A

CO TO JEST POLE FIGURY ?

C B Rysunek przedstawia plan trzech działek. Łatwo zauważyć, że działka A jest najmniejsza. Natomiast aby porównać wielkość działek B i C należy wypełnić je jednakowymi figurami tzw. jednostkowymi.

CO TO JEST POLE FIGURY ?

A B C Figura C zawiera 17 kwadratów, zatem ma większą powierzchnię niż figura B, która ma 16 kwadratów.

CO TO JEST POLE FIGURY ?

Figura obok składa się z 10 jednakowych trójkątów, więc jej pole wyrażone za pomocą tych trójkątów wynosi 10 jednostek.

Powszechnie stosowanymi jednostkami pola są :  milimetr kwadratowy (mm 2 )   centymetr kwadratowy (cm decymetr kwadratowy (dm 2 2 ) ) 1cm 2 1cm 1cm   metr kwadratowy (m 2 ) kilometr kwadratowy (km 2 ) Ogrody, place, działki rolne i większe obszary mierzymy w

arach

i

hektarach

(ha). Są to gruntowe jednostki pola.

(a)

Zależności między jednostkami pola wynikają z zależności między jednostkami długości : 1cm = 10mm 1cm 2 =100mm 2 1m = 100cm 1m 2 = 10000cm 2 10·10 100·100

1 ar to pole kwadratu o boku10m, zatem 1a = 100m 2 1 hektar to pole kwadratu o boku 100m, zatem 1 ha =10000m 2

1 ha = 100a

1cm 2 = 100mm 2 1dm 2 = 100cm 2 = 10000mm 2 1m 2 =100dm 2 = 10000cm 2 = 1000000mm 2 1km 2 =100ha =10000a = 1000000 m 2

Prostokąt o wymiarach 3cm i 4cm dzielimy na kwadraty o boku 1cm.

Mamy więc 3 rzędy po 4 kwadraty, każdy o polu 1cm 2 .

3·4=12 więc P = 12cm 2

Pole prostokąta obliczamy mnożąc długość przez szerokość tego prostokąta.

b a

WZÓR NA POLE PROSTOKĄTA :

P = a

·

b

a,b – długości boków prostokąta

a Ponieważ kwadrat jest prostokątem, jego pole obliczamy w ten sam sposób.

a Wzór na pole kwadratu :

P = a · a

gdzie a oznacza długość boku kwadratu Inna postać wzoru :

P = a 2

a h a h Gdyby rozciąć równoległobok wzdłuż wysokości to z otrzymanych części można ułożyć prostokąt.

Pole równoległoboku jest równe polu otrzymanego prostokąta.

h a Obliczając pole równoległoboku korzystamy ze wzoru :

P = a · h

a – długość boku (podstawy) b – długość wysokości poprowadzonej do tego boku

Pole rombu możemy obliczyć dwoma sposobami : 1.

Ponieważ romb jest równoległobokiem, więc jego pole można obliczyć tak jak pole równoległoboku : h a

P = a · h

a – długość podstawy h – długość wysokości poprowadzonej do tej podstawy

2.

Dane są dwie przekątne rombu.

Mając dwa jednakowe romby o przekątnych e i f, można z nich ułożyć prostokąt o bokach e i f.

e e f f Prostokąt składa się z dwóch rombów, więc jego pole jest dwa razy większe niż pole każdego z tych rombów. Zatem pole rombu jest równe połowie pola prostokąta. Stąd :

P = ½ · e · f

P – pole rombu e,f – długości przekątnych rombu

Z dwóch jednakowych trójkątów o podstawie a i wysokości h opuszczonej na tę podstawę, można zbudować równoległobok o podstawie a i wysokości h . a h h a a Pole równoległoboku jest dwa razy większe niż pole trójkąta, zatem pole trójkąta jest równe połowie pola równoległoboku o podstawie a i wysokości h .

h a

Wzór na pole trójkąta :

P = ½ · a · h a – długość podstawy h – długość wysokości opuszczonej na podstawę a

b a Ponieważ wysokością dla podstawy a jest przyprostokątna b i odwrotnie, pole trójkąta prostokątnego jest równe połowie iloczynu jego przyprostokątnych.

P = ½ · a · b

a, b – długości przyprostokątnych

Z dwóch jednakowych trapezów o podstawach długości a i b oraz wysokości h można ułożyć równoległobok o wymiarach – podstawa a+b i wysokość h .

b b a h h a a b Równoległobok składa się z dwóch trapezów zatem jego pole jest dwa razy większe niż pole każdego z trapezów. Stąd pole trapezu jest równe połowie pola równoległoboku o wymiarach a+b i h .

b h a

P = ½ · (a + b) · h

P – pole trapezu a,b – długości podstaw h – długość wysokości

A e D S B C f Przekątne deltoidu to odcinki |AC|=e i |BD|=f. Deltoid można podzielić na dwa trójkąty :ACD i ACB. Zatem pole deltoidu będzie sumą pól tych trójkątów.

P ACD = ½· e ·|DS| P ACB = ½ ·e ·|SB| P ABCD = ½ ·e ·|DS| + ½· e·|SB| =½· e ·(|DS| + |SB|) = ½ ·e · f Pole deltoidu jest równe połowie iloczynu długości jego przekątnych.

f e

Wzór na pole deltoidu :

P = ½ · e · f e,f –długości przekątnych deltoidu

Pole figury, do której nie da się zastosować żadnego z podanych wzorów można obliczyć na dwa sposoby :

1.

Dzielimy figurę na mniejsze części. Pole czworokąta będzie równe sumie pól trapezu i trójkąta.

Uzupełniamy figurę tak, aby otrzymać prostokąt i trójkąty.

Aby obliczyć pole czworokąta należy od pola prostokąta odjąć pola dwóch trójkątów.

Pola wielokątów - podsumowanie

Pole prostokąta :

P = a · b

Pole kwadratu :

P = a 2

Pole równoległoboku :

P = a · h

Pole rombu :

P = a · h

lub

P = ½ · e · f

Pole trójkąta :

P = ½ · a· h

Pole trapezu :

P = ½ · (a+b) · h

Korzystając z tych wzorów można obliczać pola innych wielokątów.

UWAGA –

przy obliczaniu pól figur należy pamiętać, aby wszystkie potrzebne wymiary podane były w tych samych jednostkach.

Powyższa prezentacja opracowana została na podstawie podręcznika: „Mogę zostać Pitagorasem”.

Dany fragment prezentacji może być wprowadzeniem do nowej lekcji w kl.IV lub V, albo przypomnieniem wiadomości w kl.VI.

Znak ten zwraca uwagę na pojawiający się wzór na obliczanie pola danej figury.