Transcript a=b

Trojuholník
10.4.2015
Definícia

Trojuholník je časť roviny ohraničená troma
navzájom rôznobežnými priamkami
10.4.2015
Základné prvky trojuholníka

Vrcholy
• Strany
A,B,C
C
a, b, c
• Uhly ,,

A

b
a

c
B
Rozdelenie trojuholníkov
10.4.2015
Vrcholy
A,B,C body
 priesečníky strán
 neležia na jednej priamke

10.4.2015
Strany
a, b, c úsečky
 časti priamok medzi priesečníkmi
 strana leží oproti vrcholu s rovnakým
názvom
 súčet dĺžok dvoch kratších strán trojuholníka
musí byť väčší ako najdlhšia strana
(trojuholníková nerovnosť)

10.4.2015
Uhly

,, – časti roviny ohraničené dvoma
polpriamkami so spoločným vrcholom
(susednými stranami)
 Súčet veľkostí vnútorných uhlov trojuholníka
je 180°
 Najväčší uhol leží oproti najdlhšej strane;
najmenší oproti najkratšej
10.4.2015
Rozdelenie trojuholníkov
•Podľa veľkosti uhlov
Ostrouhlý
Pravouhlý
Tupouhlý

Podľa dĺžok strán
Všeobecný (rôznostranný)
Rovnoramenný
Rovnostranný
Výšky trojuholníka
10.4.2015
Trojuholník ostrouhlý

Má všetky tri uhly
ostré (< 90°)

Priesečník výšok leží
vo vnútri
trojuholníka
10.4.2015
Trojuholník pravouhlý
• Názvy strán: najdlhšia strana –
prepona, kratšie strany – odvesny
• Jeden vnútorný uhol je pravý
(= 90°), ostatné sú ostré (< 90°)
• Priesečník výšok je totožný s hlavným
vrcholom trojuholníka
prepona
odvesna
odvesna
10.4.2015
Trojuholník tupouhlý

Jeden vnútorný uhol je tupý (> 90°)
ostatné sú ostré (< 90°)
10.4.2015
Trojuholník všeobecný
(rôznostranný)
C
a b c

Každá strana má inú dĺžku
a
• Môže byť
b
- ostrouhlý,
- pravouhlý,
- aj tupouhlý
c
A
10.4.2015
B
Trojuholník rovnoramenný
hlavný vrchol
•Má
dve strany rovnako dlhé
(zhodné)
– nazývajú sa ramená
•Tretia
strana sa nazýva
základňa
•Vrchol
rameno
rameno
oproti základni sa
nazýva
hlavný vrchol
•Môže
byť ostrouhlý,
pravouhlý, aj tupouhlý
základňa
•Uhly
pri základni sú zhodné a
vždy ostré
10.4.2015
Trojuholník rovnostranný
Najšpeciálnejší typ trojuholníka
C

a =b = c
b
a
•Všetky strany má zhodné
 =  = 

180° : 3 = 60 °
Všetky uhly má zhodné
ich veľkosť je 60°

A

c
Môže byť len ostrouhlý
10.4.2015
B
Výšky trojuholníka

C
Výška je kolmica z vrcholu
na protiľahlú stranu
•Bod O – ortocentrum
(priesečník všetkých výšok
trojuholníka)
O
b
a
va
vb
vc
A
B
c
Ak chceš
podrobnejšie:
•v pravouhlom
•v tupouhlom
•v rovnoramennom
•v rovnostrannom
10.4.2015
Ťažnice trojuholníka
Výšky v pravouhlom trojuholníku

V pravouhlom trojuholníku je výška na odvesnu totožná
s druhou odvesnou
B
c
a
vc
vb
C
b
va
• Ortocentrum je totožné s hlavným
vrcholom
10.4.2015
A
Výšky v tupouhlom trojuholníku
B
vb
a
c
vc
C
Ortocentrum leží
mimo trojuholníka
b
A
va
Strany – ramená
tupého uhla
si musíme predĺžiť
O
10.4.2015
Výšky v rovnoramennom trojuholníku
C
a= b – ramená
c – základňa
va = vb  vc
a
b
vb
A
vc
va
c
B
Výšky na ramená
rovnoramenného
trojuholníka sú zhodné
10.4.2015
Výšky v rovnostrannom trojuholníku
C
a=b=c
a
b
va
vc
A
va = vb = vc
vb
c
B
Všetky výšky v
rovnostrannom
trojuholníku sú zhodné
10.4.2015
Ťažnice trojuholníka
•Ťažnica je spojnica vrcholu a stredu protiľahlej strany
C
•Ťažisko rozdeľuje
ťažnicu v pomere 2:1
•Dlhšia časť smeruje
k vrcholu
b
tc
•Kratšia časť smeruje
B1
k stredu strany
tb
Bod T – ťažisko (priesečník
všetkých ťažníc trojuholníka)
Ťažisko leží vždy vo
vnútri trojuholníka
a
ta
A1
T
A
c
B
C1
•v rovnoramennom
Ak chceš
podrobnejšie: •v rovnostrannom
10.4.2015
Stredné priečky
Ťažnice v rovnoramennom trojuholníku
C
a=b – ramená
c – základňa
ta= tb  tc
B1
•Ťažnica na základňu
je totožná s výškou
na základňu
tc
A1
a
b
ta
A
tb
C1 c
•Ťažnice na ramená
rovnoramenného
trojuholníka sú zhodné
10.4.2015
B
Ťažnice v rovnostrannom trojuholníku
C
b
a
B1
A1
ta
T
tc
A
Ťažisko je totožné
s ortocentrom
c
tb
B
C1
ta ≡ va= tb ≡ vb= tc ≡ vc
Všetky ťažnice v rovnostrannom trojuholníku sú zhodné
a sú totožné s jeho výškami.
10.4.2015
Stredné priečky trojuholníka

Stredná priečka je spojnica stredov strán trojuholníka
Dĺžka strednej
priečky sa rovná
polovici dĺžky
príslušnej strany
C
b
a
B1
A
c
Stredná priečka je
rovnobežná s
príslušnou stranou
A1
B
C1
Stredné priečky rozdelia trojuholník
na 4 zhodné trojuholníky
10.4.2015
Kružnica trojuholníku opísaná
r – polomer kružnice opísanej
Or – stred kružnice
opísanej leží na
priesečníku osí
strán
oc
ob
C
a oa
b
r
A
Kružnica opísaná
prechádza všetkými
vrcholmi trojuholníka
Or
c
B
•v pravouhlom
Ak chceš
•v rovnostrannom
podrobnejšie: •v tupouhlom
10.4.2015
Kružnica vpísaná
Kružnica opísaná pravouhlému trojuholníku
Stred kružnice opísanej
pravouhlému trojuholníku
leží v strede prepony
ob
B
oc
a
c
C
b
Kružnica opísaná
pravouhlému trojuholníku je
talesova kružnica
10.4.2015
oa
A
Kružnica opísaná rovnostrannému trojuholníku
C
Or – stred kružnice
opísanej je totožný
s ťažiskom a
ortocentrom
B1
A1
oc
b
a
Or
oa
A
r – polomer kružnice
opísanej sa rovná dvom
tretinám dĺžky ťažnice
C1
10.4.2015
ob
c
B
Kružnica opísaná tupouhlému trojuholníku
oa
V tupouhlom
trojuholníku leží
stred kružnice
opísanej mimo
trojuholníka
ob
oc
Or
A
b
c
B
10.4.2015
a
C
Kružnica trojuholníku vpísaná
O - stred kružnice vpísanej
leží na priesečníku osí vnútorných uhlov
C

o
o
b
O


A
c
a

 - polomer kružnice
vpísanej
B
o
Kružnica vpísaná sa dotýka strán trojuholníka zvnútra
10.4.2015
Kružnica vpísaná rovnostrannému trojuholníku
C
O – stred kružnice
vpísanej je totožný s
ťažiskom a ortocentrom
o
b
a
o
O
c
A
 – polomer kružnice
vpísanej sa rovná jednej
tretine dĺžky ťažnice
o
10.4.2015
B