Transcript 9.pr. Rovinne krivky

Rovinné křivky
Euklidova geometrie je nejstarší částí geometrie.
Euklidovská (někdy také elementární nebo Euklidova) geometrie je založena na
definicích a axiomech, které publikoval Euklides v publikaci označované jako Základy.
Euklides se v Základech věnuje nejen geometrii, ale také měření a teorii čísel.
Geometrie však byla jeho axiomatickým přístupem ovlivněna pravděpodobně nejvíce,
Křivka
geometrický
jednorozměrný
Jednoduchý
příklad křivky
proto dnes
bývájeEuklides
spojován
předevšímobjekt.
s rozvojem
geometrie.
například
nebo přímka.
V geometrii
existuje (prostorová,
velké množství
Euklidesjese
zabývalkružnice
pouze geometrii
rovinnou,
tzv. planimetrií.
tzv.
různých křivek.
stereometrie).
Euklides zavádí 23 definic, v nichž se pokouší definovat pojmy jako bod, čára, přímka
apod. Např. uvádí, že bod je to, co se nedá rozdělit, čára nemá žádnou šířku atd. Z
dnešního pohledu nejsou některé z Euklidových definic považovány za definice, neboť
se snaží definovat pojmy, které jsou nedefinovatelné.
Mezi takové pojmy patří např. bod nebo přímka, které moderní matematika nedefinuje,
ale považuje je za dané.
Euklidovská geometrie je založena na pěti postulátech (axiomech)
definovaných Euklidem, z nichž lze všechny další pojmy logicky odvodit.
Postulát je jedním ze základních pojmů logiky, přírodních věd (zejména
fyziky) i filozofie a označuje výchozí předpoklad jako pravdivý. Jeho
pravdivost přitom není logicky dokazována ani dokazatelná. Pojem
postulátu je často užíván zejména ve fyzice, kde je v podstatě
synonymem pojmu axiom.
(pozn.: základním postulátem, který je probírán již v nejnižších ročnících základní školy,
je 1 + 1 = 2. Od tohoto pravidla se dále odvíjí veškeré základy elementární aritmetiky).
1. Máme-li dány dva body, existuje jedna přímka, která jimi prochází.
2. Konečnou přímou čáru (úsečku) můžeme prodloužit tak, že
vznikne opět úsečka.
3. Je možné nakreslit kružnici s libovolným středem a poloměrem.
4. Všechny pravé úhly jsou si rovny.
5. K danému bodu a přímce lze sestrojit právě jednu rovnoběžku,
která prochází daným bodem. (tzv. postulát rovnoběžnosti)
Křivka je geometrický jednorozměrný objekt. Jednoduchý příklad křivky je
například kružnice nebo přímka. V geometrii existuje velké množství různých křivek.
Rovinnou křivkou rozumíme body [x,y], které leží v rovině xy (v kartézském
systému souřadnic).Rovnici rovinné křivky lze často vyjádřit ve formě funkční
závislosti proměnných x,y, tzn. y = f(x),
Přímka je jednorozměrný základní
geometrický útvar. Lze ji popsat jako
nekonečně tenkou, nekonečně dlouhou,
dokonale rovnou křivku . Speciální případ
přímky je osa.
Směrnicová rovnice přímky má tvar y = kx + q ,
kde k = tg je tzv. směrnice přímky, přičemž  je
orientovaný úhel s vrcholem v průsečíku přímky a první
souřadnicové osy, jehož rameny jsou (kladně orientovaná) první
osa souřadnicové soustavy a přímka, a q je tzv. úsek (vyťatý
přímkou) na ose y, což je druhá souřadnice průsečíku přímky s
osou y.
Pro k > 0 představuje rovnice přímky rostoucí funkci, pro k < 0
jde o klesající fci. Pro k = 0 je přímka rovnoběžná s osou x. Je-li
q = 0, pak přímka prochází počátkem O.
Úseková rovnice přímky má tvar
kde p  0 je úsek (vyťatý
přímkou) na ose x a q  0 je úsek
(vyťatý přímkou) na ose y.
Přímku rovnoběžnou s osou x
nebo y nelze úsekovou rovnicí
vyjádřit.
Kuželosečky
Kuželosečka je rovinná křivka, která vznikne
jako průnik roviny s pláštěm rotačního kuželu
(tzv.kuželová plocha), přičemž rovina
neprochází jeho vrcholem.
Kružnice
Protínáme-li kužel rovinou kolmou na osu symetrie rotačního kuželu, výslednou kuželosečkou
je kružnice - množina všech bodů v rovině, které leží ve stejné vzdálenosti, označované jako
poloměr, od pevně daného bodu, zvaného střed. Kružnice jsou jednoduché uzavřené křivky,
y
rozdělující rovinu na vnitřek a vnějšek.
V kartézském souřadném systému (x, y) je kružnice se
středem (x0, y0) a poloměrem r množina všech bodů (x, y)
vyhovujících rovnici
Pokud se střed kružnice nachází v počátku souřadnic (0, 0),
lze tento vzorec zjednodušit na
Kružnice se středem v počátku souřadnic a poloměrem 1 se
nazývá jednotková kružnice.
Délka kružnice a její poloměr jsou přímo
úměrné, stejně jako obsah jí určeného kruhu
a čtverec poloměru kružnice.
(Pozn.: koeficienty úměrnosti je 2π respektive π;
jinými slovy r je poloměr a d průměr).
Délka kružnice (obvod kruhu): o = 2πr = πd
Obsah kruhu:
S[x0,y0]
x
Protínáme-li kužel rovinou, která svírá s osou symetrie rotačního kuželu úhel menší než
90° a větší než polovina vrcholového úhlu kuželu, výslednou kuželosečkou je elipsa.
Rovina přitom protíná všechny povrchové přímky pláště kužele a není tedy s žádnou z
nich rovnoběžná.
Elipsa je uzavřená křivka v rovině. Všechny body elipsy mají stejný součet
vzdáleností od dvou pevně zvolených bodů — ohnisek.
Úsečku spojující libovolný bod na elipse s ohniskem nazýváme průvodič.
Spojíme-li ohniska úsečkou, její střed je střed elipsy. Nejdelší spojnice středu
elipsy a bodu na elipse se nazývá velká poloosa nebo též hlavní poloosa.
Nejkratší taková spojnice je malá poloosa nebo vedlejší poloosa.
V kartézských souřadnicích lze v
normální poloze elipsu se středem v
počátku vyjádřit rovnicí  x 2  y 2
     1
a b
kde a je délka hlavní poloosy, b je délka
vedlejší poloosy a [x,y] jsou souřadnice
libovolného bodu elipsy.
Veličina
se nazývá
excentricita elipsy (výstřednost) a
vyjadřuje vzdálenost ohniska od středu
elipsy.
Trojúhelníková konstrukce
Je zadán střed S, osy o1 a o2, velikosti poloos a (hlavní), b (vedlejší).
Postup
Sestrojíme soustředné kružnice v bodě S kružnice k1 a k2, které mají poloměry
velikosti a a b. Vedeme libovolnou polopřímku p vycházející z bodu O. Pak bod M
je průsečíkem přímek p1 a p2: zároveň platí, že p1 || o1, p2 || o2.
Bod M1 je průsečík přímky p1 s kružnicí k1.
Bod M2 je průsečík přímky p2 s kružnicí k2.
Bod M (a všechny body takto sestrojené) se nachází mezi kružnicemi k1 a k2
nebo přímo na kružnicích (v případě hlavních a vedlejších vrcholů).
k1
k2
p2
p
p1
o1
S
o2
Proužková rozdílová kostrukce
Elipsa je určena hlavní osou o1, hlavními vrcholy A a B
a bodem M, který bude ležet na elipse, ale není
vrcholem elipsy.
o1
Používá se i součtová konstrukce, kterou můžete vidět na obrázku.
Rytzova kostrukce os
Elipsa je dána dvojicí omezených sdružených
průměrů MN a RQ.
Postup
Sestojíme přímku p kolmou k jednomu ze
sdružených průměrů (např. RQ, tak aby
procházela středem S (průsečík sdružených
průměrů). Vzdálenost |RS| je shodná se
vzdáleností |SP|, bod P leží na přímce p.
Proložíme přímku body PM.
Najdeme střed O úsečky PM. Sestrojíme
kružnici k o poloměru |OS|. Průsečíky
kružnice k s přímkou určenou body P, O a M
nazveme 1 a 2. Sestrojíme přímku
procházející průsečíkem 1 a středem S a
přímku procházející průsečíkem 2 a středem
S. Tyto přímky jsou na sebe kolmé a leží na
nich osy elipsy. Velikost hlavní a vedlejší
poloosy získáme ze vzdáleností |2M| a |M1|.
Protínáme-li kužel rovinou rovnoběžnou právě s jednou z povrchových přímek pláště kuželu,
výslednou kuželosečkou je parabola.
V[m, n] – vrchol paraboly o souřadnicích m, n
F – ohnisko paraboly
d – řídicí přímka
o – osa paraboly
|DF| = p – velikost parametru,
X[x, y] – libovolný bod, náležící parabole
Kanonický (normální) tvar rovnice paraboly v
normální poloze (osa paraboly je rovnoběžná s
osou x a vrchol V = [x0,y0]) v kartézských
souřadnicích je:
Pro p > 0 je parabola otevřená doprava a pro p
< 0 je parabola otevřená doleva.
Pro x0 = 0,y0 = 0 dostaneme parabolu
s vrcholem v počátku souřadnic.
Ohnisko takto zadané paraboly má souřadnice:
a řídicí přímka je určena rovnicí:
Protínáme-li kužel rovinou, která svírá s osou symetrie
rotačního kuželu úhel menší než polovina vrcholového úhlu
kuželu, výslednou kuželosečkou je hyperbola; přitom rovina
je rovnoběžná právě se dvěma povrchovými přímkami kuželu.
Hyperbola je rovinná křivka, kuželosečka s
výstředností větší než 1. Lze ji také definovat jako
množinu všech bodů v rovině o daném rozdílu
vzdáleností od dvou pevných ohnisek.
Hyperbola také tvoří graf funkce y = 1 / x
v kartézské soustavě souřadnic.
S[x0, y0] - střed hyperboly o souřadnicích x0, y0
F1, F2 - ohniska hyperboly
A, B - vrcholy hyperboly
o1 - hlavní osa hyperboly
o2 - vedlejší osa hyperboly
p1, p2 - asymptoty hyperboly
- délka hlavní poloosy
- délka vedlejší poloosy
-excentricita
X[x, y] - libovolný bod náležící hyperbole
- délka hlavní osy
- délka vedlejší osy
Cassiniovy křivky
Křivky nesou jméno italsko francouzského astronoma a inženýra
Jeana Dominica Cassiniho (1625–1712)
a jsou definovány jako množina bodů X
v rovině, které mají od dvou pevných
bodů F1, F2 (ohnisek) konstantní součin
vzdáleností:
|XF1| . |XF2| = a2
Cassini se domníval, že po jedné z těchto
křivek obíhá Země kolem Slunce.
Umístíme-li ohniska do soustavy souřadnic
tak, že F1 = [−c, 0 ], F2 = [c, 0 ], c > 0
je rovnice Cassiniovy křivky:
(x2 + y2)2 + 2c2(y2 − x2) = a4 − c4.
Podle vztahu mezi čísly a, c dostaneme
různé tvary křivek.
Je-li a < c, vyjdou dvě křivky
obemykající ohniska
Lemniskáta
Pro a = c dostaneme křivku, která má své vlastní jméno lemniskáta (z řeckého (lemniskos = smyčka).
Lemniskátu vykreslují křidélka letící mouchy, přibližně ji opisují
meandrující řeky, oblouky lemniskáty najdeme rovněž u železničních
přechodnic.
Jestliže a > c, Cassiniova křivka už sama sebe neprotíná, ale může být
ještě „prohnutá“.
Pro a ≥ √2c prohnutí mizí a Cassiniova křivka se podobá elipse.
Descartesův list
(René Descartes (čti Dekart) 1596–1650,
francouzský filosof a matematik)
Křivka Descartesův list je vyjádřena
rovnicí: x3 + y3 = 3axy,
kde a  0, ale může být kladné i záporné.
Na obrázku je Descartesův list pro a > 0.
Pro a < 0 bychom dostali křivku osově souměrnou
podle přímky y = −x s křivkou z obr.
Myslím, tedy jsem
(latinsky „Ego cogito, ergo sum“)
Pascalova závitnice
Křivka je pojmenována podle
velkého francouzského matematika,
fyzika a filosofa 17. století
Blaise Pascala (1623 -1662).
Jak ji dostaneme. Ve zvolené
soustavě souřadnic sestrojíme
kružnici k (nazývá se řídící)
o poloměru r = a, který
prochází počátkem a střed m
na ose x. Z počátku vedeme
polopřímku tak, aby protnula
kružnici, průsečnici označíme A.
Na polopřímku naneseme na obě
strany od bodu A vzdálenost b
a získáme body C,B.
Množina všech takto sestrojených
bodů je Pascalova závitnice.
Spirály
P
O
Spirála je rovinná křivka, kterou opisuje bod P
na přímce p otáčející se kolem pevného bodu
O ∈ p, přičemž vzdálenost |OP| = ρ
se zadaným způsobem mění.
Ukážeme si tři spirály:
Archimedovu, hyperbolickou
a logaritmickou.
Pokud se bod pohybuje po přímce
rovnoměrně, pak jeho vzdálenost je úměrná
úhlu, tzn. délka průvodiče bodu spirály roste
lineárně s argumentem. Taková spirála se
nazývá Archimédovou spirálou.
ρ = k,
kde k > 0 je koeficient úměrnosti
Body dvou sousedních závitů na stejném paprsku jsou od sebe vzdáleny o 2πa.
Části dvou protichůdných Archimedových spirál tvoří obrys součástky, který
umožňuje převádět otáčivý pohyb na posuvný tam a zpět (vačka).
Hyperbolická spirála
Zatímco u Archimédovy spirály je průvodič
přímo úměrný argumentu, u hyperbolické
spirály je tomu naopak; průvodič bodu spirály je
nepřímo úměrný jeho argumentu. Rovnice
Spirály v polárních souřadnicích je

a

a > 0, φ  R.
Spirála má zajímavé asymptotické chování: pro
φ → 0 se body spirály blíží k přímce y = a,
pro φ → ∞ se délka průvodiče bodů blíží k nule.
Logaritmická spirála
U logaritmické spirály se bod pohybuje
tak, že dráhy které urazí za stejné časové
úseky, tvoří geometrickou posloupnost.
Logaritmická spirála protíná všechny
přímky vycházející z počátku pod stejným
úhlem . Logaritmickou spirálu lze vyjádřit
rovnicí
k
ρ = ae ,
kde a,k jsou kladná čísla, přičemž platí
cotg  = k
.
Logaritmická spirála má zajímavou vlastnost
(naznačenou na obrázku); všechny polopřímky
vycházející z počátku protínají pod stejným úhlem
(neboli tečna a průvodič v libovolném bodě svírají
konstantní úhel ). Toho se využívá v technické
praxi např. u rotujících nožů, ozubených kol, atd.,
tvar logaritmické spirály mají rovněž některé jistící
pomůcky pro horolezce (tzv. abalaky a friendy).
Evolventa kružnice
Tuto křivku si můžeme představit jako dráhu
koncového bodu napnuté niti, odvíjející se
z kružnice (pokud bychom odvíjeli nit z jiné křivky,
dostali bychom evolventu této křivky.)
S odvíjením začínáme na kružnici (bod A), napnutá
niť má směr tečny ke kružnici.
Potom délka oblouku kružnice AB je rovna délce
úsečky BC.
Jestliže střed kružnice umístíme do počátku, pak
parametrické rovnice evolventy kružnice jsou:
x = r cos t + rt sin t
y = r sin t − rt cos t,
kde t ∈ R, r je poloměr kružnice.
S evolventou kružnice se můžeme setkat např.
na atletickém oválu. Startovní čára totiž není
úsečka, ale část evolventy, aby všichni
závodníci měli (nebo mohli mít) stejně dlouhou
trať.
Závodníci běží po tečně k okraji vnitřní dráhy.
Pokud startovní čára (červená křivka)
je část evolventy, mají závodníci A, B, C stejně
dlouhou trať.
Cykloidy
Necháme-li kružnici kutálet po přímce, bude pevně zvolený bod (C) na kružnici
opisovat křivku zvanou cykloida.
Prostou cykloidu lze vyjádřit parametrickými rovnicemi:
x = a(t − sint) y = a(1 − cost)
kde a je poloměr kružnice a parametr t odpovídá délce oblouku kotálející se kružnice.
Perioda cykloidy je 2πa.
Délka oblouku dané větve prosté cykloidy od vrcholu do bodu [x,y] je s = 8a
Obsah plochy ohraničené jednou větví prosté cykloidy je S = 3πa2
Poloměr první křivosti ve vrcholu je r = 4a
Prodloužená a zkrácená cykloida
Jestliže na úsečku SC položíme polopřímku SC a na ní vytvoříme
bod D - dostaneme tak tzv. zkrácenou nebo prodlouženou cykloidu
podle toho, leží-li bod D uvnitř nebo vně úsečky SC.
Pokud bod pevně spojený s kotálející se kružnicí neleží na obvodu
této kružnicebod D), ale jeho vzdálenost od středu kružnice o
poloměru a je SD, pak pro SD< a získáme cykloidu zkrácenou a
pro SD > a cykloidu prodlouženou.
Parametrické rovnicezkrácené, resp. prodloužené cykloidy lze
zapsat ve tvaru:
x = at − dsint , y = a − dcost
Cykloida, epicykloida
a hypocykloida
Tečna a normála cykloidy
Tečnu dostaneme z “velmi krátké” tětivy.
Přidáme-li do obrázku cykloidy ještě jednu kružnici, která
se odvalila o 1,5 cm dále do bodu B1, i s příslušným
bodem cykloidy C1 a spojením bodů C a C1 dostaneme
tětivu.
Zmenšováním zvoleného čísla (1,5) až na velmi malou
hodnotu, např. 1 mikron, tj. 0,0001 cm pozorujeme, jak
se přímka CC1 mění v tečnu.
Sestrojením kolmice k této tečně v bodě C - se
zanedbatelnou opticky nerozlišitelnou chybou
dostaneme normálu.
Změnou polohy bodu B zjistíme, že normála prochází
vždy bodem B a tečna bodem souměrně sdruženým
s bodem B podle středu S (“nejvyšší” bod valící se
kružnice).
(Epi)(Hypo)cykloidy
Epicykloidy
• Jestliže
necháme valit
kružnici místo
po přímce po
kružnici (po její
vnější straně),
opisuje bod
valící se
kružnice
epicykloidu.
Pevná kružnice je vždy modrá, ta, co se kutálí, je žlutá.
Epicykloidy pro různé hodnoty parametrů a, b
(poloměr pevné a kutálející se kružnice).
Hypocykloidy
Hypocykloidu vytvoří bod pevně
spojený s kružnicí, která se valí
(kutálí) po vnitřní straně nehybné
kružnice.
Použijeme-li jako parametr úhel
odvalení t, pak lze
parametrické rovnice prosté
hypocykloidy zapsat ve tvaru
kde a je poloměr nehybné
kružnice a b je poloměr
kružnice hybné.
Takhle to vypadá, je-li
poloměr pevné
kružnice menší než
poloměr kutálející se
kružnice.
Když se spojí do jednoho
obrázku epicykloida
a hypocykloida a trochu se to
přibarví, může vzniknout třeba
následující obrázek.
Řetězovka
Řetězovka
je jednou z velmi rozšířených rovinných křivek, která má význam v technice
a stavebnictví.
Zavěsíte-li řetěz (nebo ohebné nepružné lano) mezi dva sloupky, jejichž
vzdálenost je menší než délka řetězu, zaujme řetěz v gravitačním poli
tvar tzv.řetězovky - katenoidy, podobně jako dráty na stožárech vysokého
napětí, šňůra na prádlo atd.
Její parametrické rovnice jsou x = t/r, y = r(cos ht − 1)
a protože platí ... (cos ht = et + e−t),
pak tato křivka je grafem funkce f (x) = a (e x /a + e -x /a) / 2
kde exponenciála má základ e = 2,718. . .
a . . . je konstanta různá od nuly.
Tvar křivky pro
různé hodnoty
parametru a
Spirály, cykloida a řetězovka
Historie řetězovky
Slovo řetězovka je odvozeno z latinského slova slabika – tzn. “řetěz.”
Je to křivka, kterou vytvoří dokonale ohebné lano (řetěz) při zavěšení v
krajních bodech.
Poprvé použil termín „řetězovka“ („catenary“) Huygens
v roce 1690.
Touto křivkou zabývali Leibniz, Huygens a Johann Bernoulli (rok
1691).
Pomocí funkce f (x) popsal řetězovku Jakub Bernoulli (1654-1705).
Vlastnostmi zavěšených řetězů se zabýval již dříve Leonardo da Vinci
(1452-1519).
Technická mechanika
9.přednáška
Katalánský
architekt Antoni Gaudí
rozsáhle využil samonosných
catenary tvarů v jeho katedrále
Sagrada Familia
Chrám Sagrada Familia se nachází na východním
pobřeží ve španělské Barceloně. Stavební práce na
něm začaly v roce 1884 a trvají dodnes. Chrám je
hlavní stavbou slavného architekta Antonia Gaudího,
ten převzal projekt ve velmi raném stadiu (v roce 1891),
jeho přístup k architektuře je však velmi individuální a
nekonvenční. Místo přesných projektů zhotovoval
neostré skicy. V roce 1926 však zemřel a ukázalo se
nemožné pokračovat ve stavbě v jeho duchu.
Sagrada Familia
Technická mechanika
9.přednáška
Řetězovka je odolná vůči rozkmitání do
strany, proto si tento tvar vybírali
stavitelé středověku ke stavbě mostních
oblouků!
Tvar řetězovky můžeme pozorovat
i u řetězových mostů z 19. a 20. století.
Statika i dynamika stavebních
konstrukcí využívá této
samonosnosti při navrhování
lanových střech nebo kotvení
štíhlých konstrukcí
Základy oblouku mají tvar
rovnostranných trojúhelníků
(dole 16,46 m a 5,18 m
nahoře); je postaven z
nerezové oceli a betonu.
Bránový oblouk v Sant Louis
ve státě Missouri má tvar převrácené řetězovky – catenary
(630 stop široký a 630 stop vysoký).