ΑΠΘ/ΤΑΤΜ Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας 3ο Εξάμηνο Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Signals and Spectral Methods in Geoinformatics Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015 Πρόγραμμα: Τετάρτη 4 – 8
Download ReportTranscript ΑΠΘ/ΤΑΤΜ Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας 3ο Εξάμηνο Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Signals and Spectral Methods in Geoinformatics Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015 Πρόγραμμα: Τετάρτη 4 – 8
Slide 1
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 2
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 3
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 4
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 5
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 6
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 7
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 8
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 9
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 10
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 11
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 12
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 13
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 14
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 15
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 16
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 17
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 18
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 19
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 20
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 21
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 22
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 23
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 24
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 25
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 26
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 27
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 28
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 29
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 30
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 31
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 32
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 33
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 34
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 35
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 36
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 37
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 38
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 39
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 40
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 41
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 42
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 43
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 2
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 3
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 4
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 5
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 6
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 7
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 8
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 9
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 10
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 11
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 12
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 13
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 14
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 15
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 16
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 17
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 18
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 19
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 20
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 21
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 22
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 23
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 24
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 25
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 26
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 27
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 28
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 29
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 30
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 31
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 32
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 33
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 34
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 35
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 36
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 37
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 38
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 39
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 40
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 41
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 42
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Slide 43
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014– 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ
FOURIER
&
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –1Γραμμικότητα ή επαλληλία
Εάν είναι:
f 2 ( t ) F2 ( )
f 1 ( t ) F1 ( )
τότε:
1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t ) 1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Απόδειξη:
F 1 f 1 ( t ) 2 f 2 ( t )
j t
dt
e
)
t
(
f
)
t
(
f
2
2
1
1
1
f 1 ( t )e
j t
dt 2
f 2 ( t )e
j t
dt
1 F1 ( ) 2 F 2 ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –2Συμμετρία
Εάν είναι:
f ( t ) F()
F( t ) 2 f ( )
τότε:
Απόδειξη:
Εξ ορισμού είναι:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με –t:
2 f ( t )
F ( )e
j t
d
Αλλάζοντας t με ω:
2 f ( )
F (t )e
j t
dt F F (t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –3Χρονική μετάθεση
Εάν είναι:
f ( t ) F(ω )
τότε:
f ( t t o ) F(ω )e
jω t o
Απόδειξη:
F f (t t o )
f ( t t o )e
j t
dt
Θέτοντας:
t t o x dt dx
F f (t t o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
f ( x )e
j ( t o x )
dx e
j t o
f ( x )e
j x
dx e
j t o
F ( ω)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –4Φασματική μετάθεση
f ( t ) F()
Εάν είναι:
τότε:
f ( t )e
j o t
F( o )
Απόδειξη:
F f ( t )e
jω o t
f ( t )e jω o t e jω t d t
f ( t )e
j( ω ω o ) t
d t F(ω ω o )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
Ο μετασχηματισμός Fourier της
εκθετικής συνάρτησης (exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος
F ( i
1
ia
Ιδιότητες γραμμικότητας, χρονικής
και φασματικής μετάθεσης!!!!!!
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –5Μεταβολή κλίμακας χρόνου
Εάν είναι: f ( t ) F ( )
Απόδειξη:
τότε:
f ( t )
F
1
0
F f ( t )
f ( t )e
j t
dt
t x dt dx dt (1 / ) dx
F f ( t )
F f ( t )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
1
f ( x )e
j( / ) x
dx
f ( t )e
j( / ) t
dt
F f ( )
1
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –6Θεώρημα διαμόρφωσης
Εάν είναι:
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
τότε:
1
2
F( o )
1
2
F( o )
Απόδειξη:
Με βάση τη σχέση
co s ω o t (1 / 2 )(e
jω o t
e
jω o t
)
και τα θεωρήματα γραμμικότητας και φασματικής μετάθεσης είναι:
1
1
j t
j t
F f ( t ) cos o t F f ( t ) e o f ( t ) e o
2
2
1
2
1
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F f ( t )e
j o t
F( o )
1
2
1
2
F f ( t )e
j o t
F( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –7Θεώρημα παραγώγισης ως προς τον χρόνο
f ( t ) F()
Εάν είναι:
f ( t )
τότε:
dx
( t ) j F ( )
dt
f (t) 0
Λαμβάνουμε υπόψη ότι:
t
Απόδειξη:
F f ( t )
f ( t )e
jω t
d t f ( t )e
jω t
Επειδή
f ( t )e
jω t
dt
f (t) 0
F f ( t ) jω
jω
t
f ( t )e
jω t
d t jω F(ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –8Θεώρημα παραγώγισης ως προς τη συχνότητα
Εάν είναι:
f ( t ) F ()
( jt ) f ( t ) F ( )
τότε:
dF
d
()
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
dt
Με διαφόριση προκύπτει
dF ( )
d
d
d
f ( t )e
j t
dt
Με αλλαγή σειράς διαφόρισης και ολοκλήρωσης προκύπτει:
dF ( )
d
f ( t ) (e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
) dt
jtf ( t ) e
j t
dt F jtf ( t )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –9Θεώρημα ολοκλήρωσης
f ( t ) F ( )
Εάν είναι:
και
f ( t )dt F ( 0 ) 0
τότε:
t
f ( x )dx
1
j
F ( )
Απόδειξη:
t
Είναι:
φ( t )
f ( x )d x,
φ ( t ) f t ,
F[φ( t )] Φ (ω )
και από το θεώρημα της παραγώγισης ως προς τον χρόνο προκύπτει:
Τελικά είναι: F[φ ( t )] F[f ( t )] jω Φ (ω )
1
Φ (ω )
jω
F
F[f ( t )]
1
jω
F(ω )
1
1
f ( x )d x jω F(ω ) jω F[f ( t )]
t
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER –10Εξίσωση του Parseval
Εάν f ( t ) F(ω ) ,
g( t ) G(ω )
τότε
f ( t )G(ω )d t
F(ω )g( t )d t
Απόδειξη:
F()
f ( t )e
j t
G ()
dt
g ( t )e
j t
dt
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
f
(
t
)
g
(
t
)
e
dt
dt
Αλλάζοντας τη σειρά ολοκλήρωσης προκύπτει
j t
f
(
t
)
G
(
)
dt
g
(
t
)
f
(
t
)
e
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
dt
g ( t )F ( ) dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER
ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (f(t) πραγματική)
Είναι:
f ( t ) F ()
f (t) f e (t) f o (t)
F() R ( ) I()
Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
R ()
f ( t ) cos tdt
I( )
f ( t ) sin tdt
R () R ( )
I( ) I( )
f e ( t ) R ()
f o ( t ) jI ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( ) F ()
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Αρχίζουμε από τη σχέση:
e
j t
cos t j sin t
F ( )
f ( t )e
j t
dt
f ( t ) cos tdt j
f ( t ) cos tdt
I ( )
f ( t ) sin tdt
R ( )
f ( t ) sin tdt R ( ) jI ( )
R ( )
f ( t ) cos( t ) dt
f ( t ) cos( t ) dt R ( )
I ( )
f ( t ) sin( t ) dt
f ( t ) sin tdt I ( )
F ( ) R ( ) jI ( ) R ( ) jI ( ) F ( )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΣΤΟΥΣ
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier
Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier
f ( t )e
F()
j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
d
Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
F ( ) F [ f ( t )]
f ( t )e
j t
dt
Ευθύς
f (t) F
1
[ F ( )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( )e
j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier
F()
f ( t )e
j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t)
1
2
F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t ) F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F ( ) φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω ) R (ω ) jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος
R (ω )
f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος
I(ω )
f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F()
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R () ()
R () ()
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( ) R ( ) i I ( )
R ( ) F ( ) cos ( )
I ( ) F ( ) sin ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( )
R ( ) I ( )
2
2
( ) arctan
I ( )
R ( )
F ( ) R ( ) i I ( ) F ( ) cos ( ) i sin ( ) F ( ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( ) F ( ) e
i ( )
i ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
e t
f (t)
0
Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier, το φάσμα
εύρους και το φάσμα φάσης
t0
t0
Λύση
F()
f ( t )e
j t
dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
t
e
j t
dt
0
1
( j ω)
F ( ω)
e
1
jω
( j ) t
dt
0
( j ω)t
0
e
α jω
α ω
2
2
1
jω
R(ω)
a
α ω
2
2
j
I(ω)
ω
α ω
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (1)
F()
2
2 2
( ) arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2
2
2
2 2
1
2
2
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (2)
e t
f (t)
e t
t0
με α>0
t0
Λύση
F(ω )
f ( t )e
jω t
dt
αt
e e
jω t
dt
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
( α jω ) t
dt
0
e
e
αt
e
jω t
dt
0
0
0
( α jω ) t
dt
1
α jω
1
α jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2α
α ω
2
2
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (3)
2e 3t
f (t)
0
t0
t0
Λύση
F ( )
f ( t )e
j t
dt 2 e
0
R ()
F()
( 3 j t )
dt
0
6
9
I()
2
36 4
2
9
2
2
36 4
9
2
(3 j )
e
( 3 j ) t
0
2 (3 j )
9
2
2
9
2
2
2
( ) arctan( 2 / 6 ) arctan
3
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (4)
F ( ) F[ f ( t )]
ί . Fourier
f ( t ) sin o t
Λύση
sin o t
1
2j
e
j o t
e
j o t
1
1
j o t
j o t
F[ f ( t ) sin o t ] F f ( t ) e
f ( t )e
2
j
2
j
1
2j
1
2j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F( o )
1
2j
F( o )
F ( o ) F ( o )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
Nα βρεθεί ο μετ. Fourier της
f (t) e
3 t
cos( 10 t )
Λύση
(A)
Θεώρημα διαμόρφωσης
f ( t ) F()
f ( t ) cos o t
e
ω 0 10
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
3t
cos( 10 t )
3t
1
2
F( o )
1
2
F( o )
1
jω 3
1
1
1
2 j( ω - 10) 3 j( ω 10) 3
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (5)
(Β) Αναλυτικός τρόπος
f (t ) e
3t
f (t ) e
1
cos 10 t
3t
e
e
3t
cos( 10 t )
j 10 t
2
F( ω )
f ( t )e
jω t
dt
2
e
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
0
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
( 3 1 0 j jω ) t
2(3 1 0 j j ω )
1
2
e
e
3t
e
j 10 t
2
e
1
0
e
3 t
e
j1 0 t
e
jω t
dt
1
1
1
2 3 1 0 j jω 3 1 0 j jω
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (6)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
d
2
1
να βρεθεί ο μετ. Fourier
d
2
Λύση
F ( )
d /2
p
d
( t )e
j t
dt
1
j
e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
j t
dt
d / 2
j t d / 2
d / 2
2
1
j
e
j d / 2
sin( d / 2 ) d
e
j d / 2
sin( d / 2 )
( d / 2 )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (7)
1,
pd(t)
0,
t
t
1
2
1
d
f ( t ) p d ( t ) cos ω o t
να βρεθεί ο μετ. Fourier της
d
2
Λύση
ωd
F[p d ( t )]
sin
ω
2
2
Σύμφωνα με το θεώρημα της διαμόρφωσης έχουμε:
sin
F(ω ) F[p d ( t ) co s ω o t]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
sin
1
d(ω ω o )
2
ω ωo
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
T t0
A /T
f1 ( t ) A / T
0
0tT
ή ύ
(α) Να βρεθεί ο μετ. Fourier της f1(t)
(β) Η f2(t) είναι το ολοκλήρωμα της f1(t). Με βάση το
αποτέλεσμα του (α) να βρεθεί ο μετ. Fourier της f2(t)
(γ) Το αποτέλεσμα της (β) να επαληθευθεί με άμεση
ολοκλήρωση
f2(t)
f1(t)
A/T
A
T
-T
t
0
t
-A/T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
-T
0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
T
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
Λύση
(α)
F1 (ω )
0
f1 ( t )e
jω t
dt
T
( A / T )e
T
jω t
d t ( A / T )e
jω t
dt
0
A 1
A 1 jω T
A
jω T
jω T
jω T
1
e
e
1
e
e
2
T jω
T jω
jω T
2A 1
2A
4A
jω T
jω T
2
e
e
1
(co
s
ω
T
1)
sin
(ω T / 2 )
jω T 2
jω T
jω T
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(β)
t
f 2 (t)
Τώρα ισχύουν:
f
1
( x ) dx
f
1
( t )dt 0
Σύμφωνα με το θεώρημα της ολοκλήρωσης θα είναι:
1 4A
2
F2 (ω )
F1 (ω )
sin
ωT / 2
jω
jω jω T
1
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4A
2
ω T
sin
2
ωT / 2
2
AT
sin (ω T / 2 )
ωT / 2
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
(γ)
A
T t0
T t A
A
f2 ( t )
tA
0 t T
T
0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ
F2 (ω )
f 2 ( t )e
jω t
dt
0
A
jω t
t A e
dt
T
T
0
A
jω t
dt
te
T T
Τ
A
jω t
t
A
dt
e
T
0
T
te
jω t
0
0
A t
1
jω t
e
T jω
T jω
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
T
jω t
dt A e
dt
T
!!!!Ολοκλήρωση κατά μέρη!!!!
t
T
1
jω t
jω t
e
d
t
e
jω
0 jω
T
0
T
0
e
jω t
Α
T
jω t
dt
e
jω
T
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (8)
F2 (ω )
0
T
A T jω T
1
T jω T
1
A
jω t
jω t
jω T
jω T
e
e
e
e
e
e
2
2
T jω
( jω )
T jω
( jω )
0 jω
A
Tω
2
4A
Tω
2
2e
sin
2
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
jω T
e
jω T
ωT / 2
AT
2A
1
2A
jω T
jω T
1
e
e
1 co s ω T
2
2
Tω
2
Tω
ωT / 2
2
ωT / 2
sin
2
ίδιο με το αποτέλεσμα της (β)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (9)
Ένα σήμα έχει μετασχηματισμό Fourier:
F(ω )
Να βρεθεί η συνάρτηση f(t) (πραγματική συνάρτηση)
0
1
0
bω
b ω b
ω b
ΛΥΣΗ
f (t)
1
2
F() e
1
2 jt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
j t
d
1
2
b
b
e
b
j t
1 1 j t
1
jbt
jbt
d
e
(
e
e
)
2 jt
2 jt
b
[cos bt j sin bt (cos bt j sin bt )]
1
2 jt
2 j sin bt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
sin bt
t
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
ά f ( t ) F ( ) ό :
(1) f ( t ) cos( t )
1
F( )
2
1
F ( ),
1
( 2 ) f ( t ) sin( t )
2
F( )
2j
1
F( )
2j
Λύση
e
jθ
co s θ j sin θ, e
jθ
co s θ j sin θ, co s θ
e
jθ
e
jθ
, sin θ
2
(1) Έ
y ( t ) f ( t ) cos( t ).
()
y ( t )e
1
2
1
2
e j t e j t
dt f ( t )
2
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2
f ( t )e
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
j( ) t
dt
1
2
jθ
e
jθ
2j
ί :
j t
e
j t
e
dt
f ( t )e
j t j t
dt
f ( t )e
j( ) t
dt
1
2
F( )
1
F( )
2
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER – ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ
(2)
y ( t ) f ( t ) sin( t ) f ( t )
e
j t
e
j t
2j
Y ()
f (t)
e
j t
1
e
j t
e
j t
2j
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
1
2 j
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
f ( t )e
j t
e
j t
dt
2 j
f ( t )e
dt
j( ) t
dt
1
f ( t )e
2 j
j( ) t
dt
1
F( )
2j
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
1
F( )
2j
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (10)
Δίνεται στο χώρο των αποστάσεων η εξίσωση:
t(x, y) h (x, y) a r(x, y)
όπου h(x,y), t(x,y), r(x,y) γνωστές συναρτήσεις και a γνωστή παράμετρος.
Να προσδιορισθεί μέσω μετασχηματισμών Fourier η συνάρτηση t(x,y). Να
αναφέρετε πόσοι ευθείς και πόσοι αντίστροφοι μετασχηματισμοί είναι απαραίτητοι
και ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά τον προσδιορισμό.
Λύση
Η εξίσωση στο χώρο των συχνοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή (εφαρμόζονται ευθείς
μετασχηματισμοί Fourier και η ιδιότητα της γραμμικότητας
T ( u , v ) H ( u , v ) aR ( u , v )
όπου
T ( u , v ) F[ t ( x , y )] , H ( u , v ) F[ h ( x , y )],
R ( u , v ) F[ r ( x , y )]
τα αντίστοιχα φάσματα των συναρτήσεων (ευθείς μετ. Fourier). H ζητούμενη συνάρτηση
προκύπτει από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier
1
t ( x , y ) F [ T ( u , v )]
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ FOURIER (11)
'
f ( t ) F()
g ( t ) G ()
ί
f ( t ) g ( t )dt
Λύση
ό ό
G ( t ) 2 g ( )
1
2
F ( t ) G ( t )dt
ί ύ :
G ( t ) 2 g ()
ό ί Parseval ύ :
f ( t ) 2 g ( t )dt
F ( t ) G ( t )dt
ώ ύ έ 2 ύ :
f ( t ) g ( t )dt
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2
F ( t ) G ( t )dt
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
f (t) e
6t
2
co s t
3
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με αναλυτικό
τρόπο. Στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο
MATLAB που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον
μετασχηματισμό fourier αυτής, το φάσμα εύρους και το
φάσμα φάσης.
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (2/2)
Ημερομηνία Παράδοσης 26/11/2014.
2.Μια συνάρτηση f(t) έχει μετασχηματισμό fourier
1
F ( ) 1
0
0 2
2 0
2
να βρεθεί η συνάρτηση f(t). Στη συνέχεια να βρεθεί ο
μετασχηματισμός fourier της συνάρτησης
g(t)= f(t)*sin(4t)
βάσει του θεωρήματος της διαμόρφωσης και με
αναλυτικό τρόπο.
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015