Slide 1

OPISNA GEOMETRIJA

MENTOR: DOC. DR. DOMEN KUŠAR

AVTORICA: KATJA CENTRIH

PRESEKI RAVNIN

Presek dveh ravnin je premica, na kateri ležijo
točke, ki so skupne obema ravninama. To premico
imenujemo presečnica. Če torej določimo vsaj 2
skupni točki danih ravnin, dobimo presečnico.

e2’’

f2’’
2’’
Če sta e1 in e2 slednici ravnine E, f1 in f2 pa
slednici ravnine Φ, sta točki 1(v kateri se sekata
e1 in f1) in 2 (v kateri se sekata e2 in f2) skupni
točki obeh ravnin. Premica p (1, 2) je tako
presečnica ravnin E in Φ.

p’’

1’’

X

2’
E0

Φ0
p’

1’
e1’

f1’

PODATKI:

PRESEK DVEH RAVNIN, PODANIH S SLEDNICAMA

Ravnina E (-3, 5/2, 7/2)
Ravnina Φ (6, 3, 5)
z

e2’’

f2’’

S2’’

V sečišču slednic e1’ in f1’ dobimo prvo točko
presečnice obeh ravnin – S1’, ki jo prenesemo tudi
v narisno ravnino - S1’’.

p’’

V sečišču slednic e1’’ in f1’’ dobimo drugo točko
presečnice obeh ravnin – S2’’, ki jo nato
prenesemo še v tlorisno ravnino – S2’.

S1’’
S2’

X1,2

V koordinatni sistem vrišemo podatke – slednici
ravnine E – e1’ in e2’’ in nato še slednici ravnine
Φ - f1’ in f2’’.

0

Točki S1 in S2 sta hkrati sledišči presečnice.

p’

Točki S1’ in S2’ povežemo in s tem dobimo
presečnico p’ ravnin E in Φ v tlorisni ravnini.
Povežemo tudi točki S1’’ in S2’’, s čimer dobimo
presečnico p’’ obeh ravnin v narisni ravnini.

S1’
f1’

e1’
y

PRESEK SPLOŠNE RAVNINE Φ
S PRVO PROJICIRNO RAVNINO E

PODATKI:
Ravnina Φ je podana z vzporednicama
a [A(-4, 4, 1), B(1, 0, 4)] in b [C(0, 4, 1)]
Projicirna ravnina E (-3, 2, ∞)

V koordinatni sistem vrišemo podatke –
vzporednici a in b, ki določata ravnino Φ in nato
še prvo projicirno ravnino E, ki je podana s
slednicama e1’ in e2’’.

z
e2’’
a’’

Ker je ravnina E prva projicirna ravnina, sta
prebodišči, ki določata presečnico s, v tlorisu
neposredno dani.

B’’

b’’

1’’

Kjer slednica e1’ seka premico a’, dobimo prvo
prebodišče 1’.
Kjer slednica e1’ seka drugo premico b’, dobimo
drugo prebodišče 2’.
Slednica e1’ je torej tudi presečnica ravnin E in Φ
(e1’ = s’).

2’’
s’

C’’

A’’

B’
0

X1,2

Točki 1’ in 2’ prenesmo v narisno ravnino.
Prebodišče 1’’ leži na premici a’’, prebodišče 2’’
pa na drugi premici b’’.
Točki povežemo in tako dobimo presečnico s’’
ravnin E in Φ v narisni ravnini.

1’
2’

s’
e1’

A’
C’

b’
y

a’

PODATKI:
Ravnina E - p [P(1/2, 3/2, 3), S(5/2, 1, 3/2)], r [R(1, 4, ½), S)]
Ravnina Φ - m [J(-5/2, 2, 1/2) L(-1, 3, 1)], n[K(-5/2, -9/2, 7/2), L)]

PRESEK DVEH RAVNIN,
PODANIH S SEČNICAMA

DOLOČITEV PRESEČNICE s pomočjo risanja slednic

V koordinatni sistem vrišemo podatke – ravnino
E, ki je podana s sečnicama p in r, ter ravnino Φ,
ki je podana s sečnicama m in n.
z
Ez

e2’’

8’’

4’’

m’’

S’’
p’

R’’
3’

Ex

4’

f2’’

L’’
J’’

2’’

6’’

1’’

X1,2

n’’
K’’

ΦZ

P’’

r’’

K’

p’’

Če želimo določiti presečnico s ravnin E in Φ,
moramo najti vsaj dve skupni točki obeh ravnin.
V ta namen pa moramo najprej določiti slednici
obeh ravnin.

5’’ ΦX

7’

8’

1’

n’

S’

J’

P’

3’’
e1’

5’

r’

L’

R’

2’
Ey
Φy

6’

y

m’

f1’

7’’

Kjer premica p’’ seka koordinatno os x, dobimo
točko 1’’, ki jo prenesemo v tlorisno ravnino na
ustrezno premico (1’ leži na p’). Kjer premica r’’
seka koordinatno os x, dobimo točko 2’’, ki jo
prenesemo na tlorisno projekcijo premice r (2’ leži
na r’).
Točki 1’ in 2’ povežemo in tako dobimo prvo
slednico e1’ ravnine E in s tem tudi dve sledišči te
ravnine - Ex in Ey.
Kjer premica p’ seka koordinatno os x, dobimo
točko 3’, ki jo prenesemo na narisno projekcijo
premice p. Kjer premica r’ seka koordinatno os x,
dobimo točko 4’, ki jo prav tako prenesemo v
narisno ravnino, in sicer na premico r’’. Točki v
narisni ravnini 3’’ in 4’’ povežemo in tako dobimo
še drugo slednico e2’’ ravnine E, ter sledišče
ravnine Ez.
Za določitev obeh slednic druge ravnine Φ, je
postopek enak.

PODATKI:
Ravnina E - p [P(1/2, 3/2, 3), S(5/2, 1, 3/2)], r [R(1, 4, ½), S)]
Ravnina Φ - m [J(-5/2, 2, 1/2) L(-1, 3, 1)], n[K(-5/2, -9/2, 7/2), L)]

PRESEK DVEH RAVNIN,
PODANIH S SEČNICAMA

DOLOČITEV PRESEČNICE s pomočjo risanja slednic

Presečišče prvih slednic obeh ravnin e1’ in f1’ je
prva točka presečnice S1’, ki jo prenesemo še v
narisno ravnino – točka S1’’.

z
Ez

e2’’
P’’

4’’

3’

4’

S2’

1’’

X1,2

f2’’

L’’
R’’

Ex

V tlorisni in narisni ravnini povežemo obe točki
presečnice S1 in S2, dobljena premica je
presečnica s ravnin E in Φ.

8’’

s’’

S’’

Presečišče drugih slednic obeh ravnin e2’’ in f2’’
predstavlja drugo točko presečnice S2’’, ki jo
nato prenesemo še v tlorisno ravnino – točka S2’.

n’’
K’’

ΦZ

r’’

p’

K’

p’’

S2’’

J’’

2’’ S1’’6’’

5’’ ΦX

7’

8’

1’

n’

S’
3’’

s’
e1’

m’’
5’

J’

P’
L’

r’

R’

2’
Ey
Φy

6’
S1’
y

m’

f1’

7’’

PODATKI:
Ravnina E - p [P(1/2, 3/2, 3), S(5/2, 1, 3/2)], r [R(1, 4, ½), S)]
Ravnina Φ - m [J(-5/2, 2, 1/2) L(-1, 3, 1)], n[K(-5/2, -9/2, 7/2), L)]
DOLOČITEV PRESEČNICE s pomočjo prebodov premic
p’’
z

4’’
K’

s’’

1’’

n’’

r’’
S’’

Točki 1’ in 2’ v tlorisni ravnini povežemo. Kjer
premica 1’2’ seka premico n’ ravnine Φ, dobimo
točko 3’, ki je tudi prvo prebodišče obeh ravnin.
Točko 3’ prenesemo v narisno ravnino – 3’’ leži na
premici n’’.

6’’ L’’
R’’

J’’

5’’
2’’

p’

J’

s’

r’

R’

m’’

3’’

P’

S’

m’

4’
L’

6’

n’

5’

2’
y

3’

V koordinatni sistem vrišemo podatke – točke P, R,
S, ki določajo presečnici p in r (ravnina E), in točke
J, K, L , ki določajo presečnici m in n (ravnina Φ).
Kjer premica n’’ ravnine Φ (v narisu) seka premico
p’’ ravnine E, dobimo točko 1’’. Kjer n’’ seka drugo
premico r’’ ravnine E, dobimo točko 2’’. Točki 1’’ in 2’’
prenesemo v tlorisno ravnino na ustrezni premici
(točka 1’ leži na premici p’, točka 2’ leži na premici r’).

K’’

P’’

PRESEK DVEH RAVNIN,
PODANIH S SEČNICAMA

1’

Kjer premica m’ ravnine Φ (v tlorisu) seka premico p’
ravnine E, dobimo točko 4’. Kjer m’’ seka drugo
premico r’ ravnine E, dobimo točko 5’. Točki 4’ in 5’
prenesemo v narisno ravnino na ustrezni premici
(točka 4’’ leži na p’’, točka 5’’ leži na r’’).
Točki 4’’ in 5’’ v narisni ravnini povežemo. Kjer
premica 4’’5’’ seka premico m’’, dobimo drugo
prebodišče ravnin E in Φ - točko 6’’. Točko
prenesemo v tlorisno ravnino – 6’ leži na premici m’.
V tlorisu in narisu povežemo prebodišči 3 in 6, s
tem pa dobimo presečnico s ravnin Φ in E.

PODATKI:
Ravnina Φ paralelograma ABCD
Φ [A (2, 6, ½), B (6, 3, 9/2), C (1, 0, 7), D]
Ravnina E trikotnika JKL
E [J (-1, 7, 7), K (9/2, 0, 2), L (-3, 9/2,0)]
z

C’’
s’

V koordinatni sistem vrišemo podatke – točke
paralelograma A, B, C. Ker ima paralelogram po dve
stranici vzporedni, dobimo tako tudi točko D. Točke
ABCD določajo ravnino Φ. Narišemo še točke
trikotnika J, K, L, ki določajo ravnino E.

J’’

2’’

4’’
B’’

PRESEK RAVNIN DVEH RAVNINSKIH LIKOV

Kjer stranica Δ J’’K’’ v narisu seka stranico
paralelograma A’’B’’ dobimo točko 1’’, ki jo prenesemo
v tloris na stranico A’B’ – točka 1’. Kjer J’’K’’ seka
stranico C’’D’’, dobimo točko 2’’, ki jo prav tako
prenesemo v tloris na stranico C’D’ - točka 2’.

3’’
D’’

1’’

6’’

Točki 1’ in 2’ v tlorisni ravnini povežemo. Kjer premica
1’2’ seka stranico Δ J’K’ dobimo točko 3’, ki je tudi
prvo prebodišče obeh ravnin. Točko 3’ prenesemo v
narisno ravnino – 3’’ leži na stranici J’’K’’.

K’’
K’

5’’

A’’

X1,2

0
L’’

C’
2’

s’
B’

5’

3’

L’

6’

1’

D’

4’

V tlorisni ravnini narišemo še točko 4’ (presečišče
stranic J’K’ in A’D’ ter točko 5’ (presečišče stranic K’L’
in A’D’. Obe točki prenesemo v narisno ravnino na
ustrezni stranici.
V narisni ravnini povežemo točki 4’’ in 5’’. Kjer
premica 4’’5’’ seka stranico paralelograma A’’D’’,
dobimo drugo prebodišče ravnin – točka 6’’. Točko
prenesemo v tlorisno ravnino – 6’ leži na stranici A’D’.
V tlorisu in narisu povežemo prebodišči 3 in 6, s tem
pa dobimo presečnico s ravnin Φ in E.

A’
y

J’

PODATKI:
Ravnina Φ paralelograma ABCD
Φ [A (2, 6, ½), B (6, 3, 9/2), C (1, 0, 7), D]
Ravnina E trikotnika JKL
E [J (-1, 7, 7), K (9/2, 0, 2), L (-3, 9/2,0)]

PRESEK RAVNIN DVEH RAVNINSKIH LIKOV

z

C’’

J’’
PRI RISANJU PAZIMO NA VIDNOST!

s’

2’’

4’’
B’’

3’’
D’’

1’’

6’’

K’’
K’

5’’

A’’

X1,2

0
L’’

C’
2’

s’
B’

5’

3’

L’

6’

1’
4’
A’
y

D’

J’


Slide 2

OPISNA GEOMETRIJA

MENTOR: DOC. DR. DOMEN KUŠAR

AVTORICA: KATJA CENTRIH

PRESEKI RAVNIN

Presek dveh ravnin je premica, na kateri ležijo
točke, ki so skupne obema ravninama. To premico
imenujemo presečnica. Če torej določimo vsaj 2
skupni točki danih ravnin, dobimo presečnico.

e2’’

f2’’
2’’
Če sta e1 in e2 slednici ravnine E, f1 in f2 pa
slednici ravnine Φ, sta točki 1(v kateri se sekata
e1 in f1) in 2 (v kateri se sekata e2 in f2) skupni
točki obeh ravnin. Premica p (1, 2) je tako
presečnica ravnin E in Φ.

p’’

1’’

X

2’
E0

Φ0
p’

1’
e1’

f1’

PODATKI:

PRESEK DVEH RAVNIN, PODANIH S SLEDNICAMA

Ravnina E (-3, 5/2, 7/2)
Ravnina Φ (6, 3, 5)
z

e2’’

f2’’

S2’’

V sečišču slednic e1’ in f1’ dobimo prvo točko
presečnice obeh ravnin – S1’, ki jo prenesemo tudi
v narisno ravnino - S1’’.

p’’

V sečišču slednic e1’’ in f1’’ dobimo drugo točko
presečnice obeh ravnin – S2’’, ki jo nato
prenesemo še v tlorisno ravnino – S2’.

S1’’
S2’

X1,2

V koordinatni sistem vrišemo podatke – slednici
ravnine E – e1’ in e2’’ in nato še slednici ravnine
Φ - f1’ in f2’’.

0

Točki S1 in S2 sta hkrati sledišči presečnice.

p’

Točki S1’ in S2’ povežemo in s tem dobimo
presečnico p’ ravnin E in Φ v tlorisni ravnini.
Povežemo tudi točki S1’’ in S2’’, s čimer dobimo
presečnico p’’ obeh ravnin v narisni ravnini.

S1’
f1’

e1’
y

PRESEK SPLOŠNE RAVNINE Φ
S PRVO PROJICIRNO RAVNINO E

PODATKI:
Ravnina Φ je podana z vzporednicama
a [A(-4, 4, 1), B(1, 0, 4)] in b [C(0, 4, 1)]
Projicirna ravnina E (-3, 2, ∞)

V koordinatni sistem vrišemo podatke –
vzporednici a in b, ki določata ravnino Φ in nato
še prvo projicirno ravnino E, ki je podana s
slednicama e1’ in e2’’.

z
e2’’
a’’

Ker je ravnina E prva projicirna ravnina, sta
prebodišči, ki določata presečnico s, v tlorisu
neposredno dani.

B’’

b’’

1’’

Kjer slednica e1’ seka premico a’, dobimo prvo
prebodišče 1’.
Kjer slednica e1’ seka drugo premico b’, dobimo
drugo prebodišče 2’.
Slednica e1’ je torej tudi presečnica ravnin E in Φ
(e1’ = s’).

2’’
s’

C’’

A’’

B’
0

X1,2

Točki 1’ in 2’ prenesmo v narisno ravnino.
Prebodišče 1’’ leži na premici a’’, prebodišče 2’’
pa na drugi premici b’’.
Točki povežemo in tako dobimo presečnico s’’
ravnin E in Φ v narisni ravnini.

1’
2’

s’
e1’

A’
C’

b’
y

a’

PODATKI:
Ravnina E - p [P(1/2, 3/2, 3), S(5/2, 1, 3/2)], r [R(1, 4, ½), S)]
Ravnina Φ - m [J(-5/2, 2, 1/2) L(-1, 3, 1)], n[K(-5/2, -9/2, 7/2), L)]

PRESEK DVEH RAVNIN,
PODANIH S SEČNICAMA

DOLOČITEV PRESEČNICE s pomočjo risanja slednic

V koordinatni sistem vrišemo podatke – ravnino
E, ki je podana s sečnicama p in r, ter ravnino Φ,
ki je podana s sečnicama m in n.
z
Ez

e2’’

8’’

4’’

m’’

S’’
p’

R’’
3’

Ex

4’

f2’’

L’’
J’’

2’’

6’’

1’’

X1,2

n’’
K’’

ΦZ

P’’

r’’

K’

p’’

Če želimo določiti presečnico s ravnin E in Φ,
moramo najti vsaj dve skupni točki obeh ravnin.
V ta namen pa moramo najprej določiti slednici
obeh ravnin.

5’’ ΦX

7’

8’

1’

n’

S’

J’

P’

3’’
e1’

5’

r’

L’

R’

2’
Ey
Φy

6’

y

m’

f1’

7’’

Kjer premica p’’ seka koordinatno os x, dobimo
točko 1’’, ki jo prenesemo v tlorisno ravnino na
ustrezno premico (1’ leži na p’). Kjer premica r’’
seka koordinatno os x, dobimo točko 2’’, ki jo
prenesemo na tlorisno projekcijo premice r (2’ leži
na r’).
Točki 1’ in 2’ povežemo in tako dobimo prvo
slednico e1’ ravnine E in s tem tudi dve sledišči te
ravnine - Ex in Ey.
Kjer premica p’ seka koordinatno os x, dobimo
točko 3’, ki jo prenesemo na narisno projekcijo
premice p. Kjer premica r’ seka koordinatno os x,
dobimo točko 4’, ki jo prav tako prenesemo v
narisno ravnino, in sicer na premico r’’. Točki v
narisni ravnini 3’’ in 4’’ povežemo in tako dobimo
še drugo slednico e2’’ ravnine E, ter sledišče
ravnine Ez.
Za določitev obeh slednic druge ravnine Φ, je
postopek enak.

PODATKI:
Ravnina E - p [P(1/2, 3/2, 3), S(5/2, 1, 3/2)], r [R(1, 4, ½), S)]
Ravnina Φ - m [J(-5/2, 2, 1/2) L(-1, 3, 1)], n[K(-5/2, -9/2, 7/2), L)]

PRESEK DVEH RAVNIN,
PODANIH S SEČNICAMA

DOLOČITEV PRESEČNICE s pomočjo risanja slednic

Presečišče prvih slednic obeh ravnin e1’ in f1’ je
prva točka presečnice S1’, ki jo prenesemo še v
narisno ravnino – točka S1’’.

z
Ez

e2’’
P’’

4’’

3’

4’

S2’

1’’

X1,2

f2’’

L’’
R’’

Ex

V tlorisni in narisni ravnini povežemo obe točki
presečnice S1 in S2, dobljena premica je
presečnica s ravnin E in Φ.

8’’

s’’

S’’

Presečišče drugih slednic obeh ravnin e2’’ in f2’’
predstavlja drugo točko presečnice S2’’, ki jo
nato prenesemo še v tlorisno ravnino – točka S2’.

n’’
K’’

ΦZ

r’’

p’

K’

p’’

S2’’

J’’

2’’ S1’’6’’

5’’ ΦX

7’

8’

1’

n’

S’
3’’

s’
e1’

m’’
5’

J’

P’
L’

r’

R’

2’
Ey
Φy

6’
S1’
y

m’

f1’

7’’

PODATKI:
Ravnina E - p [P(1/2, 3/2, 3), S(5/2, 1, 3/2)], r [R(1, 4, ½), S)]
Ravnina Φ - m [J(-5/2, 2, 1/2) L(-1, 3, 1)], n[K(-5/2, -9/2, 7/2), L)]
DOLOČITEV PRESEČNICE s pomočjo prebodov premic
p’’
z

4’’
K’

s’’

1’’

n’’

r’’
S’’

Točki 1’ in 2’ v tlorisni ravnini povežemo. Kjer
premica 1’2’ seka premico n’ ravnine Φ, dobimo
točko 3’, ki je tudi prvo prebodišče obeh ravnin.
Točko 3’ prenesemo v narisno ravnino – 3’’ leži na
premici n’’.

6’’ L’’
R’’

J’’

5’’
2’’

p’

J’

s’

r’

R’

m’’

3’’

P’

S’

m’

4’
L’

6’

n’

5’

2’
y

3’

V koordinatni sistem vrišemo podatke – točke P, R,
S, ki določajo presečnici p in r (ravnina E), in točke
J, K, L , ki določajo presečnici m in n (ravnina Φ).
Kjer premica n’’ ravnine Φ (v narisu) seka premico
p’’ ravnine E, dobimo točko 1’’. Kjer n’’ seka drugo
premico r’’ ravnine E, dobimo točko 2’’. Točki 1’’ in 2’’
prenesemo v tlorisno ravnino na ustrezni premici
(točka 1’ leži na premici p’, točka 2’ leži na premici r’).

K’’

P’’

PRESEK DVEH RAVNIN,
PODANIH S SEČNICAMA

1’

Kjer premica m’ ravnine Φ (v tlorisu) seka premico p’
ravnine E, dobimo točko 4’. Kjer m’’ seka drugo
premico r’ ravnine E, dobimo točko 5’. Točki 4’ in 5’
prenesemo v narisno ravnino na ustrezni premici
(točka 4’’ leži na p’’, točka 5’’ leži na r’’).
Točki 4’’ in 5’’ v narisni ravnini povežemo. Kjer
premica 4’’5’’ seka premico m’’, dobimo drugo
prebodišče ravnin E in Φ - točko 6’’. Točko
prenesemo v tlorisno ravnino – 6’ leži na premici m’.
V tlorisu in narisu povežemo prebodišči 3 in 6, s
tem pa dobimo presečnico s ravnin Φ in E.

PODATKI:
Ravnina Φ paralelograma ABCD
Φ [A (2, 6, ½), B (6, 3, 9/2), C (1, 0, 7), D]
Ravnina E trikotnika JKL
E [J (-1, 7, 7), K (9/2, 0, 2), L (-3, 9/2,0)]
z

C’’
s’

V koordinatni sistem vrišemo podatke – točke
paralelograma A, B, C. Ker ima paralelogram po dve
stranici vzporedni, dobimo tako tudi točko D. Točke
ABCD določajo ravnino Φ. Narišemo še točke
trikotnika J, K, L, ki določajo ravnino E.

J’’

2’’

4’’
B’’

PRESEK RAVNIN DVEH RAVNINSKIH LIKOV

Kjer stranica Δ J’’K’’ v narisu seka stranico
paralelograma A’’B’’ dobimo točko 1’’, ki jo prenesemo
v tloris na stranico A’B’ – točka 1’. Kjer J’’K’’ seka
stranico C’’D’’, dobimo točko 2’’, ki jo prav tako
prenesemo v tloris na stranico C’D’ - točka 2’.

3’’
D’’

1’’

6’’

Točki 1’ in 2’ v tlorisni ravnini povežemo. Kjer premica
1’2’ seka stranico Δ J’K’ dobimo točko 3’, ki je tudi
prvo prebodišče obeh ravnin. Točko 3’ prenesemo v
narisno ravnino – 3’’ leži na stranici J’’K’’.

K’’
K’

5’’

A’’

X1,2

0
L’’

C’
2’

s’
B’

5’

3’

L’

6’

1’

D’

4’

V tlorisni ravnini narišemo še točko 4’ (presečišče
stranic J’K’ in A’D’ ter točko 5’ (presečišče stranic K’L’
in A’D’. Obe točki prenesemo v narisno ravnino na
ustrezni stranici.
V narisni ravnini povežemo točki 4’’ in 5’’. Kjer
premica 4’’5’’ seka stranico paralelograma A’’D’’,
dobimo drugo prebodišče ravnin – točka 6’’. Točko
prenesemo v tlorisno ravnino – 6’ leži na stranici A’D’.
V tlorisu in narisu povežemo prebodišči 3 in 6, s tem
pa dobimo presečnico s ravnin Φ in E.

A’
y

J’

PODATKI:
Ravnina Φ paralelograma ABCD
Φ [A (2, 6, ½), B (6, 3, 9/2), C (1, 0, 7), D]
Ravnina E trikotnika JKL
E [J (-1, 7, 7), K (9/2, 0, 2), L (-3, 9/2,0)]

PRESEK RAVNIN DVEH RAVNINSKIH LIKOV

z

C’’

J’’
PRI RISANJU PAZIMO NA VIDNOST!

s’

2’’

4’’
B’’

3’’
D’’

1’’

6’’

K’’
K’

5’’

A’’

X1,2

0
L’’

C’
2’

s’
B’

5’

3’

L’

6’

1’
4’
A’
y

D’

J’


Slide 3

OPISNA GEOMETRIJA

MENTOR: DOC. DR. DOMEN KUŠAR

AVTORICA: KATJA CENTRIH

PRESEKI RAVNIN

Presek dveh ravnin je premica, na kateri ležijo
točke, ki so skupne obema ravninama. To premico
imenujemo presečnica. Če torej določimo vsaj 2
skupni točki danih ravnin, dobimo presečnico.

e2’’

f2’’
2’’
Če sta e1 in e2 slednici ravnine E, f1 in f2 pa
slednici ravnine Φ, sta točki 1(v kateri se sekata
e1 in f1) in 2 (v kateri se sekata e2 in f2) skupni
točki obeh ravnin. Premica p (1, 2) je tako
presečnica ravnin E in Φ.

p’’

1’’

X

2’
E0

Φ0
p’

1’
e1’

f1’

PODATKI:

PRESEK DVEH RAVNIN, PODANIH S SLEDNICAMA

Ravnina E (-3, 5/2, 7/2)
Ravnina Φ (6, 3, 5)
z

e2’’

f2’’

S2’’

V sečišču slednic e1’ in f1’ dobimo prvo točko
presečnice obeh ravnin – S1’, ki jo prenesemo tudi
v narisno ravnino - S1’’.

p’’

V sečišču slednic e1’’ in f1’’ dobimo drugo točko
presečnice obeh ravnin – S2’’, ki jo nato
prenesemo še v tlorisno ravnino – S2’.

S1’’
S2’

X1,2

V koordinatni sistem vrišemo podatke – slednici
ravnine E – e1’ in e2’’ in nato še slednici ravnine
Φ - f1’ in f2’’.

0

Točki S1 in S2 sta hkrati sledišči presečnice.

p’

Točki S1’ in S2’ povežemo in s tem dobimo
presečnico p’ ravnin E in Φ v tlorisni ravnini.
Povežemo tudi točki S1’’ in S2’’, s čimer dobimo
presečnico p’’ obeh ravnin v narisni ravnini.

S1’
f1’

e1’
y

PRESEK SPLOŠNE RAVNINE Φ
S PRVO PROJICIRNO RAVNINO E

PODATKI:
Ravnina Φ je podana z vzporednicama
a [A(-4, 4, 1), B(1, 0, 4)] in b [C(0, 4, 1)]
Projicirna ravnina E (-3, 2, ∞)

V koordinatni sistem vrišemo podatke –
vzporednici a in b, ki določata ravnino Φ in nato
še prvo projicirno ravnino E, ki je podana s
slednicama e1’ in e2’’.

z
e2’’
a’’

Ker je ravnina E prva projicirna ravnina, sta
prebodišči, ki določata presečnico s, v tlorisu
neposredno dani.

B’’

b’’

1’’

Kjer slednica e1’ seka premico a’, dobimo prvo
prebodišče 1’.
Kjer slednica e1’ seka drugo premico b’, dobimo
drugo prebodišče 2’.
Slednica e1’ je torej tudi presečnica ravnin E in Φ
(e1’ = s’).

2’’
s’

C’’

A’’

B’
0

X1,2

Točki 1’ in 2’ prenesmo v narisno ravnino.
Prebodišče 1’’ leži na premici a’’, prebodišče 2’’
pa na drugi premici b’’.
Točki povežemo in tako dobimo presečnico s’’
ravnin E in Φ v narisni ravnini.

1’
2’

s’
e1’

A’
C’

b’
y

a’

PODATKI:
Ravnina E - p [P(1/2, 3/2, 3), S(5/2, 1, 3/2)], r [R(1, 4, ½), S)]
Ravnina Φ - m [J(-5/2, 2, 1/2) L(-1, 3, 1)], n[K(-5/2, -9/2, 7/2), L)]

PRESEK DVEH RAVNIN,
PODANIH S SEČNICAMA

DOLOČITEV PRESEČNICE s pomočjo risanja slednic

V koordinatni sistem vrišemo podatke – ravnino
E, ki je podana s sečnicama p in r, ter ravnino Φ,
ki je podana s sečnicama m in n.
z
Ez

e2’’

8’’

4’’

m’’

S’’
p’

R’’
3’

Ex

4’

f2’’

L’’
J’’

2’’

6’’

1’’

X1,2

n’’
K’’

ΦZ

P’’

r’’

K’

p’’

Če želimo določiti presečnico s ravnin E in Φ,
moramo najti vsaj dve skupni točki obeh ravnin.
V ta namen pa moramo najprej določiti slednici
obeh ravnin.

5’’ ΦX

7’

8’

1’

n’

S’

J’

P’

3’’
e1’

5’

r’

L’

R’

2’
Ey
Φy

6’

y

m’

f1’

7’’

Kjer premica p’’ seka koordinatno os x, dobimo
točko 1’’, ki jo prenesemo v tlorisno ravnino na
ustrezno premico (1’ leži na p’). Kjer premica r’’
seka koordinatno os x, dobimo točko 2’’, ki jo
prenesemo na tlorisno projekcijo premice r (2’ leži
na r’).
Točki 1’ in 2’ povežemo in tako dobimo prvo
slednico e1’ ravnine E in s tem tudi dve sledišči te
ravnine - Ex in Ey.
Kjer premica p’ seka koordinatno os x, dobimo
točko 3’, ki jo prenesemo na narisno projekcijo
premice p. Kjer premica r’ seka koordinatno os x,
dobimo točko 4’, ki jo prav tako prenesemo v
narisno ravnino, in sicer na premico r’’. Točki v
narisni ravnini 3’’ in 4’’ povežemo in tako dobimo
še drugo slednico e2’’ ravnine E, ter sledišče
ravnine Ez.
Za določitev obeh slednic druge ravnine Φ, je
postopek enak.

PODATKI:
Ravnina E - p [P(1/2, 3/2, 3), S(5/2, 1, 3/2)], r [R(1, 4, ½), S)]
Ravnina Φ - m [J(-5/2, 2, 1/2) L(-1, 3, 1)], n[K(-5/2, -9/2, 7/2), L)]

PRESEK DVEH RAVNIN,
PODANIH S SEČNICAMA

DOLOČITEV PRESEČNICE s pomočjo risanja slednic

Presečišče prvih slednic obeh ravnin e1’ in f1’ je
prva točka presečnice S1’, ki jo prenesemo še v
narisno ravnino – točka S1’’.

z
Ez

e2’’
P’’

4’’

3’

4’

S2’

1’’

X1,2

f2’’

L’’
R’’

Ex

V tlorisni in narisni ravnini povežemo obe točki
presečnice S1 in S2, dobljena premica je
presečnica s ravnin E in Φ.

8’’

s’’

S’’

Presečišče drugih slednic obeh ravnin e2’’ in f2’’
predstavlja drugo točko presečnice S2’’, ki jo
nato prenesemo še v tlorisno ravnino – točka S2’.

n’’
K’’

ΦZ

r’’

p’

K’

p’’

S2’’

J’’

2’’ S1’’6’’

5’’ ΦX

7’

8’

1’

n’

S’
3’’

s’
e1’

m’’
5’

J’

P’
L’

r’

R’

2’
Ey
Φy

6’
S1’
y

m’

f1’

7’’

PODATKI:
Ravnina E - p [P(1/2, 3/2, 3), S(5/2, 1, 3/2)], r [R(1, 4, ½), S)]
Ravnina Φ - m [J(-5/2, 2, 1/2) L(-1, 3, 1)], n[K(-5/2, -9/2, 7/2), L)]
DOLOČITEV PRESEČNICE s pomočjo prebodov premic
p’’
z

4’’
K’

s’’

1’’

n’’

r’’
S’’

Točki 1’ in 2’ v tlorisni ravnini povežemo. Kjer
premica 1’2’ seka premico n’ ravnine Φ, dobimo
točko 3’, ki je tudi prvo prebodišče obeh ravnin.
Točko 3’ prenesemo v narisno ravnino – 3’’ leži na
premici n’’.

6’’ L’’
R’’

J’’

5’’
2’’

p’

J’

s’

r’

R’

m’’

3’’

P’

S’

m’

4’
L’

6’

n’

5’

2’
y

3’

V koordinatni sistem vrišemo podatke – točke P, R,
S, ki določajo presečnici p in r (ravnina E), in točke
J, K, L , ki določajo presečnici m in n (ravnina Φ).
Kjer premica n’’ ravnine Φ (v narisu) seka premico
p’’ ravnine E, dobimo točko 1’’. Kjer n’’ seka drugo
premico r’’ ravnine E, dobimo točko 2’’. Točki 1’’ in 2’’
prenesemo v tlorisno ravnino na ustrezni premici
(točka 1’ leži na premici p’, točka 2’ leži na premici r’).

K’’

P’’

PRESEK DVEH RAVNIN,
PODANIH S SEČNICAMA

1’

Kjer premica m’ ravnine Φ (v tlorisu) seka premico p’
ravnine E, dobimo točko 4’. Kjer m’’ seka drugo
premico r’ ravnine E, dobimo točko 5’. Točki 4’ in 5’
prenesemo v narisno ravnino na ustrezni premici
(točka 4’’ leži na p’’, točka 5’’ leži na r’’).
Točki 4’’ in 5’’ v narisni ravnini povežemo. Kjer
premica 4’’5’’ seka premico m’’, dobimo drugo
prebodišče ravnin E in Φ - točko 6’’. Točko
prenesemo v tlorisno ravnino – 6’ leži na premici m’.
V tlorisu in narisu povežemo prebodišči 3 in 6, s
tem pa dobimo presečnico s ravnin Φ in E.

PODATKI:
Ravnina Φ paralelograma ABCD
Φ [A (2, 6, ½), B (6, 3, 9/2), C (1, 0, 7), D]
Ravnina E trikotnika JKL
E [J (-1, 7, 7), K (9/2, 0, 2), L (-3, 9/2,0)]
z

C’’
s’

V koordinatni sistem vrišemo podatke – točke
paralelograma A, B, C. Ker ima paralelogram po dve
stranici vzporedni, dobimo tako tudi točko D. Točke
ABCD določajo ravnino Φ. Narišemo še točke
trikotnika J, K, L, ki določajo ravnino E.

J’’

2’’

4’’
B’’

PRESEK RAVNIN DVEH RAVNINSKIH LIKOV

Kjer stranica Δ J’’K’’ v narisu seka stranico
paralelograma A’’B’’ dobimo točko 1’’, ki jo prenesemo
v tloris na stranico A’B’ – točka 1’. Kjer J’’K’’ seka
stranico C’’D’’, dobimo točko 2’’, ki jo prav tako
prenesemo v tloris na stranico C’D’ - točka 2’.

3’’
D’’

1’’

6’’

Točki 1’ in 2’ v tlorisni ravnini povežemo. Kjer premica
1’2’ seka stranico Δ J’K’ dobimo točko 3’, ki je tudi
prvo prebodišče obeh ravnin. Točko 3’ prenesemo v
narisno ravnino – 3’’ leži na stranici J’’K’’.

K’’
K’

5’’

A’’

X1,2

0
L’’

C’
2’

s’
B’

5’

3’

L’

6’

1’

D’

4’

V tlorisni ravnini narišemo še točko 4’ (presečišče
stranic J’K’ in A’D’ ter točko 5’ (presečišče stranic K’L’
in A’D’. Obe točki prenesemo v narisno ravnino na
ustrezni stranici.
V narisni ravnini povežemo točki 4’’ in 5’’. Kjer
premica 4’’5’’ seka stranico paralelograma A’’D’’,
dobimo drugo prebodišče ravnin – točka 6’’. Točko
prenesemo v tlorisno ravnino – 6’ leži na stranici A’D’.
V tlorisu in narisu povežemo prebodišči 3 in 6, s tem
pa dobimo presečnico s ravnin Φ in E.

A’
y

J’

PODATKI:
Ravnina Φ paralelograma ABCD
Φ [A (2, 6, ½), B (6, 3, 9/2), C (1, 0, 7), D]
Ravnina E trikotnika JKL
E [J (-1, 7, 7), K (9/2, 0, 2), L (-3, 9/2,0)]

PRESEK RAVNIN DVEH RAVNINSKIH LIKOV

z

C’’

J’’
PRI RISANJU PAZIMO NA VIDNOST!

s’

2’’

4’’
B’’

3’’
D’’

1’’

6’’

K’’
K’

5’’

A’’

X1,2

0
L’’

C’
2’

s’
B’

5’

3’

L’

6’

1’
4’
A’
y

D’

J’


Slide 4

OPISNA GEOMETRIJA

MENTOR: DOC. DR. DOMEN KUŠAR

AVTORICA: KATJA CENTRIH

PRESEKI RAVNIN

Presek dveh ravnin je premica, na kateri ležijo
točke, ki so skupne obema ravninama. To premico
imenujemo presečnica. Če torej določimo vsaj 2
skupni točki danih ravnin, dobimo presečnico.

e2’’

f2’’
2’’
Če sta e1 in e2 slednici ravnine E, f1 in f2 pa
slednici ravnine Φ, sta točki 1(v kateri se sekata
e1 in f1) in 2 (v kateri se sekata e2 in f2) skupni
točki obeh ravnin. Premica p (1, 2) je tako
presečnica ravnin E in Φ.

p’’

1’’

X

2’
E0

Φ0
p’

1’
e1’

f1’

PODATKI:

PRESEK DVEH RAVNIN, PODANIH S SLEDNICAMA

Ravnina E (-3, 5/2, 7/2)
Ravnina Φ (6, 3, 5)
z

e2’’

f2’’

S2’’

V sečišču slednic e1’ in f1’ dobimo prvo točko
presečnice obeh ravnin – S1’, ki jo prenesemo tudi
v narisno ravnino - S1’’.

p’’

V sečišču slednic e1’’ in f1’’ dobimo drugo točko
presečnice obeh ravnin – S2’’, ki jo nato
prenesemo še v tlorisno ravnino – S2’.

S1’’
S2’

X1,2

V koordinatni sistem vrišemo podatke – slednici
ravnine E – e1’ in e2’’ in nato še slednici ravnine
Φ - f1’ in f2’’.

0

Točki S1 in S2 sta hkrati sledišči presečnice.

p’

Točki S1’ in S2’ povežemo in s tem dobimo
presečnico p’ ravnin E in Φ v tlorisni ravnini.
Povežemo tudi točki S1’’ in S2’’, s čimer dobimo
presečnico p’’ obeh ravnin v narisni ravnini.

S1’
f1’

e1’
y

PRESEK SPLOŠNE RAVNINE Φ
S PRVO PROJICIRNO RAVNINO E

PODATKI:
Ravnina Φ je podana z vzporednicama
a [A(-4, 4, 1), B(1, 0, 4)] in b [C(0, 4, 1)]
Projicirna ravnina E (-3, 2, ∞)

V koordinatni sistem vrišemo podatke –
vzporednici a in b, ki določata ravnino Φ in nato
še prvo projicirno ravnino E, ki je podana s
slednicama e1’ in e2’’.

z
e2’’
a’’

Ker je ravnina E prva projicirna ravnina, sta
prebodišči, ki določata presečnico s, v tlorisu
neposredno dani.

B’’

b’’

1’’

Kjer slednica e1’ seka premico a’, dobimo prvo
prebodišče 1’.
Kjer slednica e1’ seka drugo premico b’, dobimo
drugo prebodišče 2’.
Slednica e1’ je torej tudi presečnica ravnin E in Φ
(e1’ = s’).

2’’
s’

C’’

A’’

B’
0

X1,2

Točki 1’ in 2’ prenesmo v narisno ravnino.
Prebodišče 1’’ leži na premici a’’, prebodišče 2’’
pa na drugi premici b’’.
Točki povežemo in tako dobimo presečnico s’’
ravnin E in Φ v narisni ravnini.

1’
2’

s’
e1’

A’
C’

b’
y

a’

PODATKI:
Ravnina E - p [P(1/2, 3/2, 3), S(5/2, 1, 3/2)], r [R(1, 4, ½), S)]
Ravnina Φ - m [J(-5/2, 2, 1/2) L(-1, 3, 1)], n[K(-5/2, -9/2, 7/2), L)]

PRESEK DVEH RAVNIN,
PODANIH S SEČNICAMA

DOLOČITEV PRESEČNICE s pomočjo risanja slednic

V koordinatni sistem vrišemo podatke – ravnino
E, ki je podana s sečnicama p in r, ter ravnino Φ,
ki je podana s sečnicama m in n.
z
Ez

e2’’

8’’

4’’

m’’

S’’
p’

R’’
3’

Ex

4’

f2’’

L’’
J’’

2’’

6’’

1’’

X1,2

n’’
K’’

ΦZ

P’’

r’’

K’

p’’

Če želimo določiti presečnico s ravnin E in Φ,
moramo najti vsaj dve skupni točki obeh ravnin.
V ta namen pa moramo najprej določiti slednici
obeh ravnin.

5’’ ΦX

7’

8’

1’

n’

S’

J’

P’

3’’
e1’

5’

r’

L’

R’

2’
Ey
Φy

6’

y

m’

f1’

7’’

Kjer premica p’’ seka koordinatno os x, dobimo
točko 1’’, ki jo prenesemo v tlorisno ravnino na
ustrezno premico (1’ leži na p’). Kjer premica r’’
seka koordinatno os x, dobimo točko 2’’, ki jo
prenesemo na tlorisno projekcijo premice r (2’ leži
na r’).
Točki 1’ in 2’ povežemo in tako dobimo prvo
slednico e1’ ravnine E in s tem tudi dve sledišči te
ravnine - Ex in Ey.
Kjer premica p’ seka koordinatno os x, dobimo
točko 3’, ki jo prenesemo na narisno projekcijo
premice p. Kjer premica r’ seka koordinatno os x,
dobimo točko 4’, ki jo prav tako prenesemo v
narisno ravnino, in sicer na premico r’’. Točki v
narisni ravnini 3’’ in 4’’ povežemo in tako dobimo
še drugo slednico e2’’ ravnine E, ter sledišče
ravnine Ez.
Za določitev obeh slednic druge ravnine Φ, je
postopek enak.

PODATKI:
Ravnina E - p [P(1/2, 3/2, 3), S(5/2, 1, 3/2)], r [R(1, 4, ½), S)]
Ravnina Φ - m [J(-5/2, 2, 1/2) L(-1, 3, 1)], n[K(-5/2, -9/2, 7/2), L)]

PRESEK DVEH RAVNIN,
PODANIH S SEČNICAMA

DOLOČITEV PRESEČNICE s pomočjo risanja slednic

Presečišče prvih slednic obeh ravnin e1’ in f1’ je
prva točka presečnice S1’, ki jo prenesemo še v
narisno ravnino – točka S1’’.

z
Ez

e2’’
P’’

4’’

3’

4’

S2’

1’’

X1,2

f2’’

L’’
R’’

Ex

V tlorisni in narisni ravnini povežemo obe točki
presečnice S1 in S2, dobljena premica je
presečnica s ravnin E in Φ.

8’’

s’’

S’’

Presečišče drugih slednic obeh ravnin e2’’ in f2’’
predstavlja drugo točko presečnice S2’’, ki jo
nato prenesemo še v tlorisno ravnino – točka S2’.

n’’
K’’

ΦZ

r’’

p’

K’

p’’

S2’’

J’’

2’’ S1’’6’’

5’’ ΦX

7’

8’

1’

n’

S’
3’’

s’
e1’

m’’
5’

J’

P’
L’

r’

R’

2’
Ey
Φy

6’
S1’
y

m’

f1’

7’’

PODATKI:
Ravnina E - p [P(1/2, 3/2, 3), S(5/2, 1, 3/2)], r [R(1, 4, ½), S)]
Ravnina Φ - m [J(-5/2, 2, 1/2) L(-1, 3, 1)], n[K(-5/2, -9/2, 7/2), L)]
DOLOČITEV PRESEČNICE s pomočjo prebodov premic
p’’
z

4’’
K’

s’’

1’’

n’’

r’’
S’’

Točki 1’ in 2’ v tlorisni ravnini povežemo. Kjer
premica 1’2’ seka premico n’ ravnine Φ, dobimo
točko 3’, ki je tudi prvo prebodišče obeh ravnin.
Točko 3’ prenesemo v narisno ravnino – 3’’ leži na
premici n’’.

6’’ L’’
R’’

J’’

5’’
2’’

p’

J’

s’

r’

R’

m’’

3’’

P’

S’

m’

4’
L’

6’

n’

5’

2’
y

3’

V koordinatni sistem vrišemo podatke – točke P, R,
S, ki določajo presečnici p in r (ravnina E), in točke
J, K, L , ki določajo presečnici m in n (ravnina Φ).
Kjer premica n’’ ravnine Φ (v narisu) seka premico
p’’ ravnine E, dobimo točko 1’’. Kjer n’’ seka drugo
premico r’’ ravnine E, dobimo točko 2’’. Točki 1’’ in 2’’
prenesemo v tlorisno ravnino na ustrezni premici
(točka 1’ leži na premici p’, točka 2’ leži na premici r’).

K’’

P’’

PRESEK DVEH RAVNIN,
PODANIH S SEČNICAMA

1’

Kjer premica m’ ravnine Φ (v tlorisu) seka premico p’
ravnine E, dobimo točko 4’. Kjer m’’ seka drugo
premico r’ ravnine E, dobimo točko 5’. Točki 4’ in 5’
prenesemo v narisno ravnino na ustrezni premici
(točka 4’’ leži na p’’, točka 5’’ leži na r’’).
Točki 4’’ in 5’’ v narisni ravnini povežemo. Kjer
premica 4’’5’’ seka premico m’’, dobimo drugo
prebodišče ravnin E in Φ - točko 6’’. Točko
prenesemo v tlorisno ravnino – 6’ leži na premici m’.
V tlorisu in narisu povežemo prebodišči 3 in 6, s
tem pa dobimo presečnico s ravnin Φ in E.

PODATKI:
Ravnina Φ paralelograma ABCD
Φ [A (2, 6, ½), B (6, 3, 9/2), C (1, 0, 7), D]
Ravnina E trikotnika JKL
E [J (-1, 7, 7), K (9/2, 0, 2), L (-3, 9/2,0)]
z

C’’
s’

V koordinatni sistem vrišemo podatke – točke
paralelograma A, B, C. Ker ima paralelogram po dve
stranici vzporedni, dobimo tako tudi točko D. Točke
ABCD določajo ravnino Φ. Narišemo še točke
trikotnika J, K, L, ki določajo ravnino E.

J’’

2’’

4’’
B’’

PRESEK RAVNIN DVEH RAVNINSKIH LIKOV

Kjer stranica Δ J’’K’’ v narisu seka stranico
paralelograma A’’B’’ dobimo točko 1’’, ki jo prenesemo
v tloris na stranico A’B’ – točka 1’. Kjer J’’K’’ seka
stranico C’’D’’, dobimo točko 2’’, ki jo prav tako
prenesemo v tloris na stranico C’D’ - točka 2’.

3’’
D’’

1’’

6’’

Točki 1’ in 2’ v tlorisni ravnini povežemo. Kjer premica
1’2’ seka stranico Δ J’K’ dobimo točko 3’, ki je tudi
prvo prebodišče obeh ravnin. Točko 3’ prenesemo v
narisno ravnino – 3’’ leži na stranici J’’K’’.

K’’
K’

5’’

A’’

X1,2

0
L’’

C’
2’

s’
B’

5’

3’

L’

6’

1’

D’

4’

V tlorisni ravnini narišemo še točko 4’ (presečišče
stranic J’K’ in A’D’ ter točko 5’ (presečišče stranic K’L’
in A’D’. Obe točki prenesemo v narisno ravnino na
ustrezni stranici.
V narisni ravnini povežemo točki 4’’ in 5’’. Kjer
premica 4’’5’’ seka stranico paralelograma A’’D’’,
dobimo drugo prebodišče ravnin – točka 6’’. Točko
prenesemo v tlorisno ravnino – 6’ leži na stranici A’D’.
V tlorisu in narisu povežemo prebodišči 3 in 6, s tem
pa dobimo presečnico s ravnin Φ in E.

A’
y

J’

PODATKI:
Ravnina Φ paralelograma ABCD
Φ [A (2, 6, ½), B (6, 3, 9/2), C (1, 0, 7), D]
Ravnina E trikotnika JKL
E [J (-1, 7, 7), K (9/2, 0, 2), L (-3, 9/2,0)]

PRESEK RAVNIN DVEH RAVNINSKIH LIKOV

z

C’’

J’’
PRI RISANJU PAZIMO NA VIDNOST!

s’

2’’

4’’
B’’

3’’
D’’

1’’

6’’

K’’
K’

5’’

A’’

X1,2

0
L’’

C’
2’

s’
B’

5’

3’

L’

6’

1’
4’
A’
y

D’

J’


Slide 5

OPISNA GEOMETRIJA

MENTOR: DOC. DR. DOMEN KUŠAR

AVTORICA: KATJA CENTRIH

PRESEKI RAVNIN

Presek dveh ravnin je premica, na kateri ležijo
točke, ki so skupne obema ravninama. To premico
imenujemo presečnica. Če torej določimo vsaj 2
skupni točki danih ravnin, dobimo presečnico.

e2’’

f2’’
2’’
Če sta e1 in e2 slednici ravnine E, f1 in f2 pa
slednici ravnine Φ, sta točki 1(v kateri se sekata
e1 in f1) in 2 (v kateri se sekata e2 in f2) skupni
točki obeh ravnin. Premica p (1, 2) je tako
presečnica ravnin E in Φ.

p’’

1’’

X

2’
E0

Φ0
p’

1’
e1’

f1’

PODATKI:

PRESEK DVEH RAVNIN, PODANIH S SLEDNICAMA

Ravnina E (-3, 5/2, 7/2)
Ravnina Φ (6, 3, 5)
z

e2’’

f2’’

S2’’

V sečišču slednic e1’ in f1’ dobimo prvo točko
presečnice obeh ravnin – S1’, ki jo prenesemo tudi
v narisno ravnino - S1’’.

p’’

V sečišču slednic e1’’ in f1’’ dobimo drugo točko
presečnice obeh ravnin – S2’’, ki jo nato
prenesemo še v tlorisno ravnino – S2’.

S1’’
S2’

X1,2

V koordinatni sistem vrišemo podatke – slednici
ravnine E – e1’ in e2’’ in nato še slednici ravnine
Φ - f1’ in f2’’.

0

Točki S1 in S2 sta hkrati sledišči presečnice.

p’

Točki S1’ in S2’ povežemo in s tem dobimo
presečnico p’ ravnin E in Φ v tlorisni ravnini.
Povežemo tudi točki S1’’ in S2’’, s čimer dobimo
presečnico p’’ obeh ravnin v narisni ravnini.

S1’
f1’

e1’
y

PRESEK SPLOŠNE RAVNINE Φ
S PRVO PROJICIRNO RAVNINO E

PODATKI:
Ravnina Φ je podana z vzporednicama
a [A(-4, 4, 1), B(1, 0, 4)] in b [C(0, 4, 1)]
Projicirna ravnina E (-3, 2, ∞)

V koordinatni sistem vrišemo podatke –
vzporednici a in b, ki določata ravnino Φ in nato
še prvo projicirno ravnino E, ki je podana s
slednicama e1’ in e2’’.

z
e2’’
a’’

Ker je ravnina E prva projicirna ravnina, sta
prebodišči, ki določata presečnico s, v tlorisu
neposredno dani.

B’’

b’’

1’’

Kjer slednica e1’ seka premico a’, dobimo prvo
prebodišče 1’.
Kjer slednica e1’ seka drugo premico b’, dobimo
drugo prebodišče 2’.
Slednica e1’ je torej tudi presečnica ravnin E in Φ
(e1’ = s’).

2’’
s’

C’’

A’’

B’
0

X1,2

Točki 1’ in 2’ prenesmo v narisno ravnino.
Prebodišče 1’’ leži na premici a’’, prebodišče 2’’
pa na drugi premici b’’.
Točki povežemo in tako dobimo presečnico s’’
ravnin E in Φ v narisni ravnini.

1’
2’

s’
e1’

A’
C’

b’
y

a’

PODATKI:
Ravnina E - p [P(1/2, 3/2, 3), S(5/2, 1, 3/2)], r [R(1, 4, ½), S)]
Ravnina Φ - m [J(-5/2, 2, 1/2) L(-1, 3, 1)], n[K(-5/2, -9/2, 7/2), L)]

PRESEK DVEH RAVNIN,
PODANIH S SEČNICAMA

DOLOČITEV PRESEČNICE s pomočjo risanja slednic

V koordinatni sistem vrišemo podatke – ravnino
E, ki je podana s sečnicama p in r, ter ravnino Φ,
ki je podana s sečnicama m in n.
z
Ez

e2’’

8’’

4’’

m’’

S’’
p’

R’’
3’

Ex

4’

f2’’

L’’
J’’

2’’

6’’

1’’

X1,2

n’’
K’’

ΦZ

P’’

r’’

K’

p’’

Če želimo določiti presečnico s ravnin E in Φ,
moramo najti vsaj dve skupni točki obeh ravnin.
V ta namen pa moramo najprej določiti slednici
obeh ravnin.

5’’ ΦX

7’

8’

1’

n’

S’

J’

P’

3’’
e1’

5’

r’

L’

R’

2’
Ey
Φy

6’

y

m’

f1’

7’’

Kjer premica p’’ seka koordinatno os x, dobimo
točko 1’’, ki jo prenesemo v tlorisno ravnino na
ustrezno premico (1’ leži na p’). Kjer premica r’’
seka koordinatno os x, dobimo točko 2’’, ki jo
prenesemo na tlorisno projekcijo premice r (2’ leži
na r’).
Točki 1’ in 2’ povežemo in tako dobimo prvo
slednico e1’ ravnine E in s tem tudi dve sledišči te
ravnine - Ex in Ey.
Kjer premica p’ seka koordinatno os x, dobimo
točko 3’, ki jo prenesemo na narisno projekcijo
premice p. Kjer premica r’ seka koordinatno os x,
dobimo točko 4’, ki jo prav tako prenesemo v
narisno ravnino, in sicer na premico r’’. Točki v
narisni ravnini 3’’ in 4’’ povežemo in tako dobimo
še drugo slednico e2’’ ravnine E, ter sledišče
ravnine Ez.
Za določitev obeh slednic druge ravnine Φ, je
postopek enak.

PODATKI:
Ravnina E - p [P(1/2, 3/2, 3), S(5/2, 1, 3/2)], r [R(1, 4, ½), S)]
Ravnina Φ - m [J(-5/2, 2, 1/2) L(-1, 3, 1)], n[K(-5/2, -9/2, 7/2), L)]

PRESEK DVEH RAVNIN,
PODANIH S SEČNICAMA

DOLOČITEV PRESEČNICE s pomočjo risanja slednic

Presečišče prvih slednic obeh ravnin e1’ in f1’ je
prva točka presečnice S1’, ki jo prenesemo še v
narisno ravnino – točka S1’’.

z
Ez

e2’’
P’’

4’’

3’

4’

S2’

1’’

X1,2

f2’’

L’’
R’’

Ex

V tlorisni in narisni ravnini povežemo obe točki
presečnice S1 in S2, dobljena premica je
presečnica s ravnin E in Φ.

8’’

s’’

S’’

Presečišče drugih slednic obeh ravnin e2’’ in f2’’
predstavlja drugo točko presečnice S2’’, ki jo
nato prenesemo še v tlorisno ravnino – točka S2’.

n’’
K’’

ΦZ

r’’

p’

K’

p’’

S2’’

J’’

2’’ S1’’6’’

5’’ ΦX

7’

8’

1’

n’

S’
3’’

s’
e1’

m’’
5’

J’

P’
L’

r’

R’

2’
Ey
Φy

6’
S1’
y

m’

f1’

7’’

PODATKI:
Ravnina E - p [P(1/2, 3/2, 3), S(5/2, 1, 3/2)], r [R(1, 4, ½), S)]
Ravnina Φ - m [J(-5/2, 2, 1/2) L(-1, 3, 1)], n[K(-5/2, -9/2, 7/2), L)]
DOLOČITEV PRESEČNICE s pomočjo prebodov premic
p’’
z

4’’
K’

s’’

1’’

n’’

r’’
S’’

Točki 1’ in 2’ v tlorisni ravnini povežemo. Kjer
premica 1’2’ seka premico n’ ravnine Φ, dobimo
točko 3’, ki je tudi prvo prebodišče obeh ravnin.
Točko 3’ prenesemo v narisno ravnino – 3’’ leži na
premici n’’.

6’’ L’’
R’’

J’’

5’’
2’’

p’

J’

s’

r’

R’

m’’

3’’

P’

S’

m’

4’
L’

6’

n’

5’

2’
y

3’

V koordinatni sistem vrišemo podatke – točke P, R,
S, ki določajo presečnici p in r (ravnina E), in točke
J, K, L , ki določajo presečnici m in n (ravnina Φ).
Kjer premica n’’ ravnine Φ (v narisu) seka premico
p’’ ravnine E, dobimo točko 1’’. Kjer n’’ seka drugo
premico r’’ ravnine E, dobimo točko 2’’. Točki 1’’ in 2’’
prenesemo v tlorisno ravnino na ustrezni premici
(točka 1’ leži na premici p’, točka 2’ leži na premici r’).

K’’

P’’

PRESEK DVEH RAVNIN,
PODANIH S SEČNICAMA

1’

Kjer premica m’ ravnine Φ (v tlorisu) seka premico p’
ravnine E, dobimo točko 4’. Kjer m’’ seka drugo
premico r’ ravnine E, dobimo točko 5’. Točki 4’ in 5’
prenesemo v narisno ravnino na ustrezni premici
(točka 4’’ leži na p’’, točka 5’’ leži na r’’).
Točki 4’’ in 5’’ v narisni ravnini povežemo. Kjer
premica 4’’5’’ seka premico m’’, dobimo drugo
prebodišče ravnin E in Φ - točko 6’’. Točko
prenesemo v tlorisno ravnino – 6’ leži na premici m’.
V tlorisu in narisu povežemo prebodišči 3 in 6, s
tem pa dobimo presečnico s ravnin Φ in E.

PODATKI:
Ravnina Φ paralelograma ABCD
Φ [A (2, 6, ½), B (6, 3, 9/2), C (1, 0, 7), D]
Ravnina E trikotnika JKL
E [J (-1, 7, 7), K (9/2, 0, 2), L (-3, 9/2,0)]
z

C’’
s’

V koordinatni sistem vrišemo podatke – točke
paralelograma A, B, C. Ker ima paralelogram po dve
stranici vzporedni, dobimo tako tudi točko D. Točke
ABCD določajo ravnino Φ. Narišemo še točke
trikotnika J, K, L, ki določajo ravnino E.

J’’

2’’

4’’
B’’

PRESEK RAVNIN DVEH RAVNINSKIH LIKOV

Kjer stranica Δ J’’K’’ v narisu seka stranico
paralelograma A’’B’’ dobimo točko 1’’, ki jo prenesemo
v tloris na stranico A’B’ – točka 1’. Kjer J’’K’’ seka
stranico C’’D’’, dobimo točko 2’’, ki jo prav tako
prenesemo v tloris na stranico C’D’ - točka 2’.

3’’
D’’

1’’

6’’

Točki 1’ in 2’ v tlorisni ravnini povežemo. Kjer premica
1’2’ seka stranico Δ J’K’ dobimo točko 3’, ki je tudi
prvo prebodišče obeh ravnin. Točko 3’ prenesemo v
narisno ravnino – 3’’ leži na stranici J’’K’’.

K’’
K’

5’’

A’’

X1,2

0
L’’

C’
2’

s’
B’

5’

3’

L’

6’

1’

D’

4’

V tlorisni ravnini narišemo še točko 4’ (presečišče
stranic J’K’ in A’D’ ter točko 5’ (presečišče stranic K’L’
in A’D’. Obe točki prenesemo v narisno ravnino na
ustrezni stranici.
V narisni ravnini povežemo točki 4’’ in 5’’. Kjer
premica 4’’5’’ seka stranico paralelograma A’’D’’,
dobimo drugo prebodišče ravnin – točka 6’’. Točko
prenesemo v tlorisno ravnino – 6’ leži na stranici A’D’.
V tlorisu in narisu povežemo prebodišči 3 in 6, s tem
pa dobimo presečnico s ravnin Φ in E.

A’
y

J’

PODATKI:
Ravnina Φ paralelograma ABCD
Φ [A (2, 6, ½), B (6, 3, 9/2), C (1, 0, 7), D]
Ravnina E trikotnika JKL
E [J (-1, 7, 7), K (9/2, 0, 2), L (-3, 9/2,0)]

PRESEK RAVNIN DVEH RAVNINSKIH LIKOV

z

C’’

J’’
PRI RISANJU PAZIMO NA VIDNOST!

s’

2’’

4’’
B’’

3’’
D’’

1’’

6’’

K’’
K’

5’’

A’’

X1,2

0
L’’

C’
2’

s’
B’

5’

3’

L’

6’

1’
4’
A’
y

D’

J’


Slide 6

OPISNA GEOMETRIJA

MENTOR: DOC. DR. DOMEN KUŠAR

AVTORICA: KATJA CENTRIH

PRESEKI RAVNIN

Presek dveh ravnin je premica, na kateri ležijo
točke, ki so skupne obema ravninama. To premico
imenujemo presečnica. Če torej določimo vsaj 2
skupni točki danih ravnin, dobimo presečnico.

e2’’

f2’’
2’’
Če sta e1 in e2 slednici ravnine E, f1 in f2 pa
slednici ravnine Φ, sta točki 1(v kateri se sekata
e1 in f1) in 2 (v kateri se sekata e2 in f2) skupni
točki obeh ravnin. Premica p (1, 2) je tako
presečnica ravnin E in Φ.

p’’

1’’

X

2’
E0

Φ0
p’

1’
e1’

f1’

PODATKI:

PRESEK DVEH RAVNIN, PODANIH S SLEDNICAMA

Ravnina E (-3, 5/2, 7/2)
Ravnina Φ (6, 3, 5)
z

e2’’

f2’’

S2’’

V sečišču slednic e1’ in f1’ dobimo prvo točko
presečnice obeh ravnin – S1’, ki jo prenesemo tudi
v narisno ravnino - S1’’.

p’’

V sečišču slednic e1’’ in f1’’ dobimo drugo točko
presečnice obeh ravnin – S2’’, ki jo nato
prenesemo še v tlorisno ravnino – S2’.

S1’’
S2’

X1,2

V koordinatni sistem vrišemo podatke – slednici
ravnine E – e1’ in e2’’ in nato še slednici ravnine
Φ - f1’ in f2’’.

0

Točki S1 in S2 sta hkrati sledišči presečnice.

p’

Točki S1’ in S2’ povežemo in s tem dobimo
presečnico p’ ravnin E in Φ v tlorisni ravnini.
Povežemo tudi točki S1’’ in S2’’, s čimer dobimo
presečnico p’’ obeh ravnin v narisni ravnini.

S1’
f1’

e1’
y

PRESEK SPLOŠNE RAVNINE Φ
S PRVO PROJICIRNO RAVNINO E

PODATKI:
Ravnina Φ je podana z vzporednicama
a [A(-4, 4, 1), B(1, 0, 4)] in b [C(0, 4, 1)]
Projicirna ravnina E (-3, 2, ∞)

V koordinatni sistem vrišemo podatke –
vzporednici a in b, ki določata ravnino Φ in nato
še prvo projicirno ravnino E, ki je podana s
slednicama e1’ in e2’’.

z
e2’’
a’’

Ker je ravnina E prva projicirna ravnina, sta
prebodišči, ki določata presečnico s, v tlorisu
neposredno dani.

B’’

b’’

1’’

Kjer slednica e1’ seka premico a’, dobimo prvo
prebodišče 1’.
Kjer slednica e1’ seka drugo premico b’, dobimo
drugo prebodišče 2’.
Slednica e1’ je torej tudi presečnica ravnin E in Φ
(e1’ = s’).

2’’
s’

C’’

A’’

B’
0

X1,2

Točki 1’ in 2’ prenesmo v narisno ravnino.
Prebodišče 1’’ leži na premici a’’, prebodišče 2’’
pa na drugi premici b’’.
Točki povežemo in tako dobimo presečnico s’’
ravnin E in Φ v narisni ravnini.

1’
2’

s’
e1’

A’
C’

b’
y

a’

PODATKI:
Ravnina E - p [P(1/2, 3/2, 3), S(5/2, 1, 3/2)], r [R(1, 4, ½), S)]
Ravnina Φ - m [J(-5/2, 2, 1/2) L(-1, 3, 1)], n[K(-5/2, -9/2, 7/2), L)]

PRESEK DVEH RAVNIN,
PODANIH S SEČNICAMA

DOLOČITEV PRESEČNICE s pomočjo risanja slednic

V koordinatni sistem vrišemo podatke – ravnino
E, ki je podana s sečnicama p in r, ter ravnino Φ,
ki je podana s sečnicama m in n.
z
Ez

e2’’

8’’

4’’

m’’

S’’
p’

R’’
3’

Ex

4’

f2’’

L’’
J’’

2’’

6’’

1’’

X1,2

n’’
K’’

ΦZ

P’’

r’’

K’

p’’

Če želimo določiti presečnico s ravnin E in Φ,
moramo najti vsaj dve skupni točki obeh ravnin.
V ta namen pa moramo najprej določiti slednici
obeh ravnin.

5’’ ΦX

7’

8’

1’

n’

S’

J’

P’

3’’
e1’

5’

r’

L’

R’

2’
Ey
Φy

6’

y

m’

f1’

7’’

Kjer premica p’’ seka koordinatno os x, dobimo
točko 1’’, ki jo prenesemo v tlorisno ravnino na
ustrezno premico (1’ leži na p’). Kjer premica r’’
seka koordinatno os x, dobimo točko 2’’, ki jo
prenesemo na tlorisno projekcijo premice r (2’ leži
na r’).
Točki 1’ in 2’ povežemo in tako dobimo prvo
slednico e1’ ravnine E in s tem tudi dve sledišči te
ravnine - Ex in Ey.
Kjer premica p’ seka koordinatno os x, dobimo
točko 3’, ki jo prenesemo na narisno projekcijo
premice p. Kjer premica r’ seka koordinatno os x,
dobimo točko 4’, ki jo prav tako prenesemo v
narisno ravnino, in sicer na premico r’’. Točki v
narisni ravnini 3’’ in 4’’ povežemo in tako dobimo
še drugo slednico e2’’ ravnine E, ter sledišče
ravnine Ez.
Za določitev obeh slednic druge ravnine Φ, je
postopek enak.

PODATKI:
Ravnina E - p [P(1/2, 3/2, 3), S(5/2, 1, 3/2)], r [R(1, 4, ½), S)]
Ravnina Φ - m [J(-5/2, 2, 1/2) L(-1, 3, 1)], n[K(-5/2, -9/2, 7/2), L)]

PRESEK DVEH RAVNIN,
PODANIH S SEČNICAMA

DOLOČITEV PRESEČNICE s pomočjo risanja slednic

Presečišče prvih slednic obeh ravnin e1’ in f1’ je
prva točka presečnice S1’, ki jo prenesemo še v
narisno ravnino – točka S1’’.

z
Ez

e2’’
P’’

4’’

3’

4’

S2’

1’’

X1,2

f2’’

L’’
R’’

Ex

V tlorisni in narisni ravnini povežemo obe točki
presečnice S1 in S2, dobljena premica je
presečnica s ravnin E in Φ.

8’’

s’’

S’’

Presečišče drugih slednic obeh ravnin e2’’ in f2’’
predstavlja drugo točko presečnice S2’’, ki jo
nato prenesemo še v tlorisno ravnino – točka S2’.

n’’
K’’

ΦZ

r’’

p’

K’

p’’

S2’’

J’’

2’’ S1’’6’’

5’’ ΦX

7’

8’

1’

n’

S’
3’’

s’
e1’

m’’
5’

J’

P’
L’

r’

R’

2’
Ey
Φy

6’
S1’
y

m’

f1’

7’’

PODATKI:
Ravnina E - p [P(1/2, 3/2, 3), S(5/2, 1, 3/2)], r [R(1, 4, ½), S)]
Ravnina Φ - m [J(-5/2, 2, 1/2) L(-1, 3, 1)], n[K(-5/2, -9/2, 7/2), L)]
DOLOČITEV PRESEČNICE s pomočjo prebodov premic
p’’
z

4’’
K’

s’’

1’’

n’’

r’’
S’’

Točki 1’ in 2’ v tlorisni ravnini povežemo. Kjer
premica 1’2’ seka premico n’ ravnine Φ, dobimo
točko 3’, ki je tudi prvo prebodišče obeh ravnin.
Točko 3’ prenesemo v narisno ravnino – 3’’ leži na
premici n’’.

6’’ L’’
R’’

J’’

5’’
2’’

p’

J’

s’

r’

R’

m’’

3’’

P’

S’

m’

4’
L’

6’

n’

5’

2’
y

3’

V koordinatni sistem vrišemo podatke – točke P, R,
S, ki določajo presečnici p in r (ravnina E), in točke
J, K, L , ki določajo presečnici m in n (ravnina Φ).
Kjer premica n’’ ravnine Φ (v narisu) seka premico
p’’ ravnine E, dobimo točko 1’’. Kjer n’’ seka drugo
premico r’’ ravnine E, dobimo točko 2’’. Točki 1’’ in 2’’
prenesemo v tlorisno ravnino na ustrezni premici
(točka 1’ leži na premici p’, točka 2’ leži na premici r’).

K’’

P’’

PRESEK DVEH RAVNIN,
PODANIH S SEČNICAMA

1’

Kjer premica m’ ravnine Φ (v tlorisu) seka premico p’
ravnine E, dobimo točko 4’. Kjer m’’ seka drugo
premico r’ ravnine E, dobimo točko 5’. Točki 4’ in 5’
prenesemo v narisno ravnino na ustrezni premici
(točka 4’’ leži na p’’, točka 5’’ leži na r’’).
Točki 4’’ in 5’’ v narisni ravnini povežemo. Kjer
premica 4’’5’’ seka premico m’’, dobimo drugo
prebodišče ravnin E in Φ - točko 6’’. Točko
prenesemo v tlorisno ravnino – 6’ leži na premici m’.
V tlorisu in narisu povežemo prebodišči 3 in 6, s
tem pa dobimo presečnico s ravnin Φ in E.

PODATKI:
Ravnina Φ paralelograma ABCD
Φ [A (2, 6, ½), B (6, 3, 9/2), C (1, 0, 7), D]
Ravnina E trikotnika JKL
E [J (-1, 7, 7), K (9/2, 0, 2), L (-3, 9/2,0)]
z

C’’
s’

V koordinatni sistem vrišemo podatke – točke
paralelograma A, B, C. Ker ima paralelogram po dve
stranici vzporedni, dobimo tako tudi točko D. Točke
ABCD določajo ravnino Φ. Narišemo še točke
trikotnika J, K, L, ki določajo ravnino E.

J’’

2’’

4’’
B’’

PRESEK RAVNIN DVEH RAVNINSKIH LIKOV

Kjer stranica Δ J’’K’’ v narisu seka stranico
paralelograma A’’B’’ dobimo točko 1’’, ki jo prenesemo
v tloris na stranico A’B’ – točka 1’. Kjer J’’K’’ seka
stranico C’’D’’, dobimo točko 2’’, ki jo prav tako
prenesemo v tloris na stranico C’D’ - točka 2’.

3’’
D’’

1’’

6’’

Točki 1’ in 2’ v tlorisni ravnini povežemo. Kjer premica
1’2’ seka stranico Δ J’K’ dobimo točko 3’, ki je tudi
prvo prebodišče obeh ravnin. Točko 3’ prenesemo v
narisno ravnino – 3’’ leži na stranici J’’K’’.

K’’
K’

5’’

A’’

X1,2

0
L’’

C’
2’

s’
B’

5’

3’

L’

6’

1’

D’

4’

V tlorisni ravnini narišemo še točko 4’ (presečišče
stranic J’K’ in A’D’ ter točko 5’ (presečišče stranic K’L’
in A’D’. Obe točki prenesemo v narisno ravnino na
ustrezni stranici.
V narisni ravnini povežemo točki 4’’ in 5’’. Kjer
premica 4’’5’’ seka stranico paralelograma A’’D’’,
dobimo drugo prebodišče ravnin – točka 6’’. Točko
prenesemo v tlorisno ravnino – 6’ leži na stranici A’D’.
V tlorisu in narisu povežemo prebodišči 3 in 6, s tem
pa dobimo presečnico s ravnin Φ in E.

A’
y

J’

PODATKI:
Ravnina Φ paralelograma ABCD
Φ [A (2, 6, ½), B (6, 3, 9/2), C (1, 0, 7), D]
Ravnina E trikotnika JKL
E [J (-1, 7, 7), K (9/2, 0, 2), L (-3, 9/2,0)]

PRESEK RAVNIN DVEH RAVNINSKIH LIKOV

z

C’’

J’’
PRI RISANJU PAZIMO NA VIDNOST!

s’

2’’

4’’
B’’

3’’
D’’

1’’

6’’

K’’
K’

5’’

A’’

X1,2

0
L’’

C’
2’

s’
B’

5’

3’

L’

6’

1’
4’
A’
y

D’

J’


Slide 7

OPISNA GEOMETRIJA

MENTOR: DOC. DR. DOMEN KUŠAR

AVTORICA: KATJA CENTRIH

PRESEKI RAVNIN

Presek dveh ravnin je premica, na kateri ležijo
točke, ki so skupne obema ravninama. To premico
imenujemo presečnica. Če torej določimo vsaj 2
skupni točki danih ravnin, dobimo presečnico.

e2’’

f2’’
2’’
Če sta e1 in e2 slednici ravnine E, f1 in f2 pa
slednici ravnine Φ, sta točki 1(v kateri se sekata
e1 in f1) in 2 (v kateri se sekata e2 in f2) skupni
točki obeh ravnin. Premica p (1, 2) je tako
presečnica ravnin E in Φ.

p’’

1’’

X

2’
E0

Φ0
p’

1’
e1’

f1’

PODATKI:

PRESEK DVEH RAVNIN, PODANIH S SLEDNICAMA

Ravnina E (-3, 5/2, 7/2)
Ravnina Φ (6, 3, 5)
z

e2’’

f2’’

S2’’

V sečišču slednic e1’ in f1’ dobimo prvo točko
presečnice obeh ravnin – S1’, ki jo prenesemo tudi
v narisno ravnino - S1’’.

p’’

V sečišču slednic e1’’ in f1’’ dobimo drugo točko
presečnice obeh ravnin – S2’’, ki jo nato
prenesemo še v tlorisno ravnino – S2’.

S1’’
S2’

X1,2

V koordinatni sistem vrišemo podatke – slednici
ravnine E – e1’ in e2’’ in nato še slednici ravnine
Φ - f1’ in f2’’.

0

Točki S1 in S2 sta hkrati sledišči presečnice.

p’

Točki S1’ in S2’ povežemo in s tem dobimo
presečnico p’ ravnin E in Φ v tlorisni ravnini.
Povežemo tudi točki S1’’ in S2’’, s čimer dobimo
presečnico p’’ obeh ravnin v narisni ravnini.

S1’
f1’

e1’
y

PRESEK SPLOŠNE RAVNINE Φ
S PRVO PROJICIRNO RAVNINO E

PODATKI:
Ravnina Φ je podana z vzporednicama
a [A(-4, 4, 1), B(1, 0, 4)] in b [C(0, 4, 1)]
Projicirna ravnina E (-3, 2, ∞)

V koordinatni sistem vrišemo podatke –
vzporednici a in b, ki določata ravnino Φ in nato
še prvo projicirno ravnino E, ki je podana s
slednicama e1’ in e2’’.

z
e2’’
a’’

Ker je ravnina E prva projicirna ravnina, sta
prebodišči, ki določata presečnico s, v tlorisu
neposredno dani.

B’’

b’’

1’’

Kjer slednica e1’ seka premico a’, dobimo prvo
prebodišče 1’.
Kjer slednica e1’ seka drugo premico b’, dobimo
drugo prebodišče 2’.
Slednica e1’ je torej tudi presečnica ravnin E in Φ
(e1’ = s’).

2’’
s’

C’’

A’’

B’
0

X1,2

Točki 1’ in 2’ prenesmo v narisno ravnino.
Prebodišče 1’’ leži na premici a’’, prebodišče 2’’
pa na drugi premici b’’.
Točki povežemo in tako dobimo presečnico s’’
ravnin E in Φ v narisni ravnini.

1’
2’

s’
e1’

A’
C’

b’
y

a’

PODATKI:
Ravnina E - p [P(1/2, 3/2, 3), S(5/2, 1, 3/2)], r [R(1, 4, ½), S)]
Ravnina Φ - m [J(-5/2, 2, 1/2) L(-1, 3, 1)], n[K(-5/2, -9/2, 7/2), L)]

PRESEK DVEH RAVNIN,
PODANIH S SEČNICAMA

DOLOČITEV PRESEČNICE s pomočjo risanja slednic

V koordinatni sistem vrišemo podatke – ravnino
E, ki je podana s sečnicama p in r, ter ravnino Φ,
ki je podana s sečnicama m in n.
z
Ez

e2’’

8’’

4’’

m’’

S’’
p’

R’’
3’

Ex

4’

f2’’

L’’
J’’

2’’

6’’

1’’

X1,2

n’’
K’’

ΦZ

P’’

r’’

K’

p’’

Če želimo določiti presečnico s ravnin E in Φ,
moramo najti vsaj dve skupni točki obeh ravnin.
V ta namen pa moramo najprej določiti slednici
obeh ravnin.

5’’ ΦX

7’

8’

1’

n’

S’

J’

P’

3’’
e1’

5’

r’

L’

R’

2’
Ey
Φy

6’

y

m’

f1’

7’’

Kjer premica p’’ seka koordinatno os x, dobimo
točko 1’’, ki jo prenesemo v tlorisno ravnino na
ustrezno premico (1’ leži na p’). Kjer premica r’’
seka koordinatno os x, dobimo točko 2’’, ki jo
prenesemo na tlorisno projekcijo premice r (2’ leži
na r’).
Točki 1’ in 2’ povežemo in tako dobimo prvo
slednico e1’ ravnine E in s tem tudi dve sledišči te
ravnine - Ex in Ey.
Kjer premica p’ seka koordinatno os x, dobimo
točko 3’, ki jo prenesemo na narisno projekcijo
premice p. Kjer premica r’ seka koordinatno os x,
dobimo točko 4’, ki jo prav tako prenesemo v
narisno ravnino, in sicer na premico r’’. Točki v
narisni ravnini 3’’ in 4’’ povežemo in tako dobimo
še drugo slednico e2’’ ravnine E, ter sledišče
ravnine Ez.
Za določitev obeh slednic druge ravnine Φ, je
postopek enak.

PODATKI:
Ravnina E - p [P(1/2, 3/2, 3), S(5/2, 1, 3/2)], r [R(1, 4, ½), S)]
Ravnina Φ - m [J(-5/2, 2, 1/2) L(-1, 3, 1)], n[K(-5/2, -9/2, 7/2), L)]

PRESEK DVEH RAVNIN,
PODANIH S SEČNICAMA

DOLOČITEV PRESEČNICE s pomočjo risanja slednic

Presečišče prvih slednic obeh ravnin e1’ in f1’ je
prva točka presečnice S1’, ki jo prenesemo še v
narisno ravnino – točka S1’’.

z
Ez

e2’’
P’’

4’’

3’

4’

S2’

1’’

X1,2

f2’’

L’’
R’’

Ex

V tlorisni in narisni ravnini povežemo obe točki
presečnice S1 in S2, dobljena premica je
presečnica s ravnin E in Φ.

8’’

s’’

S’’

Presečišče drugih slednic obeh ravnin e2’’ in f2’’
predstavlja drugo točko presečnice S2’’, ki jo
nato prenesemo še v tlorisno ravnino – točka S2’.

n’’
K’’

ΦZ

r’’

p’

K’

p’’

S2’’

J’’

2’’ S1’’6’’

5’’ ΦX

7’

8’

1’

n’

S’
3’’

s’
e1’

m’’
5’

J’

P’
L’

r’

R’

2’
Ey
Φy

6’
S1’
y

m’

f1’

7’’

PODATKI:
Ravnina E - p [P(1/2, 3/2, 3), S(5/2, 1, 3/2)], r [R(1, 4, ½), S)]
Ravnina Φ - m [J(-5/2, 2, 1/2) L(-1, 3, 1)], n[K(-5/2, -9/2, 7/2), L)]
DOLOČITEV PRESEČNICE s pomočjo prebodov premic
p’’
z

4’’
K’

s’’

1’’

n’’

r’’
S’’

Točki 1’ in 2’ v tlorisni ravnini povežemo. Kjer
premica 1’2’ seka premico n’ ravnine Φ, dobimo
točko 3’, ki je tudi prvo prebodišče obeh ravnin.
Točko 3’ prenesemo v narisno ravnino – 3’’ leži na
premici n’’.

6’’ L’’
R’’

J’’

5’’
2’’

p’

J’

s’

r’

R’

m’’

3’’

P’

S’

m’

4’
L’

6’

n’

5’

2’
y

3’

V koordinatni sistem vrišemo podatke – točke P, R,
S, ki določajo presečnici p in r (ravnina E), in točke
J, K, L , ki določajo presečnici m in n (ravnina Φ).
Kjer premica n’’ ravnine Φ (v narisu) seka premico
p’’ ravnine E, dobimo točko 1’’. Kjer n’’ seka drugo
premico r’’ ravnine E, dobimo točko 2’’. Točki 1’’ in 2’’
prenesemo v tlorisno ravnino na ustrezni premici
(točka 1’ leži na premici p’, točka 2’ leži na premici r’).

K’’

P’’

PRESEK DVEH RAVNIN,
PODANIH S SEČNICAMA

1’

Kjer premica m’ ravnine Φ (v tlorisu) seka premico p’
ravnine E, dobimo točko 4’. Kjer m’’ seka drugo
premico r’ ravnine E, dobimo točko 5’. Točki 4’ in 5’
prenesemo v narisno ravnino na ustrezni premici
(točka 4’’ leži na p’’, točka 5’’ leži na r’’).
Točki 4’’ in 5’’ v narisni ravnini povežemo. Kjer
premica 4’’5’’ seka premico m’’, dobimo drugo
prebodišče ravnin E in Φ - točko 6’’. Točko
prenesemo v tlorisno ravnino – 6’ leži na premici m’.
V tlorisu in narisu povežemo prebodišči 3 in 6, s
tem pa dobimo presečnico s ravnin Φ in E.

PODATKI:
Ravnina Φ paralelograma ABCD
Φ [A (2, 6, ½), B (6, 3, 9/2), C (1, 0, 7), D]
Ravnina E trikotnika JKL
E [J (-1, 7, 7), K (9/2, 0, 2), L (-3, 9/2,0)]
z

C’’
s’

V koordinatni sistem vrišemo podatke – točke
paralelograma A, B, C. Ker ima paralelogram po dve
stranici vzporedni, dobimo tako tudi točko D. Točke
ABCD določajo ravnino Φ. Narišemo še točke
trikotnika J, K, L, ki določajo ravnino E.

J’’

2’’

4’’
B’’

PRESEK RAVNIN DVEH RAVNINSKIH LIKOV

Kjer stranica Δ J’’K’’ v narisu seka stranico
paralelograma A’’B’’ dobimo točko 1’’, ki jo prenesemo
v tloris na stranico A’B’ – točka 1’. Kjer J’’K’’ seka
stranico C’’D’’, dobimo točko 2’’, ki jo prav tako
prenesemo v tloris na stranico C’D’ - točka 2’.

3’’
D’’

1’’

6’’

Točki 1’ in 2’ v tlorisni ravnini povežemo. Kjer premica
1’2’ seka stranico Δ J’K’ dobimo točko 3’, ki je tudi
prvo prebodišče obeh ravnin. Točko 3’ prenesemo v
narisno ravnino – 3’’ leži na stranici J’’K’’.

K’’
K’

5’’

A’’

X1,2

0
L’’

C’
2’

s’
B’

5’

3’

L’

6’

1’

D’

4’

V tlorisni ravnini narišemo še točko 4’ (presečišče
stranic J’K’ in A’D’ ter točko 5’ (presečišče stranic K’L’
in A’D’. Obe točki prenesemo v narisno ravnino na
ustrezni stranici.
V narisni ravnini povežemo točki 4’’ in 5’’. Kjer
premica 4’’5’’ seka stranico paralelograma A’’D’’,
dobimo drugo prebodišče ravnin – točka 6’’. Točko
prenesemo v tlorisno ravnino – 6’ leži na stranici A’D’.
V tlorisu in narisu povežemo prebodišči 3 in 6, s tem
pa dobimo presečnico s ravnin Φ in E.

A’
y

J’

PODATKI:
Ravnina Φ paralelograma ABCD
Φ [A (2, 6, ½), B (6, 3, 9/2), C (1, 0, 7), D]
Ravnina E trikotnika JKL
E [J (-1, 7, 7), K (9/2, 0, 2), L (-3, 9/2,0)]

PRESEK RAVNIN DVEH RAVNINSKIH LIKOV

z

C’’

J’’
PRI RISANJU PAZIMO NA VIDNOST!

s’

2’’

4’’
B’’

3’’
D’’

1’’

6’’

K’’
K’

5’’

A’’

X1,2

0
L’’

C’
2’

s’
B’

5’

3’

L’

6’

1’
4’
A’
y

D’

J’


Slide 8

OPISNA GEOMETRIJA

MENTOR: DOC. DR. DOMEN KUŠAR

AVTORICA: KATJA CENTRIH

PRESEKI RAVNIN

Presek dveh ravnin je premica, na kateri ležijo
točke, ki so skupne obema ravninama. To premico
imenujemo presečnica. Če torej določimo vsaj 2
skupni točki danih ravnin, dobimo presečnico.

e2’’

f2’’
2’’
Če sta e1 in e2 slednici ravnine E, f1 in f2 pa
slednici ravnine Φ, sta točki 1(v kateri se sekata
e1 in f1) in 2 (v kateri se sekata e2 in f2) skupni
točki obeh ravnin. Premica p (1, 2) je tako
presečnica ravnin E in Φ.

p’’

1’’

X

2’
E0

Φ0
p’

1’
e1’

f1’

PODATKI:

PRESEK DVEH RAVNIN, PODANIH S SLEDNICAMA

Ravnina E (-3, 5/2, 7/2)
Ravnina Φ (6, 3, 5)
z

e2’’

f2’’

S2’’

V sečišču slednic e1’ in f1’ dobimo prvo točko
presečnice obeh ravnin – S1’, ki jo prenesemo tudi
v narisno ravnino - S1’’.

p’’

V sečišču slednic e1’’ in f1’’ dobimo drugo točko
presečnice obeh ravnin – S2’’, ki jo nato
prenesemo še v tlorisno ravnino – S2’.

S1’’
S2’

X1,2

V koordinatni sistem vrišemo podatke – slednici
ravnine E – e1’ in e2’’ in nato še slednici ravnine
Φ - f1’ in f2’’.

0

Točki S1 in S2 sta hkrati sledišči presečnice.

p’

Točki S1’ in S2’ povežemo in s tem dobimo
presečnico p’ ravnin E in Φ v tlorisni ravnini.
Povežemo tudi točki S1’’ in S2’’, s čimer dobimo
presečnico p’’ obeh ravnin v narisni ravnini.

S1’
f1’

e1’
y

PRESEK SPLOŠNE RAVNINE Φ
S PRVO PROJICIRNO RAVNINO E

PODATKI:
Ravnina Φ je podana z vzporednicama
a [A(-4, 4, 1), B(1, 0, 4)] in b [C(0, 4, 1)]
Projicirna ravnina E (-3, 2, ∞)

V koordinatni sistem vrišemo podatke –
vzporednici a in b, ki določata ravnino Φ in nato
še prvo projicirno ravnino E, ki je podana s
slednicama e1’ in e2’’.

z
e2’’
a’’

Ker je ravnina E prva projicirna ravnina, sta
prebodišči, ki določata presečnico s, v tlorisu
neposredno dani.

B’’

b’’

1’’

Kjer slednica e1’ seka premico a’, dobimo prvo
prebodišče 1’.
Kjer slednica e1’ seka drugo premico b’, dobimo
drugo prebodišče 2’.
Slednica e1’ je torej tudi presečnica ravnin E in Φ
(e1’ = s’).

2’’
s’

C’’

A’’

B’
0

X1,2

Točki 1’ in 2’ prenesmo v narisno ravnino.
Prebodišče 1’’ leži na premici a’’, prebodišče 2’’
pa na drugi premici b’’.
Točki povežemo in tako dobimo presečnico s’’
ravnin E in Φ v narisni ravnini.

1’
2’

s’
e1’

A’
C’

b’
y

a’

PODATKI:
Ravnina E - p [P(1/2, 3/2, 3), S(5/2, 1, 3/2)], r [R(1, 4, ½), S)]
Ravnina Φ - m [J(-5/2, 2, 1/2) L(-1, 3, 1)], n[K(-5/2, -9/2, 7/2), L)]

PRESEK DVEH RAVNIN,
PODANIH S SEČNICAMA

DOLOČITEV PRESEČNICE s pomočjo risanja slednic

V koordinatni sistem vrišemo podatke – ravnino
E, ki je podana s sečnicama p in r, ter ravnino Φ,
ki je podana s sečnicama m in n.
z
Ez

e2’’

8’’

4’’

m’’

S’’
p’

R’’
3’

Ex

4’

f2’’

L’’
J’’

2’’

6’’

1’’

X1,2

n’’
K’’

ΦZ

P’’

r’’

K’

p’’

Če želimo določiti presečnico s ravnin E in Φ,
moramo najti vsaj dve skupni točki obeh ravnin.
V ta namen pa moramo najprej določiti slednici
obeh ravnin.

5’’ ΦX

7’

8’

1’

n’

S’

J’

P’

3’’
e1’

5’

r’

L’

R’

2’
Ey
Φy

6’

y

m’

f1’

7’’

Kjer premica p’’ seka koordinatno os x, dobimo
točko 1’’, ki jo prenesemo v tlorisno ravnino na
ustrezno premico (1’ leži na p’). Kjer premica r’’
seka koordinatno os x, dobimo točko 2’’, ki jo
prenesemo na tlorisno projekcijo premice r (2’ leži
na r’).
Točki 1’ in 2’ povežemo in tako dobimo prvo
slednico e1’ ravnine E in s tem tudi dve sledišči te
ravnine - Ex in Ey.
Kjer premica p’ seka koordinatno os x, dobimo
točko 3’, ki jo prenesemo na narisno projekcijo
premice p. Kjer premica r’ seka koordinatno os x,
dobimo točko 4’, ki jo prav tako prenesemo v
narisno ravnino, in sicer na premico r’’. Točki v
narisni ravnini 3’’ in 4’’ povežemo in tako dobimo
še drugo slednico e2’’ ravnine E, ter sledišče
ravnine Ez.
Za določitev obeh slednic druge ravnine Φ, je
postopek enak.

PODATKI:
Ravnina E - p [P(1/2, 3/2, 3), S(5/2, 1, 3/2)], r [R(1, 4, ½), S)]
Ravnina Φ - m [J(-5/2, 2, 1/2) L(-1, 3, 1)], n[K(-5/2, -9/2, 7/2), L)]

PRESEK DVEH RAVNIN,
PODANIH S SEČNICAMA

DOLOČITEV PRESEČNICE s pomočjo risanja slednic

Presečišče prvih slednic obeh ravnin e1’ in f1’ je
prva točka presečnice S1’, ki jo prenesemo še v
narisno ravnino – točka S1’’.

z
Ez

e2’’
P’’

4’’

3’

4’

S2’

1’’

X1,2

f2’’

L’’
R’’

Ex

V tlorisni in narisni ravnini povežemo obe točki
presečnice S1 in S2, dobljena premica je
presečnica s ravnin E in Φ.

8’’

s’’

S’’

Presečišče drugih slednic obeh ravnin e2’’ in f2’’
predstavlja drugo točko presečnice S2’’, ki jo
nato prenesemo še v tlorisno ravnino – točka S2’.

n’’
K’’

ΦZ

r’’

p’

K’

p’’

S2’’

J’’

2’’ S1’’6’’

5’’ ΦX

7’

8’

1’

n’

S’
3’’

s’
e1’

m’’
5’

J’

P’
L’

r’

R’

2’
Ey
Φy

6’
S1’
y

m’

f1’

7’’

PODATKI:
Ravnina E - p [P(1/2, 3/2, 3), S(5/2, 1, 3/2)], r [R(1, 4, ½), S)]
Ravnina Φ - m [J(-5/2, 2, 1/2) L(-1, 3, 1)], n[K(-5/2, -9/2, 7/2), L)]
DOLOČITEV PRESEČNICE s pomočjo prebodov premic
p’’
z

4’’
K’

s’’

1’’

n’’

r’’
S’’

Točki 1’ in 2’ v tlorisni ravnini povežemo. Kjer
premica 1’2’ seka premico n’ ravnine Φ, dobimo
točko 3’, ki je tudi prvo prebodišče obeh ravnin.
Točko 3’ prenesemo v narisno ravnino – 3’’ leži na
premici n’’.

6’’ L’’
R’’

J’’

5’’
2’’

p’

J’

s’

r’

R’

m’’

3’’

P’

S’

m’

4’
L’

6’

n’

5’

2’
y

3’

V koordinatni sistem vrišemo podatke – točke P, R,
S, ki določajo presečnici p in r (ravnina E), in točke
J, K, L , ki določajo presečnici m in n (ravnina Φ).
Kjer premica n’’ ravnine Φ (v narisu) seka premico
p’’ ravnine E, dobimo točko 1’’. Kjer n’’ seka drugo
premico r’’ ravnine E, dobimo točko 2’’. Točki 1’’ in 2’’
prenesemo v tlorisno ravnino na ustrezni premici
(točka 1’ leži na premici p’, točka 2’ leži na premici r’).

K’’

P’’

PRESEK DVEH RAVNIN,
PODANIH S SEČNICAMA

1’

Kjer premica m’ ravnine Φ (v tlorisu) seka premico p’
ravnine E, dobimo točko 4’. Kjer m’’ seka drugo
premico r’ ravnine E, dobimo točko 5’. Točki 4’ in 5’
prenesemo v narisno ravnino na ustrezni premici
(točka 4’’ leži na p’’, točka 5’’ leži na r’’).
Točki 4’’ in 5’’ v narisni ravnini povežemo. Kjer
premica 4’’5’’ seka premico m’’, dobimo drugo
prebodišče ravnin E in Φ - točko 6’’. Točko
prenesemo v tlorisno ravnino – 6’ leži na premici m’.
V tlorisu in narisu povežemo prebodišči 3 in 6, s
tem pa dobimo presečnico s ravnin Φ in E.

PODATKI:
Ravnina Φ paralelograma ABCD
Φ [A (2, 6, ½), B (6, 3, 9/2), C (1, 0, 7), D]
Ravnina E trikotnika JKL
E [J (-1, 7, 7), K (9/2, 0, 2), L (-3, 9/2,0)]
z

C’’
s’

V koordinatni sistem vrišemo podatke – točke
paralelograma A, B, C. Ker ima paralelogram po dve
stranici vzporedni, dobimo tako tudi točko D. Točke
ABCD določajo ravnino Φ. Narišemo še točke
trikotnika J, K, L, ki določajo ravnino E.

J’’

2’’

4’’
B’’

PRESEK RAVNIN DVEH RAVNINSKIH LIKOV

Kjer stranica Δ J’’K’’ v narisu seka stranico
paralelograma A’’B’’ dobimo točko 1’’, ki jo prenesemo
v tloris na stranico A’B’ – točka 1’. Kjer J’’K’’ seka
stranico C’’D’’, dobimo točko 2’’, ki jo prav tako
prenesemo v tloris na stranico C’D’ - točka 2’.

3’’
D’’

1’’

6’’

Točki 1’ in 2’ v tlorisni ravnini povežemo. Kjer premica
1’2’ seka stranico Δ J’K’ dobimo točko 3’, ki je tudi
prvo prebodišče obeh ravnin. Točko 3’ prenesemo v
narisno ravnino – 3’’ leži na stranici J’’K’’.

K’’
K’

5’’

A’’

X1,2

0
L’’

C’
2’

s’
B’

5’

3’

L’

6’

1’

D’

4’

V tlorisni ravnini narišemo še točko 4’ (presečišče
stranic J’K’ in A’D’ ter točko 5’ (presečišče stranic K’L’
in A’D’. Obe točki prenesemo v narisno ravnino na
ustrezni stranici.
V narisni ravnini povežemo točki 4’’ in 5’’. Kjer
premica 4’’5’’ seka stranico paralelograma A’’D’’,
dobimo drugo prebodišče ravnin – točka 6’’. Točko
prenesemo v tlorisno ravnino – 6’ leži na stranici A’D’.
V tlorisu in narisu povežemo prebodišči 3 in 6, s tem
pa dobimo presečnico s ravnin Φ in E.

A’
y

J’

PODATKI:
Ravnina Φ paralelograma ABCD
Φ [A (2, 6, ½), B (6, 3, 9/2), C (1, 0, 7), D]
Ravnina E trikotnika JKL
E [J (-1, 7, 7), K (9/2, 0, 2), L (-3, 9/2,0)]

PRESEK RAVNIN DVEH RAVNINSKIH LIKOV

z

C’’

J’’
PRI RISANJU PAZIMO NA VIDNOST!

s’

2’’

4’’
B’’

3’’
D’’

1’’

6’’

K’’
K’

5’’

A’’

X1,2

0
L’’

C’
2’

s’
B’

5’

3’

L’

6’

1’
4’
A’
y

D’

J’


Slide 9

OPISNA GEOMETRIJA

MENTOR: DOC. DR. DOMEN KUŠAR

AVTORICA: KATJA CENTRIH

PRESEKI RAVNIN

Presek dveh ravnin je premica, na kateri ležijo
točke, ki so skupne obema ravninama. To premico
imenujemo presečnica. Če torej določimo vsaj 2
skupni točki danih ravnin, dobimo presečnico.

e2’’

f2’’
2’’
Če sta e1 in e2 slednici ravnine E, f1 in f2 pa
slednici ravnine Φ, sta točki 1(v kateri se sekata
e1 in f1) in 2 (v kateri se sekata e2 in f2) skupni
točki obeh ravnin. Premica p (1, 2) je tako
presečnica ravnin E in Φ.

p’’

1’’

X

2’
E0

Φ0
p’

1’
e1’

f1’

PODATKI:

PRESEK DVEH RAVNIN, PODANIH S SLEDNICAMA

Ravnina E (-3, 5/2, 7/2)
Ravnina Φ (6, 3, 5)
z

e2’’

f2’’

S2’’

V sečišču slednic e1’ in f1’ dobimo prvo točko
presečnice obeh ravnin – S1’, ki jo prenesemo tudi
v narisno ravnino - S1’’.

p’’

V sečišču slednic e1’’ in f1’’ dobimo drugo točko
presečnice obeh ravnin – S2’’, ki jo nato
prenesemo še v tlorisno ravnino – S2’.

S1’’
S2’

X1,2

V koordinatni sistem vrišemo podatke – slednici
ravnine E – e1’ in e2’’ in nato še slednici ravnine
Φ - f1’ in f2’’.

0

Točki S1 in S2 sta hkrati sledišči presečnice.

p’

Točki S1’ in S2’ povežemo in s tem dobimo
presečnico p’ ravnin E in Φ v tlorisni ravnini.
Povežemo tudi točki S1’’ in S2’’, s čimer dobimo
presečnico p’’ obeh ravnin v narisni ravnini.

S1’
f1’

e1’
y

PRESEK SPLOŠNE RAVNINE Φ
S PRVO PROJICIRNO RAVNINO E

PODATKI:
Ravnina Φ je podana z vzporednicama
a [A(-4, 4, 1), B(1, 0, 4)] in b [C(0, 4, 1)]
Projicirna ravnina E (-3, 2, ∞)

V koordinatni sistem vrišemo podatke –
vzporednici a in b, ki določata ravnino Φ in nato
še prvo projicirno ravnino E, ki je podana s
slednicama e1’ in e2’’.

z
e2’’
a’’

Ker je ravnina E prva projicirna ravnina, sta
prebodišči, ki določata presečnico s, v tlorisu
neposredno dani.

B’’

b’’

1’’

Kjer slednica e1’ seka premico a’, dobimo prvo
prebodišče 1’.
Kjer slednica e1’ seka drugo premico b’, dobimo
drugo prebodišče 2’.
Slednica e1’ je torej tudi presečnica ravnin E in Φ
(e1’ = s’).

2’’
s’

C’’

A’’

B’
0

X1,2

Točki 1’ in 2’ prenesmo v narisno ravnino.
Prebodišče 1’’ leži na premici a’’, prebodišče 2’’
pa na drugi premici b’’.
Točki povežemo in tako dobimo presečnico s’’
ravnin E in Φ v narisni ravnini.

1’
2’

s’
e1’

A’
C’

b’
y

a’

PODATKI:
Ravnina E - p [P(1/2, 3/2, 3), S(5/2, 1, 3/2)], r [R(1, 4, ½), S)]
Ravnina Φ - m [J(-5/2, 2, 1/2) L(-1, 3, 1)], n[K(-5/2, -9/2, 7/2), L)]

PRESEK DVEH RAVNIN,
PODANIH S SEČNICAMA

DOLOČITEV PRESEČNICE s pomočjo risanja slednic

V koordinatni sistem vrišemo podatke – ravnino
E, ki je podana s sečnicama p in r, ter ravnino Φ,
ki je podana s sečnicama m in n.
z
Ez

e2’’

8’’

4’’

m’’

S’’
p’

R’’
3’

Ex

4’

f2’’

L’’
J’’

2’’

6’’

1’’

X1,2

n’’
K’’

ΦZ

P’’

r’’

K’

p’’

Če želimo določiti presečnico s ravnin E in Φ,
moramo najti vsaj dve skupni točki obeh ravnin.
V ta namen pa moramo najprej določiti slednici
obeh ravnin.

5’’ ΦX

7’

8’

1’

n’

S’

J’

P’

3’’
e1’

5’

r’

L’

R’

2’
Ey
Φy

6’

y

m’

f1’

7’’

Kjer premica p’’ seka koordinatno os x, dobimo
točko 1’’, ki jo prenesemo v tlorisno ravnino na
ustrezno premico (1’ leži na p’). Kjer premica r’’
seka koordinatno os x, dobimo točko 2’’, ki jo
prenesemo na tlorisno projekcijo premice r (2’ leži
na r’).
Točki 1’ in 2’ povežemo in tako dobimo prvo
slednico e1’ ravnine E in s tem tudi dve sledišči te
ravnine - Ex in Ey.
Kjer premica p’ seka koordinatno os x, dobimo
točko 3’, ki jo prenesemo na narisno projekcijo
premice p. Kjer premica r’ seka koordinatno os x,
dobimo točko 4’, ki jo prav tako prenesemo v
narisno ravnino, in sicer na premico r’’. Točki v
narisni ravnini 3’’ in 4’’ povežemo in tako dobimo
še drugo slednico e2’’ ravnine E, ter sledišče
ravnine Ez.
Za določitev obeh slednic druge ravnine Φ, je
postopek enak.

PODATKI:
Ravnina E - p [P(1/2, 3/2, 3), S(5/2, 1, 3/2)], r [R(1, 4, ½), S)]
Ravnina Φ - m [J(-5/2, 2, 1/2) L(-1, 3, 1)], n[K(-5/2, -9/2, 7/2), L)]

PRESEK DVEH RAVNIN,
PODANIH S SEČNICAMA

DOLOČITEV PRESEČNICE s pomočjo risanja slednic

Presečišče prvih slednic obeh ravnin e1’ in f1’ je
prva točka presečnice S1’, ki jo prenesemo še v
narisno ravnino – točka S1’’.

z
Ez

e2’’
P’’

4’’

3’

4’

S2’

1’’

X1,2

f2’’

L’’
R’’

Ex

V tlorisni in narisni ravnini povežemo obe točki
presečnice S1 in S2, dobljena premica je
presečnica s ravnin E in Φ.

8’’

s’’

S’’

Presečišče drugih slednic obeh ravnin e2’’ in f2’’
predstavlja drugo točko presečnice S2’’, ki jo
nato prenesemo še v tlorisno ravnino – točka S2’.

n’’
K’’

ΦZ

r’’

p’

K’

p’’

S2’’

J’’

2’’ S1’’6’’

5’’ ΦX

7’

8’

1’

n’

S’
3’’

s’
e1’

m’’
5’

J’

P’
L’

r’

R’

2’
Ey
Φy

6’
S1’
y

m’

f1’

7’’

PODATKI:
Ravnina E - p [P(1/2, 3/2, 3), S(5/2, 1, 3/2)], r [R(1, 4, ½), S)]
Ravnina Φ - m [J(-5/2, 2, 1/2) L(-1, 3, 1)], n[K(-5/2, -9/2, 7/2), L)]
DOLOČITEV PRESEČNICE s pomočjo prebodov premic
p’’
z

4’’
K’

s’’

1’’

n’’

r’’
S’’

Točki 1’ in 2’ v tlorisni ravnini povežemo. Kjer
premica 1’2’ seka premico n’ ravnine Φ, dobimo
točko 3’, ki je tudi prvo prebodišče obeh ravnin.
Točko 3’ prenesemo v narisno ravnino – 3’’ leži na
premici n’’.

6’’ L’’
R’’

J’’

5’’
2’’

p’

J’

s’

r’

R’

m’’

3’’

P’

S’

m’

4’
L’

6’

n’

5’

2’
y

3’

V koordinatni sistem vrišemo podatke – točke P, R,
S, ki določajo presečnici p in r (ravnina E), in točke
J, K, L , ki določajo presečnici m in n (ravnina Φ).
Kjer premica n’’ ravnine Φ (v narisu) seka premico
p’’ ravnine E, dobimo točko 1’’. Kjer n’’ seka drugo
premico r’’ ravnine E, dobimo točko 2’’. Točki 1’’ in 2’’
prenesemo v tlorisno ravnino na ustrezni premici
(točka 1’ leži na premici p’, točka 2’ leži na premici r’).

K’’

P’’

PRESEK DVEH RAVNIN,
PODANIH S SEČNICAMA

1’

Kjer premica m’ ravnine Φ (v tlorisu) seka premico p’
ravnine E, dobimo točko 4’. Kjer m’’ seka drugo
premico r’ ravnine E, dobimo točko 5’. Točki 4’ in 5’
prenesemo v narisno ravnino na ustrezni premici
(točka 4’’ leži na p’’, točka 5’’ leži na r’’).
Točki 4’’ in 5’’ v narisni ravnini povežemo. Kjer
premica 4’’5’’ seka premico m’’, dobimo drugo
prebodišče ravnin E in Φ - točko 6’’. Točko
prenesemo v tlorisno ravnino – 6’ leži na premici m’.
V tlorisu in narisu povežemo prebodišči 3 in 6, s
tem pa dobimo presečnico s ravnin Φ in E.

PODATKI:
Ravnina Φ paralelograma ABCD
Φ [A (2, 6, ½), B (6, 3, 9/2), C (1, 0, 7), D]
Ravnina E trikotnika JKL
E [J (-1, 7, 7), K (9/2, 0, 2), L (-3, 9/2,0)]
z

C’’
s’

V koordinatni sistem vrišemo podatke – točke
paralelograma A, B, C. Ker ima paralelogram po dve
stranici vzporedni, dobimo tako tudi točko D. Točke
ABCD določajo ravnino Φ. Narišemo še točke
trikotnika J, K, L, ki določajo ravnino E.

J’’

2’’

4’’
B’’

PRESEK RAVNIN DVEH RAVNINSKIH LIKOV

Kjer stranica Δ J’’K’’ v narisu seka stranico
paralelograma A’’B’’ dobimo točko 1’’, ki jo prenesemo
v tloris na stranico A’B’ – točka 1’. Kjer J’’K’’ seka
stranico C’’D’’, dobimo točko 2’’, ki jo prav tako
prenesemo v tloris na stranico C’D’ - točka 2’.

3’’
D’’

1’’

6’’

Točki 1’ in 2’ v tlorisni ravnini povežemo. Kjer premica
1’2’ seka stranico Δ J’K’ dobimo točko 3’, ki je tudi
prvo prebodišče obeh ravnin. Točko 3’ prenesemo v
narisno ravnino – 3’’ leži na stranici J’’K’’.

K’’
K’

5’’

A’’

X1,2

0
L’’

C’
2’

s’
B’

5’

3’

L’

6’

1’

D’

4’

V tlorisni ravnini narišemo še točko 4’ (presečišče
stranic J’K’ in A’D’ ter točko 5’ (presečišče stranic K’L’
in A’D’. Obe točki prenesemo v narisno ravnino na
ustrezni stranici.
V narisni ravnini povežemo točki 4’’ in 5’’. Kjer
premica 4’’5’’ seka stranico paralelograma A’’D’’,
dobimo drugo prebodišče ravnin – točka 6’’. Točko
prenesemo v tlorisno ravnino – 6’ leži na stranici A’D’.
V tlorisu in narisu povežemo prebodišči 3 in 6, s tem
pa dobimo presečnico s ravnin Φ in E.

A’
y

J’

PODATKI:
Ravnina Φ paralelograma ABCD
Φ [A (2, 6, ½), B (6, 3, 9/2), C (1, 0, 7), D]
Ravnina E trikotnika JKL
E [J (-1, 7, 7), K (9/2, 0, 2), L (-3, 9/2,0)]

PRESEK RAVNIN DVEH RAVNINSKIH LIKOV

z

C’’

J’’
PRI RISANJU PAZIMO NA VIDNOST!

s’

2’’

4’’
B’’

3’’
D’’

1’’

6’’

K’’
K’

5’’

A’’

X1,2

0
L’’

C’
2’

s’
B’

5’

3’

L’

6’

1’
4’
A’
y

D’

J’