Transcript več - Fakulteta za arhitekturo

Fakulteta za arhitekturo
Univerza v Ljubljani
OSNOVNI ELEMENTI
OPISNE GEOMETRIJE
Gašper Arh
Mentor: doc. dr. Domen Kušar, univ. dipl. inž. arh.
Ljubljana, april, 2011
OSNOVNI ELEMENTI OPISNE GEOMETRIJE
Kakšni so sistemi risanja? Kako jih rišemo?
Kaj je ravnina?
Kaj je točka?
Kaj je premica?
Kaj je kot?
Aksijomi
Kaj je ravnina?
Katere ravnine imamo?
osnovne ravnine
π3
koincidenčna
ravnina
K
π2
stranska/prečna
ravnina
narisna ravnina
tlorisna ravnina
π1
Kateri so sistemi risanja?
Kako jih rišemo?
vojaška aksonometrija
z
risanje premice
točke v vojaški
p
aksonometriji
skozi
točki 1 in 2
p’’
narisna
π2
1’’
ravnina
1’’’
2’’’
p’’’
0
p
π3
1
2’’
stranska
ravnina
90°
2
točka 1 v prostoru
2’
1’
x
p’
y
tlorisna ravnina
π1
kavalirska
aksonometrija
z
narisna ravnina
p’’
π2
1’’
risanje točke v
Risanje
premice p
kavalirski
skozi
točki
aksonometriji
1 in 2
p’’’
1’’’
1
2’’
2’’’
2
x
0
2’
p’’’
π3
stranska
ravnina
135°
1’
tlorisna ravnina
π1
p’
y
Mongeva metoda
z
stranska ravnina
narisna ravnina
Risanje točke
π2
π3
Risanje
premice skozi
točki 1 in 2
2’’’
2’’
1’’
1’’’
0
x
1’
2’
π1
tlorisna ravnina
y
Kot / pravokotnost
Kot_pravokotnost ravnin
r
π2
T
p
r
π1
Kot_pravokotnost premice
in ravnine
Premici a in b sta v točki N
pravokotni na premici n
n
Poljubna točka T
T
NA=NA1
NB=NB1
b
B
C
A1
c
N
C1
A
B1
a
π1
Če seka premica c premici (A,B) in
(A1,B1) v točkah C in C1, ki pri primerni
izberi premice (A,B) vedno obstojata, je
AC=A1C1, NC=NC1, in ΔTAC=ΔTA1C1,
torejTC=TC1
odtod sledi: ΔTNC=ΔTNC1
Aksiomi_ kot / vzporednost
Če sta ravnini E in premica
r vzporedni ter položimo
skozi r poljubno ravnino Δ ,
ki seka ravnino E potem je
presečnica p(Φ,E)
vzporedna premici r.
Φ
Δ
r
E
Če dve vzporedni
ravnini presekamo s
tretjo ravnino sta
premici vzporedni.
p
Pravokotnost dveh ravnin
n1
a
b
n
a1
N
N
Vsaka v ravnini π1
ležeča pravokotnica a na
presečnico p ravnine π1
s poljubno ravnino E
skozi normalo n ravnine
E, je normala ravnine E
in vsaka pravokotnica b
na p v ravnini E je
normala ravnine π1.
π2
π1
p
Vzporednost
Dve premici iste ravnine, ki nimata
nimata
skupnih točk,
skupnih
točk,imenujemo
imenujemovzporedni
vzporedni
(paralelni)
Če so premice a, b in c v isti ravnini in
če premica c seka obe vzporedni
premici a in b, z njima tvori enaka
izmenična kota
a
c
b
α
α
π1
Vzporednost ravnin
π2
Če ravnina π2 seka dve vzporedni
ravnini, potem sta premici, ki ju ima π2
z vzporednicama prav tako vzporedni.
π3
π1
Vzporednost ravnin
Dve ravnini imata lahko skupno
premico, neskončno število točk na
tej premici,...
Ali pa ničesar
kar pomeni, da sta si vzporedni
a
π2
Nebistvena
premica ravnine
4
Če vrtimo ravnino π2
okrog premice a, se bo
približevala legi ravnine
π1, obenem pa se bo
presečnica oddaljevala
od izhodne presečnice.
π3
1
π1
3
2
b
Nebistvena točka premice
Vzemimo v ravnini premico p in
preglejmo lege sečišč te premice z
vsemi legami premičja skozi določeno
točko T, ki ni na premici p.
Zamislimo si skozi točko T posebno
premico a
ki zavzame z vrtenjem okrog T po vrsti
lege vseh premic premičja.
T
a
v
a1
S1
a2
S2
a3
a4
S3
a5
S4
S5
p
V vsaki legi ima premica a s premico p
skupno točko S, razen v preimeru, ko
se krije z vzporednico v te premice
Nebistvena točka premice
a1
Vzemimo ravnini π1 in π1 in preglejmo
lege sečišč te premice z vsemi legami
ravnine E skozi določeno točko T, ki ni
na premici p.
a2
a3
E4
E2
a
E3
E1
E5
a4
a4
T
π2
S4
p
S3
S5
r5
V vsaki legi ravnine E, ima premica a s
premico p skupno točko S, razen v
preimeru, ko se ravnina E krije z
vzporednico te premice
r4
S2
r3
π1
S1
r2
r1