Transcript 2-Marimi fizice

A. Mărimi fizice
A.1. Mărimi fizice scalare
A.2. Mărimi fizice vectoriale
A.3. Adunarea (compunerea) vectorilor
A.4. Scăderea vectorilor
A.5. Inmulțirea unui vector cu un scalar
A.6. Descompunerea vectorilor. Axe de coordonate
A.7. Dependența funcțională a marimilor fizice scalare
A.8. Funcția putere și radical
A.9. Funcții trigonometrice
A.10. Derivata unei funcții
A.11. Funcția exponentială și logaritmică
A.12. Numere complexe
A.13. Formula lui Euler
A.14. Derivarea funcțiilor compuse
A.15. Funcții vectoriale
A.16. Aplicații:
a. Compunerea vectorilor perpendiculari
b. Compunerea vectorilor în cazul general
Mărimile fizice
sunt de doua feluri:
1. Mărimi scalare
2. Mărimi vectoriale
A.1. Mărimi fizice scalare
sunt caracterizate de valoare (pozitivă sau negativă)
Exemple: timpul, masa, volumul, densitatea,
presiunea, energia, puterea
A.2. Mărimi fizice vectoriale
sunt caracterizate de: valoare, direcție, sens
Exemple: viteza, accelerația, forța
Vectorii se notează cu litere îngrosate: v sau cu litere
obișnuite cu sageată desupra: v
Vectorul este reprezentat de o sageată
Direcția sa este determinată de dreapta suport
Sensul este spre dreapta sau stânga pe această direcție
A.3. Adunarea (compunerea) vectorilor
a+b=c
c
b
a
se face dupa regula paralelogramului:
suma a doi vectori este egală cu diagonala
paralelogramului având drept laturi cei doi vectori
Regula de adunare a triunghiului
Vectorii se pozitionează astfel încat originea celui
de-al doilea să coincidă cu capatul primului.
Suma vectorilor este egală cu vectorul care unește
originea primului cu capatul celui de-al al doilea
c
b
a
A.4. Scăderea vectorilor
a+b=c → b=c-a
c
b
a
este operația inversă adunării și se face astfel încât
vectorul diferentă c să unească capetele celor doi,
cu sensul dinspre scăzător (a) spre descăzut (c)
A.5. Inmulțirea unui vector
cu un scalar
este operația de multiplicare a vectorului de λ ori
b = aλ
a
b
Dacă λ˃0 vectorul rezultant are același sens
Dacă λ˂0 vectorul rezultant are sens opus
A.6. Descompunerea vectorilor
este operația inversa compunerii
Vectorii se pot descompune în plan
dupa doua componente.
Un caz important este descompunerea
dupa direcțiile unui sistem de axe
de coordonate perpendiculare (X,Y),
numit și sistem cartezien:
a=ax+ay
=axex+ayey
Aici am definit vectorii unitari:
ex ey
drept vectorii pe directiile X si Y
care au marimea 1
a
ay
ey
ex
ax
Rezulta ca un vector în plan
este echivalent cu a defini o
pereche de marimi scalare (ax,ay)
numite componentele vectorului
dupa axele X si Y
A.7. Dependenta funcțională
a mărimilor fizice scalare
Doua mărimi fizice scalare pot depinde una de cealaltă,
definind astfel o funcție de o variabilă.
Reprezentare grafică a funcției într-un sistem de
coordonate perpendiculare este dată de mulțimea
punctelor reprezentate de curba: y=f(x)
y=x
Funcția inversă: x=f-1(y):
este curba simetrica față de prima bisectoare: y=x
deoarece rolul celor doua axe se schimbă reciproc
A.8. Funcția putere și radical
Funția putere: y(x)=xn, unde n este număr natural dat
Funcția inversă radical: y-1(x)=x1/n
prima bisectoare
A.9. Funcții trigonometrice
definite în triunghiul dreptunghic
Suma unghiurilor în
orice triunghi este 180o
c (ipotenuza)
90o-φ
b (catetă)
φ
90o
a (catetă)
cateta opusă / ipotenuză
cateta alturată / ipotenuză
cateta opusă/ catata alaturată
b
 cos(90o   )
c
a
cos   sin(90o   )
c
b
sin
o
t g   ctg(90   ) 
a
cos
sin  
Cercul trigonometric
este un cerc de raza 1 în care
unghiurile se masoară în sens orar invers
y
cos φ
sin φ
x
O
A
Funcțiile trigonometrice
sunt definite ca de obicei:
sin φ = AP / OP = AP
cos φ = OA / OP = OA
φ
Din teorema lui Pitagora
AP2 + OA2 = OP2 = 1
rezultă: sin2φ + cos2φ = 1
Masurarea unghiurilor în radiani
lungimea.a rcului.de. cerc
unghi(radi ani) 
raza
Δl

R
Corespondenta cu gradele obișnuite se face astfel:
360o → 2πR/R=2π
180o → π
90o → π/2
Numărul irațional π≈3.141593 este egal
cu raportul dintre lungimea cercului și diametru
Δl

R
a. Caz particular: φ=45o
a
1
sin 45  cos 45  
c
2
o
o
sau în
radiani:
Teorema lui
Pitagora:
c2=2a2
c

1
sin  cos 
4
4
2
45o
a
90o
45o
a

b. Caz particular: φ=30o si 60o
b 1

2b 2
a
3
0
0
sin 60  cos30 

2b
2




1
sin  cos 
6
3 2
sin 300  cos600 
sau în
radiani:
3
sin  cos 
3
6
2
Completăm triunghiul dreptunghic ABC cu
triunghiul egal ACD formând dreptunghiul ABCD
Folosind teorema lui
Pitagora în triunghiul
dreptunghic ABC
exprimăm latura
a funcție de latura b
( 2b)  a  b
2
2
 a  3b
D
C
60o
b
60o
b
60o
2
b
30o
A
60o
Ipotenuza AC
este diagonală
b care se imparte
în doua segmente
egale: c=2b
30o
a
B
Ecuații trigonometrice simple
A,C
B
D
B,D
sin   0    n
sin   1   

2
cos  0   
π/2+2nπ
 2n
sin   1    

B

2
 2n
 n  (2n  1)
2
A cos  1    2n
C cos  1    (2n  1)
sin φ
(2n+1)π

C
φ
cos φ
2
D -π/2+2nπ
2nπ
A
A.10. Derivata unei funcții
se definește ca limita raportului dintre
variația funcției și variația argumentului
Δy
dy

 tgα
Δx
dx
dreapta secantă MM1 la limita
devine dreapta tangentă la M
Δx: este variația argumentului
Δy: este variația funcției,
dy: este variația pe dreaptă
tangenta in x.
Observație: Δx=dx
Concluzie:
derivata în punctul M(x,y)
este tangenta trigonometrică
a unghiului α dintre
dreapta tangenta la
curba în punctul M și axa Ox
Exemplu de utilizare a derivaței
Calculul punctelor de extrem (maxime, minime):
y=f(x)
funcția
crește
df
0
dx
funcția
scade
df
0
dx
derivata scade,
deci derivata
de ordinul doi
este negativă:
x
unde derivata de ordinul doi
este derivată derivatei:
d2 f
d  df 
  
2
dx
dx  dx 
Derivarea funcției putere
Caz particular:
y(x)=x2
Δy (x  Δx)2  x 2

 2 x  Δx Δx

0  2 x
Δx
Δx
dx2

 2x
dx
In cazul general
Funcția putere y(x)=xn
se derivează dupa formula:
Caz particular: pentru n=0
obținem o constanta y(x)=C
dxn
 nxn 1
dx
dC
0
dx
Observație: n poate fi orice
număr real pozitiv sau negativ
Produsul dintre o constantă
și o funcție se derivează astfel:
d (Cf )
df
C
dx
dx
Derivata sumei de funcții este:
d ( f  g ) df dg


dx
dx dx
A.11. Funcția exponentială
si logaritmică
Numarul irational e≈2.71828 se poate defini ca baza
a funcției exponentiale y(x)=ex, pentru care derivata
coincide cu funcția:
dex
x
e
dx
sau cu alte cuvinte: rata de creștere a acestei mărimi
este egală cu marimea însăși în fiecare punct x.
Funcția inversă funcției exponențiale în baza e
notata: y(x)=ln x (evident echivalenta cu: x=ey)
se mai numește logaritm natural .
Derivata funcței inverse se calculează astfel:
d ln x dy 1
1
1 1


 y  y 
dx
dx dx de
e
x
dy
dy
Funcția exponențială (albastru): f(x) = ex, e ≈ 2.71828
Funcția inversă logaritmică (roșu): f-1(x) = loge(x) = ln(x)
Argumentul funcției
logaritmice trebuie
sa fie pozitiv !
Valori particulare
e 1
0

e 0
ln 1  0
ln 0  
Operații cu exponențiale si logaritmi
e xe y  e x y
xy  eln(xy)  eln x eln y  eln x ln y 
ln (xy)  ln x  ln y
(e )  e
ln x  n ln x
x  e ln x  ln e x
x n
n
nx
Observație: ultimele egalități sunt valabile chiar daca numarul n are valori reale
Schimbarea bazei cu numarul real a>0
a  (e )  e
x
ln a x
x ln a
loga x  loga eln x  ln x loga e
Toate relațiile de mai sus sunt valabile în orice bază
Logaritmul zecimal
Logaritmul în baza a=10 se numește logaritm zecimal,
care se poate calcula folosind logaritmul natural:
log10 x  lg x  lg eln x  ln x lg e
lg e  0.4343
Invers, logaritmul natural
se poate calcula folosind logaritmul zecimal:
ln x  ln 10lg x  lg x ln 10
ln 10  2.3026
Urmatoarele relații sunt utile:
lg10  1
lg 0.1  lg101  1
lg102  2
lg 0.01  lg102  2
lg103  3
lg 0.001 lg103  3
...
...
lg10n  n
lg10-n  n
A.12. Numere complexe
Un numar complex este definit asfel:
z  a  ib  r( cos  i sin )
i  1
Numarul i se numește unitate imaginară.
Numarul complex z poate fi reprezentat
de un vector cu doua componente (a,b)
având mărimea (denumită și modul) r
și formând unghiul φ cu axa X
z
b
r
r  a2  b2
a  r cos
b  r sin 
φ
b
 tg 
a
a
A.13. Formula lui Euler
Un număr complex având modulul r=1
poate fi reprezentat de relația de mai jos,
care poartă numele de formula lui Euler
ei  cos  i sin 
Importante sunt urmatoarele
cazuri particulare:
e
i / 2
i
eiπ  1
Formula permite definirea
logaritmului din numere negative
-1  eiπ
ln (-1 )  iπ ln e  iπ
Leonard Euler (1707-1783)
Matematician de origine elvețiana
care a trăit în St. Petersburg (Rusia)
ei  1
ln(1)  i
Derivarea funcțiilor trigonometrice
poate fi facută folosind formula lui Euler
d cos
d sin 
d
dei
dei
i

(cos  i sin  ) 
i
 iei
d
d
d
d
d (i )
sau egalitatea echivalenta:
 i(cos  i sin  )   sin   i cos
i

i
e e e
2

i (  )
2


 cos(  )  i sin(  )
2
2
Identificand partea reala și cea imaginară
obținem formulele de derivare ale funcțiilor sin și cos
d sin 

 cos  sin(  )
d
2
d cos

  sin   cos(  )
d
2
Concluzie:
Prin derivare faza numarului complex z
și a funcțiilor trigonometrice crește cu π/2
dz
e
d

i (  )
2
ze
φ+π/2
φ
i
Relațiile trigonometrice
pot fi deduse în mod simplu
folosind formula lui Euler
ei (   )  ei ei 
cos(   )  i sin(   )  (cos  i sin  )(cos  i sin  ) 
cos cos   sin  sin   i(sin  cos   cos sin  )
Identificand parțile reale și maginare din egalitate obținem:
cos(   )  cos cos   sin  sin 
sin(   )  sin  cos   cos  sin 
Cazul particular α=β conduce la relațiile (folosind sin2α+cos2α=1):
cos2  cos2   sin 2   1  2 sin 2   2 cos2  1
sin 2  2 sin  cos
A.14. Derivarea funcțiilor compuse
f(x)=f(g(x))
se face înmulțind și împarțind cu dg:
df ( g ( x)) dg df

dx
dx dg
Exemple
2
d
sin
x
dg d sin g
2
f  sin g ; g  x 

 2 x cos x 2
dx
dx dg
d sin 2 x dg 2 dg
f  g ; g  sin x 

 2 sin x cos x
dx
dg dx
2
A.15. Funcții vectoriale
a.
Vectorul dependent de timp
poate fi considerat ca o funcție vectorială
dependentă de un scalar (timpul)
Exemplu: vectorul de poziție r(t)
este un vector cu originea fixă, al cărui capăt
se mișcă pe o curbă numită traiectorie
r(t)
b. Funcția de două variabile
poate fi considerată o funcție scalară, care depinde
de un vector bidimensional, definit
de cele doua coordonate (x,y)
Reprezentare grafică a funcției de 2 variable
este suprafața z=z(x,y)=f(x,y)
Curba de nivel: mulțimea punctelor (x,y) pentru care funcția are o valoare data
A.16. Aplicatii
a. Compunerea vectorilor perpendiculari
F (ipotenuza)
F1 (cateta)
F2 (cateta)
Marimile celor doi vectori sunt respectiv: F1=3 si F2=4
Conform teoremei lui Pitagora:
Patratul ipotenuzei este egal cu suma patratelor catetelor
deci marimea rezultantei este:
F  F12  F22  9  16  25  5
b. Compunerea vectorilor în cazul general
se face completand triunghiul de adunare a vectorilor OAB cu triunghiul
dreptunghic ABC, astfel încât să rezulte triunghiul dreptunghic OBC.
Notăm cu φ unghiul între vectorii F1 si F2
B
F
F2sin φ
F2
φ
O
φ
F1
A
F2cos φ
Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul OBC obținem:
F 2  ( F1  F2 cos ) 2  F22 sin 2 
 F12  2 F1 F2 cos  F22 (cos2   sin 2  )
 F12  F22  2 F1 F2 cos
C