Transcript 5.Hafta Ders Notu (Türkçe)

Prof. Dr. Asaf Varol
2012-2013 Bahar Dönemi
1
2

Sayısal integrasyon analitik olarak çözülemeyen belirli integrallerin
kullanımı için birincil anahtardır. Analitik çözüm yapmaz. Sayısal
integrasyon formülü:

Biz eşit aralıklı noktalarda fonksiyon değerleri kullanan birkaç temel
nümerik yaklaşım formülleri araştırıyoruz. Bu metotlar Newton-Cotes
formülleri olarak bilinir. Kullanılan integrasyon aralığının sonunda
fonksiyon değerlerinin olup olmadığına bağlı olarak İki tip Newton –
Cotes formülü vardır. Trapez ve Simpson kuralları “kapalı” formüllerin
örnekleridir. Son nokta değerlerini kullanırlar. Midpoint kuralı “açık”
formüllerin en basit örneğidir ve son noktayı kullanmazlar.
3
 Basit
bir yolla yaklaşım yapar. Eğri altındaki alanı düz bir
doğru yoluyla eğriye yaklaştırır. Trapez (Yamuk) yaklaşımı
düz doğru yoluyla eğri noktalarını aktarır. [a, f(a) ve b, f(b)],
son iki nokta veya aralığa dikkat edilmelidir. x0=a, x1=b, ve
h=b-a, ise
4
•
Trapez kuralı kullanılarak e-x^2 integralinin hesaplanması
Değeri bilinmeyen integralin tam değeri fonksiyon için çok önemlidir
•
Trapez kuralı kullanarak bulalım (bu örnek için (b-a)/2=1)
•
Fonksiyon doğru yaklaşımı ile aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
5
6
7
• Simpson kuralı kuadratik polinom yaklaşımı yoluyla fonksiyonu integre
edersek
• Yaklaşık integral
• Örnek simpson kuralını kullanarak p/4 yaklaşmını bulunuz.
• İntegralin kesin değeri
8
9
10
11
• Trapez ve Simpson kuralları Newton-Cotes kapalı formüllerinin en
basit örnekleridir. Kapalı formüller integrasyon aralığının son
noktasında fonsiyon değerlendirmede kullanılır. Eğer biz aralıksız
noktalarda sadece fonksiyon değerlendirmeyi kullanırsak en basit
formülü (Newton-Cotes açık formülleri) Midpoint kuralıdır. Midpoint
kuralı:
• Örnek: sinx/x integralini Midpoint kullanarak bulun
12
 Midpoint
kuralı kullanımıyla
bulunan alanın gerçek
değeri karşılaştırılması sağ
tarafta verilmiştir. Bu alan S
integrali ve yaklaşımı
tarafından midpoint
kullanımıyla verilmiştir.
13
14
15
• Newton-Cotes formülleri bağımsız değişkenin uzay değerlerinin
fonksiyonunun değerlendirilmesi tabanlıdır. Gaussian integral
formülleri yüksek dereceden olası polinomlar için doğru formüllerle
seçilen doğru noktaların fonksiyonlarını değerlendirir. Gaussian
integral formülleri genellikle [-1 1] integrasyon aralığında hızlıdır.
• Gaussian kuadratik formülünün genel biçimi
• Burada xi noktanın yaklaşık değeridir ve n seçimine bağlı ci katsayısı
üstünde kuadratik noktalar x1 ,…, xn ,n dereceden sıfır olmayan
Legendre polinomu katsayı yakınsamasında kullanılır. 2n-1
dereceden polinom için gerçek integrasyon formülüdür.
16
•
Örneğin iki değerlendirme noktası Gauss-Legendre kuadratik kuralı için
dereceden eklenen polinom için şu formdadır;
3.
•
Gauss-Legendre kuadratik kuralı n=3 değerlendirme noktası için 5. dereceden
eklenen polinom için sahip olduğu form şu şekildedir;
•
Gauss kuadratik parametrelerin değerleri xi ve ci için n=2….4 aşağıda tablo
verilmiştir.
17
• e-x^2 [-1 1] üstünde Gaussian kullanarak;
18
19





Celik, Ismail, B., “Introductory Numerical Methods for Engineering
Applications”, Ararat Books & Publishing, LCC., Morgantown, 2001
Fausett, Laurene, V. “Numerical Methods, Algorithms and
Applications”, Prentice Hall, 2003 by Pearson Education, Inc., Upper
Saddle River, NJ 07458
Rao, Singiresu, S., “Applied Numerical Methods for Engineers and
Scientists, 2002 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458
Mathews, John, H.; Fink, Kurtis, D., “Numerical Methods Using
MATLAB” Fourth Edition, 2004 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ
07458
Varol, A., “Sayisal Analiz (Numerical Analysis), in Turkish, Course
notes, Firat University, 2001
20