 2. Subprogram for loop 2 ______ ______ 3. Coordination subprogram d: ______ ______ m1 Final control element c: m2 Final control element c: Multiplexer d: c: Transduser c: Measuring sensor Transduser c: Measuring sensor A/D converter c: Sampler d: dicrete – time signal c: continuous signal Process c: y c: y ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ 47 3.4 Ψηφιακός ελεγκτής PID Το αναλογικό σήμα στην έξοδο του PID δύνεται από την εξίσωση: t 1 de de ή m( t ) = K e + edt + τ m( t ) = K e + K edt + K p i ∫ d dt c τ1 ∫ 0 d dt όπου e=r(t)-c(t) είναι το σφάλμα 48 Το ψηφιακό σήμα στην έξοδο του ελεγκτή PID έχει τη μορφή: n u u0 K p en KiT ei i 0 Kd en en1 T όπου uo είναι η αρχική τιμή του ελεγκτή. Η εξίσωση αυτή ονομάζεται εξίσωση θέσης. Μια άλλη εναλλακτική μορφή της εξίσωσης είναι: d T n u un 1 K c en ei en en1 1 i 0 T ( ) Kd [ Δ =u - u = K ln -ln -1 +K e T + en -2en-1+en-2 T u n n-1 i n ] Η εξίσωση αυτή ονομάζεται εξίσωση ταχύτητας και χρησιμοποιείται διότι δεν περιέχει το σύμβολο του αθροιστή. 49 Στο Σχήμα δίνεται το μπλόκ διάγραμμα του ψηφιακού ελεγκτή και η εξίσωση για PID έχει την μορφή: K iT ( z 1) K d ( z 1) U ( z) PID : D( z ) Kp E( z) 2( z 1) Tz K d ( z 1) Tz e(t) E(s) K iT ( z 1) 2( z 1) K d ( z - 1) Tz + + u(KT) + U(z) Υπολογισμός ψηφιακού ελεγκτή με ZOH Με την μέθοδο αυτή γίνεται μετατροπή των συναρτήσεων μεταφοράς από το επίπεδο s στο επίπεδο z. R(z) r(t) + b(t) E(z) - Digital Computer D(z) GZOH(s) DAC u(t) G(s) c(t) B(z) H(s) Από το Σχήμα βρίσκουμε: ~ C ( z ) D( z ) sGZOH (s)G(s)E ( z ) D( z)GZOH G( z) E( z) B( z ) D( z ) sGZOH (s)G(s) H (s)E ( z ) ~ 1 - e - st Όπου G zoh (s) = s 51 αλλά e(kT)=r(kT)-b(kT) ή Ε(z)=R(z)-B(z)=R(z)-D(z)Š[GZOH G(s)H(s)]E(t) 1 και προκύπτει: E ( z ) ~ 1 D( z ) sGZOH ( s )G ( s ) H ( s ) R( z ) και από τις προηγούμενες συναρτήσεις προκύπτει: D( z ) sGZOH (s)G(s) H (s) C( z) R( z ) 1 D( z ) s~ G (s)G(s) H ( s) ZOH ~ 1 C(z) / R (z) Η D(z) υπολογίζεται από την εξίσωση D(z) = ′ . Η γενική G (z) 1 - C(z) / R (z) μορφή της D(z) ειναι: D( z ) 0 1 z 1 ....... n z n 1 b1 z 1 b2 z 2 ....... bn z n a0 z n a1 z n1 a2 z n2 ....... an n z b1 z n1 b2 z n2 ....... bn Συντονισμός ψηφιακού PID ελεγκτή 53 α) Μέθοδος της μεταβατικής απόκρισης Για βηματική μεταβολή στην είσοδο της διεργασίας Δm καταγράφεται η κυματομορφή της μεταβλητής εξόδου. Από την κυματομορφή του ανοιχτού βρόγχου υπολογίζονται τα L (ή td) και R(ή S) για μοντέλο διεργασίας πρώτου βαθμού y(t) Ke st d G ( s) s 1 Slope R Καμπύλη χρονικής απόκρισης L t 54 Οι παράμετροι υπολογίζονται από τις σχέσεις που δίνονται στον πίνακα: ΚpD TiD TdD P 1/RL - - PI 0.9/RL 3L - PID 1.2/RL 2L 0.5L ΚpD, TiD, TdD είναι οι αντίστοιχες τιμές των παραμέτρων του ελεγκτή σε διακριτό χρόνο (digital τιμές). β) Μέθοδος ευαισθησίας Αρχικά χρησιμοποιείται ένας P (proportional) ελεγκτής. Στη συνέχεια αυξάνεται το κέρδος Κ του συστήματος κλειστού βρόγχου μέχρι να βρεθεί σε κρίσιμο σημείο (όριο ευαισθησίας). Οι παράμετροι του ελεγκτή υπολογίζονται από τις σχέσεις του πίνακα: ΚpD TiD TdD P 0.5Κκρ - - PI 0.45Κκρ Το/1.2 - PID 0.6Κκρ Το/2 Το/8 56 • Η συνάρτηση μεταφοράς ενός ελεγκτή με πρακτική εφαρμογή έχει τη μορφή: D( s ) Td s M ( s) 1 K p 1 E ( s) T s 1 T s / N i d όπου Κp=κέρδος αναλογίας (proportional gain) Ti=χρόνος επανάληψης (integral or reset time) Td=σταθερά χρόνου διαφόρισης (derivative time), συνήθως Ν=3-10 με σταθερή τιμή 57 3.5 Επιλογή της περιόδου δειγματοληψίας Τ Για την επιλογή της περιόδου δειγματοληψίας Τ πρέπει να λάβουμε υπ’όψιν τα εξής Αν το Τ αυξηθεί, η περιοχή ευστάθειας γίνεται μικρότερη Μεγάλο Τ συνεπάγεται χαμηλό κόστος Μεγάλο Τ συνεπάγεται μεγάλος χρόνος μετατροπής στους DAC και ADC (χαμηλότερο κόστος) Μικρό Τ επιτρέπει την καλή απόδοση του συστήματος σε περιβάλλον με θορύβους 58 Θεωρητική επιλογή Για την καλή απόδοση ενός ψηφιακού ελέγχου πρέπει να επιλεγεί η κατάλληλη περίοδος δειγματοληψίας Τ. Όσο μικρότερη είναι η περίοδος τόσο αυξάνεται το κόστος κατασκευής του αντίστοιχου hardware. Για επαναφορά του σήματος πρέπει το Τ να έχει σχετικά μικρή τιμή. (1) αστάθεια (2) απώλεια πληροφορίας αυξανόμενο Τ όριο ευστάθειας αυξανόμενο Τ κατώτατο όριο (θ.sampling) (3) ακρίβεια αλγορίθμου αυξανόμενο Τ (4) Επίδραση word-length (κβαντοποίηση) μειωμένο Τ 59 Εμπειρικοί τρόποι επιλογής Η επιλογή του Τ μπορεί να γίνει σε δύο στάδια: Υποθέτουμε πως η απόκριση κλειστού βρόγχου διεργασίας πρέπει να έχει: Κατά τη διάρκεια σχεδιασμού του βρόγχου Κατά τη διάρκεια σχεδιασμού του ελεγκτή Χρόνο αποκατάστασης Τs ή φυσική συχνότητα ωn. Τότε για την περίπτωση αυτή Τ< Τs /10 ή ωs< 10ωn, όπου ωs είναι η συχνότητα δειγματοληψίας (ωs =2π/Τ) Εάν η άγνωστος διεργασία προσομειώνεται από τη e sT συνάρτηση μεταφοράς Ziegler-Nichols της G(s) (1 sT ) μορφής,τότε επιλέγεται σαν περίοδος δειγματοληψίας 2 Τ<Τ1/4 1 60 Εαν στο μοντέλο της διεργασίας εμφανίζεται πόλος με σταθερά τη μορφής Τdom, δηλαδή επηρεάζει απόλυτα τη συνολική συμπεριφορά του συστήματος, τότε επιλέγεται ως περίοδος δειγματοληψίας Τ<Τdom/10. Υπάρχουν επίσης κανόνες που σχετίζουν την περίοδο Τ με το χρόνο διαφόρισης ΤdD, δηλαδή επιλέγεται η τιμή του Τ η οποία ικανοποιεί το λόγο Τ/ ΤdD0.1-0.5. Ειδικά για την περίπτωση Ziegler-Nichols επιλέγεται Τ/L 0.05-0.25 ή Τ/Τ0 0.01-0.05. Αντίθετα για ταχύτατα ηλεκτρονικά συστήματα συνήθως απαιτείται πολύ μικρότερη τιμή του Τ (της τάξης msec).