Transcript Şirul lui Fibonacci - LICEUL TEHNOLOGIC "ASTRA"

Sirul lui
Fibonacci
Leonardo Fibonacci
Fibonacci (1170-1240) este considerat ca unul dintre cei mai mari
matematicieni europeni ai Evului Mediu. S-a născut în Pisa, oraş italian faimos
pentru turnul său inclinat, care parcă stă să cadă. Tatăl său a fost ofiţer vamal
în oraşul din Africa de Nord numit Bougie, aşa încât Fibonacci a crescut în
mijlocul civilizatiei nord-africane, făcând, însă, multe calatorii pe coastele
Mediteranei.
Este cunoscut lumii moderne pentru:
*Răspândirea sistemului de numărare hindu-arab în Europa, prin
publicarea în primul rând la începutul secolului al 13-lea a cărții sale
denumită Cartea de calcul (Liber Abaci).
*Un şir de numere, care i-a purtat ulterior numele, și anume șirul lui
Fibonacci, pe care el nu l-a descoperit, dar pe care l-a folosit ca un
exemplu în cartea sa, Liber Abaci.
Cartea Liber Abaci a ridicat și a rezolvat, de asemenea, o problemă
care privea creșterea populației ipotetice a iepurilor, în baza unor
presupuneri idealiste. Soluția, generație de generație, a dus la o
secvență de numere, cunoscută mai tarziu ca șirul lui Fibonacci. Șirul
de numere era cunoscut matematicienilor indieni încă din secolul al 6lea, însă cartea Liber Abaci a lui Fibonacci a fost cea care a introdus
această secvențialitate în occident.
Şirul lui Fibonacci. Numerele Fibonacci
Şirul lui Fibonacci este o secvenţă de numere în care
fiecare număr se obţine din suma precedentelor două din
şir.
Astfel, primele zece numere ale şirului lui Fibonacci sunt: 1, 1, 2,
3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.
Şirul Fibonacci în matematică, se referă la explicaţiile metafizice
ale codurilor din universul nostru.
În informatică s-a pus problema unui algoritm de generare a
acestor numere, folosindu-se două metode: metoda iterativă şi
recursivă.
Metoda iterativă
#include<iostream>
#include<conio.h>
using namespace std;
int main (void){
int i,n;
int f,f1,f2;
cout<<"Dati numarul elementelor sirului lui Fibonacci:";
cin>>n;
f1=1;
f2=1;
cout<<f1<<" "<<f2<<" ";
for(i=3; i<=n; i++){
f=f1+f2;
cout<<f<<" ";
f1=f2;
f2=f;
Se generează primele n numere
}
cout<<endl<<endl<<"Apasa o tasta pentru a se finaliza aplicatia....";
getch();
return 0;
}
De asemenea, se poate implementa un algoritm de verificare
dacă un număr x natural este termen al şirului lui Fibonacii
#include<iostream>
#include<conio.h>
using namespace std;
int main (void){
int sem, n, x, f[100];
int a,a1,a2;
cout << "Dati valoarea:";
cin>>x;
sem = 0;
a1=1;
a2=1;
if (x==1) sem = 1;
else for(;;){
a=a1+a2;
if (a == x) {
sem = 1;
break;
}
if (a > x) {
break;
}
a1=a2;
a2=a;
}
if(sem) cout << "Valoarea "<< x << " apare in sir.";
else
cout << "Valoarea "<< x << " nu apare in sir.";
cout<<endl<<endl<<"Apasa o tasta pentru a se finaliza aplicatia....";
getch();
return 0;
}
Verificaţi dacă valoarea X este termen al şirului
Se spune ca exista o legatură între creşterea naturală a
plantelor şi numărul de aur: proporţia tainică a acestui număr,
reprezentată fie în triunghiul de aur (isoscel) al lui Pitagora, în
elipsa de aur din tradiţia hindusă sau în spirala de aur care, prin
şirul lui Fibonacci, se demonstrează păstrând proporţia de 1,618.
Implementarea algoritmului de
generare a spiralei
#include <iostream.h>
#include <conio.h>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <graphics.h>
int x31,x32,y31,y32;
void rect1 (int x1, int y1, int x2, int y2)
{ setcolor(1);
rectangle(x1,y1,x2,y2);
setcolor(14);
arc(x1+y2-y1,y2,90,180,y2-y1);
}
void rect2 (int x1, int y1, int x2, int y2)
{ setcolor(1);
rectangle(x1,y1,x2,y2);
setcolor(14);
arc(x1,y1+x2-x1,0,90,x2-x1);
}
void rect3 (int x1, int y1, int x2, int y2)
{ setcolor(1);
rectangle(x1,y1,x2,y2);
setcolor(14);
arc(x2-y2+y1,y1,270,360,y2-y1);
}
void rect4 (int x1, int y1, int x2, int y2)
{ setcolor(1);
rectangle(x1,y1,x2,y2);
setcolor(14);
arc(x2,y2-x2+x1,180,270,x2-x1);
}
void gold(int n)
{ int i,j,k,l;
for(i=1;i<n;i++)
{ if (i%4==0) if ((x32>x31)&&(y32>y31))
{ rect1(x31,y31,x32,y32-x32+x31); y32=y32-x32+x31; }
else break;
if (i%4==1) if ((x32>x31)&&(y32>y31))
{ rect2(x31+y32-y31,y31,x32,y32); x31=x31+y32-y31; }
else break;
if (i%4==2) if ((x32>x31)&&(y32>y31))
{ rect3(x31,y31+x32-x31,x32,y32); y31=y31+x32-x31; }
else break;
if (i%4==3) if ((x32>x31)&&(y32>y31))
{ rect4(x31,y31,x32-y32+y31,y32); x32=x32-y32+y31; }
else break;
}
}
void main()
{ int n;
int gdriver=DETECT,gmode;
initgraph(&gdriver,&gmode,"");
x31=10;
y31=20;
x32=625;
y32=400;
cout << "Introduceti numarul de dreptunghiuri pe care sa le desenam : ";
cin >> n;
cleardevice();
setbkcolor(0);
rect1(x31,y31,x32,y32);
gold(n);
getch();
closegraph();
}
Rezultatul obţinut în funcţie de numărul de pătrate pe care le
generăm
Lăsând matematica şi informatica la o parte, observăm că şirul
lui Fibonacci nu este valabil doar pentru numere, ci şi pentru
natură. Aceste numere apar peste tot, pornind de la
aranjamentul frunzelor, de la şabloanele petalelor unei flori şi
ajungând la falangele mâinii umane, de la zile de naştere şi până
la zidurile Piramidelor
Iată o cochilie de Nautilus
care respectă spirala descrisă
mai sus:
Aloe Polyphylla cu spirale
descrise sub forma şirului
lui Fibonacci:
Galaxiile par şi ele că se supun
acestui şir.
La fel şi seminţele şi petalele de floarea-soarelui:
Numărul de aur
Numărul de aur sau secţiunea divină, un alt şir care
mai este cunoscut si ca Phi (1,618), este un număr foarte
cunoscut în artă, avându-şi originile fundamentale în
natură, astfel încât, orice element din natură este
proportional cu Phi. Dacă inlocuim literele PHI cu numerele
corespunzatoare, obtinem 781, a cărei sumă totală se
reduce la 7. Adunând şi cifrele 1618 vedem ca ne dă tot 7,
care este considerat a fi cel mai frumos număr din univers,
însemnând numărul perfecţiunii, numărul lui Dumnezeu.
Sunt şapte zile în saptămână, şapte note muzicale, şapte
minuni ale lumii, sapte centri energetici(chakre), sapte culori ale
curcubeului, Noe a luat in arca sa sapte perechi din fiecare
animal de pe pamant; numarul 7 apare de 77 de ori in VT si este
cheia catre NT, care se refera la cele sapte peceti, sapte ingeri,
sapte biserici, sapte trambite, sapte semne, sapte chivoturi.
Asa cum Sectiunea de Aur este regasita in ansamblul si
frumusetea naturii, poate fi de asemenea folosita pentru a
atinge frumusetea si echilibrul in arta. Sectiunea de aur a fost
folosita extensiv de Leonardo da Vinci. Observati cum toate
dimensiunile cheie ale camerei si ale mesei in tabloul lui da Vinci,
“Cina cea de Taina” se bazau pe Sectiunea de Aur, care era
cunoscuta in perioada renascentista ca “Proportia Divina”.
In “Sacramentul Cinei cea de Taina”, Salvador Dali si-a inramat
pictura intr-un dreptunghi de aur. Urmand tehnica lui da Vinci,
Dali a pozitionat masa exact la sectiunea de aur a inaltimii picturii
sale. A pozitionat cei doi discipoli langa partea lui Iisus, la
sectiunile de aur a latimii compozitiei. In plus, ferestrele din
fundal sunt formate din 12 pentagoane, care exprima relatiile phi
in proportiile lor.
VĂ MULŢUMESC!