Transcript 6.Hafta Ders Notu (a)(Türkçe)

Prof. Dr. Asaf Varol
2012-2013 Bahar Dönemi
1
2
 Bir
diferansiyel denklem(ODE), bir veya daha fazla
bağımlı değişkenlerin türevlerini içeren bir
denklemdir. Eğer denklemler dahil sadece bir
bağımsız değişken varsa, bu tür türevler sıradan
türevler olarak adlandırılır. Eğer bununla birlikte
denklemin içerisinde birden fazla değişken varsa,
bağımsız değişkenlerin her biri ile ilgili olarak kısmi
türevler (PDE) kullanılır.
3
dy/dx = x + y
y’ = x + y
du/dx + u = 2
u’ + u = 2
4
dy/dx = x + cos(y)
y’ = x + cos(y)
du/dt + u2 = 2
u’ + u2 = 2
5
d2y/dx2 – dy/dx = xy
y’’= -2y + 0.1y’
6
d2y/dx2 – dy/dx = xy-y
y’’= -2y + 0.1(y’)2
7
 Homojen
ODE
her terimde
bağımlı değişken
veya türevleri
içeren bir
denklemdir
d2y/dx2 – dy/dx = xy-y
y’’= -2y + 0.1(y’)2
8
1. Dereceden Doğrusal PDE
Yanda verilen fonksiyonda u = u( x, t)
x ve t → bağımsız değişkenler
Ф→ bağımlı değişkendir
2. Dereceden Doğrusal PDE
x ve y→ bağımsız değişkenler
9

Biz genel olarak her birinci dereceden ODE'yi şöyle yazıyoruz.
y = f(x,y)

Burada f (x,y) fonksiyonu bilinmeyen bağımsız değişkene göre y’nin
türevini gösterir. Türev fonksiyonun bir noktadaki eğimidir. Örneğin;
y = -xy ;

(6.2.1)
y(0) = 1;
f(x,y) = -xy
(6.2.2)
Euler metodu eğimi kullanarak başlangıç bir xi,yi noktasını kullanarak
bir sonraki xi+1, yi+1 noktasının değerini hesaplar. xi+1= xi +h ve h=∆x
olarak verilmiştir.
10
11
h=0,25 aralığı ile Euler’in basit yönteminin kullanılmasıyla verilen türevin
çözümü.
Analitik çözüm:
ODE’nin kesin çözümü izleyen değerlerin dağılımı yöntemini ile çözülebilir.
Her iki tarafın integrasyonu
Her iki tarafın exponansiyelinin alınmasıyla ea+b= ea. eb şunu elde ederiz
x=0, y=1 ve böylece c=1 koordinasyonu kullanılarak integrasyonun sabiti
belirlenir.
Kesin sonuç
12
13
14
15
16
17
18
19





Celik, Ismail, B., “Introductory Numerical Methods for Engineering
Applications”, Ararat Books & Publishing, LCC., Morgantown, 2001
Fausett, Laurene, V. “Numerical Methods, Algorithms and
Applications”, Prentice Hall, 2003 by Pearson Education, Inc., Upper
Saddle River, NJ 07458
Rao, Singiresu, S., “Applied Numerical Methods for Engineers and
Scientists, 2002 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458
Mathews, John, H.; Fink, Kurtis, D., “Numerical Methods Using
MATLAB” Fourth Edition, 2004 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ
07458
Varol, A., “Sayisal Analiz (Numerical Analysis), in Turkish, Course
notes, Firat University, 2001
20