Transcript Applied Econometrics

Applied Econometrics
Applied Econometrics
Second edition
Dimitrios Asteriou and Stephen G. Hall
Applied Econometrics: A Modern Approach using Eviews and Microfit © Dr D Asteriou
Applied Econometrics
Αυτοσυσχέτιση
1. Τι είναι αυτοσυσχέτιση
2. Τι προκαλεί την αυτοσυσχέτιση
3. Πρώτη και υψηλότερες τάξεις
4. Συνέπειες της αυτοσυσχέτισης
5. Διάγνωση αυτοσυσχέτισης
6. Επίλυση αυτοσυσχέτισης
2
Applied Econometrics
Στόχοι μαθήματος
1. Κατανόηση της έννοιας της αυτοσυσχέτισης στο CLRM.
2. Εύρεση των αιτιών της αυτοσυσχέτισης.
3. Διάκριση μεταξύ πρώτης και υψηλότερων τάξεων αυτοσυσχέτισης.
4. Κατανόηση των συνεπειών της αυτοσυσχέτισης στους εκτιμητές OLS.
5. Διάγνωση αυτοσυσχέτισης μέσω διευρεύνησης γραφημάτων.
6. Διάγνωση αυτοσυσχέτισης μέσω επίσημων οικονομετρικών tests.
7. Διάκριση μεταξύ του ευρέου φάσματος των διαθέσιμων tests διάγνωση
αυτοσυσχέτισης.
8. Εκτέλεση ελέγχων αυτοσυσχέτισης με τη χρήση οικονομετρικού
λογισμικού.
9. Επίλυση αυτοσυσχέτισης με τη χρήση οικονομετρικού λογισμικού.
Applied Econometrics
What
is Autocorrelation
Τι είναι
αυτοσυσχέτιση
Η υπόθεση 6 του CLRM δηλώνει ότι οι
συνδιακυμάνσεις και οι συσχετίσεις μεταξύ
διαφορετικών διαταράξεων είναι όλες μηδέν:
cov(ut, us)=0 για κάθε t≠s
Αυτή η υπόθεση δηλώνει ότι οι διαταραχές ut
και us κατανέμονται ανεξάρτητα, γεγονός
που αποκαλείται σειριακή ανεξαρτησία.
Applied Econometrics
Τι είναι αυτοσυσχέτιση
Αν αυτή η υπόθεση δεν είναι πια έγκυρη, τότε οι διαταραχές
δεν είναι ανεξάρτητες κατά ζεύγη, αλλά αυτοσυσχετιζόμενες
κατά ζεύγη(ή σειριακά συσχετιζόμενες).
Αυτό σημαίνει ότι ένα σφάλμα που συμβαίνει την περίοδο t
μπορεί να μεταφερθεί στην επόμενη t+1.
Η αυτοσυσχέτιση εμφανίζεται πιο συχνά σε δεδομένα
χρονολογικών σειρών.
Σε διαστρωματικά δεδομένα, μπορούμε να αλλάξουμε τη
σύνδεση των δεδομένων χωρίς να διαφοροποιηθούν τα
αποτελέσματα.
Applied Econometrics
Τι προκαλεί την αυτοσυσχέτιση
Ένας παράγοντας που προκαλεί αυτοσυσχέτιση είναι οι
παραλειπόμενες μεταβλητές.
Υποθέστε ότι η Yt σχετίζονται με τις X2t καιX3t, αλλά εμείς
λανθασμένα δεν περιλαμβάνουμε την X3t στο μοντέλο μας.
Η επίδραση της X3t θα συμπεριληφθεί στις διαραταχές ut.
Εάν X3t όπως οι περισσότερες οικονομικές σειρές,
παρουσιάζει μια διαχρονική τάση, τότε η X3t εξαρτάται από
τις X3t-1, X3t -2 κ.ο.κ.
Ομοίως το ut εξαρτάται από τα ut-1, ut-2 κ.ο.κ.
Applied Econometrics
Τι προκαλεί την αυτοσυσχέτιση
Μια άλλη πιθανή αιτία είναι η λανθασμένη
εξειδίκευση.
Υποθέστε ότι η Yt σχετίζεται με την X2t με μια
τετραγωνική σχέση:
Yt=β1+β2X22t+ut
Αλλά εμείς λανθασμένα υποθέτουμε και εκτιμούμε
μια ευθεί γραμμή:
Yt=β1+β2X2t+ut
Τότε ο όρος σφάλματος που λαμβάνουμε από την
ευθεία γραμμή θα εξαρτάται από την X22t.
Applied Econometrics
Τι προκαλεί την αυτοσυσχέτιση
Ένας τρίτος λόγος είναι τα συστηματική σφάλματα
στη μέτρηση.
Υποθέστε ότι μια εταιρία αναβαθμίζει την απογραφή
τη σε μια δεδομένη περίοδο.
Εάν ένα συστηματικό σφάλμα συμβεί τότε η
απογραφή του σωρευτικού αποθέματος θα
παρουσιάζει συσσωρευμένα σφάλματα μέτρησης.
Αυτά τα σφάλματα θα φαίνονται σα μια διαδικασία
αυτοσυσχέτισης.
Applied Econometrics
Αυτοσυσχέτιση πρώτης τάξης
Η πιο απλή και περισσότερο παρατηρούμενη είναι η
αυτοσυσχέτιση πρώτης τάξης.
Θεωρείστε το μοντέλο πολλαπλής παλινδρόμησης:
Yt=β1+β2X2t+β3X3t+β4X4t+…+βkXkt+ut
Στο οποίο η τρέχουσα παρατήρηση των
σφαλμάτων ut είναι μια συνάρτηση της
προηγούμενης (με χρονική υστέρηση)
παρατήρησης του σφάλματος:
ut=ρut-1+et
Applied Econometrics
Αυτοσυσχέτιση πρώτης τάξης
Ο συντελεστής ρ ονομάζεται συντελεστής
αυτοσυσχέτισης πρώτης τάξης και παίρνει τιμές
από -1 έως +1.
Είναι προφανές ότι το μέγεθος του ρ καθορίζει την
ισχύ της σειριακής συσχέτισης.
Μπορεί να έχουμε τρεις διαφορετικές πέριπτώσεις.
Applied Econometrics
Αυτοσυσχέτιση πρώτης τάξης
(a) Εάν το ρ είναι μηδέν, τότε δεν έχουμε αυτοσυσχέτιση.
(b) Εάν το ρ πλησιάζει τη μονάδα, η τιμή της
προηγούμενης παρατήρησης του σφάλματος γίνεται πιο
σημαντική στον προσδιορισμό της τιμής του τρέχοντος
σφάλματος και συνεπώς υπάρχει υψηλός βαθμός
αυτοσυσχέτισης. Στην περίπτωση αυτή έχουμε θετική
αυτοσυσχέτιση.
(c) Εάν το ρ πλησιάζει το -1, έχουμε υψηλό βαθμό
αρνητικής αυτοσυσχέτισης.
Applied Econometrics
Αυτοσυσχέτιση πρώτης τάξης
Applied Econometrics
Αυτοσυσχέτιση πρώτης τάξης
Applied Econometrics
Υψηλότερης τάξης αυτοσυσχέτιση
Δεύτερης τάξης αυτοσυσχέτιση:
ut=ρ1ut-1+ ρ2ut-2+et
Τρίτης τάξης αυτοσυσχέτιση
ut=ρ1ut-1+ ρ2ut-2+ρ3ut-3 +et
Αυτοσυσχέτιση τάξης p:
ut=ρ1ut-1+ ρ2ut-2+ρ3ut-3 +…+ ρput-p +et
Applied Econometrics
Συνέπειες της αυτοσυσχέτισης
1. Οι OLS εκτιμητές είναι ακόμα αμερόληπτοι και συνεπείς.
Αυτό συμβαίνει γιατί η αμεροληψία και η συνέπεια δεν
εξαρτώνται από την υπόθεση 6 που παραβιάζεται.
2. Οι OLS εκτιμητές θα είναι αναποτελεσματικοί και
συνεπώς δεν θα είναι πια BLUE.
3. Οι εκτιμημένες διακυμάνσεις των συντελεστών της
παλινδρόμησης θα είναι μεροληπτικές και ασυνεπείς, και
συνεπώς ο έλεγχος υποθέσεων δεν είναι πια έγκυρος. Στις
περισσότερες περιπτώσεις, το R2 θα είναι υπερεκτιμημένο
και τα t-στατιστικά θα τείνουν να είναι υψηλότερα.
Applied Econometrics
Διάγνωση αυτοσυσχέτισης
Υπάρχουν δύο τρόποι.
Ο πρώτος είναι ο ανεπίσημος τρόπος που γίνεται μέσω
γραφημάτων και συνεπώς ονομάζεται γραφική
μέθοδος.
Ο δεύτερος είναι μέσω επίσημων tests για αυτοσυσχέτιση,
όπως τα παρακάτω:
1. Το Durbin Watson Test
2. Το Breusch-Godfrey Test
3. Tο Durbin’s h Test (για την παρουσία εξαρτημένες
μεταβλητές με χρονική υστέρηση)
4. Το Engle’s ARCH Test
Applied Econometrics
Διάγνωση αυτοσυσχέτισης
Έχουμε τις ακόλουθες σειρές (τριμηνιαία δεδομένα από
1985q1 έως 1994q2):
lcons = η καταναλωτική δαπάνη στα τρόφιμα
ldisp = το διαθέσιμο εισόδημα
lprice = ο σχετικός δείκτης τιμών των τροφίμων
Πληκτρολογούμε στο Eviews την παρακάτω εντολή:
ls lcons c ldisp lprice
Και παίρνουμε τα αποτελέσματα της παλινδρόμησης.
Applied Econometrics
Διάγνωση αυτοσυσχέτισης
Μπορούμε να αποθηκεύσουμε τα κατάλοιπα της παλινδρόμησης
σε ένα διάνυσμα πληκτρολογώντας την παρακάτω εντολή:
genr res01=resid
Και μπορούμε να πάρουμε ένα γράφημα των καταλοίπων από την
εντολή:
plot res01
Ενώ ένα γράφημα των καταλοίπων ενάντια στους όρους με
χρονική υστέρηση λαμβάνεται από την εντολή:
scat res01(-1) res01
Applied Econometrics
Διάγνωση αυτοσυσχέτισης
.12
.08
.04
.00
-.04
-.08
85
86
87
88
89
90
RES01
91
92
93
Applied Econometrics
Διάγνωση αυτοσυσχέτισης
.12
RES01
.08
.04
.00
-.04
-.08
-.08
-.04
.00
.04
RES01(-1)
.08
.12
Applied Econometrics
Το Durbin Watson Test
Οι παρακάτω υποθέσεις πρέπει να ικανοποιούνται:
1. Το μοντέλο παλινδρόμησης περιλαμβάνει μια
σταθερά.
2. Η αυτοσυσχέτιση πρέπει να είναι μόνο πρώτης
τάξης
3. Η εξίσωση δεν περιλαμβάνει μια εξαρτημένη
μεταβλητή με χρονική υστέρηση σαν ερμηνευτική
μεταβλητή.
Applied Econometrics
Το Durbin Watson Test
Βήμα 1: Εκτιμούμε το μοντέλο με OLS και
παίρνουμε τα κατάλοιπα
Βήμα 2: Υπολογίζουμε το στατιστικό DW
Βήμα 3: Κατασκευάζουμε τον πίνακα με το
υπολογισμένο DW στατιστικό και τις κριτικές
τιμές των dU, dL, 4-dU και 4-dL.
Βήμα 4: Συμπεράσματα
Applied Econometrics
Το Durbin Watson Test
+ve autoc
0
Ζώνη μη
Όχι
απόφασης αυτοσυσχέτιση
dL
dU
2
Ζώνη μη
απόφασης
4-dU
-ve autoc
4-dL
4
Applied Econometrics
The Durbin Watson Test
Μειονεκτήματα του του DW test
1. Μπορεί να δώσει ασαφή αποτελέσματα
2. Δεν είναι εφαρμόσιμο όταν χρησιμοποιείται μια
εξαρτημένη μεταβλητή με χρονική υστέρηση
3. Δεν μπορεί να λάβει υπόψη υψηλότερης τάξης
αυτοσυσχέτιση
Applied Econometrics
Το Breusch-Godfrey Test
Είναι ένας έλεγχος πολλαπλασιαστή
Lagrange που επιλύει τα μειονεκτήματα
του DW test.
Έστω το μοντέλο:
Yt=β1+β2X2t+β3X3t+β4X4t+…+βkXkt+ut
όπου:
ut=ρ1ut-1+ ρ2ut-2+ρ3ut-3 +…+ ρput-p +et
Applied Econometrics
Το Breusch-Godfrey Test
Συνδυάζοντας τα παραπάνω έχουμε ότι:
Yt=β1+β2X2t+β3X3t+β4X4t+…+βkXkt+
+ρ1ut-1+ ρ2ut-2+ρ3ut-3 +…+ ρput-p +et
Η μηδενική και η εναλλακτική υπόθεση είναι:
H0: ρ1= ρ2=…= ρp=0 καμία αυτοσυσχέτιση
Ha: τουλάχιστον ένα από τα ρ δεν είναι μηδέν,
δηλαδή υπάρχει αυτοσυσχέτιση
Applied Econometrics
Το Breusch-Godfrey Test
Βήμα 1: Εκτιμούμε το μοντέλο και παίρνουμε τα
κατάλοιπα
Βήμα 2: «Τρέχουμε» το πλήρες μοντέλο LM με το
πλήθος των υστερήσεων που χρησιμοποιούνται να
καθορίζεται από την υποτιθέμενη τάξη της
αυτοσυσχέτισης.
Βήμα 3: Υπολογίζουμε το LM στατιστικό= (n-ρ)R2 από
το LM μοντέλο και το συγκρίνουμε με την κριτική
του τιμή του Χ-τετράγωνο.
Βήμα 4: Συμπεράσματα
Applied Econometrics
TheDurbin’s
Durbin’s hh Test
Το
Όταν υπάρχουν εξαρτημένες μεταβλητές με χρονική υστέρηση
(δηλαδή Yt-1) τότε το DW test δεν είναι εφαρμόσιμο.
Ο Durbin ανέπτυξε έναν εναλλακτικό στατιστικό έλεγχο, που
ονομάζεται το h-στατιστικό, και υπολογίζεται ως εξής:
DW 
n

h  1 

2
2
1

n



ˆ
Όπου 𝜎𝛾2 είναι η διακύμανση του εκτιμημένου συντελεστή της
εξαρτημένης μεταβλητής με χρονική υστέρηση.
Αυτό το στατιστικό ακολουθεί την κανονική κατανομή.
Applied Econometrics
Το Durbin’s h Test
Εξαρτημένη μεταβλητή: LOG(CONS)
Συμπεριλαμβανόμενες παρατηρήσεις: 37 μετά από προσαρμογές
Variable
C
LOG(INC)
LOG(CPI)
LOG(CONS(-1))
Coefficient
0.834242
0.227634
-0.259918
0.854041
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.940878
0.935503
0.028001
0.025874
81.91016
1.658128
Std. Error
0.626564
0.188911
0.110072
0.089494
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
t-Statistic
1.331456
1.204981
-2.361344
9.542982
Prob.
0.1922
0.2368
0.0243
0.0000
4.582683
0.110256
-4.211360
-4.037207
175.0558
0.000000
Applied Econometrics
To Durbin’s h Test
DW 
n

h  1 

2
2
1

n



ˆ
1 . 658 
37

 1 

2  1  37 * 0 . 089

2
 1 . 2971
Applied Econometrics
Επίλυση αυτοσυσχέτισης
Έχουμε δύο διαφορετικές περιπτώσεις:
(a) Όταν το ρ είναι γνωστό
(b) Όταν το ρ είναι άγνωστο
Applied Econometrics
Επίλυση αυτοσυσχέτισης
Έστω το μοντέλο
Yt=β1+β2X2t+β3X3t+β4X4t+…+βkXkt+ut
όπου
ut=ρ1ut-1+et
Applied Econometrics
Επίλυση αυτοσυσχέτισης
(όταν ρ είναι γνωστό)
Γράφουμε το μοντέλο την t-1:
Yt-1=β1+β2X2t-1+β3X3t-1+β4X4t-1+…+βkXkt-1+ut-1
Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με ρ και
έχουμε:
ρYt-1= ρβ1+ ρβ2X2t-1+ ρβ3X3t-1+ ρβ4X4t-1
+…+ ρ βkXkt-1+ ρut-1
Applied Econometrics
Επίλυση αυτοσυσχέτισης
(όταν ρ είναι γνωστό)
Αφαιρούμε τις δύο εξισώσεις:
Yt-ρYt-1= (1-ρ)β1+ β2(X2t-ρX2t-1)+ β3(X3t-ρX3t-1)+
+…+ βk(Xkt-ρXkt-1)+(ut-ρut-1)
ή
Y*t= β*1+ β*2X*2t+ β*3X*3t+…+ β*kX*kt+et
Όπου τώρα το πρόβλημα της αυτοσυσχέτισης έχει
λυθεί γιατί το et δεν είναι πια αυτοσυσχετιζόμενο.
Applied Econometrics
Επίλυση αυτοσυσχέτισης
(όταν ρ είναι γνωστό)
Σημειώστε ότι από τη μετατροπή, χάσαμε μία
παρατήρηση και για να αποφύγουμε την απώλεια
δημιουργούμε τα Y1 και Xi1 όπως παρακάτω:
Y*1=Y1 sqrt(1- ρ2)
X*i1=Xi1 sqrt(1-ρ2)
Αυτή η μετατροπή είναι γνωστή ως οιονείδιαφοροποίηση ή γενικευμένη διαφοροποίηση.
Applied Econometrics
Επίλυση αυτοσυσχέτισης
(όταν το ρ είναι άγνωστο))
Η επαναληπτική διαδικασία Cochrane-Orcutt.
Βήμα 1: Εκτιμούμε την παλινδρόμηση και παίρνουμε τα κατάλοιπα
Βήμα 2: Εκτιμούμε το ρ παλινδρομώντας τα κατάλοιπα στους όρους
με χρονική υστέρηση.
Βήμα 3: Μετατρέπουμε τις γνήσιες μεταβλητές σε μεταβλητές με
αστερίσκο χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα του βήματος 2.
Βήμα 4: «Τρέχουμε» την παλινδρόμηση ξανά με τις
μετασχηματισμένες μεταβλητές και παίρνουμε τα κατάλοιπα.
Βήμα 5 και έπειτα: Συνεχίζουμε επαναλαμβάνοντας τα βήματα 2 έως
4 για διάφορους γύρους μέχρι (κανόνας διακοπής) οι εκτιμήσεις
από δύο διαδοχικές διαδικασίες να διαφέρουν όχι περισσότερο από
μια προεπιλεγμένη μικρή τιμή, όπως το 0.001.