Transcript Εκτίμηση Κατάστασης - II

ΗΜΥ 681
Εκτίμηση κατάστασης II
(AC Εκτίμηση κατάστασης)
Δρ. Ηλίας Κυριακίδης
Αναπληρωτής Καθηγητής
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ
ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ
© 2012 Ηλίας Κυριακίδης και Μάρκος Άσπρου, Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών, Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΣ ΣΗΜΕΡΑ
• Εκτίμηση κατάστασης σε συνθήκες ΑC
(AC state estimation)
• Μέθοδος σταθμισμένων ελαχίστων
τετραγώνων
• Βήματα εκτίμησης κατάστασης ΑC
• Παράδειγμα
ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΑC
(AC STATE ESTIMATION)
• Προηγουμένως είχαμε υποθέσει ότι για την εκτίμηση κατάστασης
το πλάτος της τάσης παραμένει σταθερό και ίσο με 1 και ο στόχος
ήταν να εκτιμήσουμε τη γωνία τάσης κάθε ζυγού (κατάσταση
DC)
δ −δ
P≈
1
2
X
• Στην πραγματικότητα τα συστήματα ηλεκτρικής ισχύος
λειτουργούν σε κατάσταση AC, επομένως τόσο το μέτρο όσο και η
γωνία τάσης στο κάθε ζυγό μεταβάλλονται ανάλογα με την
λειτουργική κατάσταση του συστήματος
• Η εκτίμηση κατάστασης ΑC είναι μη γραμμικό πρόβλημα σε
αντίθεση με την εκτίμηση κατάστασης DC όπου το πρόβλημα
ήταν γραμμικό
• Στα κέντρα ελέγχου πραγματοποιείται AC εκτίμηση κατάστασης.
AC ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ
(AC STATE ESTIMATION)
Διαθέσιμες μετρήσεις:
• μέτρο τάσης σε κάποιους ζυγούς
• ένταση, ενεργός ισχύς και άεργος ισχύς σε κάποιες γραμμές μεταφοράς
• θέση βηματικών διακοπτών στους μετασχηματιστές (transformer taps)
• κατάσταση διακοπτών (ανοικτοί ή κλειστοί)
• γωνίες τάσης και έντασης (από PMUs)
Δεδομένα:
• τοπολογία του συστήματος
• παράμετροι γραμμών μεταφοράς και μετασχηματιστών
• H εκτίμηση κατάστασης γίνεται κάθε 2-10 λεπτά, αναλόγως του
μεγέθους του συστήματος και αναλόγως των προτιμήσεων κάθε
ηλεκτρικής εταιρείας.
ΑC ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ-Διατύπωση
προβλήματος
• Μοντέλο μετρήσεων:
z = h(x) + e
-- Το z είναι διάνυσμα στο οποίο περιέχονται συνήθως οι μετρήσεις
της καθαρής εισερχόμενης ενεργού και άεργου ισχύος στο ζυγό
(Pi, Qi), της ενεργού και άεργου ισχύος που ρέει μέσω των
γραμμών μεταφοράς (Pij, Qij) και του μέτρου τάσης (Vi) τoυ ζυγού.
-- To h(x) είναι διάνυσμα που περιέχει τις εξισώσεις που σχετίζουν
τις μετρήσεις με τις καταστάσεις του συστήματος (V, θ).
-- Το x είναι το διάνυσμα που περιέχει τις τιμές των καταστάσεων.
-- Το e είναι διάνυσμα με τα σφάλματα στις μετρήσεις, τα οποία
θεωρείται ότι είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους και ότι ακολουθούν
κανονική κατανομή με χαρακτηριστικά Ν(0,σi), όπου σi είναι η
αναμενόμενη ακρίβεια για κάθε μετρητή.
ΑC ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ-Διατύπωση
προβλήματος
• Όπως και στην περίπτωση DC εκτίμησης, σκοπός της εκτίμησης
κατάστασης είναι να ελαχιστοποιήσει το σφάλμα μεταξύ των
εκτιμώμενων μετρήσεων h ( xˆ ) και των αληθινών μετρήσεων z.
• Το σφάλμα υπολογίζεται ως,
r = z − h(xˆ )
• Επομένως με βάση τη μέθοδο σταθμισμένων ελαχίστων
τετραγώνων πρέπει να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση,
1
T
Min : J (x) = [z − h(x)] W[ z − h(x)]
2
όπου W είναι ο πίνακας στάθμισης
⎡1 / σ 12
0
.
⎢
1 / σ 22
.
⎢ 0
W=⎢ .
.
1 / σ 32
⎢
.
.
⎢ .
⎢ 0
.
.
⎣
.
.
.
.
.
0 ⎤
⎥
. ⎥
. ⎥
⎥
. ⎥
1 / σ i2 ⎥⎦
ΑC ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ-Διατύπωση
προβλήματος
Ελαχιστοποίηση J(x) =>
όπου
H=
∂h(x)
(Jacobian)
∂x
∂J (x)
g ( x) =
= −HT (x) W[z − h(x)] = 0
∂x
Η μη γραμμική συνάρτηση g(x) μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά
Taylor γύρω από το διάνυσμα xk:
g (x) = g (x k ) + G (x k )(x − x k ) + ... = 0
Αγνοώντας τους όρους υψηλής τάξης:
x k +1 = x k − [G (x k )]−1 g (x k )
ΑC ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ-Διατύπωση
προβλήματος
g(x k ) = −HT (x k ) W(z − h(x k ))
k
∂
g
(
x
)
k
G (x ) =
= HT (x k ) WH (x k )
∂x
• Προκύπτει με υπόθεση ότι το Η είναι περίπου σταθερός πίνακας
• Ο Πίνακας Η περιλαμβάνει εξισώσεις για τις μετρήσεις (τάσεις
και ροές ισχύος) συναρτήσει των μέτρων και γωνιών των
τάσεων.
• Είναι το αντίστοιχο του Jacobian της ροής ισχύος, ο οποίος
ούτως ή άλλως δεν είναι ευαίσθητος σε μικρές μεταβολές των
μέτρων και γωνιών των τάσεων.
ΑC ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ-Διατύπωση
προβλήματος
=> Επαναληπτική λύση της εξισώσεως
x k +1 = x k − [G (x k )]−1 g (x k )
ή
[G (x k )]Δx k +1 = −g (x k )
όπου,
xk είναι το διάνυσμα κατάστασης στην επανάληψη k
k
∂
g
(
x
)
k
G (x ) =
= HT (x k ) WH (x k )
∂x
g(x k ) = −HT (x k ) W (z − h(x k ))
Αλγόριθμος εκτίμησης κατάστασης με
σταθμισμένα ελάχιστα τετράγωνα
Βήματα επαναληπτικής διαδικασίας για εκτίμηση του
διανύσματος κατάστασης:
1. Επιλογή ζυγού αναφοράς (Η γωνία του ζυγού αναφοράς θεωρείται γνωστή και
δεν συμπεριλαμβάνεται στο διάνυσμα κατάστασης)
2. Υπολογισμός του πίνακα αγωγιμοτήτων
3. Αρχικοποίηση του διανύσματος κατάστασης (flat start: |V|=1 p.u. και θ=0 rad)
4. Υπολογισμός του Jacobian Η(xk)
5. Υπολογισμός του πίνακα G(xk)
6. Υπολογισμός του H T (x k ) W[z − h(x k )]
7. Αντιστροφή του G(xk)
8. Υπολογισμός του Δxk
9. Έλεγχος σύγκλισης: max(Δxk) ≤ ε (συνήθως 0.0001);
10. Εάν δεν υπάρχει σύγκλιση, xk+1 = xk+Δxk και συνεχίζουμε από το βήμα 4. Αν
υπάρχει σύγκλιση, η διαδικασία σταματά.
Εξισώσεις μετρήσεων (1)
Ίδιες με τις εξισώσεις που χρησιμοποιούνται στο πρόβλημα ροής
ισχύος. Η γραμμή αναπαριστάται ως μοντέλο π:
• Καθαρή εισερχόμενη ενεργός και άεργος ισχύς στο ζυγό i:
Pi = Vi
∑ V j (Gij cos θ ij + Bij sin θ ij )
j∈ℵi
Qi = Vi ∑ V j (Gij sin θ ij − Bij cos θ ij )
j∈ℵi
• Ενεργός και άεργος ισχύς που ρέει από το ζυγό i στο ζυγό j:
Pij = Vi 2 ( g si + g ij ) − ViV j ( g ij cos θ ij + bij sin θ ij )
Qij = −Vi 2 (bsi + bij ) − ViV j ( gij sin θ ij − bij cosθ ij )
• Πλάτος τάσης ζυγού i:
Vi = Vi
Μη
γραμμικές
συναρτήσεις
Εξισώσεις μετρήσεων (2)
Όπου:
Vi, θi είναι το πλάτος και η γωνία τάσης στο ζυγό i
θij=θi-θj
Gij+jBij είναι το στοιχείο ij του πίνακα αγωγιμοτήτων
gij+jbij είναι η αγωγιμότητα της γραμμής που ενώνει το ζυγό i
και το ζυγό j
gsi+jbsi είναι η εγκάρσια αγωγιμότητα που συνδέεται στο ζυγό i
ℵi είναι το σύνολο των ζυγών που είναι ενωμένοι με το ζυγό i
Υπολογισμός πίνακα Jacobian
• Η διάταξη των μετρήσεων στο διάνυσμα z συνήθως έχει τη
μορφή:
z = [P flow
Pinj
Q flow
Q inj
V ]T
• Επομένως ο πίνακας Jacobian θα έχει τη μορφή:
⎡ ∂P flow
⎢
⎢ ∂∂Pθ
inj
⎢
⎢ ∂θ
⎢ ∂Q flow
H ( x) = ⎢
⎢ ∂θ
⎢ ∂Qinj
⎢ ∂θ
⎢
⎢ 0
⎣
∂P flow ⎤
⎥
∂V ⎥
∂Pinj ⎥
∂V ⎥
∂Q flow ⎥
⎥
∂V ⎥
∂Qinj ⎥
∂V ⎥
∂V ⎥
⎥
∂V ⎦
Υπολογισμός πίνακα Jacobian
Τα στοιχεία του πίνακα Jacobian είναι οι παράγωγοι των
εξισώσεων με τις οποίες εκφράζονται οι μετρήσεις
Στοιχεία για την καθαρή εισερχόμενη ενεργό ισχύ
Στοιχεία για την ροή ισχύος
N
∂Pi
= ∑ ViV j (−Gij sin θij + Bij cos θ ij ) − Vi2 Bii
∂θ i j =1
∂Pi
= ViV j (Gij sin θ ij − Bij cos θ ij )
∂θ j
∂Pij
N
∂Pi
= ∑ V j (Gij cos θij + Bij sin θ ij ) + Vi Gii
∂Vi j =1
∂Pi
= Vi (Gij cos θ ij + Bij sin θij )
∂V j
∂Pij
Στοιχεία για την καθαρή εισερχόμενη άεργο ισχύ
N
∂Qi
= ∑ ViV j (Gij cos θ ij + Bij sin θij ) − Vi2Gii
∂θ i j =1
∂Qi
= ViV j (−Gij cos θij − Bij sin θij )
∂θ j
N
∂Qi
= ∑ V j (Gij sin θij − Bij cos θij ) − Vi Bii
∂Vi j =1
∂Qi
= Vi (Gij sin θij − Bij cos θij )
∂V j
∂θ i
∂Pij
∂θ j
∂Vi
∂Pij
∂V j
= ViV j ( g ij sin θ ij − bij cos θ ij )
Στοιχεία για το πλάτος τάσης
∂Vi
=1
∂Vi
= −ViV j ( g ij sin θ ij − bij cos θ ij )
∂Vi
=0
∂V j
= −V j ( g ij cos θ ij + bij sin θ ij ) + 2Vi ( g ij + g si )
∂Vi
=0
∂θi
= −Vi ( g ij cos θ ij + bij sin θ ij )
∂Vi
=0
∂θ j
Στοιχεία για την ροή ισχύος
∂Qij
= −ViV j ( g ij cos θ ij + bij sin θ ij )
∂θ i
∂Qij
= ViV j ( g ij cos θ ij + bij sin θ ij )
∂θ j
∂Qij
∂Vi
∂Qij
∂V j
= −V j ( g ij sin θ ij − bij cos θ ij ) − 2Vi (bij + bsi )
= −Vi ( g ij sin θ ij − bij cos θ ij )
Παράδειγμα
Να προσδιοριστούν οι καταστάσεις του ακόλουθου
συστήματος με ακρίβεια 1x10-4 για τις δεδομένες μετρήσεις.
Θεωρήστε τον ζυγό 1 ως ζυγό αναφοράς.
2
3
Μέτρηση ισχύος
Μέτρηση πλάτους τάσης
z23=0.03+j0.08
z12=0.01+j0.03
z13=0.02+j0.05
1
Μέτρηση
Τύπος
Τιμή (p.u)
σ
1
P12
0.888
0.008
2
P13
1.173
0.008
3
P2
-0.501
0.010
4
Q12
0.568
0.008
5
Q13
0.663
0.008
6
Q2
-0.286
0.010
7
V1
1.006
0.004
8
V2
0.968
0.004
Βήμα 2: Υπολογισμός πίνακα αγωγιμοτήτων
⎡ y12 + y13
Y = ⎢⎢ -y12
⎢⎣ -y13
-y12
y12 + y23
-y23
⎤
-y23 ⎥⎥
y13 + y23 ⎥⎦
-y13
⎡ 16.897 - j47.241 - 10.000 + j30.000 - 6.8966 + j17.241⎤
Y = ⎢⎢- 10.000 + j30.000 14.110 - j40.959 - 4.1096 + j10.959⎥⎥
⎢⎣- 6.8966 + j17.241 - 4.1096 + j10.959 11.006 - j28.200 ⎥⎦
ΒΗΜΑ 3: Αρχικοποίηση του διανύσματος
κατάστασης
Ζυγός αναφοράς: ζυγός 1
⇒Το διάνυσμα κατάστασης θα έχει 2Ν-1 καταστάσεις, όπου
Ν είναι ο αριθμός των ζυγών του συστήματος.
Επομένως το αρχικό διάνυσμα κατάστασης είναι:
⎡θ 2 ⎤
⎢θ ⎥
⎢ 3⎥
x = ⎢V1 ⎥,
⎢ ⎥
V
⎢ 2⎥
⎢⎣V3 ⎥⎦
⎡0 ⎤
⎢0 ⎥
⎢ ⎥
x 0 = ⎢1⎥
⎢ ⎥
⎢1⎥
⎢⎣1⎥⎦
ΒΗΜΑ 4: Υπολογισμός του πίνακα Jacobian
Ο πίνακας Jacobian του συστήματος έχει την μορφή:
⎡ ∂P12
⎢ ∂θ
⎢ 2
⎢ ∂P13
⎢ ∂θ 2
⎢ ∂P
⎢ 2
⎢ ∂θ 2
⎢ ∂Q12
⎢
∂θ
H=⎢ 2
⎢ ∂Q13
⎢ ∂θ
⎢ 2
⎢ ∂Q2
⎢ ∂θ
⎢ 2
⎢ 0
⎢
⎢
⎢ 0
⎢⎣
∂P12
∂θ 3
∂P13
∂θ 3
∂P2
∂θ 3
∂Q12
∂θ 3
∂Q13
∂θ 3
∂Q2
∂θ 3
0
0
∂P12
∂V1
∂P13
∂V1
∂P2
∂V1
∂Q12
∂V1
∂Q13
∂V1
∂Q2
∂V1
∂V1
∂V1
∂V2
∂V1
∂P12
∂V2
∂P13
∂V2
∂P2
∂V2
∂Q12
∂V2
∂Q13
∂V2
∂Q2
∂V2
∂V1
∂V2
∂V2
∂V2
∂P12 ⎤
∂V3 ⎥
⎥
∂P13 ⎥
∂V3 ⎥
0
10 − 10
0 ⎤
⎡ − 30
∂P2 ⎥
⎢ 0
⎥
⎥
−
−
.
9
17
.
2
6
.
9
0
6
⎢
⎥
∂V3 ⎥
⎢ 40.9 − 10.9 − 10 14.1 − 4.1 ⎥
∂Q12 ⎥
⎢
⎥
⎥
−
10
0
30
30
0
∂V3 ⎥
⎥
, H(x 0 ) = ⎢
⎢ 0
∂Q13 ⎥
− 17.2⎥
6.9 17.2
0
⎢
⎥
∂V3 ⎥⎥
−
−
−
14
.
1
4
.
1
30
40
.
9
10
.
9
⎢
⎥
∂Q2 ⎥
⎢ 0
0
1
0
0 ⎥
⎢
⎥
∂V3 ⎥
0
0
1
0 ⎥⎦
⎢⎣ 0
∂V1 ⎥⎥
∂V3 ⎥
∂V2 ⎥
⎥
∂V3 ⎥⎦
ΒΗΜΑ 5: Υπολογισμός του πίνακα G
Ο πίνακας G ονομάζεται πίνακας κέρδους (gain matrix)
G (x 0 ) = HT (x 0 ) WH (x 0 )
40.9 10
0
−14.1 0
⎡− 30 0
⎢ 0 −17.2 −10.9 0
6.9
4.1 0
⎢
0
G(x ) = ⎢ 10 6.9
−10 30 17.2 − 30 1
⎢
0
14.1 − 30 0
40.9 0
⎢−10
⎢⎣ 0 − 6.9 − 4.1 0 −17.2 −10.9 0
0
0
0
0
0
0
0 ⎤ ⎡ − 30
⎡15625 0
⎢ 0 15625 0
0
0
0
0
0 ⎥⎥ ⎢⎢ 0
−17.2
0⎤ ⎢
⎢ 0
0 10000 0
0
0
0
0 ⎥ ⎢ 40.9 −10.9
0⎥⎥ ⎢
⎥⎢
0
0
0
0 15625 0
0
0
0 ⎥ ⎢ 10
⎢
0⎥
0
0
0 15625 0
0
0 ⎥⎢ 0
6.9
⎥⎢ 0
1⎥ ⎢
⎥⎢
0
0
0
0 10000 0
0 ⎥ ⎢−14.1 4.1
⎢ 0
0⎥⎦ ⎢
0
0
0
0
0
0
62500 0 ⎥ ⎢ 0
0
⎥⎢
⎢
0
0
0
0
0
0
62500⎥⎦ ⎢⎣ 0
0
⎢⎣ 0
0
− 0.0140⎤
⎡ 3.4341 − 0.5036 0.0140
⎥
⎢− 0.5036 0.6723 − 0.0140 0.0140
0
⎥
⎢
0
7
G (x ) = 1×10 ⎢ 0.0140 − 0.0140 3.1054 − 2.9305 − 0.1686⎥
⎥
⎢
0.0140 − 2.9305 3.4404 − 0.5036⎥
⎢ 0
⎢⎣− 0.0140
0
− 0.1686 − 0.5036 0.6723 ⎥⎦
10 −10
0 ⎤
6.9 0 − 6.9 ⎥⎥
−10 14.1 − 4.1 ⎥
⎥
30 − 30 0 ⎥
17.2 0 −17.2⎥
⎥
− 30 40.9 −10.9⎥
1
0
0 ⎥
⎥
0
1
0 ⎥⎦
ΒΗΜΑ 6: Υπολογισμός του HT (x k ) W[z − h(x k )] (1)
Η(xk): υπολογίστηκε
W: γνωστό
z: μετρήσεις z = [0.888 1.173 − 0.501 0.568 0.663 − 0.286 1.006 0.968]T
⎡ V 2 ( g + g ) − V V ( g cos θ + b sin θ ) ⎤
1 2 12
12
12
12
⎢ 1 2 s1 12
⎥
⎢ V1 ( g s1 + g13 ) − V1V3 ( g13 cos θ13 + b13 sin θ13 ) ⎥
⎡0 ⎤
3
⎢
⎥
⎢0 ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
V2 V j (G2 j . cos θ 2 j + B2 j sin θ 2 j )
⎢
⎥
⎢0 ⎥
j =1
⎢
⎥
⎢ ⎥
2
0
h(x) = ⎢⎢− V1 (bs1 + b12 ) − V1V2 ( g12 sin θ12 − b12 cos θ12 )⎥⎥ ⇒ h(x 0 ) = ⎢ ⎥
⎢0 ⎥
2
−
+
−
−
V
b
b
V
V
g
b
θ
θ
(
)
(
sin
cos
)
1 3 13
13
13
13 ⎥
⎢ 1 s1 13
⎢ ⎥
3
⎢
⎥
⎢0 ⎥
V2 V j (G2 j . sin θ 2 j − B2 j cos θ 2 j )
⎢
⎥
⎢1⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
j =1
⎢
⎥
⎢⎣1⎥⎦
V
1
⎢
⎥
⎢⎣
⎥⎦
V2
∑
∑
ΒΗΜΑ 6: Υπολογισμός του HT (x k ) W[z − h(x k )] (2)
⎡− 30 0
⎢ 0 − 17.2
⎢
HT (x0 ) W[z − h(x0 )] = ⎢ 10
6.9
⎢
0
⎢ − 10
⎢⎣ 0 − 6.9
40.9
10
0
6.9
− 10.9 0
− 10 30 17.2
14.1 − 30 0
− 4.1
0
− 14.1 0
4.1 0
− 30 1
40.9 0
− 17.2 − 10.9 0
0
0
0
0
0
0 ⎤ ⎡ 0.888 ⎤
⎡15625 0
⎢ 0 15625 0
0
0
0
0
0 ⎥⎥ ⎢⎢ 1.173 ⎥⎥
⎢
0⎤
⎢ 0
0 10000 0
0
0
0
0 ⎥ ⎢ − 0.501⎥
0⎥⎥ ⎢
⎥
⎥⎢
0
0
0 15625 0
0
0
0 ⎥ ⎢ 0.568 ⎥
⎢
0⎥
0
0
0 15625 0
0
0 ⎥ ⎢ 0.663 ⎥
⎥⎢ 0
1⎥ ⎢
⎥
⎥⎢
0
0
0
0
0 10000 0
0 ⎥ ⎢− 0.286⎥
⎢
0⎥⎦ ⎢
0
0
0
0
0
0
62500 0 ⎥ ⎢ 0.006 ⎥
⎥
⎥⎢
⎢
0
0
0
0
0
0
62500⎥⎦ ⎢⎣− 0.032⎥⎦
⎢⎣ 0
⎡− 4.9208⎤
⎢− 2.0088⎥
⎢
⎥
T 0
0
5
⇒ H (x ) W[z − h(x )] = 1× 10 ⎢ 8.4592 ⎥
⎢
⎥
5
.
9462
−
⎢
⎥
⎢⎣− 2.5293⎥⎦
ΒΗΜΑ 7: Αντιστροφή του G
0
0
⎡0.0033 0.0025
⎢0.0025 0.0167
0
0
⎢
G −1 (x 0 ) = 1× 10 −5 ⎢ 0
0
0.8008 0.7992
⎢
0
0.7992 0.8008
⎢ 0
⎢ 0
0
0.7996 0.8004
⎣
0.0001⎤
0 ⎥⎥
0.7996⎥
⎥
0.8004⎥
0.8151⎥⎦
ΒΗΜΑ 8: Υπολογισμός Δx
Δx1 = [G −1 (x 0 )]H T (x 0 ) W[z − h(x 0 )]
⎡ − 2 × 10 − 2 ⎤
⎡0⎤ ⎡ − 2 × 10 − 2 ⎤ ⎡− 0.0212⎤
⎢
⎢0 ⎥ ⎢
−2 ⎥
− 2 ⎥ ⎢− 0.0452⎥
⎢− 4.52 × 10 ⎥
⎥
⎢ ⎥ ⎢ − 4.52 × 10 ⎥ ⎢
1 ⎢
1
0
1
Δx = − 3 × 10 − 4 ⎥ ⇒ x = x + Δx = ⎢1⎥ + ⎢ − 3 × 10 − 4 ⎥ = ⎢ 0.9997 ⎥
⎥ ⎢
⎢
⎥
⎥
⎢ ⎥ ⎢
−2
2
−
⎢− 2.57 × 10 ⎥
⎢1⎥ ⎢− 2.57 × 10 ⎥ ⎢ 0.9743 ⎥
⎢
−2 ⎥
⎢⎣1⎥⎦ ⎢ − 5.72 × 10 − 2 ⎥ ⎢⎣ 0.9426 ⎥⎦
5
.
72
10
−
×
⎣
⎦
⎣
⎦
⎡− 0.0212⎤
⎢− 0.0452⎥
⎢
⎥
1 ⎢
⇒ x = 0.9997 ⎥
⎢
⎥
⎢ 0.9743 ⎥
⎢⎣ 0.9426 ⎥⎦
BHMA 9: Έλεγχος σύγκλισης
max( Δx ) = 5.72 ×10
1
−2
>ε
Δεν υπάρχει σύγκλιση => επιστροφή στο βήμα 4.
Μετά από ακόμα 2 επαναλήψεις υπάρχει σύγκλιση.
⎡− 0.0217⎤
⎢ − 0.0479⎥
⎥
⎢
3 ⎢
x = 0.9996 ⎥
⎥
⎢
⎢ 0.9742 ⎥
⎢ 0.9439 ⎥
⎦
⎣
Άρα οι καταστάσεις του συστήματος είναι:
Ζυγός
|V| (p.u)
θ (ακτίνια)
1
0.9996
0
2
0.9742
-0.0217
3
0.9439
-0.0479