Transcript ΑΠΘ/ΤΑΤΜ Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας 3ο Εξάμηνο Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Signals and Spectral Methods in Geoinformatics Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014 – 2015 Πρόγραμμα: Τετάρτη 4 –

ΑΠΘ/ΤΑΤΜ
Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας
3ο Εξάμηνο
Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη
Γεωπληροφορική
Signals and Spectral Methods in Geoinformatics
Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014 – 2015
Πρόγραμμα:
Τετάρτη 4 – 8 μ.μ.
Διδάσκοντες:
Δ. Δερμάνης, Η.Ν. Τζιαβός, Γ. Βέργος
Ιστοσελίδες μαθήματος:
http://olimpia.topo.auth.gr/courses/index.html
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
http://web.auth.gr/e-topo/
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ
FOURIER
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ – ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ
(SPACE DOMAIN – FREQUENCY DOMAIN)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΣΕΙΡΕΣ FOURIER - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
 Ευθύς μετασχηματισμός Fourier
(Direct Fourier Transform – DFT)
 Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
(Inverse Fourier Transform – IFT)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Πλεονεκτήματα
Ταχύτητα στους υπολογισμούς
Ευέλικτη διαχείριση μεγάλου πλήθους δεδομένων
Τελικό αποτέλεσμα στο χώρο των αριθμών
Ίδιας τάξης ακρίβειας με τις
υπολογισμού στο χώρο των αριθμών
μεθόδους
Δυνατότητα υπολογισμών στο επίπεδο και τη
σφαίρα
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Μειονεκτήματα
Στις δύο διαστάσεις (2-D) τα δεδομένα θα πρέπει
να είναι διαθέσιμα σε πλέγμα
Δεν υπάρχει δυνατότητα εκτίμησης της ακρίβειας
των αποτελεσμάτων
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
 Συνεχής μετασχηματισμός Fourier
 Διακριτός μετασχηματισμός Fourier
 Ταχύς μετασχηματισμός Fourier
(“τεχνική” για τον γρήγορο υπολογισμό των ολοκληρωμάτων
Fourier)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier –1Όταν το x διατρέχει ολόκληρο το διάστημα των πραγματικών αριθμών (  ,  )
η σειρά Fourier δίνεται από το ολοκλήρωμα Fourier συναρτήσει του
κυματαριθμού k [cycles/m]
Γιατί k και όχι ω
;;;;

G(κ ) 

g( x )e
 j2 π k x
dx

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier –2Η σειρά Fourier σε μιγαδική μορφή

f ( t) 

c ne
jn ω o t
cn 
n 
c ne
jn ω o t
 c ne
 jn ω o t

1
2

1
2
an 
jb n 
c n 
1
2
an 
jb n 
(a n  jb n )  co s(n ω o t)  j sin (n ω o t) 
1
2
(a n  jb n )  co s(n ω o t)  j sin (n ω o t) 
 a n co s(n ω o t)  b n sin (n ω o t)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier –3cn 
1
T
T
 f ( t )e
 jn  o t
dt
0
Με αντικατάσταση
c n   F( n )
n o   n
Ολοκληρώνοντας στο διάστημα [0, Τ] για τις διακριτές συχνότητες
f (t) 
1

2
F (  n )e
j n t

n
T
F( n ) 
 f ( t )e
 j n t
dt
0
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Από τη σειρά Fourier στο ολοκλήρωμα Fourier –4Από τις διακριτές στις συνεχείς και από [0, Τ] στο [, ]
καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα για τον ευθύ μετασχηματισμό Fourier

 f ( t )e
F() 
 j t
dt
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier

O αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier
f (t) 
1
2

 F (  )e
j t
d

Ζεύγος μετασχηματισμού Fourier

F (  )  F [ f ( t )] 
 f ( t )e
 j t
dt
Ευθύς

f (t)  F
1
[ F (  )] 
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος

1
2
 F (  )e

j t
d
αντίστροφος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Σειρά Fourier σε συνεχώς μεγαλύτερο διάστημα Τ ∞
f (t )
t
 

L
2
k 
a b
2
k

t
 
L
2
T  L
2
k

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Σειρά Fourier σε συνεχώς μεγαλύτερο διάστημα Τ ∞
k  k
f (t )
2
T
  k   k 1   k 
2
2


 
T
L
 
k 
a b
2
k
t

L
2

t
 
L
2
T  L
2
k


Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Σειρά Fourier σε συνεχώς μεγαλύτερο διάστημα Τ ∞
k  k
f (t )
2
T
  k   k 1   k 
2
2


 
T
L
 
k 
a b
2
k
t

L
2

t
 
L
2
T  L
2
k
k 

2
T

2
 
L

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Σειρά Fourier σε συνεχώς μεγαλύτερο διάστημα Τ ∞
f (t )
t
 

L
2
k 
a b
2
k

t
 
L
2
T  L
2
k
k 

2
T

2
 
L

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Σειρά Fourier σε συνεχώς μεγαλύτερο διάστημα Τ ∞
f (t )
t
 

2L
2
k 
a b
2
k

t
 
2L
2
T  2L
2
k
k 
2
T

2
2L


2

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Σειρά Fourier σε συνεχώς μεγαλύτερο διάστημα Τ ∞
f (t )
3
t
 

4L
2
k 
a b
2
k

t
 
4L
2
T  4L
2
k
k 
2
T

2
4L


4

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Σειρά Fourier σε συνεχώς μεγαλύτερο διάστημα Τ ∞
f (t )
t
 

8L

2
k 
a b
2
k
 
8L
2
t
T  8L
2
k
k 
2
T

2
8L


8

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Σειρά Fourier σε συνεχώς μεγαλύτερο διάστημα Τ ∞
Το ανάπτυγμα σε σειρα Fourier της συνάρτησης σε ένα συνεχώς μεγαλύτερο
διάστημα Τ, δίνει συντελεστές για συνεχώς πιο πυκνές συχνότητες ωk.
Καθώς το διάστημα Τ τίνει στο άπειρο οι συχνότητες ωk τείνουν να καλύψουν
περισότερες από το σύνολο των πραγματικών τιμών συχνοτήτων ()
Για άπειρο διάστημα Τ δηλαδή για (  t  ) απαιτείται το σύνολο των
πραγματικών τιμών των συχνοτήτων () και από το ανάπτυγμα
σε σειρά Fourier περνούμε στον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier

f (t ) 

ck e
ikt
f (t ) 
k  
διακριτές συχνότητες ωk
με βήμα Δω = 2π / Τ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
2



F ( ) e
it
d
συνεχείς συχνότητες - όλες
οι δυνατές τιμές (    )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
e
e
 jθ
 j π/2
 cos θ  jsin θ
 cos
π
 j sin
2
e
3 j π/2
 cos
e
e
j
nj π
e
3π
 j sin
3π
 j
 e
 cos   j sin  ,
jπ
 cos n θ  jsinn θ
 cos π  jsin π   1
e
2 jπ
 cos 2 π  jsin2 π  1
2
 cos n π  jsinn π  (  1)
j( ω 0  2  ) n
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
π
 jn θ
2
2
e
e
j 2 πn
e
j 0 n
 e
n
e
2 nj π
 cos 2 n π  jsin2n π  1
j 0 n
cos  
j
 j


e e
2
1
sin  
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
j
 j


e e
2j
1
2014/2015
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER / ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Βασικές σχέσεις
ευθύς μετασχηματισμός Fourier

F() 
 f ( t )e
 j t
dt
από τον χώρο των αριθμών στο χώρο
των συχνοτήτων

αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier

f (t) 
1
2

F ( )e
j t
d
από τον χώρο των συχνοτήτων
στον χώρο των αριθμών

ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ !!!
f ( t )  F()
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος

ζεύγος μετασχηματισμού Fourier
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F (  )  φάσμα Fourier – γενικά μιγαδικό
F(ω )  R (ω )  jI(ω )
πραγματικό και φανταστικό μέρος φάσματος

R (ω ) 

f ( t ) c o s (ω t )d t
πραγματικό μέρος φάσματος


I(ω )  

f ( t ) s in (ω t )d t
φανταστικό μέρος φάσματος

Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
F() 
F()
2
2
2
φάσμα εύρους (amplitude spectrum)
2
2
φάσμα ενέργειας (energy spectrum)
R ()   ()
 R ()   ()
 (  )  arctan
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
I()
R ( )
φάσμα φάσης (phase spectrum)
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
F ( )  R ( )  i I ( )
R ( )  F ( ) cos  ( )
I ( )  F ( ) sin  ( )
φάσμα εύρους
φάσμα φάσης
F ( ) 
R ( )  I ( )
2
2
 ( )  arctan
I ( )
R ( )
F ( )  R ( )  i I ( )  F ( )  cos  (  )  i sin  (  )   F (  ) e
πολική μορφή:
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
F ( )  F ( ) e
i  ( )
i  ( )
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΣΕ ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
R (   )  R ( )
F (  ) 
R (  )  I (  ) 
2
I (   )   I ( )
άρτια
2
R ( )  [  I ( )] 
2
περιττή
R ( )  I ( ) 
2
2
2
 F ( )
 (   )  arctan
I (  )
R (  )
 arctan
 I ( )
R ( )
  arctan
I ( )
R ( )
  ( )
φάσμα εύρους
F (   )  F ( )
άρτια συνάρτηση
φάσμα φάσης
 (   )    ( )
περιττή συνάρτηση
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο μετασχηματισμός Fourier της εκθετικής συνάρτησης
(exp-at) (t > 0)
και πραγματικό και φανταστικό μέρος

F ( ) 
e
- at
e
- i t
dt
0



e
 at  i t
dt 
0



e
(  [ a  i ] t )
dt
0
1
a  i
1
a  i
e
(  [ a  i ] t )

0

1
a  i
[e
(  )
e
(0)
]
[0  1]
1
a  i
F (    i
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
1
  ia
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Εκθετικό σήμα

 e  10 t
f (t)  

 0
t0
t0
F ( ) 
1
10  j 
φάσμα εύρους
  

10


 (  )  arctan 
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
φάσμα φάσης
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
%plot the amplitude spectrum and phase angle of
%the fourier transform of a simple exponential
%function
clear all
clc
%
t=1:0.01:50;
w=-50:0.2:50;
a=10;
y=exp(-a*t);
%
X=1./(a+j*w);
%plot function exp(-at)
subplot(2,1,1)
[H3]=plot(y(1:50));
set(H3,'LineWidth',2)
grid on
xlabel('Time (t)')
ylabel('e(-at)')
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Ο ΣΧΕΤΙΚΟΣ ΚΩΔΙΚΑΣ ΣΤΟ MATLAB
%plot magnitude of X and angle on the same graph
%
subplot(2,1,2)
[AX,H1,H2]=plotyy(w,abs(X),w,angle(X),'plot');
%
%Define line styles
%set(H1,'LineStyle','--','LineWidth',2,'Color','r')
%set(H2,'LineStyle',':','LineWidth',2,'Color','m')
%
set(H1,'LineWidth',2,'Color','r')
set(H2,'LineWidth',2,'Color','m')
%
%define the different (Left and Right) Y-axis labels
set(get(AX(1),'Ylabel'),'String','Magnitude of X (|X|)','Color','r')
set(get(AX(2),'Ylabel'),'String','Angle of X in degrees','Color','m')
%
grid on
xlabel('Frequency(rad/sec)');
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Εκθετικό σήμα

 e  10 t
f (t)  

 0
t0
t0
F ( ) 
1
10  j 
φάσμα εύρους
  

10


 (  )  arctan 
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
φάσμα φάσης
2014/2015
O ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΕΝΌΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟΥ ΠΑΛΜΟΥ
1
p(t)  
0
 τ / 2  t  τ/2
αλλού
1/ 2
F ( ) 

exp(  i t ) dt 
1 / 2


1
 i
1
 i
[exp(  i t )]  1 / 2
1/ 2
[exp(  i / 2)  exp( i 

exp( i / 2)  exp(  i 
  
2i
F (   sinc(  
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος

sin( 
  
Imaginary
Component = 0
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
Η συνάρτηση δειγματοληψίας Sinc(x) και ορισμένες ενδιαφέρουσες ιδιότητες
Sinc(x/2) είναι ο
μετασχηματισμός Fourier
ενός τετραγωνικού παλμού
Sinc2(x/2) είναι ο
μετασχηματισμός Fourier
ενός τριγωνικού παλμού
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
O ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΕΝΌΣ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟΥ ΠΑΛΜΟΥ
1
 t

τt 0
 τ2 τ

t
1

f (t)    2 
0 t τ
τ
τ

 0 ο π ο υ δ ή π ο τε α λ λ ο ύ


Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Για τ=4
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
O ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΕΝΌΣ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟΥ ΠΑΛΜΟΥ
4
F ( ) 

f( t ) e
 i t
dt 
4
0
1   i t
 t
 
 e
dt 
16
4
4 
0

1
 i t

t
e
dt 
 
1 6  4
Α
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4
t
1   i t

   1 6  4  e d t 
0
4
te
 i t
0
Β
 1
dt  
 4
4

e
 i t
dt
4
Γ
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
O ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΕΝΌΣ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟΥ ΠΑΛΜΟΥ
Γενικά είναι
b
te
 i t
dt  
a
 
 
1
i
1
i
b
1
i
te
a
b
te
 i t

a
b
te
 i t

a
 i t
i 
1

2
1 

 i t
 
e
dt 

 i  a
b
1
2
b
2
e
 i t

a
b
e
 i t
a
Οπότε…
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
O ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΕΝΌΣ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟΥ ΠΑΛΜΟΥ
Α
0

te
 i t
dt  
4
0
1
i
 4  e
 i t

4
0
1

2
e
 i t

4
4 4 i 
1
4 4 i
1
1 4 i

4 i
  
 0 
e
 2 1  e
e
 2  2 e


i
i



 
4
Β
te
 i t
d t  ......  
0
4
Γ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
e
4
 i t
4
i
e
4 i

1

2

1

2
e
4 i
1
4 i
4 i


dt  
e
e


i
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
O ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΕΝΌΣ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟΥ ΠΑΛΜΟΥ
0
1 
 i t
F ( ) 
t
e
dt 

1 6  4




te
 i t
0
 1
dt  
 4
4

e
 i t
dt 
4
1  4 4 i
1
1 4 i
4  4 i
1
1  4 i 

e


e

e


e

2
2
2
2


1 6  i


i



1
e
4 i
 

4
 4 i
1
4 i
1
4 i
e
1
1 6
2
2
1 6
2
e
4 i
 4 i



1
4 i
1 6
1
4 i
1
1 6
2
1
1 6
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
4 i
1


e
2
e
2
e
4 i
e
4 i


4 i

1
1 6
e
2
4 i

1
4 i
e
 4 i

1
1 6
2

1
1 6
2
e
 4 i


1
1 6
e
2
 4 i

1
1 6
2
e
 4 i


Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
O ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΕΝΌΣ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟΥ ΠΑΛΜΟΥ
F ( ) 


2
1 6
2
2
1 6
2
2
1 6


2
2
1 6
1
1 6
2
e
e
 4 i


 co s 4        
co s 2   1 2 sin 
2
2
 1  co s 4   
 4 
sin 

 2 
4 i
4
1 6
sin 2  
2
2
2


4
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
2

2
 4 
 sin c 

 2 
2
  
sin c 

 2 
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2
2014/2015
O ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΕΝΌΣ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟΥ ΠΑΛΜΟΥ
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1/1)
Ημερομηνία Παράδοσης 19/11/2014.
1. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός fourier του τετραγωνικού
παλμού
5
f (t)  
0
6  t  6
α λλο ύ
και στη συνέχεια να δημιουργηθεί πρόγραμμα στο MATLAB
που να σχεδιάζει τη συνάρτηση, τον μετασχηματισμό fourier
αυτής, το φάσμα εύρους και το φάσμα φάσης.
Σχολιάστε τα αποτελέσματα που προκύπτουν. Τί
διαπιστώνετε για το φάσμα φάσης; Για ποιο λόγο έχει αυτή
τη μορφή;
(ΒΟΗΘΕΙΑ: προγράμματα fourier_exp1.m και fourier_triangle.m από τη σελίδα
του μαθήματος)
Η. Τζιαβός - Γ. Βέργος
Σήματα και φασματικές μέθοδοι στη γεωπληροφορική
2014/2015