Transcript kruznica__rovnica_kruznice
Ing. Jana Vargová
Kružnica je množina všetkých bodov roviny, ktoré majú od stredu S rovnakú vzdialenosť – polomer r.
Kružnica so stredom S [0, 0]a s polomerom r > 0 má rovnicu: x
2
+ y
2
= r
2
Body X[x, y], ktoré ležia vnútri kružnice s polomerom r > 0, majú od jej stredu S [0, 0] vzdialenosť menšiu ako r(|XS| < r). Teda o súradniciach každého vnútorného bodu kružnice platí: x 2 + y 2 < r 2 .
Body X[x, y], ktoré ležia zvonku kružnice s polomerom r > 0, majú od jej stredu S [0, 0] vzdialenosť väčšiu ako r(|XS| > r). Teda o súradniciach každého vnútorného bodu kružnice platí: x 2 + y 2 > r 2 .
Napíšte rovnicu kružnice, ktorá má stred v začiatku sústavy súradníc a prechádza bodom A [-3, 2].
Riešenie:
Kružnica so stredom S [0, 0]má rovnicu: x 2 + y 2 = r 2 . Polomer r zistíme dosadením súradníc bodu A, ktorý leží na kružnici, do tejto rovnice.
(-3) 2 + 2 2 = r 2 r 2 = 13 r = √13.
Kružnica so stredom S[m, n] a s polomerom r > 0 má rovnicu: (x – m)
2
+(y – n)
2
=r
2
Rovnica kružnice sa dá vyjadriť aj v tvare: x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 kde a, b, c sú reálne čísla.
Napíšte stredový i všeobecný tvar rovnice kružnice so stredom S [1, -2] a polomerom r=3 (x-1) 2 + (y + 2) 2 = 9 Po úpravách: x 2 - 2x + 1 + y 2 + 4y + 4 = 9 x 2 + y 2 – 2x + 4y – 5 = 0
Napíšte rovnicu kružnice, ktorá má stred S [-3,5] a prechádza bodom A [-7, 8].
( x + 3) 2 ( -7 + 3) 2 + (y – 5) 2 + (8 – 5) = r 2 2 = r 2 r 2 = 25 ( x + 3) 2 + (y – 5) 2 = 25
Napíšte rovnicu kružnice [5, 1]; B [0, 6]; C [4, -2]; Riešenie: k , ktorá prechádza bodmi A Zistíme či body A, B, C neležia v jednej priamke. Smerový vektor AB je B – A =(-5, 5), smerový vektor BC je C – B=(4, -8). Vektory sú rôznobežné a teda aj priamky sú rôznobežné AB, BC.
Bod A leží na kružnici 25+1+5a+b+c = 0 k , preto: 0 2 Bod B leží na kružnici k: +6 2 +0a+6b+c = 0 A podobne pre bod C patrí kružnici: 16+4+4a-2b+c=0
Riešením sústavy troch rovníc o tromi neznámymi a, b,c: 5a+b+c=-26 6b+c=-36 4a–2b+c=-20 dostaneme a=0, b=-2, c=-24.
Rovnica kružnice vo všeobecnom tvare je: X 2 + y 2 – 2y – 24 = 0
Napíšte stredový i všeobecný tvar rovnice kružnice, keď S[7, -3]; r =6; (x-m) 2 (x-7) 2 +(y – n) 2 +(y + 3) 2 x 2 = r = 6 – 14x + 49 + y 2 2 2 + 6y + 9 = 36 X 2 + y 2 -14x + 6y + 22 = 0
Pre vzájomnú polohu priamky p a kružnice k platí: Sp r p je nesečnica Sústava vytvorená z rovníc priamky a kružnice nemá riešenie.
Sp = r p je dotyčnica Sústava vytvorená z rovníc priamky a kružnice má jedno riešenie súradnice bodu dotyku Sp r p je sečnica Sústava vytvorená z rovníc priamky a kružnice má dve riešenia súradnice priesečníkov
Vzájomnú polohu priamky a rovnice zisťujeme riešením sústavy ich rovníc, a to tak, že rovnicu priamky vždy dosadzujeme do rovnice kružnice (kvadratickej rovnice).
Sústava má buď 2 riešenia (2 kružnica a priamka majú dva spoločné body), alebo 1(jeden spoločný bod) riešenie, alebo nemá riešenie v obore reálnych čísel (žiaden spoločný bod).
Zistite vzájomnú polohu priamky 4x – 3y – 20 = 0 a kružnice x 2 + y 2 = 25 4x – 3y – 20 = 0 ⇒ y = 4/3 x – 20/3 x X 2 2 5x 2 + y 2 = 25 Dosadíme do rovnice kružnice: + (4/3 x – 20/3) – 32x + 35 = 0 2 = 25 Dostaneme kvadratickú rovnicu: Diskriminant: D = (-32) 2 - 4.5.35 = 324 X 1 = 5; X 2 = 7/5; Dosadíme za x 1 do rovnice priamky a dostaneme y 1 = O. Pre x 2 je y 2 = -24/5.
Priamka je sečnicou kružnice k (majú spoločné dva body)
Zistite vzájomnú polohu kružnice x 2 25 a priamky x – 2y + 5 =0 + y 2 = Zistite vzájomnú polohu kružnice x 2 25 a priamky x – 2y – 18 = 0 + y 2 = Zistite vzájomnú polohu kružnice (x – 2) 2 +(y -3) 2 = 0 a priamky p: x=4+2t; y=1+t.
Určte číslo „c“ tak, aby priamka x+2y+c=0 bola dotyčnicou kružnice x 2 + y 2 = 4 (aby priamka bola dotyčnicou kružnice jej diskriminant sa musí rovnať 0) 0=b 2 - 4.a.c (z tejto rovnice vypočítame „c“)