Transcript 6.Hafta Ders Notu (b)(Türkçe)

Prof. Dr. Asaf Varol
2012-2013 Bahar Dönemi
1
2
EULER METODU
Euler Metodu ile basit bir ODE çözümü
 Diferansiyel denklemin y’ = f( x, y ) a≤ x≤b olduğunu
düşünelim
 y’ = x + y;
0 ≤ x ≤ 1 a = 0, b = 1,
y(0) = 2.
 İlk olarak h=0.5 (n = 2) için yaklaşık çözümü buluruz, çok
büyük basamak boyutundadır.
 Yaklaşık olarak x1 = 0.5
 y1=y0 + h (x0 + y0)= 2.0 + 0.5 (0.0 + 2.0) = 3.0
 Sonra h=0.05 olsun diye n=20 aralığında yaklaşık çözümü
buluruz.
3
4
5
6
 Daha
iyi bir çözüm elde etmenin teknik bir yolu daha
yüksek dereceden kesme hatası içerisinde Y için
Taylor serilerinde daha fazla terim kullanmaktır.
Örneğin ikinci düzey Taylor metodu kullanımı
y(x+h)=y(x)+hy’(x)+(h2/2)y’’(x)+O(h3)
 O(h3),
lokal kısıtlanmış hatadır.
7
 Diferansiyel
y’=x + y;
denklem düşünelim
0≤ x ≤1 önceki şart ile y(0)=2.
 İkinci
düzey Taylor metot denklem uygulamasını
buluruz.
y’’=d/dx( x+ y) = 1 + y’ = 1 + x + y
 Bu
verilenler yaklaşık formüllerdir.
y(x + h)=y(x)+hy’(x)+(h2/2)y’’(x)
8
yi+1=yi+h(xi+yi)+(h2/2)(1+xi+yi)
n=2 (h=0.5) için bulduğumuz değerler;
y1=y0+h(x0+y0)+(h2/2)(1+x0+y0)=
=2+0.5(0+2)+((.5)2/2)(1+0+2)=3.375
y2=y1+h(x1+y1)+(h2/2)(1+x1+y1)=
=3.375+0.5(0.5+3.375)+((0.5)2/2)(1+0.5+3.375)=5.9219
9
10
11
 Runge-Kutta
yöntemleri
mühendislik
uygulamalarında kullanılan en popüler yöntemdir.
Sebebi basitliği ve doğruluğudur. En basit RungeKutta metodlarından biri, Euler metodu ile belirtilen y
deki değişikliğin yarısının çekilmesiyle xi + h/2 ve yi
deki akım değerinin toplanmasıyla y nin yaklaşık
değeri bulunur. Bu metot midpoint metot olarak
bilinir.
12
k1=hf(xi,yi)
Euler metodunda belirtilen y deki
değişiklik.
k2=hf(xi+0.5h,yi+0.5k1)
hesaplanan
değişiklik.
eğimde
midpoint
kullanılan y
de
deki
13
 Diferansiyel
 y’=x
denklem düşünelim
0≤ x ≤1 önceki şartlar ile (a=0.0, b=0.0),
+ y;
y(0) = 2.
 İlk olarak h=0.5 (n=2) için yaklaşık çözümü bulmalıyız, çok
büyük basamak boyutundadır.
 k1=hf(x0,y0)=0.5(0.0+2.0)=1.0
 k2=hf(x0+0.5h,y0+0.5k1)=0.5(0.0+0.5*0.5+2.0+0.5*1.0)=1.375
 Y1=y0+k2=2.0+1.375=3.375
 Sonra, y2
noktası için yaklaşık çözümü buluruz.
x2=0.0+2h=1.0
14
 k1=hf(x1,y1)=0.5(x1,y1)=0.5(0.5+3.375)=1.9375
 k2=hf(x1+0.5h,y1+0.5k1)=0.5(0.5+0.5*0.5+3.375+0.5
*1.9375)=2.547
y2=y1+k2=3.375+2.5469=5.922
15
16
17
18





Celik, Ismail, B., “Introductory Numerical Methods for Engineering
Applications”, Ararat Books & Publishing, LCC., Morgantown, 2001
Fausett, Laurene, V. “Numerical Methods, Algorithms and
Applications”, Prentice Hall, 2003 by Pearson Education, Inc., Upper
Saddle River, NJ 07458
Rao, Singiresu, S., “Applied Numerical Methods for Engineers and
Scientists, 2002 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458
Mathews, John, H.; Fink, Kurtis, D., “Numerical Methods Using
MATLAB” Fourth Edition, 2004 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ
07458
Varol, A., “Sayisal Analiz (Numerical Analysis), in Turkish, Course
notes, Firat University, 2001
19