Transcript aplicatia elevului - MatematicaIntreProfesorsiElevi

Scopul proiectului



observarea legaturii inductive dintre siruri si numerele
reale ca baza de plecare pentru a identifica noi
proprietati.
descoperirea modului in care pot fi interpretate si
rezolvate situatii reale si rezolvarea de situatii induse.
dezvoltarea competentelor de autonomie si de
comunicare eficienta in grup si individual- competente
necesare pentru lumea reala.
Siruri recurente = functii in care un termen din sir se
exprima cu ajutorul celui anterior, incepand de la al
doilea termen la care intervin cantitati egale numite ratii

Am formulat termenul general si am folosit
procedeul inductiei matematice pentru
sirurile:

Am observat ca in relatia de
recurenta:

1; 3; 9; 27;.........
𝑥𝑛+2 = 5𝑥𝑛+1 − 6𝑥𝑛 ,
𝑥1 = 1, 𝑥2 = 3
• Recurentele de
orice fel se pot
rezolva prin
teorema
Weierstrass
La ce
folosesc?
Care este?
• Orice sir
monoton si
marginit este
convergent
Cum o
folosesc?
Am determinat valorile din tabel
Ne-am interesat si am aflat ca sunetele chitarei se obtin prin
corzile masurate de noi astfel: daca o coarda de lungime L
emite un sunet, de exemplu “mi”, atunci o coarda cu L/2
emite sunetul cu o octava mai sus. Notele mi, fa, fa#, sol,
sol#, la, la#, si, do, do#, re, re#, mi, se obtin cu corzi de
lungimi L0, L1,....,L12.
• Asa ne-am convins ca L0, L1,....,L12 formeaza o
progresie geometrica.
• Oare Radu stie acest lucru?
Proprietati privind coardele vibrante si
definitia gamei temperate
In antichitate Ptolemeu, cunoscut pentru sistemul cosmologic propus,
a ramas in istorie pentru tratatul sau “Armoniile”, unde prezinta
sistemul pitagorician, potrivit caruia notele trebuie sa fie reprezentate
ca rapoarte de numere intregi. Principalele rapoarte sunt: patrimea –
quarta asociata cu 3/4 si quinta asociata cu raportul 2/3 .
 Calculand raportul dintre quinta si quarta am regasit valoarea
0,88
 Am demonstrat ca distantele d1, d2,.....d12, din desenul anterior,
formeaza termeni egali ai unei progresii geometrice cu aceeasi
ratie.

Problema preluata din revista Pour la science, nr 151,
PP108-114, mai 1990, articolul Calculs bien temperes de
Ian Stewart
Sirul lui Fibonacci este un sir de numere izvorat din ”celebra problema a iepurilor de
casa”, in jurul caruia s-a dezvoltat o intreaga teorie si care ramane unul din cele mai
atractive capitole ale matematicii elementare
.
Raspunsul problemei este 1; 1; 1+1=2; 1+2=3; 2+3=5;....
Lucrarea “Liber abacci”, scrisa de renumitul matematician Leonardo din Pisa
(sec. XIII), cunoscut prin porecla Fibonacci (fiul lui Bonacci) si care cuprinde
aproape toate cunostintele de aritmetica si algebra din acea perioada a
evului mediu, este ilustrata printr-un mare numar de probleme, intre care şi
cea analizată.
- Este o progresie aritmetica sau geometrica?
- Am demonstrat ca
Ф𝑛+1 1+ 5
=
Ф𝑛
2
= 1,61803398874
Numarul de aur
1
=Ø-1=0,61
Ø
Spirala este o curba plana ce
descrie miscarea de revolutie in
jurul unui punct fix sau pol,
micsorandu-se din ce in ce mai
mult. Caracteristica principala a
spiralei este faptul ca raza de
curbura variaza in timpul rotatiei
Spirala este o fascinanta figura
geometrica. Cuvantul provine din
greaca avand ca radacina “spar”
ce semnifica raspandire,
extensie ceea ce ne duce cu
gandul la ideea de a te extinde
prin cunoastere, de a disimina
tipuri de spirala
Spirala lui Arhimede = fiecare
rotatie indeparteaza curba de
centru, in mod uniform, iar spatiu
dintre doua rotatii consecutive
este constant
Spirala lituus = are forma
asemanatoare varfului de
capitoliu a colanei ionica,
precum si a nebuloaselor
astronomice
NUMARUL DE AUR
PREZENT IN SPIRALA
Spirala logaritmica sau
equiunghiulara = se
caracterizeaza prin fatul ca
vectorul raza este taiat de spirala
sub acelasi unghi, numit unghi
polar. Razele spiralei cresc in
progresie geometrica, iar
logaritmul razei in progresie
aritmetica



Spirala lui Arhimede
Spirala lituus
- in gheata formata
din apa ce contine
bule de aer
regasim spirala;
- parafina
cristalizeaza in
forma de spirala
- o regasim in varful de capitoliu al
coloanei ionice
- forma nebuloaselor astonomice
Spirala logaritmica
- apare in organizarea conului de pin
- ananas
- floarea soarelui, unde semintele sunt dispuse
astfel incat determina spirale in sensuri opuse
- cochilia melcului
Am inteles ca diverse plante, flori si
fenomenele din natura nu se dezvolta
intamplator, ci dupa anumite legi ce pot fi
exprimate matematic. Expresia
matematica devine un sir recurent iar
acest sir are limita finita sau infinita.
Valoarea acestei limite a fost o preocupare
pentru oamenii de stiinta.
Ca importanta practica am vazut ca prin simulari,
optimizari si modelari se pot face previziuni privind
dezvoltarea bacteriilor, se pot imbunatatii tehnicile de
chirurgie estetica folosind proportia de aur.
Acest instrument matematic oferit de siruri
se aplica in probleme concrete, din viata,
din arta, arhitectura, pictura.