Transcript Document

3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ
A
E3
►


Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné
zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru
B
E2
3.1.Kartézský souřadnicový systém
O…počátek
i,j,k …ortonormální vektory
Společná velikost vektorů j
(x,y)…souřadnicová rovina
(y,z)…souřadnicová rovina
(x,z)…souřadnicová rovina
x,y,z…osy
►
V technické praxi se převážně užívá pravotočivý kartézský systém
3.1.Kartézský souřadnicový systém
p...půdorysna
n...nárysna
m...bokorysna
x...základnice
x12 =p  n
y13 =p  m
z23 =n  m
B2...nárys bodu B
B1...půdorys bodu B
B3...bokorys bodu B
►
Poloha bodu B v prostoru je určena trojicí čísel x,y,z. Jsou to orientované vzdálenosti
bodu B od souřadnicových rovin. Trojici (x,y,z) říkáme kartézské souřadnice
3.2 Základní pojmy Mongeova promítání
p...půdorysna
n...nárysna
x...základnice
x p  n
B2...nárys bodu B
B1...půdorys bodu B
B2 B1...ordinála
►
►
Spojnice sdružených průmětů (ordinála) B1,B2, (B1B2), je kolmá k základnici.
Přiřazení mezi body v prostoru a sdruženými průměty je vzájemně jednoznačné BB1,B2
3.2 Základní pojmy Mongeova promítání
p...půdorysna
n...nárysna
x...základnice
x p  n
B2...nárys bodu B
B1...půdorys bodu B
B2 B1...ordinála
►
►
Spojnice sdružených průmětů (ordinála) B1,B2, (B1B2), je kolmá k základnici.
Přiřazení mezi body v prostoru a sdruženými průměty je vzájemně jednoznačné BB1,B2
3.4 Průměty základních útvarů
Přímka a v obecné poloze
N = a  n ...nárysný
stopník přímky a
P = a  p ...půdorysný
stopník přímky a
a2...nárys přímky a
a1...půdorys přímky a
b...nárysně promítací
rovina přímky a
a...půdorysně promítací
rovina přímky a
►
►
Sdružené průměty a1 ,a2 určují přímku a v prostoru jednoznačně.
Je-li dán jeden průmět bodu A přímky a, lze jednoznačně určit zbývající průmět bodu A
3.4 Průměty základních útvarů
Přímka a v obecné poloze
N = a  n ...nárysný
stopník přímky a
P = a  p ...půdorysný
stopník přímky a
a2...nárys přímky a
a1...půdorys přímky a
b...nárysně promítací
rovina přímky a
a...půdorysně promítací
rovina přímky a
►
►
Sdružené průměty a1 ,a2 určují přímku a v prostoru jednoznačně.
Je-li dán jeden průmět bodu A přímky a, lze jednoznačně určit zbývající průmět bodu A
3.4 Průměty základních útvarů
Zvláštní polohy přímky, hn, fp, cx12
h2...nárys přímky h
jako bod
h1...půdorys přímky h
kolmice na základnici
N  h  n ...nárysný
stopník přímky
P  h  p ...půdorysný
stopník přímkynevlastní bod
3.4 Průměty základních útvarů
Zvláštní polohy přímky, hn, fp, cx12
h2...nárys přímky h
jako bod
h1...půdorys přímky h
kolmice na základnici
N  h  n ...nárysný
stopník přímky
P  h  p ...půdorysný
stopník přímkynevlastní bod
3.4 Průměty základních útvarů
Hlavni přímky, přímka horizontální h||p,
h2...nárys přímky h h2 x12
h1...půdorys přímky h
N  h  n ...nárysný stopník
přímky
P  h  p ...půdorysný
stopník přímky-nevlastní
bod
P1…půdorysný
průmět půdorysného
stopníku
P2…nárysný průmět
půdorysného stopníku
3.4 Průměty základních útvarů
Hlavni přímky, přímka horizontální h||p,
h2...nárys přímky h h2 x12
h1...půdorys přímky h
N  h  n ...nárysný stopník
přímky
P  h  p ...půdorysný
stopník přímky-nevlastní
bod
P1…půdorysný
průmět půdorysného
stopníku
P2…nárysný průmět
půdorysného stopníku
3.4 Průměty základních útvarů
Hlavni přímky, přímka frontální, f||n,
f2...nárys přímky f
f1...půdorys přímky ff1 x12
N  f  n ...nárysný
stopník přímky nevlastní bod
P  f  p ...půdorysný
stopník přímky
P1…půdorysný
průmět půdorysného
stopníku
P2…nárysný průmět
půdorysného stopníku
3.4 Průměty základních útvarů
Hlavni přímky, přímka frontální, f||n,
f2...nárys přímky f
f1...půdorys přímky ff1 x12
N  f  n ...nárysný
stopník přímky nevlastní bod
P  f  p ...půdorysný
stopník přímky
P1…půdorysný
průmět půdorysného
stopníku
P2…nárysný průmět
půdorysného stopníku
3.4 Průměty základních útvarů
a) třemi body
Určení roviny:
C2
B2
A2
x12
B1
A1
b) dvěma různoběžkami
C1
u2
B2
v2
x12
u1
B1
v1
c) dvěma rovnoběžkami
a2
b2
x1 2
a1
b1
d) přímkou a bodem Mp
p2
M2
x1 2
p1
►
M1
V Mongeově promítáni budeme rovinu která není kolmá k průmětně, zadávat pomocí
sdružených průmětů určujících prvků.
3.4 Průměty základních útvarů
Určení roviny třemi body
Rovina může být určena
rovnou stopami.
na = a  n ...nárysná stopa roviny
pa = a  p ...půdorysná stopa
roviny
n2
x12
p1
n2 …nárysný průmět nárysné
stopy roviny 
p1 …půdorysný průmět
půdorysné stopy roviny 
►
Pří hledání stop roviny využijeme faktu že stopníky přímek ležících v rovině nutně leží
na stopách roviny.
3.4 Průměty základních útvarů
Zvláštní polohy roviny
a) půdorysně promítací
b) nárysně promítací
c) kolmá k základnici
d) rovnoběžná s některou z
průměten
Polohu roviny považujeme za zvláštní když je kolmá k některé z průměten, případně k
oběma.
► Půdorysem roviny s (sp) je přímka, kterou označíme s1, nárysem je celá průmětna.
►
3.4 Průměty základních útvarů
Zvláštní polohy roviny
a)
►
půdorysně promítací
b) nárysně promítací
c)kolmá k základnici d)rovnoběžná s některou z průměten
Je-li rovina v obecné poloze, můžeme z jednoho průmětu bodu roviny, podobně jako u
přímky, určit zbývající průmět. U zvláštních poloh roviny tomu tak vždy není.
3.5 Polohové úlohy
Vzájemná poloha přímek
a) různoběžné
b) rovnoběžné
c)mimoběžné
Zkoumáme-li vzájemnou polohu základních útvarů, tj. bodů, přímek a rovin,
vycházíme z toho , že rovnoběžné promítaní zachovává incidenci. Takže platí
Am  A1m1, A2m2
► Snadno nahlédneme, že sdružené průměty různoběžných přímek (v obecné poloze)
jsou dvojice různoběžných přímek, jejichž průsečíky leží na kolmici k základnici.
R a b  R1 a1 b1, R2a2 b2, R1R2  x1,2
► Pro sdružené průměty přímek a||b v obecné poloze platí: a1||a2, a2||b2.
►
3.5.1 Úloha
Dáno: u, v, b1, b  (u,v )
Hledáme: b2
►
Řeš obdobnou úlohu. Je dán půdorysný průmět bodu A1. Najdi A2 tak aby bod ležel v
rovině určené různoběžkami u,v.
3.5.2 Hlavní přímky roviny
3.5.2 Úloha
Sestrojte hlavní přímky v rovině s, která je dána třemi body A, B, C .
Dáno: s = (A,B,C )
Hledáme: h horizontální hlavní přímku h || p, h  s
►
Řeš obdobnou úlohu. Hledáme: f frontální hlavní přímku f || n, f  s
3.5.3 Úloha
Sestrojte průsečík přímky m s rovinou s
Dáno: s = (A,B,C ), m.
Hledáme: M  m  s
►
Této metodě se říká také metoda krycí přímky
3.5.3 Úloha
Sestrojte průsečík přímky m s rovinou s
Dáno: s = (A,B,C ), m.
Hledáme: M  m  s
►
Této metodě se říká také metoda krycí přímky
3.6 Metrické úlohy
Úlohy při nichž řešíme velikosti úseček a úhlů
Úhel dvou mimoběžných přímek je definován jako úhel dvou s nimi rovnoběžných
různoběžek
Přímka je kolmá k rovině je-li kolmá ke všem přímkám roviny
Rovina je kolmá k rovině jestliže obsahuje alespoň jednu přímku k ní kolmou
Přímka je kolmá k rovině je-li kolmá alespoň ke dvěma různoběžným přímkám roviny
3.6.1 Sklápění promítací roviny do průmětny
3.6.2 Úloha
Sestrojte skutečnou velikost úsečky AB.
Jiné řešení úlohy: sklápěj úsečku AB do hlavní roviny p‘ || p procházející bodem A
► použij pro sklápění nárysně promítací roviny
►
3.6.3 Úloha
Zobrazte rovnostranný trojúhelník DABC ležíci v rovině s,(sn), je-li dána jeho strana
AB.
►
Zobrazíme jedno ze dvou řešení.
3.6.4 Úloha
Zobrazte kružnici k=(S,r) ležíci v rovině s,(sn).
►
Snadno nahlédneme, že sdružené průměty kružnice ležící v promítací rovině můžeme
sestrojit přímo bez sklopení kružnice.
3.6.5 Přímka kolmá k rovině
Kolmice m k rovině s je kolmá ke všem přímkám roviny s, tedy i k hlavním přímkám
(stopám) této roviny.
Pravý úhel mezi přímkami a,b se pravoúhlým promítáním zachová, je-li alespoň jedno
jeho rameno rovnoběžné s průmětnou p nebo v ní leží.
►
Zobrazíme jedno ze dvou řešení.
3.6.6 Úloha
Daným bodem M sestrojte přímku m kolmou k rovině s
►
V našem případě se omezíme pouze na nalezení průmětů kolmice, nehledáme
průsečík s rovinou s
3.6.7 Úloha
Daným bodem M sestrojte rovinu  kolmou k dané přímce m.
►
V našem případě se omezíme pouze na nalezení průmětů kolmice, nehledáme
průsečík s rovinou s
To je konec