Transcript MONTE CARLO METODUNA GİRİŞ

MONTE CARLO
METODUNA GİRİŞ
Yrd. Doç. Dr. Nilgün DEMİR
Uludağ Üniversitesi
Fen Edebiyat Fakültesi
Fizik Bölümü Bursa
[email protected]
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
Monte Carlo Metod??
Monte Carlo
Simülasyon Tekniği
Sadece sistemi tanımlar,
Onu optimize etmez.
Hedef; gerçek bir sistemi
tam ve doğru olarak tanımlayan
deneysel sistem kurmak.
Simülasyon modelleri 3 genel özellik ile ele alınabilir:
1. Fonksiyonel Özellik:
Deterministik özellik: Gerçek bir modeldir. Simülasyon sonucu her bir
tekrar için aynıdır.
Stokastik özellik: Bu model gelişigüzel bir yapıya sahiptir. Simülasyon
sonucu her bir tekrar çalışmada aynı olmaz.
2. Zamana Bağlılık:
Statik özellik:Bu model zamana bağlı değildir.
Dinamik özellik: Bu model, incelenen süreç boyunca pek çok zaman aralıklarında
değişim gösterir.
3. Giriş Verisi:
Kesikli özellik: Giriş verisi kesikli olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir.
Sürekli özellik: Giriş verisi sürekli olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir.
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
Monte Carlo simülasyonları, “ Gerçek Stokastik simülasyonlardır “
Başlangıç durumun dağılım fonksiyonlarından yola çıkarak son durumu
tanımlar. Statik (kolay) ya da dinamik (zor) olabilir.
Herhangi bir süreç bir çok sebepten dolayı gelişigüzel bir karakteristik
gösterebilir. Bunların başlıcaları şöyle sıralanabilir:
1. Gerçek bir fiziksel süreç olayların büyük ölçeklerde gözlemlendiği gibi
stokastiktir.
2. Süreç, bilgi eksikliğimizden dolayı sürecin gelişigüzel gösterilmesinde
olduğu gibi büyük ölçekli dalgalanmalara dayanır.
3. Sistem için kurulan model, sistemin sürecini yeteri derecede temsil
etmeyebilir.
4. Süreç insan davranışlarına da bağlıdır.
Sonuç olarak kesin bilgi sahibi olamadığımız bir yanı varsa bu süreç
gelişigüzel (stokastik) bir özellik gösterir.
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
Stokastik modeller, olayı karakterize eden gelişigüzel değişkenlerin
özelliğine bağlı olarak değişir. Değişkenler kesikli veya sürekli olabilir,
zamanla süreklilik değişebilir veya zamanın belirli bir anında değerler
alabilir. Mesela iş gücü değişiminde (akışkanlık, devri) işçinin işini ne
zaman değiştireceğini kestiremeyiz. Bu süreç probabilistik olarak
tanımlanabilir. Benzer şekilde bir madde içinde hareket eden parçacığın
hangi etkileşmeleri yapacağı veya hangi açılarda saçılacağı olasılıklar
dahilindedir.
Stokastik bir modelden istenen öncelikli sayısal değerler şöyle belirtilebilir;
(1) - zamanın bir fonksiyonu olarak durum değişkenlerinin ortalama değeri,
(2) – zamanın bir fonksiyonu olarak durum değişkenlerinin değişimi,
(3) – çeşitli durum değişkenleri arasındaki bağımsızlık derecesi.
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
Varsayalım ki x gelişigüzel bir değişken olsun.
Bu değişkenin t=t1, t=t2 ve t=t3 zamanlarında ölçülen x1, x2, x3 değerlerine gelişigüzel dizi
veya stokastik süreç denir.
x’de burada t’ye bağlı olarak iki mümkün durum vardır.
x yalnızca t’nin kesikli değerini alır. Bu durumda “xt kesikli zamanlı stokastik süreçtir.”
*Bütün değerlerin meydana gelmesi eşit şansa sahiptir.
*Bütün yeni değerler bütün önceki elde edilen değerlerden bağımsızdır.
'i
Eğer gelişigüzel değişken x t zamanın bir fonksiyonu olarak sürekli gözlenebilirse x(t)
sürekli zamanlı stokastik süreçtir.
X rastsal bir değişken olmak üzere önce
F ( x) = P(X  x)
(1)
kümülatif yoğunluk fonksiyonu elde edilir. Sonra 0 ile 1 arasında değişen düzgün bir
gelişigüzel sayı üretilir.
Sonuncu adım,
P( X  x)
'i
(2)
Gelişigüzel sayıya eşitleyip x'e göre çözmektir.
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
Sonuç olarak, Monte Carlo metodunu gerçek bir durumun stokastik
modelini oluşturup, bu model üzerinden örnekleme deneyleri hazırlama
tekniği olarak tanımlayabiliriz. Bu tip simulasyonlar, stokastik yapıda
birbiriyle ilişkili
çok sayıda değişkene sahip sistem çıktılarının
çalışılmasında kullanılmaktadırlar.
Monte Carlo metodları,
bilgisayarda analitik olarak ele
alınması mümkün olmayan
gelişigüzel davranışları incelemek
için kullanılır.Hesaplamaların çoğu
düzgün dağılımlı, çeşitli istatistiksel
testleri sağlayan ve (0,1) aralığında
üretilen, tekrarlanabilir, sözde
gelişigüzel sayılara dayandırılır.
Gerçekte bu sayılar düzgün
dağılımlı ve birbirinden bağımsız
değildir. Bu nedenle bilgisayarda
Üretilen bu sayılara sözde
gelişigüzel sayılar denir.
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
Monte Carlo Metodun Tarihsel Gelişimi
Stanislaw Ulam
1909 - 1984
Stanislaw Ulam, II. Dünya savaşında Manhatten projesinde yer alan ve nükleer silahların
tasarımını amaçlayan polonyalı bir matematikçidir. Los Alamos’ ta iken Nükleer reaksiyon
teorilerinde karşılaşılan kompleks integrallerin çözümü için Monte Carlo Metodu’ nu önermiştir.
(Fermi ve diğerlerinin daha önce buna benzer bir metod kullandığını bilmez) Bu önerme,
Von Neumann, Metropolis ve arkadaşları tarafından Monte Carlonun daha sistematik
gelişimine yol açmıştır.
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
John Von Neumann
(1903 – 1957)
Von Neumann, yeni gelişen elektronik hesaplama tekniklerini kullanarak istatistiksel örnekleme
yapma fikri ile anılır. Ona göre, fisyon olaylarında nötron zincir reaksiyonlarının davranışları bu
yöntemle açıklanabilirdi. Özellikle nötron çarpışma oranları tahmin edilebilir ve fizyon silahlarının
patlayıcı davranışları öngörilebilirdi. 1947’ de bu durumu, Robert Richtmyer’ e ( Los Alamos’ un
Teorik Kısım başaknı) yazdı.
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
Nicholas Metropolis
(1915-1999)
Metropolis, Pensilvanya üniversitesinde 1948 yılında kurulan dünyanın ilk elektronik dijital
Bilgisayarında (ENIAC) ilk gerçek Monte Carlo hesaplamasını gerçekleştridi.1953’ te Metropolis
algoritması makale halinde yayınlandı. Bu algoritma, bilim ve mühendislikte hesaplamalar alanında
en popüler 10 algoritma arasına yerleşti. 20. yüzyılda bilim ve mühendislik alanında gelişmelere
çok büyük katkılar sağladı.
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
SİMÜLASYONUN AVANTAJLARI:
• Bir sistemin modeli kurulduktan sonra farklı durumlar için
tekrar tekrar kullanılabilir.
• Sistem verilerinin detaylı olmadığı durumlarda elverişlidir.
• Sistemdeki kompleks yapıları analiz etme ve bunlar üzerinde denemeler
yapmaya imkan sağlar.
• Sonuçları çok uzun zaman sonra alınacak sistemlerin daha kısa sürede
çözümlenmesini sağlar.
• Modellenen sistemi değiştirmeden yeni fikir ve politikaların model
üzerinde rahatça uygulamasına olanak verir.
• Kullanıcı simülasyonu istenen zamanda durdurup yeniden
başlatabildiğinden deney koşullar üzerinde tam bir kontrole sahiptir.
• Simulasyon, analitik çözümlerin doğruluğunu ispatlamak üzere kullanılabilir.
• Simule edilen sistemin ayrıntılı gözlemlenmesi daha iyi anlaşılmasını,
daha önce görülmemiş eksikliklerin giderilmesini, daha etkin fiziksel ve
operasyonel sistemin kurulmasını sağlayabilir.
• Analistleri daha genel düşünmeye zorlar.
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
SİMÜLASYONUN DEZAVANTAJLARI:
•
Araştırıcılar simulasyon tekniğini öğrendikten sonra onu analitik yöntemlerin
daha uygun olduğu durumlarda da kullanma eğilimindedirler (Craig, 2004).
•
Genel olarak her bir sistem için ayrı bir program yazma gereği vardır.
Simulasyon dilleri bu mahsurları bir dereceye kadar ortadan kaldır-mıştır.
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi
MONTE CARLO METODUN
UYGULAMA ALANLARI
MC yöntemleri, Fizik ve Mühendislik alanlarında pekçok uygulama alanı bulmuştur.
Bunlardan başlıcaları:
1. [Matematik] Sayısal Analiz
2. [Fizik] Doğal olayların simülasyonu
3. [Fizik] Atom ve Molekül Fiziği, Nükleer Fizik ve özellikle Yüksek Enerji Fiziği
modellerini test eden simülasyonlar
4. [Mühendislik] Deneysel aletlerin (örneğin detektör) simülasyonu
5. [Biyoloji] Hücre Similasyonu
6. [Ekonomi] Borsa Modelleri
7. [İstatistik] Dağılım Fonksiyonları
NUPAMC 10-12 Mayıs 2012 Bitlis-Eren Üniversitesi