Transcript Diferansiyel Denklemler Temel Kavramlar

DİFERANSİYEL
DENKLEMLER
Kaynaklar:
 Samim Dündar, İleri Matematik Ders Notları.
 Mehmet Sezer ve Ayşegül Daşçıoğlu (2014), Diferansiyel
Denklemler 1, Dora Yayın.
 Steven Holzner (2008), Differential Equations for Dummies,
Wiley Publishing.
 Richard Bronson (2003), Differential Equations, McGraw Hill.
1
Diferansiyel Denklem ve
Çözümleri
• Bir değişkenin diğer bir değişkene göre değişme oranına
(hızına) türev; bağımlı değişken, bağımsız değişken ve
türevleri arasındaki bir bağıntıya da diferansiyel denklem
denir.
Adi Diferansiyel Denklem: Bir diferansiyel denklemde bir
tek
bağımsız
değişken
varsa
denkleme
adi
diferansiyel
denklem denir.
2
Kısmi Diferansiyel Denklem: Bir ya da daha fazla bağımlı
değişkenin
birden
fazla
bağımsız
değişkene
göre
kısmi
türevlerini içeren diferansiyel denkleme kısmi diferansiyel
denklem denir.
Tanım: Bir diferansiyel denklem içinde bulunan en yüksek
mertebeli
türevin
mertebesine
diferansiyel
denklemin
mertebesi; en yüksek mertebeli türevinin derecesine (yani
kuvvetine) de diferansiyel denklemin derecesi denir.
3
Tanım: Bir diferansiyel denklemde her bağımlı değişken ve
her mertebeden türevler birinci dereceden ise ve aynı
zamanda bağımlı değişkenler veya türevler çarpım halinde
yer almıyorlarsa böyle denklemlere doğrusal (lineer) aksi
halde doğrusal olmayan (nonlineer) diferansiyel denklemler
denir.
4
Diferansiyel Denklemlerin Sınıflandırılması
1. Bağımsız değişken sayısına göre: Adi veya Kısmi
2. Diferansiyel denklemde bulunan en yüksek mertebeli
türevin mertebe ve derecesine göre: n.mertebe
m.dereceden gibi.
3. Denklemde bulunan türev ve bağımlı değişkenlerin
doğrusallık koşullarını sağlamalarına göre: Doğrusal veya
Doğrusal Olmayan diferansiyel denklemler
4. Ayrıca doğrusal denklemde tek başına bağımsız teriminin
kalıp kalmamasına göre: Homojen veya Homojen
Olmayan diferansiyel denklemler
5
Diferansiyel Denklemlerin Çözümü
Tanım:
Bir
değişkenin
diferansiyel
bütün
denklemin
değerleri
için
çözümü
bağımsız
diferansiyel
denklemi
sağlayan bağımlı ve bağımsız değişkenler arasındaki ilişkiyi
ortaya koyan cebirsel bir denklemdir.
Elde edilen bir çözümün diferansiyel denklemi sağlayıp
sağlamadığını belirlemek için, bağımlı değişken ve türevleri
diferansiyel denklemde yerine konulur.
6
Bir diferansiyel denklemin çözümleri Genel, Özel ve Tekil
olmak üzere 3 ‘e ayrılır. n inci mertebeden bir adi diferansiyel
denklem verildiğinde;
a) Bu denklemin n tane keyfi sabit içeren çözümüne genel
çözüm denir.
b) Bu genel çözümdeki n keyfi sabite belli değerler verilerek
elde edilen çözümüne özel çözüm denir.
c) Genel çözümdeki n keyfi sabitin herhangi bir şekilde
seçimi ile elde edilemeyen çözümüne tekil çözüm denir.
7
Başlangıç ve Sınır-Değer Problemleri
Tanım:
Bir
diferansiyel
denklemin
belli
koşullara
göre
çözümleri arandığında, eğer ek koşullar bağımlı değişken ve
türevlerine
göre
tek
bir
noktada
verilmişse
probleme
başlangıç-değer problemi, eğer koşullar en az farklı iki
noktada tanımlanmışsa probleme sınır değer problemi denir.
Not: Bir başlangıç veya sınır-değer problemindeki koşulların
sayısı, diferansiyel denklemin mertebe sayısına (yani genel
çözümdeki keyfi sabit sayısına) eşit olur ki o zaman tek bir
çözüm elde edilebilir.
8
Diferansiyel Denklemlerin Kurulması
(Keyfi Sabitlerin Yok Edilmesi)
9
10