Transcript Snímka 1 - Webgarden
Perspektívna kolineácia
Pojem priestoru
• •
Pojmy súvisiace s trojrozmerným Euklidovým priestorom budeme používať tak ako je obvyklé na stredných školách. Budeme ho označovať E 3 .
Ak priestor E 3 rozšírime o nevlastné prvky ( nevlastné body a priamky) budeme hovoriť o rozšírenom Euklidovom priestore a budeme ho označovať P 3 .
Rozšírenie Euklidovho priestoru o nevlastné prvky
Množinu všetkých rovnobežných priamok nazývame smer, alebo nevlastný bod
U
Rovnobežné priamky a, b majú spoločný nevlastný bod U
.
a b U
Rozšírenie Euklidovho priestoru o nevlastné prvky
Množinu všetkých rovnobežných rovín nazývame poloha, alebo nevlastná priamka Priestor E 3 rozšírený o nevlastné body a priamky nazývame rozšírený Euklidovský priestor P 3 .
Perspektívna kolineácia medzi dvoma rovinami
• • •
Nech sú dané dve rôznobežné roviny
,
´ a bod S, ktorý neleží v žiadnej z nich Zobrazenie, ktoré každému bodu A
tak že S
AA priradí bod A´
´ ´ sa nazýva perspektívna kolineácia medzi rovinami
a
´ S
o A
´ A ´ Poznámky :1/ Toto zobrazenie je bijektívne (
´ , A
A ´) 2/ Ak by platilo
//
´ toto zobrazenie by bola rovnoľahlosť
Bod sa zobrazuje do bodu A
A ´ B
B ´
C
C ´ Priamka sa zobrazuje do priamky. Odpovedajúce si priamky sa pretínajú na osi kolineácie v samodružnom bode ( vlastnom alebo nevlastnom.) S
a o b A A ´
´ a ´ b ´ 1 = 1 ´ Perspektívna kolineácia medzi dvoma rovinami je bijektívne zobrazenie
•
Vlastnosti perspektívnej kolineácie:
•
Perspektívna kolineácia zachováva incidenciu útvarov
•
Perspektívna kolineácia nezachováva rovnobežnosť priamok
•
Perspektívna kolineácia nezachováva deliaci pomer bodov na priamke
Perspektívna kolineácia nezachováva rovnobežnosť priamok U ´
b
S U
A 2 = 2 ´ 1 = 1 ´ B
c
U
A ´
´ o B ´ b ´ a ´
c ´
U
U ´
Perspektívna kolineácia nezachováva deliaci pomer bodov na priamke
(ABC)
(A ´B´C´) S C a
1 = 1 ´ A A ´ B B ´ o a ´ C ´
´
afinita o A a B 1=1 ´ B ´ A ´ a ´ S Porovnajte !
a A B o 1=1 ´ B ´ kolinaácia A ´ a ´
Obraz štvorca v kolineácii S A B D O C 2=2 ´ 3=3 ´ D ´ C ´ O ´ 1=1 ´ B ´ o A ´
u ´ je úbežnica
Úloha 10:
PK je daná osou
o
, stredom
S
a dvojicou zodpovedajúcich si bodov
A
,
A ´.
Zobrazte útvar
F
zakreslený v štvorcovej sieti.
Riešenie :
Uvedomte si, že štvorcová sieť má dve sústavy rovnobežných priamok, ktoré sa zobrazujú do dvoch sústav rôznobežných priamok so spoločnými úbežníkmi
U ´
a
V ´
, ktoré ležia na úbežnici
u ´
.
Všimnite si, že úbežnica
v
nepretína útvar
F
. Preto sa žiadny jeho bod nezobrazí do nevlastného a útvar
F
sa „nerozpadne“. Poznámka : Ďalšie riešené príklady nájdete v skriptách: Kyselová – Mészárosová – Bašová – Minárová –Pelikánová: Deskriptívna geometria.
Porovnajte zobrazenie útvaru „F“ v afinite a kolineácii.
Afinita Kolineácia
Poznámka : Ďalšie riešené príklady nájdete v skriptách: Kyselová – Mészárosová – Bašová – Minárová –Pelikánová: Deskriptívna geometria.